江苏南通市如皋市长江高级中学2025-2026学年高一下学期数学冲刺期末小题练习1

**基本信息** 聚焦高一数学期末核心模块，以三角、空间几何为主，覆盖向量、统计等高频考点，题型典型，注重知识内在逻辑与应用能力，体现空间观念、推理能力与数据意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角与三角函数|5题（4,6,10,11,13）|三角公式应用、解三角形、函数最值|从三角恒等变换推导到解三角形实际应用，形成“公式-推理-建模”逻辑链| |空间几何|5题（3,5,8,9,12）|体积计算、线面关系、外接球|以空间想象为基础，结合线面平行性质与体积分割法，构建“空间直观-位置关系-度量计算”体系| |向量|1题（7）|向量运算与夹角|围绕向量数量积展开，关联投影与单位向量概念，体现代数与几何融合| |统计|1题（2）|分层抽样计算|基于样本比例关系，强化数据处理与样本估计总体思想|

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期末小题练习1 1.已知复数，则（   ） A． B． C． D． 2.为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染该种病毒的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4∶3∶3∶2.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，已知样本中O型血的人数比AB型血的人数多20，则n＝(　　) A.100 B.120 C.200 D.240 3.点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 5.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形是边长为4的正方形，且，均为等边三角形，，，则该木楔的体积为（    ） A． B． C． D． 6.已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7.（多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A． B．与同向的单位向量为 C．在上的投影向量为 D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 8.（多选）如图，在直三棱柱中，为的中点，则（   ） A． B．三棱锥的体积为 C．直线与所成角的余弦值为 D．三棱柱的外接球的表面积为 9.若长方体的长，宽，高的长分别为3，4，5，则此长方体的外接球直径长为　　　　.  10.在中，角的对边分别是，若，则__________． 11.函数的最小值是___________． 12.如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，__________.    13.如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，则从建筑物的顶端A看建筑物的张角的大小为_____． 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期末小题练习1解析版 1.已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以. 2.为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染该种病毒的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4∶3∶3∶2.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，已知样本中O型血的人数比AB型血的人数多20，则n＝(　　) A.100 B.120 C.200 D.240 答案　B 解析　因为感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4∶3∶3∶2， 所以抽取容量为n的样本中， O型血的人数为，AB型血的人数为， 所以－＝20，解得n＝120. 3.点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以， 故选：D. 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由. 又. 所以. 5.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形是边长为4的正方形，且，均为等边三角形，，，则该木楔的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接， 则由题意等腰梯形全等于等腰梯形， 则. 取的中点O，连接，因为，所以， 则， ∴. 因为，，所以，因为四边形为正方形， 所以，又因为，平面，所以平面， 所以平面，同理可证平面， ∴多面体的体积 ， 故选：D. 6.已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ，所以，故选：A． 7.（多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A． B．与同向的单位向量为 C．在上的投影向量为 D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【详解】对于，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确； 对于在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误． 故选：AB. 8.（多选）如图，在直三棱柱中，为的中点，则（   ） A． B．三棱锥的体积为 C．直线与所成角的余弦值为 D．三棱柱的外接球的表面积为 【详解】在直三棱柱中，有，，， 因为，为的中点， 所以，， 又，所以，， 则，从而与不垂直，故A错误； 如图，设，分别为，的中点，连接，，，， 因为，，，，与交于点， 所以平面， 则，故B正确； 因为、为、的中点，四边形为矩形， 所以，则与所成的角为， 由，， 得，故C正确； 由直三棱柱，，， 则三棱柱的外接球球心为中点，直径为， 故三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球， 该外接球的直径为， 则三棱锥的外接球的表面积为，故D错误． 故选：BC． 9.若长方体的长，宽，高的长分别为3，4，5，则此长方体的外接球直径长为　　　　.  答案：5 10.在中，角的对边分别是，若，则__________． 【详解】因为，由正弦定理，可得， 所以，又因为，所以， 所以，又由正弦定理，可得，即， 因为，所以． 11.函数的最小值是___________． 【详解】， 当时，函数有最小值. 12.如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，__________.    【详解】如图，连结，交于点，连结， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 因为，且，所以，即， 所以， 所以.    故答案为：. 13.如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，则从建筑物的顶端A看建筑物的张角的大小为_____． 【详解】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为， 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $