第27章  反比例函数-2026-2027学年九年级数学上册练培优（人教版）

第27章反比例函数 27.1反比例函数的图象和性质 4 1、[2025河北中考]在反比例函数y=二中，若2<y<4,则() 1 A.2<x<1 B.1<x<2 C.2<x<4 D.4<x<8 答案：B 解析：在反比例函数y=4中，k=4>0,在每个象限内，y随x的增大而减小，当2< 44 y<4时，4<x<2“1<x<2 3 2、[2025内蒙古中考]已知点A(my小B(m+1,y2)都在反比例函数y=文的图象上， 则下列结论一定正确的是() A.y1>y2 B.y1<y2 C.当m<0时，y1<y2 D.当m<-1时，y1<y2 答案：D 3 解析：对于反比例函数y=一文在每个象限内，y随x的增大而增大，且第二象限的函数 值大于第四象限的函数值。当m<m+1<0,即m<-1时，y1<y2;当0<m<m+1, 即m>0时，y1<y2;当m<0<m+1,即-1<m<0时，y1>y2。综上，只有选项 D正确。 3、「2025承德期末]如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都 在格线上，其中反比例函数y=k≠0，x>0)的图象被撕掉了一部分，已知点M,N在 格点上，则k的值为() A.2 B.4 C.6 D.8 答案：B 解析：观察题中网格，设点M(1,y),N(2,y-2),将点M(1,y),N(2,y-2)的坐标代入反 58/129 第27章反比例函数 比例函数y=兰得{20'整理得y=4点L.k=1X4=4 6 4、[2025武威模拟]已知点A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数y=。的图象上，若x1x2=- 3,则y1y2的值为。 答案：-12 6 6 解析：点ACRc都在反比份函数y的图象上，业七2 X X1X2=-3,·y1y2= 6.63636 -3 =-12。 X1 X2 x1X2 5、已知点4(-1，，B2,,c6,yg)均在反比例函数y的图象上，若1>2，则 y2y3。(填“>"<”或“=") 答案：< 解析：点A-,y、B(2,2、c(3,⅓)均在反比例函数y=的图象上，y1>2,1> 0>y2,即点A在第二象限，点B在第四象限，k<0,在第四象限内，y随x的增大而 增大。又0<2<3，y2<y3 6、[2025河南中考]如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC, BD相交于点E,反比例函数y-x>0)的图象经过点A。 (1)求这个反比例函数的解析式； (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象； (3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 6 3 012345678910元 答案： 59/129 第27章反比例函数 k k (1):反比例函数y=文x>0)的图象经过点4(3,2)，·2=3·k=6,反比例函数的解 析式为y=x>0。 6 (2)作图如图所示。可12346189心 9 (3)2 7、[2025福建中考]如图，在平面直角坐标系x0y中，反比例函数y=二的图象与0交于A、 B两点，且点A,B都在第一象限。若A(1,2),则点B的坐标为 答案：(2,1) 解析： k 点A在y二《的图象上，2=六k=2。如图，连接OA,OB, 则0B=0A=V12+22=V5。设B(a,b)(其中a>b>0), 则ab=2,a2+b2=5,(a-b)2=5-4=1,(a+b)2=5+4=9, a-b=1或a-b=-1(舍去)，a+b=3或a+b=-3(舍去)， 联立，得日+bg解得6二子8(2,1). 60/129 第27章反比例函数 27.2反比例函数的图象和性质的应用 4 1、如图，A,B两点在反比例函数y=二(x>0)的图象上，分别过A,B两点向坐标轴作 垂线段。若S1+S2=6,则S阴影=（） A.1 B.2 C.4 D.6 2 B 0 答案：A 4 解析：设阴影部分的面积为S,根据y=x>0),得S+S1=4,Sg+S,=4,故Sg+S1十 S3+S2=8。:S1+S2=6,.2S3=2,解得S3=1。 k 2、[2026昌图期中]如图，反比例函数y=二(x<0)的图象经过平行四边形ABC0的顶点A, OC在x轴上，若点B(-1,4,S平行四边形ABc0=4,则实数k的值为 答案：一8 M NO C 解析： 通解：如图，过点A作AM1x轴于点M,过点B作BN1x轴于点N, S平行四边形ABC0=S矩形AMNB=4。 :B(-1,4),BN=4,AB=1,0M=2,÷A(-2,4),k=-8。 61/129 第27章反比例函数 D 0 C x 另解： 如图，延长AB交y轴于点D,设BC与OD交于点E。由题易知ABIx轴，AD L OD。 点B(-1,4),BD=1,0D=4。又0C=1,0C=BD。 又：LBED=LCEO,LBDE=∠COE=90°，∴.△BDE≈△COE,·.S△BDE=S△COE, 亠S平行四边形ABc0=S四边形ABB0十S△C0E=S四边形ABE0十S△BDE=S矩形AODA=4(辅助矩形推导)。 又：反比例函数y一<0)的图象在第二象限，“k<0,得k=-8。 3、如图，平行四边形0A8C的质点0，B在y箱上，顶点A在y-化<0的图数 上，顶点C在y=(k2>0的图象上，则平行四边形0ABC的面积是 L YA 0 答案：k2-k1 解析： 过点A作AE1y轴于点E,过点C作CD1y轴于点D,LAEB=∠CD0=90°。 由四边形OABC为平行四边形，可得∠ABE=∠COD,AB=CO, △ABE≥△C0D,SABE=ScOD:点C在y=色的图象上， X 1 1 SAADE=Saco0=2kl,同理可得，Sac8D=Saa0E=2k1l, 62/129 第27章反比例函数 平行四边形0ABC的面积为2（吃k,+kD=k+k=k2-k1 4、2026平谷期未]在平面直角坐标系x0y中，直线y=2x十1与双曲线y=《k+0,x> 0)的交点是A(a,3)。 (1)求a和k的值； (2)当x>3时，对于x的每个值，函数y=m(x-1)(m≠0)既大于函数y= 0,x>0)的值，又小于函数y=2x+1的值，直接写出m的取值范围。 答案：(1)a=1,k=3;(②2<m<2 y=2x+1 y=2x+1 y=m(x-1) y=m(x-1) 3 y= 3 y= x=3 x=3 解析： 图1 图2 (1)将点A(a,3)的坐标代入y=2x+1得3=2a+1,解得a=1, ·点A的坐标为(13.将点4(1，)的坐标代入y-长得3- ,解得k=3。 (2)对于函数y=m(x-1),当x=1时，y=0,·函数y=m(x-1)的图象过点(1,0)。 把=3代入y-圣得y=1, 把(3,1)代入y=m(x-1),得1=m3-1),解得m= 2 当m=2时，直线y=m(x-1)与直线y=2x+1平行， 1 “当2<m<2时，对于x>3的每个值，函数y=mx-1)(m≠0)既大于函数 1 >0的值，又小于函数y=2x+1的值，即m的取 63/129 第27章反比例函数 5、几何直观，在平面直角坐标系中，反比例函数y=X0m≠0，x>0)的图象经过点4(1,4)。 (1)求m的值。 m (2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点。记直线：y=kx-k+4与函数y=(m≠0，x> 0)的图象所围成的区域（不含边界）为W。点B(n,1)(n>4,n为整数)在直线1上。 ①当n=5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数； ②当区域W内恰有5个整点时，直接写出n和k的值。 5 3 2 012345678x 备用图 答案： (1)m=4 (2)①k=- 3 整点个数为2：②=7，及-月 6 5 5 4 4 3 2 2 1 o 1 2345678 012345678x 解析： 图1 图2 m )将点A(1,9的坐标代入y三C>0),得m=1×44 (2)①当n=5时，B(5,1),“点B在直线1上，1=5k-k+4,解得k=- 4 ·直线1的解析式为y=一4x+4 319 画出两函数图象，区域W内的整点有(2,2)，(3,2)，共2个。 64/129 第27章反比例函数 ②n为整数， 当n=6时，B(61,点B在直线1上，“1=6k-k+4,解得k=- 3 则直线的解 3.23 析式为y=-号x+行，区域W内恰有4个整点。 当n=7时，B7,:点B在直线L上，1=7kk+4,解得k-,则直线1的解 析式为y-习十？区罐w内恰有5个整点。 当区或W内恰有行个整点时，n-7,k-一》 65/129 第27章反比例函数 27.3利用反比例函数的图象解决实际问题 1、「2026大同月考1单板滑雪(Snowboard是一项以一块滑雪板为工具，在规定的山坡线路 上快速回转滑降，在空中完成各种高难度动作的雪上竞技项目，依据对甲、乙、丙三名滑雪爱 好者测试所得数据，在给定的坐标系中分别绘制出滑雪板的压强p(P)与受力面积S(m)的相应 图象，根据图象及物理知识p=。可判断出甲、乙、丙三名滑雪爱好者滑雪板压力的大小关 系为() A.F甲<Fz<F丙 B.F甲>Fz>F丙 CF甲=Fz=F丙 D.F之<F甲<F丙 p/Pa 丙 甲 S/m2 答案：A 解析：由p=得F=pS,由题中图象可得，受力面积S相同时，P甲<P2<P丙，因此p甲S< F Pz·S<P丙·S,即F甲<Fz<F丙 2、[2026玉田期末]如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测 速区间)上平均速度的方法。小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的 测速区间AB段的平均行驶速度v(m/h)与行驶时间th)是反比例函数关系（如图2），已知高 速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h,最低车速不得低于90m/h,小 聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（) A.10 min B.11 min C.15min D.18 min v/(km/h) 抓拍点 抓拍点 t 测速区间 80 起点A 起，点B 0.3 t/h 图1 图2 答案：C 66/129 第27章反比例函数 解析：由题图2得，限速区间AB段的总路程为80×0.3=24(m)。 最高车速120km下行骏时间：t=。-动-)-120i时： /最低车速90km/h下行驶时间：t三，=g05(三16min)。 行驶时间范围为12~16min,因此C选项符合题意。 3、将某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图放在平面直角坐标系中（如图所示），其中OD 为水面，滑梯BC段可看成是反比例函数图象的一部分，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，梯子高 OA为6米，宽AB为1米，出口C点到BE的距离CF为4米。 (1)求BC段所在反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)求点C到x轴的距离CD的长； (3)若滑梯BC上有一个小球Q,Q距水面OD的高度不高于3米，求Q到BE的距离的取值范围。 0 OE D 6 答案：（反比例函数解析式为y=￥(1≤x≤5）： (②CD的长为米； (3)Q到BE的距离取值范围是1米≤距离≤4米。 解析： (1)设BC段所在反比例函数解析式为y-之由题意得B(1,6),代入得6=解得k=6。 6 C点到BE的距离CP=4米，故0D=4+1=5米，因此解析式为y=(1≤x≤5)。 ②当x-5时，y-台即点c到辅的距离CD长为米。 6 6 (3)由Q距水面高度不高于3米，得y≤3，即≤3，解得x≥2。 结合1≤x≤5，得2≤x≤5。BE为直线x=1,Q到BE的距离为x-1, 当x=2时，距离为1米；当x=5时，距离为4米，故距离取值范围为1米≤距离≤4米。 67/129 第27章反比例函数 4、「2025大连期中]某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知某次消毒过程中， 消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y(单位：效力)与时间x（单位：分)呈 现三段函数图象，其中AB段是渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一 部分，为降消毒阶段。请根据图中信息解答下列问题： (1)求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数解析式。 (2)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问，本次消毒是否 有效？ y效力 6 3 0A1030 x/分 答案：①深消毒阶段：y了 D×+云降消毒阶段：y=1g”,(2②)本次消毒有效。 3 180 解析：(1)设深消毒阶段解析式为y=kx+b, 将10,3)、(30,6)代入得：30k+b=6 10k+b=3 解得k=3 33 即y= 20+2 设降消毒阶段解析式为y一空将(306)代入得6=解得m-180,即y-10 30 33 180 把y=4代入y=。x+,得x三0：把y=4代入y 得x=45。 持续时间：45- -20(分》，因为29子28，所以本次清专有效。 3 68/129 第27章反比例函数 27.4建立函数模型解决实际问题 1、「2026贵池期末]小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为-2℃时，制冷启动，当温度降低 到设定温度-18C时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到-2℃时，制冷又启动，开 始下一个周期的运行。她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并 且预测任意时刻冰箱内的温度。于是，小影记录了不超过一个运行周期的部分温度y(单位：℃) 及对应时间x（单位：min)的数据如表所示： x/min 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 y/C -2 -10 -14 -18 -12 -9 -8 -6 -4 -3 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中描出以 表中的数对为坐标的点。请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察(1)中作出的图象，求第一个周期内y关于x的函数解析式； (3)当冰箱内的温度刚好达到-18℃时，继续运行120分钟，求此时冰箱内的温度。 y/℃ 2468101214161820222426 x/min -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20 /℃1 2468101214161820222426 0 x/min -4 -6 -10 -12 -14 -16 -18 -20 解：(1)解： (2)当0≤x≤4时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0)， 由题意如2k中。己10解得化-含 b=-2, 当0≤x≤4时，y关于x的函数解析式为y=-4x-2. 69/129 第27章反比例函数 当x>4时，设y关于x的函数解析式为y=文， m 由题意知12少，解得m三一72，此时，y关于x的函数解析式为y2 当y=-2时，-2=- 解得x=36,冰箱的-个运行周期时长为36mm, 72 4x-2(0≤x≤4)， 72 (4<x≤36). (3)解：当冰箱温度刚好达到-18℃时，已运行了4min,继续运行120min, 总共为124mim,124min冰箱运行3个周期零16min, 72 当x=16时，y=一16-4.5，“继续运行120分钟，此时冰箱内的温度是-4.5℃。 2、「2026佛山期末]某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场 以不同速度x(k/h)匀速行驶时，车辆可行驶的时间yh)会发生变化。大量测试后得到下表（不 完整)： x/(km/h) 40 50 60 y/h … 15 12 10 (1)变量x,y之间的关系恰好满足某一函数模型。请先判断函数类型（说明理由)再求其解析 式。 (2)一辆充满电的车辆，先以60am/h的速度在测试场行驶了2h,再以xkm/h速度行驶，若 要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4h,则x的最大值是多少？ 解：(1)因为40×15=50×12=60×10=600，即x与y的乘积为定值， 600 所以变量x、y成反比例函数关系，解析式为y= (2)该车充满电可行驶的总路程为600km，根据题意得， 60×2+4x≤600，解得x≤120，x的最大值为120. 70/129第27章反比例函数 27.1反比例函数的图象和性质 4 1、[2025河北中考]在反比例函数y=元中，若2<y<4,则（) 1 A2<x<1 B.1<x<2 C.2<x<4 D.4<x<8 2、2025内蒙古中考1已知点Am,y小Bm+1,)都在反比例函数y=一是的图象上， 则下列结论一定正确的是（) A.y1>y2 B.y1<y2 C.当m<0时，y1<y2 D.当m<-1时，y1<y2 3、[2025承德期末]如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都 在格线上，其中反比例函数y=二(k≠0，x>0)的图象被撕掉了一部分，已知点M,N在 格点上，则k的值为() A.2 B.4 C.6 D.8 1V4 6 4、[2025武威模拟]已知点Ax1y,B(x2,y2)都在反比例函数y=的图象上，若x12=- 3,则y1y2的值为 5、已知点A(-1,y1),B(2,y2),C(3,y)均在反比例函数y=的图象上，若y1>y2,则 y2y3。(填“>"<”或"=") 34/68 第27章反比例函数 6、[2025河南中考]如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点)上，对角线AC, k BD相交于点E,反比例函数y=x>0)的图象经过点A。 (1)求这个反比例函数的解析式； (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象； (3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 > 6 4 3 B 。 0 1 234567890x k 7,[2025福建中考]如图，在平面直角坐标系x0y中，反比例函数y=x的图象与0交于A、 B两点，且点A,B都在第一象限。若A(1,2),则点B的坐标为 35/68 第27章反比例函数 27.2反比例函数的图象和性质的应用 4 1、如图，A,B两点在反比例函数y=二(x>0)的图象上，分别过A,B两点向坐标轴作 垂线段。若S1+S2=6,则S阴影=（） A.1 B.2 C.4 D.6 0 2,2026昌图期中1如图，反比例函数yx<0)的图象经过平行四边形A5C0的顶点A, 0C在x轴上，若点B(-1,4),S平行四边形ABc0=4,则实数k的值为一。 C 第2题图 第3题图 3、如图，平行四边形OABC的顶点0，B在y轴上，顶点A在y-k1<0)的图象 上，顶点C在y=k,>0)的图象上，则平行四边形OABC的面积是 r 4、[2026平谷期末]在平面直角坐标系x0y中，直线y=2x+1与双曲线y=二(k≠0，x> 0)的交点是A(a,3)。 (1)求a和k的值； k (2)当x>3时，对于x的每个值，函数y=m(x-1)(m≠0)既大于函数y=二(k≠ 0,x>0)的值，又小于函数y=2x+1的值，直接写出m的取值范围。 36/68 第27章反比例函数 5、几何直观，在平面直角坐标系中，反比例函数y=X0m≠0，x>0)的图象经过点4(1,4)。 (1)求m的值。 m (2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点。记直线飞：y=kx-k+4与函数y=二(m≠0，x> 0)的图象所围成的区域（不含边界）为W。点B(n,1)(n>4,n为整数)在直线1上。 ①当n=5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数； ②当区域W内恰有5个整点时，直接写出n和k的值。 3 2 012345678x 备用图 37/68 第27章反比例函数 27.3利用反比例函数的图象解决实际问题 1、[2026大同月考]单板滑雪是一项以一块滑雪板为工具，在规定的山坡线路上快速回转滑降， 在空中完成各种高难度动作的雪上竞技项目，依据对甲、乙、丙三名滑雪爱好者测试所得数据， 在给定的坐标系中分别绘制出滑雪板的压强p(P)与受力面积S(m)的相应图象，根据图象及物 F 理知识p= ,可判断出甲、乙、丙三名滑雪爱好者滑雪板压力的大小关系为（) A.F甲<F乙<F丙 B.F甲>Fz>F丙 C.F甲=F乙=F丙 D.F乙<F甲<F丙 p/Pa v/(km/h) 抓拍点 抓拍点 测速区间 80 起，点A 起，点B .3t 第1题图 S/m2 第2题图 图1 图 2、[2026玉田期末]如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测 速区间)上平均速度的方法。小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的 测速区间AB段的平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)是反比例函数关系（如图2），已知高 速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h,最低车速不得低于90m/h,小 聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（) A.10 min B.11 min C.15 min D.18 min 3、将某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图放在平面直角坐标系中（如图所示），其中OD 为水面，滑梯BC段可看成是反比例函数图象的一部分，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，梯子高 OA为6米，宽AB为1米，出口C点到BE的距离CF为4米。 (1)求BC段所在反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)求点C到x轴的距离CD的长； (3)若滑梯BC上有一个小球Q,Q距水面OD的高度不高于3米，求Q到BE的距离的取值范围。 y A O E D 38/68 第27章反比例函数 4、「2025大连期中]某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知某次消毒过程中， 消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y(单位：效力)与时间x（单位：分)呈 现三段函数图象，其中AB段是渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一 部分，为降消毒阶段。请根据图中信息解答下列问题： (1)求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数解析式。 (2)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问，本次消毒是否 有效？ y/效力 6 D 041030 x/分 39/68 第27章反比例函数 27.4建立函数模型解决实际问题 1、「2026贵池期末]小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为-2℃时，制冷启动，当温度降低 到设定温度-18C时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到-2℃时，制冷又启动，开 始下一个周期的运行。她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并 且预测任意时刻冰箱内的温度。于是，小影记录了不超过一个运行周期的部分温度y(单位：℃) 及对应时间x（单位：min)的数据如表所示： x/min 0 2 3 4 6 9 12 18 24 y/C -2 -10 -14 -18 -12 -9 -8 -6 -4 -3 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中描出以 表中的数对为坐标的点。请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察(1)中作出的图象，求第一个周期内y关于x的函数解析式； (3)当冰箱内的温度刚好达到-18℃时，继续运行120分钟，求此时冰箱内的温度。 y/℃ 2468101214161820222426 x/min -4 -6 -8 -10 2 -14 -16 -18 -20 40/68 第27章反比例函数 2、「2026佛山期末]某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场 以不同速度x(km/h)匀速行驶时，车辆可行驶的时间yh)会发生变化。大量测试后得到下表（不 完整)： x/(km/h) 40 50 60 y/h 15 12 10 (1)变量x,y之间的关系恰好满足某一函数模型。请先判断函数类型（说明理由)再求其解析 式。 (2)一辆充满电的车辆，先以60am/h的速度在测试场行驶了2h,再以xkm/h速度行驶，若 要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4h,则x的最大值是多少？ 41/68