培优专题05 因式分解及其应用12大题型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 以“方法-应用”双主线系统构建因式分解训练，整合6大核心方法与6类跨场景应用，形成从基础运算到综合探究的完整逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|4小题|强调步骤规范与公式逆用|巩固因式分解概念，为方法学习奠基| |核心方法|17小题|十字相乘“交叉验系数”、分组分解“提公因式/套公式”、拆添项“补全完全平方”、换元法“整体代换降次”|从具体方法到思想迁移，深化运算能力与创新意识| |综合应用|27小题|“工具化”思想解决简算、求值、整除、几何判断等问题|联结代数与几何，培养模型意识与应用能力|

专题05 因式分解及其应用 题型1因式分解的混合运算（常考点） 题型7利用换元法分解因式（难点） 题型2因式分解在有理数简算中的应用（常考点） 题型8因式分解的应用（整除问题）（常考点） 题型3十字相乘法分解因式（重点） 题型9因式分解的应用（判断三角形形状）（重点） 题型4分组分解法分解因式（重点） 题型10与因式分解有关的新定义问题（难点） 题型5利用拆添项法分解因式（重点） 题型11利用因式分解解方程（难点） 题型6因式分解在代数式求值问题中的应用（常考点） 题型12利用因式分解证明（难点） 题型一 因式分解的混合运算（共4小题） 1．（2026七年级下·浙江·专题练习）因式分解 (1) (2) (3) (4)； 2．（25-26八年级上·天津·阶段检测）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（25-26八年级上·天津·阶段检测）因式分解 (1) (2) (3) (4) 4．（24-25八年级上·山东东营·阶段检测）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 因式分解在有理数简算中的应用（共5小题） 10．（25-26八年级上·天津·阶段检测）用十字相乘法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 11．（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）综合实践． 通过学习，我们知道：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，利用这种变形可以进行运算和推理，逐步领悟代数推理在数学学习中的重要地位． 我们发现：，反过来，多项式可以分解为，利用这种方法，可以对有些多项式进行因式分解． (1)多项式因式分解结果为__________； (2)多项式因式分解结果为__________； (3)我们知道：，可以多次运用上面的方法，对复杂的多项式进行因式分解，请对多项式进行因式分解． 12．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 13．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 题型三 十字相乘法分解因式（共4小题） 10．（25-26八年级上·天津·阶段检测）用十字相乘法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 11．（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）综合实践． 通过学习，我们知道：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，利用这种变形可以进行运算和推理，逐步领悟代数推理在数学学习中的重要地位． 我们发现：，反过来，多项式可以分解为，利用这种方法，可以对有些多项式进行因式分解． (1)多项式因式分解结果为__________； (2)多项式因式分解结果为__________； (3)我们知道：，可以多次运用上面的方法，对复杂的多项式进行因式分解，请对多项式进行因式分解． 12．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 13．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 题型四 分组分解法分解因式（共4小题） 14．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）阅读材料：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法，还有分组分解法．例如：分解因式，我们可以把它分组为，然后提公因式，得． 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 15．（23-24七年级下·浙江金华·阶段检测）在“因式分解探究性学习” 中，甲同学进行了以下因式分解： （分成两组） （直接提公因式） 我们发现，要将多项式分解因式，可以先把它的四项分成两组，分别进行因式分解得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)尝试填空： ； (2)解决问题：已知，求的值； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 16．（20-21八年级下·江西抚州·期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： （1）分解因式：①； ②； （2）已知的三边满足，试判断的形状． 17．（2023八年级上·全国·专题练习）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止) 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 题型五 利用拆添项法分解因式（共5小题） 18．（20-21七年级下·浙江宁波·期末）【学习材料】——拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如： 例1  分解因式： 【解析】解：原式= 例2  分解因式： 【解析】解：原式= 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）分解因式：______． （2）运用拆项添项法分解因式：． （3）化简：． 19．（21-22八年级下·陕西咸阳·期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． 仿照以上方法分解因式： (1)； (2)． 20．（21-22八年级下·陕西西安·期末）材料：在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．如： ． 先阅读上述材料，再解决下列问题： (1)按照这种方法把多项式分解因式； (2)分解因式：． 21．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般地，我们将形如的多项式叫做完全平方式，有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： 任务一： （1）运用配方法将多项式因式分解； （2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程． 22．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段检测）利用完全平方公式可将二次三项式进行配方，再根据平方差公式因式分解，例如： ．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)根据完全平方公式，将下列式子配方成的形式： ①_________，②_________； (2)利用“配方法”因式分解： ①；②． 题型六 利用换元法分解因式（共4小题） 23．（24-25八年级下·江西抚州·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式 将A换元，得原式 请你应用换元法对下列多项式因式分解： (1)； (2)． 24．（23-24七年级下·广西北海·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法对多项式进行因式分解． 解：设，则 原式 根据上述材料，请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 25．（24-25八年级上·江西赣州·阶段检测）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________； A．提取公因式法  B．平方差公式法  C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 26．（23-24七年级下·广西贺州·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 在因式分解中、多项式中某一部分重复出现时，把这些重复的部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种解题方法称为“换元法”． 下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则 原式  （第一步）   （第二步）   （第三步）   （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小明同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（    ） A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 (2)老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果________； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 题型七 因式分解在代数式求值问题中的应用（共4小题） 27．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）阅读材料，解答问题：若，求的值． 解：，即：， ∴，， ∴． 根据你的观察，探究下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知，，求的值． 28．（21-22七年级下·浙江金华·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 29．（20-21七年级下·广西贵港·期中）根据已知条件，求代数式的值： (1)已知， ，求的值： (2)已知，，求的值． 30．（24-25七年级下·全国·周测）已知，求的值． 解：因为， 所以原式 ． 请你参照以上方法解答下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 题型八 因式分解的应用（整除问题）（共4小题） 31．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）【观察】，，，…… 【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除． 【验证】 （1）若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除； （2）若设这个偶数为，试说明比大3的数与的平方差能否被3整除； 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除． 32．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段检测）已知，n为正整数． (1)求的值． (2)利用因式分解说明：能被24整除． 33．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如果一个非零整数a能被3整除，那么就称a是“3倍数”． (1)蛟蛟说“”是“3倍数”，川川说“，也是“3倍数”，请判断谁的说法正确，并说明理由； (2)如果一个正整数是“3倍数”，且各个数位上的数字都不为0，满足千位数字与百位数字的平方差是十位数字的平方，千位数字与十位数字的和为9，请写出满足条件的所有“3倍数”，并说明理由． 34．（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中能被整除，能被整除，那么就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． 为正整数，一定能被3整除． 能被8整除，一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若为正整数，下列各数，一定能整除的是__________． A．8   B．10   C．14   D．17 (2)应用：已知是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知是正整数，能被36整除，请直接写出的最小值． 题型九 因式分解的应用（判断三角形形状）（共4小题） 35．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）【阅读理解】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式．后两项可提取公因式．前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式 (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 36．（22-23八年级上·山东淄博·期中）阅读下列材料： 常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： 分组 组内分解因式 整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边a、b、c满足，判断的形状并说明理由． 37．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值； (3)的三边满足，判断的形状并说明理由． 38．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状． （2）若，，是的三边长，且满足，则是什么形状？ 题型十 与因式分解有关的新定义问题（共4小题） 39．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 40．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）定义新运算：． 例如：，． (1)计算；计算； (2)已知，，说明：的值与m无关； (3)已知，记，，试比较M，N的大小． 41．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． (1)若，，求a，b的“和积数”c； (2)若，，求a，b的“和积数”c； (3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 42．（23-24七年级下·浙江金华·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________； （2）若可配方成（、为常数），则__________； 【探究问题】 （3）已知，则__________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （5）已知实数、满足，求的最小值． 题型十一 利用因式分解解方程（共2小题） 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程： 44．（22-23七年级下·全国·课后作业）用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 题型十二 利用因式分解证明（共4小题） 45．（2024·浙江·一模）观察前后两个差为4的整数的平方差： ①；②；③；…… (1)写出第n个等式，并进行证明． (2)问是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由． 46．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列等式 ①； ②； ③； …… (1)请按以上规律写出第4个等式：_____． (2)猜想写出第个等式：_____，并证明猜想的正确性． 47．（2025·河北张家口·二模）数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式： ； ． (1)比较M，N的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 48．（24-25八年级上·山东淄博·期中）【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 因式分解及其应用 题型1因式分解的混合运算（常考点） 题型7利用换元法分解因式（难点） 题型2因式分解在有理数简算中的应用（常考点） 题型8因式分解的应用（整除问题）（常考点） 题型3十字相乘法分解因式（重点） 题型9因式分解的应用（判断三角形形状）（重点） 题型4分组分解法分解因式（重点） 题型10与因式分解有关的新定义问题（难点） 题型5利用拆添项法分解因式（重点） 题型11利用因式分解解方程（难点） 题型6因式分解在代数式求值问题中的应用（常考点） 题型12利用因式分解证明（难点） 题型一 因式分解的混合运算（共4小题） 1．（2026七年级下·浙江·专题练习）因式分解 (1) (2) (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）． 2．（25-26八年级上·天津·阶段检测）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）对式子进行变形，使其有公因式，然后提取公因式即可； （2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可； （3）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可； （4）先将原式变形为，再分别利用平方差公式和提公因式因式分解，最后提公因式后因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（25-26八年级上·天津·阶段检测）因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解； （1）提取公因式，即可求解； （2）将转化为，再提取公因式后继续分解，即可求解； （3）应用平方差公式，分解后化简，即可求解； （4）将视为整体，应用完全平方公式，再进一步分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 = ； （4）解：原式 ． 4．（24-25八年级上·山东东营·阶段检测）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键． （1）用提出公因式分解因式即可； （2）用提出公因式分解因式即可； （3）先提公因式，再利用平方差公式进行分解，即可求解； （4）先根据平方差公式分解，再利用完全平方公式进行分解，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型二 因式分解在有理数简算中的应用（共5小题） 10．（25-26八年级上·天津·阶段检测）用十字相乘法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解．熟悉十字相乘法进行因式分解的方法是解题的关键．二次三项式使用十字相乘法进行因式分解，即是通过寻找特定整数对，将多项式拆分为两个一次式的乘积的形式． （1）采用十字相乘法：寻找两个数，使其乘积为，和为．满足条件的数是和（因为，）． （2）先提取公因式：，再对用十字相乘法: 寻找两个数，乘积为，和为．满足条件的数是和(因为，)． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ． 11．（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）综合实践． 通过学习，我们知道：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，利用这种变形可以进行运算和推理，逐步领悟代数推理在数学学习中的重要地位． 我们发现：，反过来，多项式可以分解为，利用这种方法，可以对有些多项式进行因式分解． (1)多项式因式分解结果为__________； (2)多项式因式分解结果为__________； (3)我们知道：，可以多次运用上面的方法，对复杂的多项式进行因式分解，请对多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解． （1）仿照题干因式分解即可； （2）设，仿照题干因式分解即可； （3）根据将原多项式化为，整理得到，进而求解即可 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：设，则原式， 故答案为：； （3）解：∵ ∴ 12．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）材料的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式 13．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，理解并运用题中的分解因式方法是解题的关键． （1）①仿照题中十字相乘法将原式分解即可；②先根据平方差公式分解因式，再利用十字相乘法分解因式得出答案； （2）把8分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 【详解】（1）解：①； ② ； （2）∵，，，， ∴整数的可能值为：，，，， ∴整数的所有可能值为：，． 故答案为：，． 题型三 十字相乘法分解因式（共4小题） 10．（25-26八年级上·天津·阶段检测）用十字相乘法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解．熟悉十字相乘法进行因式分解的方法是解题的关键．二次三项式使用十字相乘法进行因式分解，即是通过寻找特定整数对，将多项式拆分为两个一次式的乘积的形式． （1）采用十字相乘法：寻找两个数，使其乘积为，和为．满足条件的数是和（因为，）． （2）先提取公因式：，再对用十字相乘法: 寻找两个数，乘积为，和为．满足条件的数是和(因为，)． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ． 11．（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）综合实践． 通过学习，我们知道：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，利用这种变形可以进行运算和推理，逐步领悟代数推理在数学学习中的重要地位． 我们发现：，反过来，多项式可以分解为，利用这种方法，可以对有些多项式进行因式分解． (1)多项式因式分解结果为__________； (2)多项式因式分解结果为__________； (3)我们知道：，可以多次运用上面的方法，对复杂的多项式进行因式分解，请对多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解． （1）仿照题干因式分解即可； （2）设，仿照题干因式分解即可； （3）根据将原多项式化为，整理得到，进而求解即可 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：设，则原式， 故答案为：； （3）解：∵ ∴ 12．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）材料的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式 13．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，理解并运用题中的分解因式方法是解题的关键． （1）①仿照题中十字相乘法将原式分解即可；②先根据平方差公式分解因式，再利用十字相乘法分解因式得出答案； （2）把8分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 【详解】（1）解：①； ② ； （2）∵，，，， ∴整数的可能值为：，，，， ∴整数的所有可能值为：，． 故答案为：，． 题型四 分组分解法分解因式（共4小题） 14．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）阅读材料：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法，还有分组分解法．例如：分解因式，我们可以把它分组为，然后提公因式，得． 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法； （1）将多项式分组为，再进行因式分解，即可求解； （2）将多项式分组为，再进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．（23-24七年级下·浙江金华·阶段检测）在“因式分解探究性学习” 中，甲同学进行了以下因式分解： （分成两组） （直接提公因式） 我们发现，要将多项式分解因式，可以先把它的四项分成两组，分别进行因式分解得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)尝试填空： ； (2)解决问题：已知，求的值； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)三角形是等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了用分组分解法分解因式，熟练掌握分组分解法是解题的关键． （1）利用分组分解法解答即可； （2）利用分组分解法得到，再整体代入即可； （3）利用分组分解法得到，则或，即可得到结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为： （2）， ∵， ∴原式； （3）三角形是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ， ， ∴或， ∴三角形是等腰三角形． 16．（20-21八年级下·江西抚州·期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： （1）分解因式：①； ②； （2）已知的三边满足，试判断的形状． 【答案】（1）①；②；（2）是等腰三角形． 【分析】（1）①将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解； ②将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解； （2）将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2）， ， ， ， ，，是的三边， ， ， ， ， 即是等腰三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：，平方差公式是解题关键． 17．（2023八年级上·全国·专题练习）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止) 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法因式分解； （1）先分组，然后根据提公因式法与平方差公式因式分解即可求解； （2）先分组，然后根据提公因式法以及完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型五 利用拆添项法分解因式（共5小题） 18．（20-21七年级下·浙江宁波·期末）【学习材料】——拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如： 例1  分解因式： 【解析】解：原式= 例2  分解因式： 【解析】解：原式= 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）分解因式：______． （2）运用拆项添项法分解因式：． （3）化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解； （2）根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解； （3）根据题意利用拆项添项法对分式的分子进行因式分解，然后再约分化简． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； （2） ， ， ； （3）∵， ， ， ∴原式． 【点睛】本题考查因式分解，理解题意，并熟练掌握完全平方公式和平方差公式的公式结构是关键． 19．（21-22八年级下·陕西咸阳·期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． 仿照以上方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将原式先变形为，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式． 20．（21-22八年级下·陕西西安·期末）材料：在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．如： ． 先阅读上述材料，再解决下列问题： (1)按照这种方法把多项式分解因式； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过添项求解； （2）通过添项求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是看懂示例，掌握添项的技巧． 21．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般地，我们将形如的多项式叫做完全平方式，有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： 任务一： （1）运用配方法将多项式因式分解； （2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，理解题意，掌握配方法的过程是解题的关键． （1）仿照题意，运用配方法进行因式分解即可； （2）运用配方法将多项式变形为，再根据非负数的性质即可说明； （3）设，则原多项式可化为，再利用配方法进行因式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵， ∴， 即原式的值一定是一个正数； （3）设， 原式 ． 22．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段检测）利用完全平方公式可将二次三项式进行配方，再根据平方差公式因式分解，例如： ．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)根据完全平方公式，将下列式子配方成的形式： ①_________，②_________； (2)利用“配方法”因式分解： ①；②． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】本题考查了多项式的因式分解．利用完全平方公式：配方是解题关键． （1）配方时，先加上的平方，再减去这个平方数；配方时，先加上的平方，再减去这个平方数； （2）①仿照示例利用完全平方公式进行配方变形，即可求解； ②仿照示例利用完全平方公式进行配方变形，即可求解． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①；②； （2）解：① ； ② ． 题型六 利用换元法分解因式（共4小题） 23．（24-25八年级下·江西抚州·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式 将A换元，得原式 请你应用换元法对下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原式化为，分解因式解答即可； （2）设，则原式化为，则，分解因式解答即可． 本题考查了换元法因式分解，熟练掌握换元思想是解题的关键． 【详解】（1）设， 则， 故． （2）解：设，则原式化为，则， 设，则， 故 ． 24．（23-24七年级下·广西北海·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法对多项式进行因式分解． 解：设，则 原式 根据上述材料，请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用换元法进行因式分解即可．掌握换元法，是解题的关键． 【详解】解：设， 将代入，得： ∴原式． 25．（24-25八年级上·江西赣州·阶段检测）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________； A．提取公因式法  B．平方差公式法  C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）仿照材料中求解方法，用换元法进行分解因式． 【详解】（1）解：由可知，小涵运用了完全平方公式法进行因式分解， 故选：C； （2）解：由得，该因式分解的最后结果为， 故答案为：； （3）解：设， 原式 ． 26．（23-24七年级下·广西贺州·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 在因式分解中、多项式中某一部分重复出现时，把这些重复的部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种解题方法称为“换元法”． 下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则 原式  （第一步）   （第二步）   （第三步）   （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小明同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（    ） A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 (2)老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果________； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，掌握换元法因式分解，是解题的关键： （1）利用完全平方公式法因式分解； （2）利用完全平方公式法因式分解即可； （3）设，进行因式分解即可． 【详解】（1）解：，利用了完全平方公式法因式分解； 故选C； （2） （3）设，则： 原式 ． 题型七 因式分解在代数式求值问题中的应用（共4小题） 27．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）阅读材料，解答问题：若，求的值． 解：，即：， ∴，， ∴． 根据你的观察，探究下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可推出，再由非负数的性质可得答案； （2）根据已知条件可推出，再由非负数的性质可得x、y的值，最后代入求值即可； （3）求出，则可得到，即，利用非负数的性质求出b、c的值，进而求出a的值，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．（21-22七年级下·浙江金华·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将因式分解为，然后代入计算即可； （2）根据，，得，再代入计算，最后根据平方根的定义可得答案； （3）根据求得，计算得，继而得到，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， 当时，； 当时，； ∴的值为． 29．（20-21七年级下·广西贵港·期中）根据已知条件，求代数式的值： (1)已知， ，求的值： (2)已知，，求的值． 【答案】(1)144 (2)2 【分析】本题考查的是求代数式的值，因式分解的应用. （1）把化为，再进一步求解即可. （2）由可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ， ∴ ． （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 30．（24-25七年级下·全国·周测）已知，求的值． 解：因为， 所以原式 ． 请你参照以上方法解答下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照例题，可得原式，将，整体代入求解即可； （2）仿照例题，可得原式，将，整体代入求解即可． 本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键． 【详解】（1）解：因为， 所以原式 ． （2）解：因为， 所以原式 ． 题型八 因式分解的应用（整除问题）（共4小题） 31．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）【观察】，，，…… 【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除． 【验证】 （1）若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除； （2）若设这个偶数为，试说明比大3的数与的平方差能否被3整除； 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，掌握平方差公式法进行因式分解，是解题的关键： （1）根据题意，列式计算即可； （2）根据题意，利用平方差公式法进行因式分解即可； （3）根据题意，利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：（1）． ， 所以能被3整除． （2）， 所以能被3整除； （3）设这个数为n，比n大9的数为． ，所以能被9整除． 32．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段检测）已知，n为正整数． (1)求的值． (2)利用因式分解说明：能被24整除． 【答案】(1)25 (2)见解析 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，因式分解，熟知同底数幂乘除法的逆运算法则是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再提取公因数分解因式得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∵是偶数，一定能被24整除， ∴一定能被24整除． 33．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如果一个非零整数a能被3整除，那么就称a是“3倍数”． (1)蛟蛟说“”是“3倍数”，川川说“，也是“3倍数”，请判断谁的说法正确，并说明理由； (2)如果一个正整数是“3倍数”，且各个数位上的数字都不为0，满足千位数字与百位数字的平方差是十位数字的平方，千位数字与十位数字的和为9，请写出满足条件的所有“3倍数”，并说明理由． 【答案】(1)川川的说法正确；理由见解析 (2)满足条件的所有“3倍数”有：5343，5346，5349；理由见解析 【分析】（1）分别求出，的值，即可求解； （2）设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，根据题意可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴“”不是“3倍数”， ∴蛟蛟的说法不正确； ∵， ∴是“3倍数”， ∴川川的说法正确； （2）解：设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c， 由题意得：． ∴， ∴， ∴， ∵的整数，的整数，的整数， ∴b的可能值为3，6，9， ∴或或（不合题意，舍去）． 当时， ∵， ∴． 当时， ∵， ∴（不合题意，舍去）． ∴， ∵这个正整数是“3倍数”，且各个数位上的数字都不为0，“3倍数”的各个数位上的数字之和为3的倍数， ∴满足条件的所有“3倍数”有：5343，5346，5349． 【点睛】本题主要考查了考查因式分解的应用，解答的关键是理解“平方差数”，明确条件与所求的关系． 34．（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中能被整除，能被整除，那么就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． 为正整数，一定能被3整除． 能被8整除，一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若为正整数，下列各数，一定能整除的是__________． A．8   B．10   C．14   D．17 (2)应用：已知是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知是正整数，能被36整除，请直接写出的最小值． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了因式分解的应用（平方差公式、提取公因式法），熟练掌握因式分解的方法并结合整数的性质分析因数是解题的关键． （1）对因式分解，分析其因数，匹配选项； （2）先对用平方差公式因式分解，再化简，分析其是否含24的因数； （3）先因式分解，化简后根据能被36整除的条件，求n的最小值． 【详解】（1）解： ， ∵是正整数，是整数， ∴一定能被14整除， 故答案为：C； （2）解： ， ∵是正整数，和是连续整数， ∴能被2整除， ∴能被整除，即能被24整除； （3）解：， ∵能被36整除， ∴是整数， 即能被3整除， ∵是正整数，和是连续整数， ∴当时，能被3整除， 故的最小值为：2． 题型九 因式分解的应用（判断三角形形状）（共4小题） 35．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）【阅读理解】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式．后两项可提取公因式．前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式 (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题考查分组分解法分解因式，因式分解的应用，等腰三角形的定义． （1）先将三项分一个组，运用完全正确平方公式分解，再运用平方差公式分解即可； （2）先运用因式分解，将等式变形为，从而得出或，再根据等腰三角形的定义，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， 或， 或， ∵a，b，c是的三边， ∴是等腰三角形． 36．（22-23八年级上·山东淄博·期中）阅读下列材料： 常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： 分组 组内分解因式 整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边a、b、c满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见详解 【分析】本题考查分组分解法及三角形形状的判定，正确分组是求解本题的关键． （1）先分组，再用公式分解． （2）先因式分解，再求a,b,c的关系，判断三角形的形状 【详解】（1）解： ； （2）解：为等腰三角形． 理由：∵， ∴， ∴， ∴或， 三边都大于0， ∴． ∴，即， ∴为等腰三角形． 37．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值； (3)的三边满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)为等腰三角形，理由见解析． 【分析】（）利用分组分解法解答即可求解； （）利用分组分解法对代数式因式分解，再把已知条件代入因式分解后的结果中计算即可求解； （）先对移项，再利用分组分解法对左式因式分解，得到，由三角形三边性质可得，即得，据此即可求解； 本题考查了因式分解分组分解法及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解： ， ， ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的三边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 38．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状． （2）若，，是的三边长，且满足，则是什么形状？ 【答案】（1）三角形是等腰三角形；（2）是等边三角形 【分析】本题考查因式分解的应用； （1）把通过因式分解求值即可； （2）通过把配方后根据非负数的性质判断即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴这个三角形是等腰三角形． （2）∵， ∴． ∴， 即． ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形． 题型十 与因式分解有关的新定义问题（共4小题） 39．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，分式的化简求值，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）仿照题干计算即可； （2）仿照题干计算得到，则，则因式分解为，得到，再代入进行分式的求值； （3）先由新定义计算得到，化简因式分解可得，则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ ∴， 即 ∴ （3）解：∵， ， 解得或． 40．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）定义新运算：． 例如：，． (1)计算；计算； (2)已知，，说明：的值与m无关； (3)已知，记，，试比较M，N的大小． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据定义新运算计算即可； （2）由，可得①，②，则①＋②×2得，即可得到结论； （3）先求得，，进一步得到，由得到，，又由即可得到结论． 【详解】（1）解：， ； （2）∵，， ∴，， ∴①，②， ①＋②×2得，， ∴的值与m无关； （3），， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了新定义运算，用到了有理数混合运算、整式的乘法和因式分解等知识点，读懂题意，正确运算是解题的关键． 41．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． (1)若，，求a，b的“和积数”c； (2)若，，求a，b的“和积数”c； (3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 【答案】(1)； (2)或； (3)，有最小值为． 【分析】（1）把，代入c中求值即可； （2）利用完全平方公式求出，得到的值，进而得到c的值； （3）把a，c的值代入，化简得，分和两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴a，b的“和积数”； （2）解：∵，且，， ∴, ∴． ∴或； 即或； （3）解：由题意，， ∵， ， ∴． ①若，式子变为． ∴b为任何数，不存在最小值； ②若，又， ∴， ∴， ∴ ． ∴当时，有最小值为． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用． 42．（23-24七年级下·浙江金华·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________； （2）若可配方成（、为常数），则__________； 【探究问题】 （3）已知，则__________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （5）已知实数、满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）当时，为“完美数”，理由见解析；（5）1 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练的掌握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键． （1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式把左边分解因式，再利用非负数的性质可得答案； （4）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案； （5）由条件可得，再结合非负数的性质可得最小值． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； （4）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数； （5）∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时， 有最小值，最小值为1. 题型十一 利用因式分解解方程（共2小题） 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程： 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用及一元一次方程的求解，先利用平方差公式展开方程中的乘积项，简化计算过程，再通过去括号、合并同类项将原方程转化为简单的一元一次方程，最后求解一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 展开，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 移项，得：， 计算得：， 两边同时除以，得：． 44．（22-23七年级下·全国·课后作业）用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）． 【详解】（1）解： ， 或， 或； （2）解：， ， 或， 或． 【点睛】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键． 题型十二 利用因式分解证明（共4小题） 45．（2024·浙江·一模）观察前后两个差为4的整数的平方差： ①；②；③；…… (1)写出第n个等式，并进行证明． (2)问是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)可以，和 【分析】本题考查了整式的规律探究，平方差公式，一元一次方程的应用．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由，可得；由，可得；由，可得；……可推导一般性规律为：第n个等式是：；根据左边右边证明即可． （2）令，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由，可得； 由，可得； 由，可得；…… ∴可推导一般性规律为：第n个等式是：； 证明：左边右边． （2）解：令， 解得，， ∴． 答：存在整数和，使写成两个差为4的整数的平方差． 46．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列等式 ①； ②； ③； …… (1)请按以上规律写出第4个等式：_____． (2)猜想写出第个等式：_____，并证明猜想的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题意可得答案； （2）观察可知连续的两个偶数的平方差（大数减小数）等于这两个数的平均数的4倍，据此写出第n个等式，再利用平方差公式证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，第4个等式为； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知第个等式为， 证明如下： ， ∴第个等式为． 47．（2025·河北张家口·二模）数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式： ； ． (1)比较M，N的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（1）利用作差法比较M，N的大小； （2）直接列式计算，并将结果化为完全平方形式进行判断． 本题主要考查了整式的运算．核心素养表现为运算能力和推理能力． 【详解】（1）解： ． ； （2）证明： ， 不可能小于0． 48．（24-25八年级上·山东淄博·期中）【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查分解因式的应用，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用十字相乘法因式分解得出，再将A还原即可； （2）设，则原式，再利用完全平方公式变形，将B还原即可； （3）先计算，同理（2）计算即可． 【详解】（1）解：设， 原式， ． （2）解：设， 原式 ， ； （3）证明：原式 设， 原式， ．     为正整数， 为正整数． 代数的值一定是某个整数的平方． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $