第25章  一元二次方程-2026-2027学年九年级数学上册练培优（人教版）

第25章一元二次方程 25.1直接开平方法 1、已知方程(x2+y2-1)2=16,则x2+y2的值为 b 2、若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4,则二的值为一。 3、新趋势，下列是小明解方程(x一1)2=4(x一9)2的过程。 解：x一1=2(x一9)，…第一步 X-1=2x-18,…第二步 解得X=17。…第三步 (1)以上解方程的过程中从第 步开始出现错误，错误的原因是 (2)写出正确的解答过程。 3/68 第25章一元二次方程 25.2配方法 1、[2026邢台期中]已知方程x2一4x+1=★，等号右侧的数印刷不清楚。若可以将其配 方成(x-m)=5的形式，则印刷不清楚的数是() A.-3 B.-2 C.3 D.2 2、[2025滨州二模]对于实数a,b定义一种新运算“+”如下：a*b=ab2-ab。例如4*3= 4×32-4×3=24,则关于x的方程1*x=2的解为。 3、[2026中山期中]若方程2x2-4x-10=0能配成(x+p)2=q的形式，则直线y= px+q不经过第 象限。 4、[2026天津月考]若方程x2-4104676=0的两根为士2026， 则方程x2-2x-4104675=0的两根为一。 5、用配方法解下列方程： (1)(2x-3)(2x-1)=5; (2)(2x-1)2=4x+9。 6、[2025广州期末]《代数学》中记载，形如x2+8x=33的方程，可用几何方法求其正数 解：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的长方 形，得到大正方形的面积为33+16=49，即(x+4)2=49,则该方程的正数解为7-4=3。 小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m=0时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分 的面积为50，则该方程的正数解为（) A.6 B5vg-是 x2 +x+5H C.5v3-2 D.5V3-5 图1 图2 4/68 第25章一元二次方程 7、利用配方法求二次三项式的最值 (1)当x=时，代数式2x-1)2+33取得最（填“大”或“小”）值，为一 (2)当x=时，代数式-2x2+4x+33取得最（填“大”或“小”）值，为 (3)已知实数x,y均满足x-y2=1,求代数式x2+2y2-4x+5的最小值。 5/68 第25章一元二次方程 25.3公式法 1、[2025内江中考]对于实数a,b定义运算“☒”为a⑧b=b2-ab,例如：3⑧2=22- 3×2=-2,则关于x的方程(k一3)☒x=k一1的根的情况，下列说法正确的是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2、[2026南京期中]对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0)，给 出下列条件：(1)ac<0;(2)abc>0;(3)2a-b+c=0。若只添加一个条件就可以判定方 程有实数根，则所有正确条件的序号是（) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 3、[2025广东]已知关于x的一元二次方程ax2-2(a-2)x+a-4=0(a>0),设方程的两 个实数根分别为x1,x2（其中x1>x2),若y是关于a的函数，且y=x1-ax2(y>0),则（) A.0<a<3 B.0<a<5 C.a>3 D.a>5 4、[2026海淀期中]已知关于x的一元二次方程x2+mx+m-1=0 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根。 (2)若方程有一个根大于3，求m的取值范围。 6/68 第25章一元二次方程 5、[2025珠海联考]已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0, 其中a,b,c分别为△ABC三边的长。 (1)如果x=一1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由。 6、定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为“全整根方程”， 代数式4ac-b2 的值为该“全整根方程"的“最值码”，用Q(α，b,c)表示， 4a 即Q(a,b,c)=4ac-b2 4a (1)“全整根方程”x2一3x+2=0的“最值码”是 (2)关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2-2m-3=0（m为整数，且4<m<15) 是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”。 7/68 第25章一元二次方程 25.4因式分解法 1、[2026咸阳月考]如图，在菱形ABCD中，对角线AC的长是方程 x2一7x=0的一个根，对角线BD的长为4，则菱形ABCD的面积为（) A.28 B.24 C.18 D.14 2、[2026武汉月考]关于x的方程x2-2mx+m2-4=0的两个根x1,x2满足x1=2x2+1, 且x1>x2,则m的值为（) A.-2 B.2 C.3 D.5 3、[2026福州期中]将关于x的一元二次方程x2-px+q=0变形为x2=px-q,就可以 将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3=x·x2=x(px-q)=·, 这种方法称为“降次法”。根据“降次法”，若x2-x-1=0,且x>0,则x4-2x3-x 的值为（) A.1-V5 B.-1-V5 C.1+5 D.-1+V5 4、用因式分解法解方程x2+px一6=0，将左边分解因式后有一个因式是x-3,则p的值是 5、一题多解，若关于x的方程x2-2px+3q=0的两根分别是-3和5，则多项式2x2- 4px+6q可以分解为。 6、阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一转化， 把未知转化为已知。用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程。例如，一元三次 方程x3-2x2-3x=0通过因式分解可以把它转化为x(x2-2x-3)=0,解方程x=0和 x2-2x-3=0,可得方程的解。 (1)方程x3-2x2-3x=0的解是 (2)求方程x3=6x2+16x的解； (3)求方程V2x3-6x+3=x-1的解。 8/68 第25章一元二次方程 7、利用“十字相乘法”解一元二次方程 【阅读材料】解方程x2+2x一35=0，我们可以按下面的方法解答： (1)分解因式x2+2x-35. ①分解二次项与常数项：x2=x·x,-35=（+7)×(-5). >-5x+7x=2x ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式：x2+2x-35=(x+7)(x-5),这种分解因式的方法称为“十字相乘法” (2)若ab=0,则a=0或b=0 (3)故此方程可以这样写出求解过程： x2+2x-35=0,左边分解因式，得(x+7)(x-5)=0,·.原方程的解为x1=-7,x2=5 【解决问题】试用上述方法和原理解决下列问题： (1)二次项系数为1 ①x2-10x+21=0;②x2+5x+4=0;③x2-6x-7=0。 (2)二次项系数不为1：2x2+x-10=0。 (3)整体思想：(2y-1)2-8(2y-1)+12=0。 (4)求字母的值：已知关于x的方程3x2-(a-3)x-a=0(a>0),若方程有一个根大于2， 求a的取值范围。 (5)求分式的值：已知x≠0，且x2-xy-y2=0,求兰的值。 9/68 第25章一元二次方程 25.5一元二次方程的根与系数的关系 1、[2026天津期未]若关于x的一元二次方程x2-mx-n=0的两个实数根都是正数，则 点(m,n)在平面直角坐标系中位于（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2、[2025绥化中考]小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中 写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数， 因而得到方程的两个根是-2和-5。则原来的方程是（) A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 3、[2025成都中考]若m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根，则m+(n-2)2 的值为 4、[2026浦东月考]若a,b是关于x的方程x2+x+m2+2m-1=0的两个实数根，且a2- b+2m=1,则m=—。 6九江月考已知关于x的方程kx2+(k+1)x+片=0有 (1)求k的取值范围。 (2)是否存在实数k,使方程两实数根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说 明理由。 10/68 第25章一元二次方程 6、[2026上海期中]我们知道若x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，则我 们可以把该方程写为a(x-x1)(x-x2)=0，,展开后得ax2-a(x1+x2)x+ax1x2=0,比较 两个方程的对应系数，不难发现b=-a(x1十x2),c=Qx1x2·由此我们也能得到一元二次 b 方程的根与系数的关系：为+为=一a,x1=。: (1)利用材料推导一元三次方程的根与系数的关系。 若x1,x2,x3是方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个实数根，则1+x2+x3=一， X1X2+X2X3+X3X1=,X1X2X3=-0 (2)若一元三次方程x3-x2-3x-10=0的三个实数根分别为，B,Y,且μ=-+B+Y。 ①试说明μ+2a=1; ②直接写出一个新的一元三次方程且使得该方程的三个实数根分别为-a十B+Y,a-阝+Y, a+B-Y。 11/68 第25章一元二次方程 25.6几何图形问题 1、「2026准安期中]某校组织校园足球联赛，某班级在联赛中的胜场数是一个两位数，且这个 两位数的个位上的数字与十位上的数字之和为5，且胜场数比它个位上的数字的平方小2，则 该班级在联赛中的胜场数为。 2、如图，为便于游客在一块长为40米，宽为30米的矩形荷花池里近距离观赏荷花，公园 管理处拟修建等宽的观景廊桥，若要使得能观赏（观景廊桥下的荷花都按不能观赏计）的荷花 面积不少于1064平方米，则修建时观景廊桥宽度最大只能是米。 3、2026武汉联考1综合与实践一一 用矩形硬纸片制作无盖纸盒。如图1，有一张长30cm, 宽16cm的长方形硬纸片，剪去角上同样大小的四个小正方形之后，折成如图2所示的无 盖纸盒。（硬纸片厚度忽略不计) (1)若纸盒的底面积为240cm2,求剪去的小正方形的边长。 (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的小正方形（阴影部分）， 经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒。若折成的 有盖长方体纸盒的表面积为412cm2,求剪去的小正方形的边长。 图2 图3 4、无门围墙问题，如图，要利用一面墙（墙长25)建羊圈， 用100m的围栏围成总面积为400m2的三个大小相同的矩形羊圈， 则羊圈的边长AB为m。 12/68 第25章一元二次方程 5、单门围墙问题，如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m) 的矩形鸭舍，其面积为152，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成)， 则BC长为m。 第5题图 B 第6题图B 6、双门围墙问题，小明发现某农场有一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22， 养鸡场的面积是160m2。为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如 图所示，围成养鸡场的板材共用去40，在板材上有两处各开了一扇宽为2m的门，养鸡 场的面积不变，则重建后的养鸡场的宽AB为 7、一题练透利用方程解决动点问题 如图，在矩形ABCD中，AB=15cm,AD=5cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发，点P沿AB 以3cm/s的速度向点B移动，到点B停止移动，点Q沿CD以2cm/s的速度向点D移动（点P 停止移动时，点Q也停止移动)。设移动时间为s。 (1)当t为何值时，P,Q两点间的距离为15cm? (2)当t为何值时，四边形PBCQ的面积为30cm2? (3)四边形APQD的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由。 (4)当△BPQ为等腰三角形时，求出t的值。 (⑤)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得LPQB=90?若存在，求出t的值；若不存在， 请说明理由。 13/68 第25章一元二次方程 25.7循环问题与销售问题 1、「2026鹿邑月考]某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各 比赛1场)。下面是小米和小诚对比赛总场数的统计。 小米：我发现本次比赛一共进行了32场。 小诚：你说得不对，按这个赛制不应该进行了32场。 (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明。 (2)赛后经查询，小米的统计正确。因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，求原 来有多少人参加比赛。 2、「2025辽宁中考1某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件)与每件售价x (元)满足一次函数关系，部分数据如下表所示。 每件售价x/元 45 55 65 日销售量y/件 55 45 35 (1)求y与x之间的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围） (2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由。 14/68 第25章一元二次方程 3、应用意识【问题提出】科技改变生活，某中学响应教育局“打造数字化教学”的号召，鼓 励学生进行周末劳动实践经验线上交流，九年级一班的全体同学在家务劳动的同时，全班每两 个同学都通过一次视频电话，互相交流，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话， 如何求全班50名同学共通过多少次电话呢？ 【模型构建】用点M1,M2,M3,,M50分别表示第1,2,3，，50名同学，把该班级人 数n与视频通话次数S之间的关系用如图模型表示。 M.MM M,M n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 S=1 S=3 S=6 S=10 S=7 【问题解决】 (1)通过探索发现，视频通话次数S与该班级人数n之间的关系式为 (2)如图中第5个图中S的值为，则当n=50时，对应的S= (3)若该班全体女生相互之间共通话190次，求该班共有多少名女生。 【问题拓展】 (4)若该班数学兴趣小组的同学，每两位同学之间互发一条微信，小明统计全组共发送微信 110条，求该班数学兴趣小组共有多少人。 15/68第25章一元二次方程 25.1直接开平方法 1、已知方程(x2+y2-1)2=16,则x2+y2的值为 答案：5 解析：将方程(x2+y2-1)2=16的两边直接开平方，得x2+y2-1=±4，即x2+y2=5 或x2+y2=-3。x2+y2≥0，x2+y2的值为5。 2、若-元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4,则台的值为 答案：4 b 解析：解方程ax2=b(ab>0),得x=± 两个根互为相反数， a m+1+2m-4=0,解得m=1,m+1=2,2m-4=-2,即x=±2。 由a=b得2一合后(+2-4 3、新趋势，下列是小明解方程(x-1)2=4(x-9)2的过程。 解：x-1=2(x-9),…第一步 X一1=2X-18,…第二步 解得X=17。…第三步 (1)以上解方程的过程中从第 步开始出现错误，错误的原因是 (2)写出正确的解答过程。 答案：(1)一；开平方时忽略平方根有两个 (2)两边直接开平方，得x-1=±2(x-9),·x-1=2(x-9)或x-1=-2(x-9), 19 解得x1=17,2=3。 3/129 第25章一元二次方程 25.2配方法 1、[2026邢台期中]已知方程x2一4x+1=★，等号右侧的数印刷不清楚。若可以将其配 方成(x-m)2=5的形式，则印刷不清楚的数是() A.-3 B.-2 C.3 D.2 答案：D 解析： 通解（倒推）：(x-m)2=5变形，得x2-2mx+m2=5, 由题意得-2m=-4,解得m=2, .x2-4x+22=5,即x2-4x+1=2,印刷不清楚的数是2。 另解（正推）：设印刷不清楚的数是a,则x2-4x+1=a, 移项得x2-4x=a-1,配方得(x-2)2=a+3,则a+3=5,解得a=2。 2、[2025滨州二模]对于实数a,b定义一种新运算“+”如下：a*b=ab2一ab。例如4*3= 4×32-4×3=24,则关于x的方程1*x=2的解为 答案：x1=2,2=-1 解析：a*b=ab2-ab,1*x=2可变为x2-x=2, 配方得女》-、解得-2,6-一1。 3、[2026中山期中]若方程2x2-4x-10=0能配成(x+p)2=q的形式，则直线y= px+q不经过第 象限。 答案：三 解析：2x2-4x-10=0化简为x2-2x-5=0, 移项得x2-2x=5,配方得x2-2x+1=6,即(x-1)2=6, ·p=-1,q=6,直线解析式为y=-x+6, 该直线经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限。 4、[2026天津月考]若方程x2-4104676=0的两根为+2026，则方程 x2-2x-4104675=0的两根为 _0 4/129 第25章一元二次方程 答案：x1=2027,x2=-2025 解析：x2-2x-4104675=0移项得x2-2x=4104675, 配方得x2-2x+1=4104676,即(x-1)2=4104676, :x2-4104676=0的两根为±2026，·x-1=±2026，解得x1=2027,x2=-2025。 5、用配方法解下列方程： (1)(2x-3)(2x-1)=5; (2）(2x-1)2=4x+9。 答案与解析： (1)x1=1+ ,为-1-6 6 。(②)x1=1+V3,x2=1-5。 6、[2025广州期末]《代数学》中记载，形如x2+8x=33的方程，可用几何方法求其正数 解：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的长方 形，得到大正方形的面积为33+16=49，即(x+4)2=49,则该方程的正数解为7一4=3。 小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m=0时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分 的面积为50，则该方程的正数解为（) A.6 B.5N3- 3 C.5v3-2 D.5v3-5 +x5 图1 图2 答案：D 解析：大正方形的面积为50+（兮）2×4=75， “(x+5)2=75,该方程的正数解为V75-5=5v3-5。 7、利用配方法求二次三项式的最值 (1)当x=时，代数式2(x-1)2+33取得最（填“大”或“小”）值，为一； (2)当x=时，代数式-2x2+4x+33取得最（填“大”或“小”）值，为 (3)已知实数x,y均满足x一y2=1,求代数式x2+2y2-4x+5的最小值。 5/129 第25章一元二次方程 答案与解析： (1)1;小；33 (2)1;大；35 解析：-2x2+4x+33=-2(x2-2x)+33=-2(x-1)2+35, :(x-1)2≥0，-2(x-1)2≤0，÷-2(x-1)2+35≤35， 当x=1时，代数式取得最大值35。 (3)x-y2=1,y2=x-1≥0，x≥1， x2+2y2-4x+5=x2+2(x-1)-4x+5=x2-2x+3=(x-1)2+2, :x≥1，·当x=1时，代数式取得最小值2。 6/129 第25章一元二次方程 25.3公式法 1、[2025内江中考]对于实数a,b定义运算“☒”为a⑧b=b2-ab,例如：3⑧2=22- 3×2=-2,则关于x的方程(k一3)☒x=k一1的根的情况，下列说法正确的是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 答案：A 解析：(k-3)☒x=k-1,x2-(k-3)x=k-1, 整理得x2-(k-3)x-k+1=0,△=[-(k-3)]2-4×1×(-k+1)=(k-1)2+4>0, “方程有两个不相等的实数根。 2、[2026南京期中]对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0)，给 出下列条件：(1)ac<0;(2)abc>0;(3)2a-b+c=0。若只添加一个条件就可以判定方 程有实数根，则所有正确条件的序号是（) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 答案：B 解析：一元二次方程有实数根的条件是△=b2-4ac≥0。 ①ac<0,则-4ac>0,又b2≥0，.△>0，方程有实数根； ②abc>0,举反例：a=1,b=1,c=1,△=1-4=-3<0，无实数根； ③2a-b+c=0,则b=2a+c,△=(2a+c)2-4ac=4a2+c2>0,方程有实数根。 综上，正确序号为①③。 3、[2025广东]已知关于x的一元二次方程ax2-2(a-2)x+a-4=0(a>0),设方程的两 个实数根分别为x1,x2（其中x1>x2),若y是关于a的函数，且y=x1-ax2y>0),则（) A.0<a<3 B.0<a<5 C.a>3 D.a>5 答案：B 解析：由求根公式行-2十4,1或：1-专 a Q>0,x1>名，x1=1,2=1-4, Γa' 7/129 第25章一元二次方程 y=x1-ax2=1-a1-月=5-a>0,解得a<5,又a>0,0<a<5. 4、[2026海淀期中]已知关于x的一元二次方程x2+mx+m-1=0 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根。 (2)若方程有一个根大于3，求m的取值范围。 答案与解析： (1)△=m2-4×1×(m-1)=m2-4m+4=(m-2)2≥0， ·.无论m为何值，方程总有实数根。 (2由①知△=m-22,x=-m±m-2引，解得飞1=-1，=1-m 2 方程有一个根大于3,1-m>3,解得m<-2。 5、[2025珠海联考]已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c 分别为△ABC三边的长。 (1)如果x=一1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由。 答案与解析： (1)△ABC是等腰三角形。 理由：x=-1是方程的根，代入得(a+c)-2b+(a-c)=0, 整理得2a-2b=0,即a=b,△ABC是等腰三角形。 (2)△ABC是直角三角形。 理由：方程有两个相等的实数根，·.△=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0, 整理得4b2-4a2+4c2=0,即a2=b2+c2,÷△ABC是直角三角形。 6、定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为“全整根方程”， 代数式4ac-b2 的值为该“全整根方程”的“最值码”，用Q(α，b,c)表示， 即Q(a,b,c)=- 4ac-b2 4a° 8/129 第25章一元二次方程 (1)“全整根方程”x2一3x+2=0的“最值码”是一； (2)关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2-2m-3=0（m为整数，且4<m<15) 是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”。 答案与解析： (①)a=1,b=-3,c=2,Q(1,-32)=4×1×2-（-32-1 4×1 。 (2)△=(2m-1)2-4(m2-2m-3)=4m+13, :方程是“全整根方程”，·4m+13是完全平方数， 又4<m<15,m为整数，.29<4m+13<73, 符合条件的完全平方数为49，即4m+13=49,解得m=9, 此时方程为2-17x+60=0,Q(1,-17,60)=4×1×60-（-17)249 9/129 第25章一元二次方程 25.4因式分解法 1、[2026咸阳月考]如图，在菱形ABCD中，对角线AC的长是方程x2-7x=0的一个根， 对角线BD的长为4，则菱形ABCD的面积为() A.28 B.24 C.18 D.14 D 答案：D 解析：x2-7x=0因式分解得x(x-7)=0,解得x1=0,x2=7,AC>0,.AC=7, 菱形面积5-×4C×BD-方×7×4=14： 2、[2026武汉月考]关于x的方程x2-2mx+m2-4=0的两个根x1,x2满足x1=2x2+1, 且x1>x2,则m的值为（) A.-2 B.2 C.3 D.5 答案：D 解析：方程变形为(x-m)2-4=0,因式分解得(x-m+2)(x-m-2)=0, x1=m+2,x2=m-2,代入x1=2x2+1得m+2=2(m-2)+1,解得m=5。 3、[2026福州期中]将关于x的一元二次方程x2-px+q=0变形为x2=px-q,就可以 将x表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3=x·x2=x(px-q)=…, 这种方法称为“降次法”。根据“降次法”，若x2-x-1=0,且x>0,则x4-2x3-x 的值为() A.1-V5 B.-1-vV5 C.1+5 D.-1+V5 答案：B 解析：x2-x-1=0,x2=x+1,x3=xx2=x(x+1)=2x+1,x4=x·x3=3x+2, x4-2x3-x=(3x+2)-2(2x+1)-x=-2x, 解方程10得x去5,0，小-1 2-，-2x=-1-V5。 10/129 第25章一元二次方程 4、用因式分解法解方程x2+px一6=0，将左边分解因式后有一个因式是x一3，则p的值是 o 答案：-1 解析：设x2+px-6=(x-3)(x+a),展开得x2+px-6=x2+(a-3)x-3a, -6=-3a,解得a=2,.p=a-3=-1。 5、一题多解，若关于x的方程x2-2px+3q=0的两根分别是-3和5，则多项式2x2- 4px+6q可以分解为 0 答案：2(x+3)(x-5) 解析：由题意得x2-2px+3g=(x+3)(x-5), ·2x2-4px+6q=2(x2-2px+3q)=2(x+3)(x-5)。 6、阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一 转化， 把未知转化为已知。用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程。例如，一元三次 方程x3-2x2-3x=0通过因式分解可以把它转化为x(x2-2x-3)=0,解方程x=0和 x2-2x-3=0,可得方程的解。 (1)方程x3-2x2-3x=0的解是 (2)求方程x3=6x2+16x的解； (3)求方程V√2x3-6x+3=x-1的解。 答案与解析： (1)x1=0,x2=3,x3=-1 解析：x(x2-2x-3)=0,即x(x-3)(x+1)=0,解得x1=0,x2=3,x3=-1。 (2)x3-6x2-16x=0,因式分解得x(x2-6x-16)=0, x=0或x2-6x-16=0,解方程x2-6x-16=0得x=8或x=-2, 综上，x1=0,x2=8,x3=-2。 (3)两边平方得2x3-6x+3=(x-1)2, 整理得2x3-x2-4x+2=0,因式分解得(2x-1)(x2-2)=0, 解得x1=V2,x2=-V2,x3=,:V2x3-6x+3=x-1≥0，“x=V2。 11/129 第25章一元二次方程 7、利用“十字相乘法”解一元二次方程 【阅读材料】解方程x2+2x一35=0，我们可以按下面的方法解答： (1)分解因式x2+2x-35. ①分解二次项与常数项：x2=x·x,-35=(+7)×(-5). +7 >-5x+7x=2x ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式：x2+2x-35=(x+7)(x-5) 这种分解因式的方法称为“十字相乘法”· (2)若ab=0,则a=0或b=0. (3)故此方程可以这样写出求解过程： x2+2x-35=0,左边分解因式，得(x+7)(x-5)=0,·原方程的解为x1=-7,x2=5 【解决问题】试用上述方法和原理解决下列问题： (1)二次项系数为1 ①x2-10x+21=0;②x2+5x+4=0;③x2-6x-7=0。 (2)二次项系数不为1：2x2+x-10=0。 (3)整体思想：(2y-1)2-8(2y-1)+12=0。 (4)求字母的值：已知关于x的方程3x2-(a-3)x-a=0(a>0),若方程有一个根大于2， 求a的取值范围。 (⑤)求分式的值：已知x≠0，且2-y-62=0,求兰的值。 答案与解析： (1)①x1=3,x2=7;②x1=-1,x2=-4;③x1=7,x2=-1。 5 (2)(2x+5x-2)=0,“x1=-2,x2=2。 3 (3)(2y-1-2)(2y-1-6)=0,即(2y-3)(2y-7)=0,·y1=2,2=2· (4)因式分解得(3x-)x+1)=0,“x1=3,2=-1, :有-个根大于2，写>2，解得a>6。 或 (⑤)因式分解得(x-3y)x+2y=0,“x=3y或x=-2y,y= 12/129 第25章一元二次方程 25.5一元二次方程的根与系数的关系 1、[2026天津期未]若关于x的一元二次方程x2-mx-n=0的两个实数根都是正数，则 点(m,n)在平面直角坐标系中位于（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：D 解析：设两根为x1,x2,x1>0,x2>0,由根与系数关系得x1+x2=m>0, x1x2=-n>0,m>0,n<0,点(m,n)在第四象限。 2、[2025绥化中考]小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中 写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数， 因而得到方程的两个根是-2和-5。则原来的方程是（) A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 答案：B 解析：设原方程为x2+bx+c=0,小影写错常数项，-b=6+1=7,即b=-7; 小冬写错一次项系数，·c=(-2)×(-5)=10,.原方程为x2-7x+10=0。 3、[2025成都中考]若m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根，则m+(n-2)2 的值为 答案：7 解析：由题意得m+n=5,n2-5n+2=0,即n2=5n-2, m+(n-2)2=m+n2-4n+4=m+5n-2-4n+4=m+n+2=5+2=7。 4、[2026浦东月考]若a,b是关于x的方程x2+x+m2+2m-1=0的两个实数根，且a2- b+2m=1,则m=一。 答案：-1 解析：由题意得a2+a=-m2-2m+1,a+b=-1,a2-b+2m=1,a2+a-(a+十 b)+2m=1,代入得-m2-2m+1+1+2m=1,整理得m2=1,解得m=+1, 当m=1时，方程无实数根，舍去；当m=一1时，方程有实数根，“m=-1。 13/129 第25章一元二次方程 ⑤[2026九江月考]已知关于x的方程kx2+(k+1)x+=0有实数根 (1)求的取值范围。 (2)是否存在实数k,使方程两实数根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说 明理由。 答案与解析：(1)当k=0时，方程为x=0,有实数根； 当数0时，△=k+1-4秋年0，解得k之综上，k之 1 2 (②)不存在。理由：设两根为a,b,则a+b=-k+1, 1 k,ab= 1.1a+b =1,即 k+11 ,解得k=一 4 一十 a b ab k=4 41 ”一5<一2不满足k的取值范围，“不存在。 6、[2026上海期中]我们知道若x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，则我 们可以把该方程写为a(x-x1)(x-x2)=0,，展开后得ax2-a(x1+x2)x+ax1x2=0,比较 两个方程的对应系数，不难发现b=-a(x1+x2),c=Qx1x2·由此我们也能得到一元二次 b C 方程的根与系数的关系：十为=一a,x1x2一。 (1)利用材料推导一元三次方程的根与系数的关系。 若x1,x2,3是方程Qx3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个实数根，则x1+x2+x=一， X1X2+X2x3+X3X1=,X1X2X3=一。 (2)若一元三次方程x3-x2-3x-10=0的三个实数根分别为a,B,Y,且l=-a+B+Y。 ①试说明l+2a=1; ②直接写出一个新的一元三次方程且使得该方程的三个实数根分别为一+B+Y,α一阝+Y, a+β-yo 答案与解析： b c d (1)-aa a 解析：方程可写为a(x-x1)(x-x2)(x-x)=0,展开对比系数得结果。 (2)①ax+B+Y=1,u=-a+B+Y,μ+2a=+B+y=1。 ②x3-x2-13x+93=0 14/129 第25章一元二次方程 25.6几何图形问题 1、「2026准安期中]某校组织校园足球联赛，某班级在联赛中的胜场数是一个两位数，且这个 两位数的个位上的数字与十位上的数字之和为5，且胜场数比它个位上的数字的平方小2，则 该班级在联赛中的胜场数为。 答案：14 解析：设该班级在联赛中的胜场数的十位上的数字为x,则个位上的数字为5一x。 由题意，得10x+5-x=(5-x)2-2,整理，得x2-19x+18=0, 解得x1=1,x2=18(不符合题意，舍去)，所以5-x=4, 所以该班级在联赛中的胜场数为1×10+4=14。 2、如图，为便于游客在一块长为40米，宽为30米的矩形荷花池里近距离观赏荷花，公园 管理处拟修建等宽的观景廊桥，若要使得能观赏（观景廊桥下的荷花都按不能观赏计）的荷花 面积不少于1064平方米，则修建时观景廊桥宽度最大只能是米。 答案：2 解析：设修建时观景廊桥宽度是x米。由题意，得(40-x)(30-x)=1064, 解得x1=2,x2=68(不符合题意，舍去)， 即若要使得能观赏的荷花面积不少于1064平方米，修建时观景廊桥宽度最大只能是2米。 3、[2026武汉联考1综合与实践一一 用矩形硬纸片制作无盖纸盒。如图1，有一张长30cm, 宽16cm的长方形硬纸片，剪去角上同样大小的四个小正方形之后，折成如图2所示的无 盖纸盒。（硬纸片厚度忽略不计） X 图1 图2 图3 (1)若纸盒的底面积为240cm,求剪去的小正方形的边长。 15/129 第25章一元二次方程 答案：剪去的小正方形的边长为3cm 解析：设剪去的小正方形的边长为xcm,则纸盒底面长方形的长为(30-2x)cm,宽为(16一 2x)cm。 由题意，得(30-2x)(16-2x)=240,解得x1=3,x2=20。 当x=3时，30-2x=24,16-2x=10,符合题意； 当x=20时，30-2x=-10<0,16-2x=-24<0,不符合题意，舍去。 答：剪去的小正方形的边长为3cm。 (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的小正方形（阴影部分）， 经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒。若折成的 有盖长方体纸盒的表面积为412cm2,求剪去的小正方形的边长。 答案：剪去的小正方形的边长为2cm 解析：设剪去的小正方形的边长为acm, 30-2a 30-2a、 由题意，得a(16-2a×2+a(2)×2+(16-2a)×(02)×2=412, 解得a1=2,a2=-17(不符合题意，舍去)。 答：剪去的小正方形的边长为2cm。 4、无门围墙问题，如图，要利用一面墙（墙长25m)建羊圈，用100m的围栏围成总面积 为400m的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB为m。 B 答案：20 解析：设AB的长为xm,则BC的长为(100-4x)m。 根据题意，得(100-4x)x=400,解得x1=20,x2=5。 当x=20时，100-4x=20<25,符合题意； 当x=5时，100-4x=80>25,不符合题意，舍去。 故羊圈的边长AB为20m。 16/129 第25章一元二次方程 5、单门围墙问题，如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m) 的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成)， 则BC长为m。 B 答案：5 解析：设BC=xm,则AB=2(10+1-)m。 根据题意，得(10+1-x)x=15,解得x1=5,x2=6。 6>5.5,5<5.5,且BC的长不超过墙的长度，x=5,即BC=5m。 6、双门围墙问题，小明发现某农场有一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22， 养鸡场的面积是160m。为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如 图所示，围成养鸡场的板材共用去40，在板材上有两处各开了一扇宽为2m的门，养鸡 场的面积不变，则重建后的养鸡场的宽AB为。 答案：8 解析：设AB=xm,则BC=(40+2×2-3x)m。 20 根据题意，得x(40+2×2-3)=160,解得x1=8,2=3· 当x=8时，40+2×2-3x=40+4-24=20<22,符合题意； 2×2-3x=40+4-20=24>22. 故重建后的养鸡场的宽AB为8m。 7、一题练透利用方程解决动点问题 如图，在矩形ABCD中，AB=15cm,AD=5cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发，点P沿AB 以3cm/s的速度向点B移动，到点B停止移动，点Q沿CD以2cm/s的速度向点D移动（点P 停止移动时，点Q也停止移动)。设移动时间为ts。 17/129 第25章一元二次方程 (1)当t为何值时，P,Q两点间的距离为15cm? 0 答案：当t=3-2W2时，P,Q两点间的距离为15cm 解析：过点Q作QE1AB于点E,则PE=|15-5tlcm,QE=5cm, 所以PQ=√PE2+QE2=√(15-5t)2+52(cm), 当PQ=15cm时，V(15-5t)2+52=15,即t2-6t+1=0, 解得t1=3-2V2,t2=3+2W2（舍去)， 故当t=3-2v2时，P,Q两点间的距离为15cm。 (2)当t为何值时，四边形PBCQ的面积为30cm2? 答案：当t=3时，四边形PBCQ的面积为30cm2 解析：由题意得，2×(15-3t+2)×5-30,解得t-3, 故当t=3时，四边形PBCQ的面积为30cm。 (3)四边形APQD的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由。 答案：可能，此时t的值为3 解析：可能。当四边形APQD为矩形时，DQ=AP,则15-2t=3t,解得t=3, 故四边形APQD可能为矩形，此时的值为3。 (4)当△BPQ为等腰三角形时，求出t的值。 答案：的值为15+55、9-不或罗 8 解析：由(1)和题意，知PB2=(15-3t)2,PQ2=(15-5t)2+52,BQ2=(2t)2+52。 当PB=P0时，(15-3)2=(15-50+5，解得=15±5V5 8; 15 当PQ=BQ时，(15-50)2+52=(2t)2+53,解得t1=亏，t=5（舍去)； 当PB=BQ时，(15-3t)2=(2t)2+52,解得t1=9-V41,t2=9+V41（舍去)。 18/129 第25章一元二次方程 故当△BPQ为等腰三角形时，t的值为 5t55.,Vm或5 8 (5)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得LPQB=90°？若存在，求出t的值；若不存在， 请说明理由。 答案：不存在 解析：不存在。理由如下：若∠PQB=90°，则应有PQ2+BQ2=PB2,化简，得2t2-6t+5=0。 因为△=(-6)2-4×2×5=-4<0，所以此方程没有实数根， 所以不存在一个时刻，使得∠PQB=90°。 19/129 第25章一元二次方程 25.7循环问题与销售问题 1、「2026鹿邑月考]某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各 比赛1场)。下面是小米和小诚对比赛总场数的统计。 小米：我发现本次比赛一共进行了32场。 小诚：你说得不对，按这个赛制不应该进行了32场。 (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明。 (2)赛后经查询，小米的统计正确。因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，求原 来有多少人参加比赛。 (1)答案：小诚的说法有道理。 解析：设有x人报名参赛。 1+V2571-V257 由单循环赛制总场数公式得：32，解得：x12一， 2 2 因为x表示参赛人数，必须为正整数，而方程的解均不是整数，不符合实际，所以小诚的说法 有道理。 (2)答案：原来有9人参加比赛。 解析：设原来有x人参加比赛。 一人中途退赛，剩余x一1人完成完整单循环，加上该人已赛4场， 得方程：《-1)-刀+4=32，解得：太1=9，x=6(人数不能为负，舍去) 2 故原来有9人参加比赛。 2、[2025辽宁中考]某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售价x (元)满足一次函数关系，部分数据如下表所示。 每件售价x/元 45 55 65 日销售量y/件 55 45 35 (1)求y与x之间的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围) (2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由。 20/129 第25章一元二次方程 (1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+t(k≠0)。 将(45,55)、(55,45)代入解析式得： (45k+t=55 55k十t=45,解得k1,t=100。 所以y与x之间的函数解析式为y=-x+100。 (2)日销售额=每件售价×日销售量，依题意得：x(-x+100)=2600 整理得：x2-100x+2600=0 判别式△=b2-4ac=(-100)2-4×1×2600=10000-10400=-400<0 所以该一元二次方程无实数根，即日销售额不能达到2600元。 3、应用意识【问题提出】科技改变生活，某中学响应教育局“打造数字化教学”的号召，鼓 励学生进行周末劳动实践经验线上交流，九年级一班的全体同学在家务劳动的同时，全班每两 个同学都通过一次视频电话，互相交流，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话， 如何求全班50名同学共通过多少次电话呢？ 【模型构建】用点M1,M2,M3,,M50分别表示第1,2,3，，50名同学，把该班级人 数n与视频通话次数S之间的关系用如图模型表示。 M.M.M M、M n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 S=1 S=3 S=6 S=10 S=7 【问题解决】 (1)通过探索发现，视频通话次数S与该班级人数之间的关系式为 (2)如图中第5个图中S的值为 ,则当n=50时，对应的S= (3)若该班全体女生相互之间共通话190次，求该班共有多少名女生。 【问题拓展】 (4)若该班数学兴趣小组的同学，每两位同学之间互发一条微信，小明统计全组共发送微信 110条，求该班数学兴趣小组共有多少人。 (1)答案：S=n(n-1) 2 解析：单循环通话次数公式为总人数与人数减一乘积的二分之一。 (2)答案：15；1225 21/129 第25章一元二次方程 解析：当n=5时，s=5×5-D_54-15; 2 当n=50时，S=50×(50-1)_50×4 2 2 =1225。 (3)答案：该班共有20名女生。 解析：设该班共有x名女生。根据单循环通话公式得： (x-1) 2 =190 解得：x1=20,x2=一19（人数不能为负，舍去) 答：该班共有20名女生。 (4)答案：该班数学兴趣小组共有11人。 解析：设该班数学兴趣小组共有人。 每两人互发一条微信，发送总条数为m(m-1),得方程：m(m-1)=110 解得：m1=11,m2=-10(人数不能为负，舍去) 答：该班数学兴趣小组共有11人。 22/129