第二十九章  圆-2026-2027学年九年级数学上册基本功（人教版）

第29章圆 29.1圆的有关概念 知识点1圆的定义 1.【2026绥化期末】车轮为什么都做成圆形？下面解释最合理的是() A.圆形是轴对称图形 B.圆形特别美观大方 C.圆形是曲线图形 D.圆心到圆上任意一点的距离都相等 答案：D 解析：车轮都做成圆形，利用了圆心到圆上任意一点的距离都相等，即车轮在平坦的地面上滚 动时，车轮中心到地面的距离不变，这样车子才会平稳。故选D。 知识点2点和圆的位置关系 2.【2026郑州质检】⊙0的半径为5，圆心0的坐标为(0,0)，点P的坐标为(3,4)，则点 P与⊙0的位置关系是() A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙0外 D.点P在⊙0上或外 答案：B 解析：：点P的坐标为(3,4)，点P到圆心0的距离为V32+42=5。又⊙0的半径为5， “点P在⊙O上，故选B。 3.【2026丹东期末】如图，A,B,C是某社区的三栋楼，若在AC的中点D处建一个5G基 站，其覆盖半径为300，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是() A.A,B,C都不在 B.B C.A,C D.A,B,C 110/169 第29章圆 B 300m 400m 500m 答案：D 解析：AB=300m,BC=400m,AC=500m,AB2+BC2=AC2,△ABC是直角三角形， LABC=90。连接BD。:点D是AC的中点，AD=CD=250m,BD=2AC=250m。 :250<300,这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是A,B,C。故选D。 4.【2026烟台期末】已知点P为平面内一点，若点P到⊙0上的点的最大距离为5，最 小距离为1，则⊙0的半径为 答案：2或3 解析：当点P在圆内时，⊙0的直径为5+1=6，因此半径是3；当点P在圆外时，⊙0 的直径为5-1=4，因此半径是2。所以⊙0的半径为2或3。故答案为2或3。 5.如图，BD,CE是△ABC的高，M为BC的中点。试说明：点B,C,D,E在以点M 为圆心的同一个圆上。 M E B 答案： M 解：如图，连接ME,MD。 :BD,CE是△ABC的高，M为BC的中点， 1 ·ME=MD=MC=MB=5BC, 111/169 第29章圆 “点B,C,D,E在以点M为圆心的同一个圆上。 知识点3与圆有关的概念 6.【2026邯郸期中】下列说法中，正确的有() ①直径是弦，但弦不一定是直径； ②半圆是弧，但弧不一定是半圆； ③半径相等的两个圆是等圆； ④一条弦把圆分成的两条弧中，至少有一条是优弧； ⑤长度相等的两条弧是等弧。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 解析：连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径，直径是圆中最长的弦，直径 是弦，但弦不一定是直径，故①说法正确，符合题意；圆上任意两点间的部分叫作弧，半圆 是弧，但弧不一定是半圆，故②说法正确，符合题意；半径决定圆的大小，半径相等的两个 圆是等圆，故③说法正确，符合题意；弧可以分为劣弧、优弧、半圆三种，当一条弦是直径 时，直径把圆分成两个半圆，既不是优弧也不是劣弧，故④说法不正确，不符合题意；只有 在同圆或等圆中长度相等的两条弧才是等弧，故⑤说法不正确，不符合题意。综上所述，正 确的说法有①②③，共3个，故选C。 7.【2026南京质检】如图，AB是⊙O的直径，半径OC1AB,点D是弧ACB上的动点 (不与A,B,C重合)，DE1OC,DF1AB,垂足分别是E,F,则在点D从B运动到A 的过程中，EF的长度() A.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定 答案：C 112/169 第29章圆 B 解析：连接OD,如图。 :OC1AB,DE⊥OC,DF⊥AB,·∠EOF=∠DEO=∠DFO=90°，四边形DEOF为矩形， EF=OD。:OD是⊙O的半径，长度是定值，·EF的长度不变。故选C。 8.如图，圆O的周长为4π，B是弦CD上任意一点（与C,D不重合），过B作OC的 平行线交OD于点E,则EO+EB的值为_ B 答案：2 解析：圆0的周长为4π，OD=2。:OC=0D,∠C=∠D（等边对等角)。：BE Il OC, ∠EBD=∠C(平行线的性质)，·∠EBD=∠D(等量代换)，·BE=DE(等角对等边)，·EO+ EB=OD=2。故答案为2。 113/169 第29章圆 29.2过三点的圆 知识点1圆的确定 1.【2026大庆期中】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，只用一块 碎片去配镜子，则三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是() A.① B.② c.③ D.均不可能 ② ③ 答案：A 解析：①中有圆的两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交 点就是圆心，进而可得到半径的长。故选A。 2.【2025南京质检】若过平面直角坐标系中的三个点A(1,0),B(0,2),C(-1,m)能确定一个 圆，则m卡 答案：4， 解析：'A(1,0),B(0,2),易得直线AB的解析式为y=-2x+2,当x=-1 时，y=-2×(-1)+2=4,当m≠4时，过平面直角坐标系中的三个点A(1,0),B(0,2),C(- 1,m)能确定一个圆。故答案为4。 3.【2026金华期中】如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A(0,2), B(4,2),C(6,0),解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点坐标为 (2)在(1)的条件下，连接AD,CD,求∠ADC的度数。 6 2 114/169 第29章圆 答案：(1)(2，-2) 解析：(1)如图所示，连接BC,作线段BC的垂直平分线，其与线段AB的垂直平分线的交点即 为点D,由图可知D(2,-2)。故答案为(2，-2)。 (2)如图所示，连接AC 知识点2三角形的外接圆 4.如图，在4×4的正方形网格中，A,B,C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC 的外心可能是() A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点 0 B M 答案：D 解析：由题图可知，△ABC是锐角三角形，∴△ABC的外心只能在其内部，由此排除A、B选 项。连接BP,CP,由勾股定理得，BP=CP=V2≠PA,排除C选项，故选D。 5.【2026绍兴期中】在Rt△ABC中，AB=6,BC=8,那么这个三角形的外接圆半径是() A.5 B.10 C.5或4D.10或8 答案：C 解析：①斜边是BC,即外接圆直径是8，则半径为4；②斜边是AC,即外接圆直径是 √AB2+BC2=V62+82=10,则半径为5。故选C。 115/169 第29章圆 6.【2026平顶山期中】O是等腰三角形ABC的外接圆，圆心O到底边BC的距离为2cm,O的半 径为6cm,则腰AB的长为() A.4v6 cm B.2v26 cm C.2V14cm或2W26cm D.4V6cm或4v3cm 答案：D 解析：连接OA,OB,作OD1BC于D,则可知A,O,D共线。 A -0 如图(1)， OD =2 cm,0A 0B 6 cm,AD =8 cm, BD=√0B2-0D2=V62-22=4V2(cm), AB=VAD2+BD2=J82+(4V2)2=46(cm)。 。0 如图(2) 同(1)得AD=6-2=-4(cm),AB=VAD2+BD2=√4+(4W2)2=4V3(cm)。 综上，腰长AB=4V6cm或4V3cm。故选D。 7.【2026武汉质检】已知锐角△ABC中，AB=5,AC=2V5,高AD=4,能完全覆盖△ABC 的圆的半径的最小值为 5v5 答案： 4 116/169 第29章圆 B 解析： AB=5,AC=2V5,AD=4,BD=BA2-AD2=3,CD=AC2-AD2=2, BC=BD+CD=5,AB=BC=5. 如图，过点B作BM L AC于点M,作AB的垂直平分线，与AB交于点F,与BM交于点O,连接AO, 点0即为△AsC的外接圆圆心，A0-B0,AMB-90,AM-GCM-方AC-V5, BM=VAB2-AM=√53-(52=25。 :(25-A02+(V⑤2=0A3,解得A0=5V5 4。 能完全覆盖△ABC的圆的半径的最小值为5 4。 知识点3反证法 8.要运用反证法证明“若a>b>0,则Va>V”,首先应该假设（) A.Va<Vb B.√a=Vb C.va<Vb D.vasVb 答案：D 解析：要运用反证法证明“若a>b>0,则va>√”，首先应该假设√a<Vb。故选D。 9.【2026闵行区期中】用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为 以下三个步骤，其正确的顺序应为() ①LA+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A=∠B= 90°不成立。 ②所以一个三角形中不能有两个直角。 ③假设三角形的三个内角LA,∠B,∠C中有两个直角，不妨设LA=∠B=90°。 A.①2③ B.①③② c.②③① D.③①② 答案：D 117/169 第29章圆 29.3垂直于弦的直径 知识点1圆的对称性 1.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为() A.2 B.4 C.6 D.8 答案：C,解析：如图，由图可知，该图形有6条对称轴。故选C。 知识点2垂径定理 2.【2026唐山质检】如图，某同学测量一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为5 cm,假设球的截面与水面交于A,B两点，AB=8cm。若从目前所处位置到完全落入水中的 时间为4s,则球体下落的平均速度为() A.0.5 cm/s B.0.75cm/s C.1 cm/s D.2 cm/s 答案：A 解析：如图 设圆心为0，连接0B,过点0作0C1AB,交⊙O于点C,交AB于点D,则0B=OC=5cm, 1 BD=7AB=4cm。在Rt△B0D中，0D=V52-4=3(cm,CD=0C-0D=5-3 2(cm),球体下落的平均速度为2÷4=0.5(cm/s)。故选A。 118/169 第29章圆 3.如图，⊙0的半径为5，弦AB=8,点M是弦AB上的动点，则() A.4≤0M≤5 B.3≤0M<5 C.3<0M≤5 D.3≤0M≤5 0 M 答案：D B 解析： 当点M与点A或点B重合时，OM最大，为5。当0OM1AB时，可得出M为AB的中点， 此时OM最小。连接0A,如图。在Rt△AOM中，OA=5,AM=号AB=4,根据勾股定理得OM= √52-42=3,3≤0M≤5。故选D。 思路分析：当点M与点A或点B重合时，OM最大，当OM1AB时，OM最小，由此即可 求出OM的取值范围。 4.【2026哈尔滨质检】如图，在半径为1的扇形0AB中，∠AOB=90°，点P是弧AB上任 意一点（不与点A,B重合），OC⊥AP,OD1BP,垂足分别为C,D,则CD的长为 答案：9 解析：连接AB,如图。O B 0A=0B=1,∠A0B=90°，÷AB=VOA2+0B2=V2。:0C1AP,0D1BP,AC=PC, V2 DP少，aCD为APAB的中位线，CD三专B号故答案为7 119/169 第29章圆 知识点3垂径定理的推论 5.【2026扬州质检】已知⊙0的半径为5，CD是⊙0的一条弦，E是CD的中点，过点E作 直径AB,若CD=8,则BE的长是() A.8 B.2 C.2或8 D.3或7 答案：C E 解析：当点E在0A上时，如图(1)， 2CD=4,∠0ED=90。 1 连接0D。:E是CD的中点，AB是⊙O的直径，·AB1CD,DE= :0D=0B=5,.0E=√0D2-DE2=V52-42=3,.BE=0E+0B=3+5=8。当点E 0八E B 在0B上时，如图(2)， 连接0D。E是CD的中点，AB是⊙0的直径，“AB1CD,DE=CD=4,六∠0ED=90) :0D=0B=5,.0E=V0D2-DE2=V52-42=3,BE=0B-0E=5-3=2。综上， BE的长为2或8，故选C。 6.【2026荆州期中】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,点B是劣弧CD的中点， 连接AC,AD。 (1)求证：AC=AD。 (2)若∠CAD=60°，⊙0的半径为1，求弦CD的长。 0 120/169 第29章圆 答案： (1)证明：点B是劣弧CD的中点，AB是⊙O的直径，CE=ED,AB1CD,.AC=AD。 (2)解：如图， 连接0C。AC=AD,AE1CD,∠CAD=60°， ∠CAB=2CAD=30,∠AGD=60。:A0=0C, 1 1 ∠0AC=∠0CA=30°，∠0CE=30°。C0=1,·.0E= 0C=2' CE= 12-()= 2,CD=2CE=V3。 7.【2025龙岩期中】在⊙0中，点C为弦AB的中点，过点C的直径交⊙0于点D,E,如 果AB=8cm,OD=5cm,那么CD的长为() A.2 cm B.3 cm C.2cm或8cm D.3cm或8cm 答案：C 解析：当点D在优弧AB上时，如图(1)，连接0B。 D 点C为弦AB的中点，DE是⊙O的直径，AB=8cm,DE1AB,BG三7AB=4cm,又：0B 0D=5cm,÷0C=√0B2-BC2=V52-42=3(cm)。÷CD=0D+0C=5+3=8(cm) 当点D在劣弧AB上时，如图(2)， 同理，CD=0D-OC=5-3=2(cm)。综上，CD的长为2cm或8cm,故选C。 121/169 第29章圆 29.4圆心角 知识点1圆心角的定义及计算 1.下列图形中的角是圆心角的是（) 答案：B 解析：顶点在圆心的角叫作圆心角，4个选项中只有B符合要求。 2在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案：C 解析：如图，OA=0B=AB,△0AB是等边三角形，·∠AOB=60°。故选C。 知识点2弧、弦、圆心角之间的关系 3.下列说法中，正确的是() A.等弦所对的弧相等 B.在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等 C.圆心角相等，所对的弦相等 D.等弦所对的圆心角相等 答案：B A 解析：A选项，如图(1)， c 122/169 第29章圆 弦AB=弦CB,但是AB≠BAC,故本选项不符合题意； B选项，在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意； B C选项，如图(2)， ∠AOB=∠COD,但是弦AB和弦CD不相等，故本选项不符合题意； D选项，如图(3)， 弦AB=弦AB,但是圆心角∠ADB和∠ACB不相等，故本选项不符合题意。故选B。 3.【2026西安期末】如图，AB,CD是⊙O的弦，且AB=CD,若LB0D=84°，则∠ACO的度 数为() A.42° B.44° C.46° D.48° A B 答案：D D A 解析：如图，连接0A。 :AB=CD,÷AB=CD,AB-AD=CD-AD,·BD=AC,÷LAOC=∠BOD=84°。 123/169 第29章圆 :0A=0C,∠AC0=∠CA0=2(180°-∠A0C)=2×(180°-84)=48， 故选D。 5.【2025温州期中】如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点。过点C作CD1AB于点G, 交⊙O于点D,若BE=8,BG=3,则⊙O的半径长是() 25 25 A.4 B.5.5 6 03 E B 答案：C E B 解析：连接0D,如图。设⊙O的半径长为r。 D :CD1AB,AB为⊙O的直径，.BC=BD,CG=DG。点C是BE的中点，·CE=CB, BE=CD,CD=BE=8 DG-ZCD-4.BG=3,0G=-3. 1 25 在Rt△0GD中，DG2+0c2=0D2,42+(-3)2=只，解得r=6 25 O0的半径长为G。故选C。 6.【2026哈尔滨质检】如图，已知锐角LE0F,在射线0E上取一点C,以点0为圆心，OC长为 半径作EF,交射线OF于点D,连接CD;分别以点C,D为圆心，CD长为半径作弧，交EF于点G, H;连接OG,OH。下列四个结论：①GC=CD;②LCOG=∠COD;③CD II GH;④GH=3CD, 其中正确的结论是() A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②3④ 124169 第29章圆 答案：C 解析：连接GC,DH,OH,如图。 由作图得，GC=CD=DH,OG=OH=OC=OD,①正确； ·GC=CD=DH,.∠C0G=LCOD,②正确； 作OM1CD交EF于M,则CM=DM,·.MG=MH,OM1GH,.cD N GH,③正确： :GC=CD=DH,GH≠3CD,④不正确。故选C。 7.某酒店的圆形旋转门，可看成如图所示由外围的⊙0和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道 弧AB和弧CD,且它们关于圆心O中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心O转动，且所成的 夹角LE0F=∠F0G=∠G0E=120°，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离， 起到对大厅内保温的作用。例如：当隔风玻璃转到如图位置时，大厅内外空气被隔风玻璃0F, OG隔离。则通道弧AB所对圆心角的度数的最大值为() A.30° B.60° C.90° D.120° B C 答案：B 125/169 第29章圆 解析：连接0A,OC,OB,OD。·∠E0F=∠F0G=LG0E=120°， ∠A0C与LB0D的最小值为120°，.∠AOB与LC0D最大值的和为120°。 :弧AB和弧CD关于圆心O中心对称，·.AB=CD,·∠AOB=∠COD, 弧AB所对圆心角度数的最大值为60°，故选B。 8.【2026毕节期末】如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC与弦0D交于点F,且AF1OD,垂足 为点F,若D是BC的中点。 (1)求LA0D的度数； (2)若AB=8,求DF的长。 D B 答案：解： 如图，连接OC。D是BC的中点，CD=BD。AF⊥OD,AD=CD,·CD=BD=AD, ∠A0D=3×180°=60。 (2)如图，连接AD。AB是⊙O的直径，AB=8,.OA=OD=4。 1 :∠A0D=60,△A0D是等边三角形。：AF10D,DF=20D=2。 126/169 第29章圆 29.5圆周角 知识点1圆周角的定义 1.下列图形中，∠BAC是圆周角的是() 0。 A.B B. D 答案：B 解析：圆周角的两个基本特征：①顶点在圆周上；②两边都与圆相交。由题图可知，∠BAC是 圆周角的只有B选项，故选B。 知识点2圆周角定理 2.如图，AB是半圆O的直径，点C,D将AB分成相等的三段弧，点P在AC上。已知点Q在AB上 且∠APQ=115°，则点Q所在的弧是（) A.AP B.PC C.CD D.DB P B 答案：D 解析：连接0Q,0D。∠APQ=115°，∠APQ对应优弧ABQ,根据圆周角定理易知优弧ABQ 所对圆心角为230°，则劣弧AQ所对圆心角∠A0Q=130°。：C,D为AB的三等分点，·∠A0D= 120°，故点Q应位于DB上。 3.【2026邯郸期中】如图，在⊙0中，∠BAC=18°，∠ADC=24°，则∠A0B的度数为（) A.40° B.42° C.66° D.84° 127/169 第29章圆 答案：D 0 解析：如图，连接0C。 :∠BAC=18°，∠ADC=24°，∴.∠B0C=2∠BAC=36°，∠A0C=2LADC=48°， .∠A0B=∠A0C+∠B0C=48°+36°=84°。故选D。 4.【2026黄石质检】如图，半径为2的⊙O的弦AD=BC,且AD1BC于点E,连接AB,AC, 则AB的长为() A.2W2 B.2 C.v2 D.1 D 答案：A 0 解析：如图，连接OA,OB。 D 由题意可得∠A0B=90°，0A=0B=2,·AB=√0A2+0B2=√22+22=2V2。故选A。 5.如图，弦AB所对的圆心角为80°，则弦AB所对的圆周角的度数为 答案：40或140° 128/169 第29章圆 解析：如图， ∠ACB和LADB为弦AB所对的圆周角。 1 ∠AOB和LACB都对应AB,∠ACB= 之三AOB=号×80”=40。。 易知LACB+∠ADB=180°，∠ADB=180°-40°=140°， 即弦AB所对的圆周角的度数为40°或140°。 知识点3圆周角定理的推论 6.如图，AB为⊙O的直径，点C,D在圆上且在直径AB的两侧，若∠BAC=25°，则∠D的度数 为() A.40° B.45° C.65° D.75° D 答案：C 解析：如图，连接BC。 :AB为⊙O的直径，.LACB=90°，∠ABC=90°-∠BAC=90°-25°=65°， ∠D=∠ABC=65°。故选C。 7.【2025南京质检】在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A,B,C, 格点A,D的连线交圆弧于点E,则AE的长为一。 D B V26 答案： 129/169 第29章圆 解析：如图，连接CE,CD,AC。 每个小正方形的边长均为1， ·AD=V12+52=V26,AC=√22+32=V13,CD=V22+32=V13, CD2十AC2=AD2,AC=CD,∠ACD=90°，△ACD是等腰直角三角形。 ABC=90°，AG是圆弧所在圆的直径，LAEC=90,即CE1AD,心AB二D V26 2。 8已知P是⊙O上一点，在⊙O上作两点A,B,使得LAPB分别满足以下条件： (1)在图(1)中，∠APB=90°；（只用无刻度的直尺作图） (2)在图(2)中，∠APB=30°。（只用圆规作图） (保留作图痕迹，不写作法) P P 0 0 图(1) 图(2) 答案： B (1)如图(1)，点A,B即为所求。 P (2)如图(2)，点A,B即为所求AB 130/169 第29章圆 29.6圆内接四边形 知识点1圆内接四边形的定义 1如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接CE,BE,小明通过 连接AE,得到圆内接四边形 ,小丽通过连接DE,得到圆内接四边形 答案：连接AE,得到圆内接四边形ADCE;连接DE,得到圆内接四边形BCDE。 解析：连接AE,如图(1) ,如图(2)， 知识点2圆内接四边形的性质 2.如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A,∠B,∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是() A.80° B.100° C.110° D.120° B 答案：D 解析：设LA的度数为4x,则∠B的度数为3x,∠C的度数为5x。 ~四边形ABCD为圆内接四边形，·.∠A+∠C=180°，LB+∠D=180°， 4x+5x=180°，解得x=20°，·∠B=3x=60°，∠D=180°-60°=120°。故选D。 131/169 第29章圆 3.【2026杭州期中】如图，已知四边形ABCD内接于⊙0，连接AC,记∠BAC的度数为a,∠CAD 的度数为B。若AB=AC,AB II CD,则（) A.3a+2B=180° B.3a+4B=360° C.2a+3β=180° D.4a+3B=360° 0 B 答案：A 解析：∠BAC=,LCAD=B,∠BAD=∠BAC+∠CAD=a+B。:AB=AC,LB=∠ACB。 由三角形内角和定理得LBAC+∠B+∠ACB=180°， 2∠ACB+x=180,∠ACB=90°-2。 1 :AB ICD,.÷∠AcD=∠BAC=&,∠BCD=∠ACB+∠ACD=90-& 1 2+a=90°+2a。 四边形ABCD内接于⊙O,.∠BCD+∠BAD=180°， 1 90°+20+a+B=180,整理得3a+2B-180°。故选A。 4.【2025大庆期末】如图，点A,B,C在⊙0上，四边形0ABC是平行四边形，若对角线AC=2V5, 则0A的长为 A 答案：2 M 0 解析： A B 132/169 第29章圆 在⊙O上找一点M,连接AM,CM,OB,OB交AC于点N,则LAOC=2LAMC。 :四边形0ABC是平行四边形，·LABC=∠AOC=2LAMC。 :四边形MABC是⊙O的内接四边形，.∠AMC+∠ABC=180°， ÷.∠AMC+2∠AMC=180°，∠AMC=60°，∠A0C=120°。 :四边形0ABC是平行四边形，OA=OC,四边形OABC是菱形， AN=Cw-Ac-×25-=V5,∠0NA=90,L0AN-30,0A=20N, ·(20N)2=0N2+(V3)2,解得0N=1,0A=20N=2。 5.【2026徐州质检】如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，∠B=90°，∠BCD=120°，AB=4, AD=5,则⊙O的面积为一。 B 答案：7π B 0 E 解析：延长BC,AD交于点E,连接AC。 由条件可知∠BAD=180°-120°=60°，∠ADC=180°-90°=90°， .AC是⊙O的直径，.∠CDE=90°，∠E=30°，.CE=2CD。 AB=4,.AE=2AB=8AD=5,.DE=3 CE2 -CD2 DE2,CD=V3, AC=VAD2+CD2=√52+(V3)2=2W7,O0的半径为V7, ⊙0的面积为π×(V)2=7π。 6.【2026宁波期末】如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=60°，∠BAC=∠CAD=45°，AB+ AD=6,则OO的半径长为 133/169 第29章圆 C D 0. 答案：√6 0 解析： 过点C作CE1AC交AB的延长线于点E,连接CO并延长交⊙O于点F,连接AF。 则∠ACE=90°，：∠BAC=45°，∴△ACE是等腰直角三角形，AC=EC,∠E=45°， ·LCAD=∠E=45°。：四边形ABCD内接于⊙O,·∠D=∠CBE。 (LD=LCBE 在△CAD和△CEB中， LCAD=LE,△CAD≈△CEB(AAS),·AD=BE。 AC-EC AB+AD=6,·.AE=AB+BE=AB+AD=6。 在Rt△ACE中，AC=EC,由勾股定理得AE=√AC2+EC2=V2AC,.AC=3V2。 :CF是⊙O的直径，∠CAF=90°。 1 在Rt△CAF中，∠P=∠ABC=60°，÷∠ACF=30,AF=2CF。 由勾股定理得CF2-AF2=AC3,CF2-(CF)2=(3V②)2，解得CF=2V6(负值己舍去)， ⊙O的半径长为V6。 7.如图，四边形ADBC内接于⊙O,△ABC是等边三角形，⊙O的半径为2，点D在劣弧AB上运 动（不与点A,B重合）。 (1)当点D在劣弧AB中点时，四边形ADBC的面积是 (2)求四边形ADBC的面积S与线段DC的长x之间的函数关系式。 134/169 第29章圆 0 B 答案：(1)4W3, 0 B 解析：(1) △ABC是等边三角形，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，·∠ADC=∠ABC=60°， ∠BDC=∠BAC=60。点D是劣弧AB的中点，÷∠ACD=∠BCD=2∠ACB=30°， ·.∠DAC=∠DBC=90°，·CD是⊙O的直径，CD=4,易得四边形ADBC的面积为4V3。 ·0 B (2) 将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC,则CD=CH,∠DAC=∠HBC。 四边形ACBD是圆内接四边形，.∠DAC+∠DBC=180°，∠DBC+∠HBC=180°， 点D,B,H共线。DC=CH,∠CDH=60°，△DCH是等边三角形， 四边形A09C的面积5=5sc十5c-5agcn,s-. V3 135/169 第29章圆 29.7弧长和扇形面积 知识点1与弧长有关的计算 1.“轮动发石机”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图(1)是陈列在 展览馆的仿真模型，图(2)是模型驱动部分的示意图，其中⊙M,⊙N的半径分别是1c和 10cm,当⊙M顺时针转动2周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n=() A.120 B.108 C.90 D.72 M 图(1) 图(2) 答案：D 解析：⊙M的半径为1cm,∴⊙M的周长为2πcm,⊙M顺时针转动2周时，点P转动的 弧长为4红m,由弧长公式g0得：4n=180,解得n=72 2.【2026广安质检】如图，在△ABC中，∠B=30°，点D是BC上一点，以CD为直径的半圆O 经过△ABC的顶点A,交AB于点F,若AC=AF,CD=10,则AC的长为() 5 5 20 25 A B.π 6 9 C D18π B D 0 答案：C 解析：连接OA,OF。BD 0 :AC=AF,OA=OF,OC=OA,△AOF≈△AOC(SSS),·∠0AF=L0AC。 :OA=OC,∴.∠C=∠0AC,·∠BAC=2LC。 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，即3LC+30°=180°， ∠C=50°，∠A0C=180°-50°-50°=80°。 :CD=10,半径0A=0C=5,·AC的长为 80π×520 180 9r。 136/169 第29章圆 3.跨学科综合，一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm,0A是滑轮的一条半径，当0A 绕轴心0按逆时针方向旋转180°时，重物上升的高度为」 o 骨轮 重物川 答案：10元cm 180×π×10 解析：重物上升的高度等于旋转180°对应的弧长，由弧长公式得： 180 =10π(cm)。 4.如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG,点B的对应点E落在边CD上，若AB= V6,BC=V3,则CF(CF是旋转过程中C的运动轨迹)的长为 A 3π 答案： 4 D 解析： 连接AC,AF,过点E作EM1AB于M,则EM=CB=V5。 由旋转的性质可知，AB=AE=V6,AC=AF。 在Rt△ABC中，AC=(W6)2+(W3)2=3。 在Rt△AEM中，AM=J(62-(3)2=V3,AM=EM,∠EAM=45°。 由旋转可得，∠FAC=∠EAM=45°，CF的长为 45π·33π 180-4 137/169 第29章圆 知识点2与扇形面积有关的计算 5.如图，四边形ABCD内接于半径为3的⊙0，CD是直径，若∠ABC=110°，则扇形AOD的面 积为() π 3π B.π D.2π B 答案：B 解析：·∠ABC=110°，优弧ADC所对的圆心角的度数为110°×2=220°。 :CD是直径，÷.∠C0D=180°，·∠C0D+∠A0D=220°，∠A0D=40°。 40×π×32 ⊙O的半径为3，扇形AOD的面积为 =π。 360 6.如图(1)是边长为1的等边三角形铁丝框ABC,按图(2)方式变形成以A为圆心，AB长 为半径的扇形（图形周长保持不变)，则所得扇形ABC的面积为一。 图(1) 图(2) 1 答案：2 解析：设LA=n°。 :等边三角形铁丝框ABC的边长为1，AB=BC=1,·l、=1, BC 由弧长公式得：6-1，解得1180 180 …πX12 1 180 ，所得扇形ABC的面积为 360 29 138/169 第29章圆 7.如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A在扇形OEF的半径OE上，点B,C在OF上，点D在EF 上，若LE0F=45°，则扇形0EF的面积为 5 答案：8π 解析：连接0D。:∠E0F=45°，四边形ABCD是正方形， ∠AB0=90°，L0AB=45°=∠E0F, AB=OB=BC=CD=1,OC=2。在Rt△ODC中， 0D=√CD2+0C2=√12+22=V5, 45×π×（√5）25 扇形OEF的面积为 360 87. 8.【2026阳泉期末】如图，AB是半圆O的直径，点D是AC的中点，连接0D,OC,DE1AB 于点E。若LDAC=22.5°，DE=1,求阴影部分的面积。 πV2 答案：S阴影=4-2 C 解析：连接OD,OC。 B :∠DAC=22.5°，.∠C0D=2∠DAC=45°。点D是AC的中点，·.AD=CD, ·LA0D=∠C0D=45°，△0DE为等腰直角三角形，0D=V2。 S扇形0AD 45π×(W2)2_π。 360 =4:S△40D7 分a0n那-xi×1-盟 πV2 S阴影=S扇形0AD一S△A0D=4-2° 139/169 第29章圆 29.8圆锥的侧面积和全面积 知识点1圆锥的相关面积计算 1.【2025南通期中】某校九年级学生参加社团活动，学习编织圆锥形工艺品。若这种圆锥形 工艺品的母线长为90cm,底面圆的直径为80cm, 则该圆锥形工艺品的全面积为() A.3600πcm2 B.5200πcm2 C.7200πcm2 D.8800πcm2 答案：B 解析：：底面圆直径为80cm,·底面圆半径r=40cm。 底面积：S底=πr2=π×402=1600πm2。 侧面积：S侧=πrl=π×40×90=3600πcm2。 全面积：S全=S底+S侧=1600m+3600n=5200πcm2。 2.【2026三明期中】小月同学在手工课上用扇形卡纸制作的简易圆锥形漏斗，若漏斗的底面 圆的直径为6cm,高为4cm,则扇形卡纸的面积是 cm2。 扇形卡纸 答案：15元 解析：：底面圆直径为6cm,·底面半径r=3cm,高h=4cm。 母线长：L=√r2+h2=√32+42=5cm。扇形面积：S=πrl=π×3×5=15πcm2。 知识点2圆锥的侧面展开图及相关计算 3.【2025青岛期中】为了响应乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人 也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10π，侧面积为75π的圆 锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角度数为() A.150° B.120° C.180° D.100° 答案：B 解析：设扇形半径为，由侧面积公式三×底面周长×r=75元， 1 140/169 第29章圆 得 2×10π×r=75m,解得r=15。 nπ×15 设圆心角度数为，由弧长公式g010元，得180 -=10π，解得n=120。 4.如图，将扇形0AB纸片沿着半径剪成两个扇形，∠A0B=164°，其中较小的扇形的圆心角 为x°，围成一个圆锥甲（纸片不重合），记它的底面积为S里；较大的扇形的圆心角为(164一x)°， 围成一个圆锥乙（纸片不重合），记它的底面积为S乙。若S乙=9S甲，则x的值为（) A.41 B.45 C.36 D.40 答案：A 解析：设0A=r,圆锥甲底面半径：T甲=180×2元 Xπr =360’S甲三πC360)2、 πx2-2 3602。 (164-x)πr(164-x)r 圆锥乙底面半径：T乙=180×2元 ,(164-x)r、 360 ,Sz=π(360 2=π(164-)22 3602 由sz=9S甲，得：7164-x)22 =9 ,πx2r2 3602 3602,即(164-x)2=9x2, 开方得164-x=3x（舍去负根)，解得x=41。 5.【2026营口期末】如图，小红拿出一张正方形纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆（圆与 扇形及正方形纸片的两边相切)，圆的圆心O2与扇形的圆心0，在正方形纸片对角线上，用扇形 围成一个圆锥，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面，经测量，得圆锥母线长16c,则这张正 方形纸片的边长是() A.16V2cm B.(10V2+4)cm C.20cm D.18V2cm 答案：B 141/169 第29章圆 0 02 解析： 设圆锥底面半径为r,扇形圆心角为90°，由弧长等于底面周长：2πr= 90π×16 180—，解得r=4。 过02作正方形两边垂线，四边形02NPM为正方形，02P=V2r=4V2cm。 对角线长：16+4+4W2=(20+4W2cm,边长：？×(20+4W②)=(10W2+4)am。 6.【2025呼和浩特期中】如图是平行四边形纸片ABCD,BC=36cm,∠A=110°，∠BDC=50°， 点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N,则∠NMC=一°； 将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底的圆锥（无重叠且无缝隙），则这个圆锥的底面半径为cm。 答案：40；2 解析：·四边形ABCD是平行四边形， .∠ADC=180°-∠A=70°，∠ADB=∠ADC-∠BDC=20°。 :AD‖BC,·∠DBC=∠ADB=20°。：M是BC中点，·BM=MC,又MN=MC, ·.BM=MN=MC,∠NMC=2LDBC=40°。 40π×18 :BC=36cm,·.MC=18cm,弧CN长： 180 二4r0 设底面半径为r,则2πr=4π，解得r=2。 7.【2025苏州质检】如图，在△ABC中，AB=2,∠CAB=30°，∠ACB=45°，将△ABC绕点 A逆时针旋转一定的角度至△ADE,若用扇形ABD围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面半径 为1；用扇形ACE围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面半径为r2,则上- 一。（结果 r2 保留根号) 142/169 第29章圆 答案：√3-1 H B 解析： 过B作BH⊥AC于H,在Rt△ABH中，∠CAB=30°，AB=2, BH=1,AH=AB2-BH2 =V3. 在Rt△BCH中，∠ACB=45°，：CH=BH=1,AC=AH+CH=V3+1。 设2CAE=∠BAD=m,2m1=rX2, 180,2mr2-r×(3+1) 180 n=n5+1)1=2 六n1=1802= 360, -=V3-1。 r2V3+1 8.【2026宜昌期末】已知等腰三角形的周长为8dm,等腰三角形绕它底边上的高旋转形成 一个圆锥（如图所示)。试确定旋转形成的圆锥的侧面积的取值范围，并写出对应腰长的取值 范围。 答案： 腰长取值范围：2<x<4; 圆锥侧面积取值范围：0<y<4π。 解析：设等腰三角形腰长为xdm,圆锥侧面积为ydm,底面周长为8-2x, 1 侧面积：y=2π(8-20x=-π(x-2)2+4π。 143/169 第29章圆 由三角形三边关系：x-x<8-2x<x+x,得2<x<4。 :一π<0，抛物线开口向下，对称轴x=2, 当2<x<4时，y随x增大而减小，x=2时，y=4π；x=4时，y=0,0<y<4π。 144/169第29章圆 29.1圆的有关概念 知识点1圆的定义 1.【2026绥化期末】车轮为什么都做成圆形？下面解释最合理的是() A.圆形是轴对称图形 B.圆形特别美观大方 C.圆形是曲线图形 D.圆心到圆上任意一点的距离都相等 知识点2点和圆的位置关系 2.【2026郑州质检】⊙0的半径为5，圆心0的坐标为(0,0)，点P的坐标为(3,4)，则点 P与⊙0的位置关系是() A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙0外 D.点P在⊙O上或外 3.【2026丹东期末】如图，A,B,C是某社区的三栋楼，若在AC的中点D处建一个5G基 站，其覆盖半径为300m,则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是() A.A,B,C都不在 B.B B C.A,C D.A,B,C 300m 400m D 500m 4.【2026烟台期末】已知点P为平面内一点，若点P到⊙0上的点的最大距离为5，最 小距离为1，则⊙0的半径为 5.如图，BD,CE是△ABC的高，M为BC的中点。试说明：点B,C,D,E在以点M 为圆心的同一个圆上。 M 61/86 第29章圆 知识点3与圆有关的概念 6.【2026邯郸期中】下列说法中，正确的有（) ①直径是弦，但弦不一定是直径； ②半圆是弧，但弧不一定是半圆； ③半径相等的两个圆是等圆； ④一条弦把圆分成的两条弧中，至少有一条是优弧； ⑤长度相等的两条弧是等弧。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.【2026南京质检】如图，AB是⊙0的直径，半径OC1AB,点D是弧ACB上的动点 (不与A,B,C重合)，DE1OC,DF1AB,垂足分别是E,F,则在点D从B运动到A 的过程中，EF的长度() A.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定 8.如图，圆0的周长为4π，B是弦CD上任意一点（与C,D不重合），过B作OC的 平行线交OD于点E,则EO+EB的值为】 D 62/86 第29章圆 29.2过三点的圆 知识点1圆的确定 1.【2026大庆期中】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，只用一块 碎片去配镜子，则三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是() A.① B.② c.③ D.均不可能 2.【2025南京质检】若过平面直角坐标系中的三个点A(1,0),B(0,2),C(-1,m)能确定一个 圆，则m≠ 3.【2026金华期中】如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A(0,2), B(4,2),C(6,0),解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点坐标为 (2)在(1)的条件下，连接AD,CD,求LADC的度数。 0 知识点2三角形的外接圆 4.如图，在4×4的正方形网格中，A,B,C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC 的外心可能是() A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点 0 B M 63/86 第29章圆 5.【2026绍兴期中】在Rt△ABC中，AB=6,BC=8,那么这个三角形的外接圆半径是() A.5 B.10 C.5或4 D.10或8 6.【2026平顶山期中】0是等腰三角形ABC的外接圆，圆心0到底边BC的距离为2cm,O的半 径为6cm,则腰AB的长为() A.4v6 cm B.2v26 cm C.2V14cm或226cm D.4v6cm或4v3cm 7.【2026武汉质检】已知锐角△ABC中，AB=5,AC=2V5,高AD=4,能完全覆盖△ABC 的圆的半径的最小值为. 知识点3反证法 8.要运用反证法证明“若a>b>0,则Va>V”,首先应该假设（) A.Va<Vb B.Va=Vb C.Va<Vb D.Va≤b 9.【2026闵行区期中】用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为 以下三个步骤，其正确的顺序应为() ①LA+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以LA=∠B= 90°不成立。 ②所以一个三角形中不能有两个直角。 ③假设三角形的三个内角LA,∠B,∠C中有两个直角，不妨设LA=LB=90°。 A.①②③ B.①3② C.②③① D.③①② 64/86 第29章圆 29.3垂直于弦的直径 知识点1圆的对称性 1.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为() A.2 B.4 C.6 D.8 知识点2垂径定理 2.【2026唐山质检】如图，某同学测量一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为5 cm,假设球的截面与水面交于A,B两点，AB=8c。若从目前所处位置到完全落入水中的 时间为4s,则球体下落的平均速度为() A.0.5 cm/s B.0.75cm/s C.1 cm/s D.2 cm/s 3.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8,点M是弦AB上的动点，则() A.4≤0M≤5 B.3≤0M<5 C.3<0M≤5 D.3≤0M≤5 0 M B 4.【2026哈尔滨质检】如图，在半径为1的扇形0AB中，∠AOB=90°，点P是弧AB上任 意一点（不与点A,B重合），OC1AP,OD1BP,垂足分别为C,D,则CD的长为 65/86 第29章圆 知识点3垂径定理的推论 5.【2026扬州质检】已知⊙0的半径为5，CD是⊙0的一条弦，E是CD的中点，过点E作 直径AB,若CD=8,则BE的长是() A.8 B.2 C.2或8 D.3或7 6.【2026荆州期中】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,点B是劣弧CD的中点， 连接AC,AD。 (1)求证：AC=AD。 (2)若∠CAD=60°，⊙0的半径为1，求弦CD的长。 0 7.【2025龙岩期中】在⊙0中，点C为弦AB的中点，过点C的直径交⊙0于点D,E,如 果AB=8cm,OD=5cm,那么CD的长为() A.2 cm B.3 cm C.2cm或8cm D.3cm或8cm 66/86 第29章圆 29.4圆心角 知识点1圆心角的定义及计算 1.下列图形中的角是圆心角的是（) 2.在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为() A.30° B.45° C.60° D.90° 知识点2弧、弦、圆心角之间的关系 3.下列说法中，正确的是() A.等弦所对的弧相等 B.在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等 C.圆心角相等，所对的弦相等 D.等弦所对的圆心角相等 3.【2026西安期末】如图，AB,CD是⊙O的弦，且AB=CD,若∠BOD=84°，则∠ACO的度 数为() A.42° B.44° C.46° D.48° E A 第4题图 第5题图 D 5.【2025温州期中】如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点。过点C作CD1AB于点G, 交⊙O于点D,若BE=8,BG=3,则⊙O的半径长是() 25 5 A.4 B.5.5 C. 6 0 67/86 第29章圆 6.【2026哈尔滨质检】如图，已知锐角∠E0F,在射线0E上取一点C,以点0为圆心，0C长为 半径作EF,交射线OF于点D,连接CD;分别以点C,D为圆心，CD长为半径作弧，交EF于点G, H;连接OG,OH。下列四个结论：①GC=CD;②LCOG=∠COD;③CD IIGH;④GH=3CD, 其中正确的结论是() A.①③ B.②④ c.①②③ D.①②③④ A.. B 0 G 第6题图 第7题图 D 7.某酒店的圆形旋转门，可看成如图所示由外围的⊙0和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道 弧AB和弧CD,且它们关于圆心O中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心O转动，且所成的 夹角∠E0F=∠F0G=∠G0E=120°，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离， 起到对大厅内保温的作用。例如：当隔风玻璃转到如图位置时，大厅内外空气被隔风玻璃0F, OG隔离。则通道弧AB所对圆心角的度数的最大值为() A.30° B.60° C.90° D.120° 8.【2026毕节期末】如图，已知AB是⊙0的直径，弦AC与弦0D交于点F,且AF1OD,垂足 为点F,若D是BC的中点。 (1)求LAOD的度数； (2)若AB=8,求DF的长。 68/86 第29章圆 29.5圆周角 知识点1圆周角的定义 1.下列图形中，∠BAC是圆周角的是() 0. B. C 知识点2圆周角定理 2.如图，AB是半圆O的直径，点C,D将AB分成相等的三段弧，点P在AC上。已知点Q在AB上 且∠APQ=115°，则点Q所在的弧是() A.AP B.PC C.CD D.DB 第2题图A 0 第3题图 3.【2026邯郸期中】如图，在⊙0中，∠BAC=18°，∠ADC=24°，则∠A0B的度数为() A.40° B.42° C.66° D.84° 4.【2026黄石质检】如图，半径为2的⊙O的弦AD=BC,且AD1BC于点E,连接AB,AC, 则AB的长为() A.2V2 B.2 C.v2 D.1 第4题图 第5题图 5如图，弦AB所对的圆心角为80°，则弦AB所对的圆周角的度数为 69/86 第29章圆 知识点3圆周角定理的推论 6.如图，AB为⊙O的直径，点C,D在圆上且在直径AB的两侧，若∠BAC=25°，则∠D的度数 为() A.40° B.45° C.65 D.75° B 7.【2025南京质检】在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A,B,C, 格点A,D的连线交圆弧于点E,则AE的长为一。 D 8.已知P是⊙O上一点，在⊙O上作两点A,B,使得LAPB分别满足以下条件： (1)在图(1)中，∠APB=90°；（只用无刻度的直尺作图） (2)在图(2)中，∠APB=30°。（只用圆规作图) (保留作图痕迹，不写作法) P P 0 0 图(1) 图(2) 70/86 第29章圆 29.6圆内接四边形 知识点1圆内接四边形的定义 1.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接CE,BE,小明通过 连接AE,得到圆内接四边形 小丽通过连接DE,得到圆内接四边形 D 知识点2圆内接四边形的性质 2.如图，在圆内接四边形ABCD中，若LA,∠B,∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是() A.80° B.100° C.110° D.120° B 3.【2026杭州期中】如图，已知四边形ABCD内接于⊙O,连接AC,记∠BAC的度数为a,∠CAD 的度数为B。若AB=AC,AB II CD,则（) A.3a+2β=180° B.3a+4β=360 C.2a+3β=180° D.4a+3B=360° 第3题图 B 第4题图 B 4.【2025大庆期末】如图，点A,B,C在⊙O上，四边形0ABC是平行四边形，若对角线AC=2V3, 则OA的长为」 71/86 第29章圆 5.【2026徐州质检】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=90°，∠BCD=120°，AB=4, AD=5,则⊙0的面积为一。 B 0 D 6.【2026宁波期末】如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=60°，∠BAC=∠CAD=45°，AB+ AD=6,则⊙O的半径长为 0 C D 0. 7.如图，四边形ADBC内接于⊙O,△ABC是等边三角形，⊙O的半径为2，点D在劣弧AB上运 动（不与点A,B重合）。 (1)当点D在劣弧AB中点时，四边形ADBC的面积是 (2)求四边形ADBC的面积S与线段DC的长x之间的函数关系式。 ·0 B 72/86 第29章圆 29.7弧长和扇形面积 知识点1与弧长有关的计算 1.“轮动发石机”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图(1)是陈列在 展览馆的仿真模型，图(2)是模型驱动部分的示意图，其中⊙M,⊙N的半径分别是1c和 10cm,当⊙M顺时针转动2周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n=() A.120 B.108 C.90 D.72 M 图(1) 图(2) 2.【2026广安质检】如图，在△ABC中，∠B=30°，点D是BC上一点，以CD为直径的半圆O 经过△ABC的顶点A,交AB于点F,若AC=AF,CD=10,则AC的长为() 5 20 25 A B C- D 3.跨学科综合，一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm,OA是滑轮的一条半径，当0A 绕轴心0按逆时针方向旋转180°时，重物上升的高度为 0 F 滑轮 第3题图 重物W 第4题图 B 4.如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG,点B的对应点E落在边CD上，若AB= √6，BC=√3，则CF(CF是旋转过程中C的运动轨迹)的长为 73/86 第29章圆 知识点2与扇形面积有关的计算 5.如图，四边形ABCD内接于半径为3的⊙0，CD是直径，若∠ABC=110°，则扇形AOD的面 积为() A号 3π B.π C. D.2π 2 B 第5题图 第6题图 图(1) 图(2) 6.如图(1)是边长为1的等边三角形铁丝框ABC,按图(2)方式变形成以A为圆心，AB长 为半径的扇形（图形周长保持不变)，则所得扇形ABC的面积为 7.如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A在扇形OEF的半径OE上，点B,C在OF上，点D在EF 上，若∠E0F=45°，则扇形0EF的面积为. 8.【2026阳泉期末】如图，AB是半圆O的直径，点D是AC的中点，连接0D,OC,DE1AB 于点E。若∠DAC=22.5°，DE=1,求阴影部分的面积。 B 74/86 第29章圆 29.8圆锥的侧面积和全面积 知识点1圆锥的相关面积计算 1.【2025南通期中】某校九年级学生参加社团活动，学习编织圆锥形工艺品。若这种圆锥形 工艺品的母线长为90cm,底面圆的直径为80cm, 则该圆锥形工艺品的全面积为() A.3600πcm2 B.5200πcm2 C.7200πcm2 D.8800πcm2 2.【2026三明期中】小月同学在手工课上用扇形卡纸制作的简易圆锥形漏斗，若漏斗的底面 圆的直径为6cm,高为4cm,则扇形卡纸的面积是 cm2。 扇形卡纸 知识点2圆锥的侧面展开图及相关计算 3.【2025青岛期中】为了响应乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人 也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10π，侧面积为75π的圆 锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角度数为() A.150° B.120° C.180° D.100° 4.如图，将扇形0AB纸片沿着半径剪成两个扇形，∠A0B=164°，其中较小的扇形的圆心角 为x°，围成一个圆锥甲（纸片不重合），记它的底面积为S甲；较大的扇形的圆心角为(164一x)°， 围成一个圆锥乙（纸片不重合），记它的底面积为S乙。若S乙=9S甲，则x的值为() A.41 B.45 C.36 D.40 B 5.【2026营口期末】如图，小红拿出一张正方形纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆（圆与 扇形及正方形纸片的两边相切)，圆的圆心02与扇形的圆心01在正方形纸片对角线上，用扇形 围成一个圆锥，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面，经测量，得圆锥母线长16c,则这张正 方形纸片的边长是() A.16v2cm B.(10v2+4)cm C.20cm D.18v2cm 02 75/86 第29章圆 6.【2025呼和浩特期中】如图是平行四边形纸片ABCD,BC=36cm,∠A=110°，∠BDC=50°， 点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N,则∠NMC= 将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底的圆锥（无重叠且无缝隙），则这个圆锥的底面半径为c。 7.【2025苏州质检】如图，在△ABC中，AB=2,∠CAB=30°，∠ACB=45°，将△ABC绕点 A逆时针旋转一定的角度至△ADE,若用扇形ABD围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面半径 为1；用扇形4CE围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面半径为2，则2 。(结果 保留根号) 8.【2026宜昌期末】已知等腰三角形的周长为8dm,等腰三角形绕它底边上的高旋转形成 一个圆锥（如图所示)。试确定旋转形成的圆锥的侧面积的取值范围，并写出对应腰长的取值 范围。 76/86