第三十章  直线与圆的位置关系-2026-2027学年九年级数学上册基本功（人教版）

第30章直线与圆的位置关系 30.1直线与圆相离、相切、相交 知识点直线与圆的位置关系的性质与判定 1.已知⊙0的半径r是一元二次方程x2-5x-6=0的一个根，圆心0到直线的距离d=5,则 直线与⊙0的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.平行 2.【2026镇江质检】已知矩形ABCD中，AB=a,BC=b,若以AB为直径的圆与边CD有交点， 则a与b满足的关系为（) A.a>2b B.a>2b C.ab D.a>b 3.【2026南开期中】如图，点A(1,0),B(0,2),O(0,0),点M为线段AB的中点， 6 2V5 以点M为圆心，智为半径作⊙M,则下列结论中正确的是() A.AB与⊙M相切 B.点O在⊙M上 C.点A在⊙M上 D.点B在⊙M上 4【2026揭阳期未】已知00的半径是关于x的方程，3，x-1 =1的增根，圆心0到直线 x-2x-2 的距离d=2,则直线与⊙0的位置关系是 0 5.【2025青浦期末】若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，以P为圆心，2为半 径的圆与y轴相交，则n的取值范围是 0 6.【2025南京如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上(OA>0B), C(a,-a)(a为常数)，以C为圆心、适当的长度为半径作⊙C,使点A,B在⊙C上。 (1)请用无刻度的直尺和圆规作出⊙C。(保留作图痕迹，不写作法) (2)若0A=8,0B=6,直线y=x+b与⊙C有且只有一个公共点，则b=」 10 77/86 第30章直线与圆的位置关系 7.如图，已知LAPB=30°，OP=3cm,⊙O的半径为1cm。若圆心0沿着BP方向在直线BP 上移动。 (1)当圆心0移动的距离为1cm时，⊙0与直线PA的位置关系是什么？ (2)若圆心O的移动距离是xcm,当⊙O与直线PA相交时，x的取值范围是什么？ A A B B 易错点错把圆心到直线上某点的距离与半径作比较来确定直线与圆的位置关系 8.已知⊙0的半径为3cm,P为直线l上的一点，若0P=5cm,则直线l与⊙0的位置关系是（) A.一定相交 B.一定相切 C.一定相离 D.可能相交，也可能相切或相离 78/86 第30章直线与圆的位置关系 30.2切线的判定和性质 知识点1切线的性质 1.【2026大连期中】如图，已知AB是⊙0的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙0 于点C,若∠D=,则∠A的度数为（) A.45°- 2 B.45°-a C.60°-a D.a A 2.【2026张家口期末】如图是一个钟表表盘，连接刻度2与刻度10的B、C两点并延长， 交过刻度8的切线于点P,若表盘的半径长为3，则线段PC长为 。 D1112 B 10 3 8 3.【2025南京质检】如图，已知AB是⊙P的直径，点C在⊙P上，连接AC、BC,D 为⊙P外一点，且∠ADC=90°，CD为⊙P的切线。 (1)若∠B=30°，AC=2,求⊙P的半径。 (2)求证：2LB+∠DAB=180°。 C B 79/86 第30章直线与圆的位置关系 知识点2切线的判定 4.【2026武威质检】如图，在⊙0中，E是半径OA上一点，射线EB10A,交⊙0于 B,P为OA上任意一点，射线PB交⊙O于C,D为射线EB上的点，且DE=PE, 下列结论：①CD为⊙O的切线；②BE>PE;③∠COD=2LA,其中正确的结论有（) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 B 第4题图 第5题图 5.开放性试题如图，AB是⊙0的直径，要使得直线AT是⊙0的切线，需要添加的一 个条件是 。(写一个条件即可) 6.【2026江门质检】如图，在平面直角坐标系x0y中，以点A(V2,0)为圆心，1为半径画 圆。将⊙A绕点0逆时针旋转(0°<a<180)得到⊙A,使得⊙A与y轴相切， 则a的度数是 0 B 第6题图 第7题图 7.【2025郑州期中】如图，⊙0的直径AB=10,∠ABC=30°，BC交⊙0于P,P是BC 的中点。 (1)求BC的长； (2)连接AC,过点P作PQ1AC,垂足为Q,求证：PQ是⊙0的切线。 80/86 第30章直线与圆的位置关系 30.3切线长定理 知识点1过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 1.【2026龙岩质检】如图，AB是⊙O的弦，P是AB延长线上一点。 (1)过点P作⊙O的切线PC,切点C在直线AB的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图 痕迹) (2)在(1)的条件下，连接AC,BC。求证：LPCB=LBAC。 B 0 知识点2切线长定理 2.【2026深圳质检】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA,CD是⊙O的切线，A, D为切点，连接BD,AD。若LACD=48°，则∠DBA的大小是() A.32° B.48 C.60° D.66° A 第2题图 D B 第3题图 3.【2026秦皇岛期末】如图，在四边形ABCD中，AB II CD,AD1AB,以D为圆心，AD为半 径的弧恰好与BC相切，切点为E。若AB=1,BC=3,则阴影部分的面积是（) A4w6- R26 C2w5-5 D.36- 4π 81/86 第30章直线与圆的位置关系 4.【2026德阳期末】如图，EB,EC是⊙O的两条切线，B,C是切点，A,D是⊙O上两点，连 接AB,BC,CD,DA。若LE=46°，∠DCF=32°，则LA的度数是度。 B 0 B 第4题图 E 第5题图 5.【2026绵阳期末】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6,以点C为圆心，2为 半径作⊙C,过AB上的动点P作⊙C的切线PD,PE,过劣弧DE上一点Q作⊙C的另一条切线分 别交PD,PE于点M,N,则△PMN周长的最小值为 0 6.【2026日照期中】如图，在以点0为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心0，且与小圆相交于 A,与大圆相交于B,小圆的切线AC与大圆相交于C,BC平分∠ABO。 (1)证明：直线BC是小圆的切线； (2)证明：AC+AD=BC; (3)若AB=8cm,BC=10cm,求大圆与小圆形成的圆环的面积。 82/86 第30章直线与圆的位置关系 30.4三角形的内切圆 知识点三角形的内切圆与内心 1根据尺规作图的痕迹，可以判定点I为△ABC的内心的是（) D 2.【2025广州期末】如图，△ABC的内切圆I与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,若⊙I 的半径为r,∠FDE=,则AF+CD-AC的值和LA的度数分别为（) A.0,180°-2 B.0,180°- C.V2r,90°-2a D.Vm,90-月 :0 第2题图 B D C 第3题图 B 3.【2026宁波质检】已知△ABC为等腰三角形，AB=AC=5,BC=6,点I为△ABC的内心， 点O为△ABC的外心，则OI的长为() cg 5 D.2 4.【2026准安期中】在△ABC中，LA=50°，点0是△ABC的内心，连接0B,OC,则∠B0C 的度数为 B 4 第4题图 B 第5题图01234衣 5.【2025杭州质检】如图，平面直角坐标系中，A(1,1),B(2,4),C(3,1),则△ABC的内切圆 的半径长为 83/86 第30章直线与圆的位置关系 6.阅读材料：如图(1)，△ABC的周长为L,面积为S,内切圆O的半径为r,探究r与S,L之间的 关系。 1 1 解：如图（）①，连接0A,0B,0C。~S△AoB=2AB:r,Sao8c=2BCr,SAOCA-2CAm, 11 1 S-AB:rtBC.rt-CA.r=r r= 如图(1) 如图(2) 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5,12,13的三角形内切圆半径。 (2)如图(2)，若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S,各边长分别为a, b,c,d,内切圆半径为r,试推导四边形的内切圆半径公式。 (3)若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S,各边长分别为a1,a2,ag, …,α，内切圆半径为r,猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）。 84/86 第30章直线与圆的位置关系 30.5正多边形与圆 知识点1正多边形的有关概念及计算 1.对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各 角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.【2026临沂质检】如图，已知五边形ABCDE为正五边形，以点A为圆心，以AC的长为半径 画弧，分别交AB,AE的延长线于点F,G.连接CG,DG,则LCGD=() A.18° B.24° C.28° D.36° 第2题图 第3题图 3.【2025四平期中】如图，O是正五边形ABCDE的内切圆，分别切AB,CD于点M,N,P是优 弧MPN上的一点，则∠MPN的度数为() A.54° B.60° C.66° D.72° 4.【2026保定期中】如图，A,B,C,D均为圆周上的十二等分点，若用直尺测量弦CD的长时， 发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A,B两点的距离是() A.2v2cm B.2v3cm C.3v3cm D.6cm B D 第4题图 0cmi23456 第5题图 5.【2026连云港质检】如图，⊙0的内接正十二边形的面积为S1,⊙0的面积为S,若⊙0的 半径为1，则S-S1=() A.π-2B.π-1C.π-3 D.2π-3 85/86 第30章直线与圆的位置关系 6.【2026宿迁期中】如图，AB,BC分别为⊙0的内接正三角形与内接正四边形的一边，AC 是圆内接正n边形的一边，则n的值为 0 知识点2正多边形的画法 7.【2026东城期中】我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在⊙0上任取点A, 从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙0上依次截取点，从而把⊙O六等分。下列可以只用 圆规将圆（已知圆心)等分的是() ①二等分；②三等分；③四等分. A.② B.①② c.①③ D.①②3 8.【2025荆门质检】如图，在⊙O中，MF为直径，OA1MF,圆内接正五边形ABCDE的部分 尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H; ②以点H为圆心，HA长为半径作圆弧，交直径MF于点G; ③AG长即为正五边形的边长，在⊙O上依次作出各等分点B,C,D,E. 已知⊙O的半径R=2,则AB2= 86/86第30章直线与圆的位置关系 30.1直线与圆相离、相切、相交 知识点直线与圆的位置关系的性质与判定 1.已知⊙0的半径r是一元二次方程x2-5x-6=0的一个根，圆心0到直线的距离d=5,则 直线与⊙0的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.平行 答案：A 解析：解x2-5x-6=0,得x1=-1,x2=6。 :⊙0的半径为一元二次方程x2-5x-6=0的一个根，r=6。 :d=5,.d<r,直线与⊙0的位置关系是相交，故选A。 2.【2026镇江质检】已知矩形ABCD中，AB=a,BC=b,若以AB为直径的圆与边CD有交点， 则a与b满足的关系为（) A.a>2b B.a>2b C.a>b D.a>b 答案：A 解析：~AB=Q,以AB为直径的圆的半径为 a 以AB为直径的圆与边CD有交点，小2>b,六a>2b,故选A。 3.【2026南开期中】如图，点A(1,0),B(0,2),0(0,0),点M为线段AB的中点，以点M为圆心， 为半径作⊙M,则下列结论中正确的是 A.AB与⊙M相切 B.点O在⊙M上 C.点A在⊙M上 D.点B在⊙M上 0 答案：A 145/169 第30章直线与圆的位置关系 解析：过M作MN1AB于N,连接0M。:A(1,0),B(0,2),OA=1,OB=2。 :∠A0B=90°，AB=√0A2+0B2=V5。 5 点M为线段AB的中点，∠A0B=90°，÷OM=)AB 2。 SAOB-OA OB-AB MN,x MN=1x2,MN-2V5 1 。 :⊙M的半径r= 2v5 ,MN=,“AB与OM相切，故A符合题意。 OM>r,AM>r,BM>r,.O,A,B在⊙M外，故B、C、D不符合题意。故选A。 4【2026揭阳期末】已知O0的半径是关于x的方程，3一kx-1 x-2x-2 =1的增根，圆心0到直线 的距离d=2,则直线与⊙O的位置关系是 答案：相切 解析：关于的方程3，kx号-1的增根是x=2,“00的半径是2。 x-2x-2 圆心0到直线的距离d=2,:直线与⊙0的位置关系是相切。 5.【2025青浦期末】若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，以P为圆心，2为半 径的圆与y轴相交，则n的取值范围是 答案：1<n<10 解析：y=x2+2x+2=(x+1)2+1, “二次函数y=x2+2x+2的图象开口向上，顶点坐标为(-1,1)，对称轴是直线x=-1。 以P为圆心，2为半径的圆与y轴相交， .P(m,n)到y轴的距离小于2，∴-2<m<2。 当x=-2时，y=(-2+1)2+1=2; 当x=2时，y=(2+1)2+1=10; 当x=-1时，y=1, .n的取值范围是1≤n<10。 思路分析：由题意可知-2<m<2,根据m的取值范围，利用二次函数即可确定n的取值范围。 146/169 第30章直线与圆的位置关系 6.【2025南京质检】如图，在平面直角坐标系x0y中，点A,B分别在x轴负半轴、y轴正半轴 上(OA>0B),C(a,-a)（a为常数)，以C为圆心、适当的长度为半径作⊙C,使点A,B在⊙C 上。 (1)请用无刻度的直尺和圆规作出⊙C。(保留作图痕迹，不写作法) (2)若0A=8,OB=6,直线y=x+b与⊙C有且只有一个公共点，则b= Y B 答案：(1)如图，⊙C即为所作。 (2)4或24 解析：(2)当直线y=x+b与⊙C有且只有一个公共点时，设公共点为点T,连接CA,CB,CT, 则易知CT1直线y=x+b,且CT=AC=CB。 :C(a,-a),点C在直线y=-x上，∴点T是直线y=-x和直线y=x+b的交点。 1 b 联立（十 X三一 解得 y=xb 2 0A=8,0B=6,A(-8,0),B(0,6)。 由CT=AC=CB,得： (a+2b)2+(-a-2b)2=(a+8)2+(-a2=a2+(-a-62 解得b=4或24。 关键点拨：确定直线y=x+b与⊙C的公共点的位置是解题的关键。 7.如图，已知LAPB=30°，OP=3cm,⊙O的半径为1cm。若圆心0沿着BP方向在直线BP 147/169 第30章直线与圆的位置关系 上移动。 (1)当圆心0移动的距离为1cm时，⊙0与直线PA的位置关系是什么？ (2)若圆心O的移动距离是xcm,当⊙O与直线PA相交时，x的取值范围是什么？ A」 B 答案：(1)相切，(2)1<x<5 解析： A (1)如图(1)， B当圆心0向左移动1cm时，P0=P0-0'0=3-1= 2(cm),作0C1PA于点C。 1 ∠P=30,0'C=2P0'=1am。 :⊙0的半径为1cm,0C为⊙0的半径，⊙0与直线PA的位置关系是相切。 A B (2)如图(2)， 当圆心O由O向左继续移动时，PA与⊙O相交；当圆心0移动到点0时，PA与⊙O相切，此时 P0'=P0'=2cm。 :P0=3cm,00'=P0+P0'=3+2=5(cm), ·当⊙0与直线PA相交时，圆心0移动的距离x的取值范围为1<x<5。 148/169 第30章直线与圆的位置关系 易错点错把圆心到直线上某点的距离与半径作比较来确定直线与圆的位置关系 8.已知⊙0的半径为3cm,P为直线l上的一点，若0P=5cm,则直线与⊙0的位置关系是（) A.一定相交 B.一定相切 C.一定相离 D.可能相交，也可能相切或相离 答案：D 解析：因为垂线段最短，圆心到直线的距离为垂线段的长度，所以此时垂线段的长度和半径 的大小关系不确定，则直线和⊙O相交、相切、相离都有可能。 149/169 第30章直线与圆的位置关系 30.2切线的判定和性质 知识点1切线的性质 1.【2026大连期中】如图，已知AB是⊙0的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙0 于点C,若∠D=,则∠A的度数为（) A.45°- a B.45°- C.60°- D.a 答案：A 解析：连接OC。 :DC切⊙0于点C,OC1DC,∠0CD=90°。 '∠D=,∠C0D=90°-∠D=90°-ax。 又：0A=0C,∠A-c0D-(90-)=45-,故选A 1 2.【2026张家口期末】如图是一个钟表表盘，连接刻度2与刻度10的B、C两点并延长， 交过刻度8的切线于点P,若表盘的半径长为3，则线段PC长为一。 10 8 4 65 答案：2 D 12 11 1 B 4 C 解析： 设钟表表盘的中心为点O,连接BC、OD。 150/169 第30章直线与圆的位置关系 由钟表表盘的特性可知点0在BC上，∠D0C=2x30°=60，∠DBC三号D0G=30 :PC与O0相切于点C,LBCP=90°。：PBC=30,PC=2PB。 :PB2-PC2=BC2,4PC2-PC2=(2W3)2,解得PC=2（负值已舍去)。 3.【2025南京质检】如图，已知AB是⊙P的直径，点C在⊙P上，连接AC、BC,D 为⊙P外一点，且LADC=90°，CD为⊙P的切线。 (1)若∠B=30°，AC=2,求⊙P的半径。 (2)求证：2LB+∠DAB=180°。 B 答案：(1)⊙P的半径为2；(2)证明见解析。 B P 解析： (1)连接CP。∠B=30°，∠APC=2LB=2×30°=60°。 又PC=PA,·△ACP是等边三角形，·PA=AC=2,即⊙P的半径为2。 (2):LAPC=2LB,CD是⊙P的切线，PC1CD, :∠ADC=90°，.PC II AD,∠DAB+∠APC=180°，.2∠B+∠DAB=180°。 知识点2切线的判定 4.【2026武威质检】如图，在⊙0中，E是半径0A上一点，射线EB10A,交⊙0于 B,P为OA上任意一点，射线PB交⊙O于C,D为射线EB上的点，且DE=PE, 下列结论：①CD为⊙O的切线；②BE>PE;③∠COD=2LA,其中正确的结论有() A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 151/169 第30章直线与圆的位置关系 F 夕 P 答案：B 解析：连接OC。DE=PE,∴LEPD=LEDP。 :LEPD=∠CPB,∠EDP=LCPB。OB=OC,LOBC=∠OCB。 又：∠OBC+∠CPB=90°，.∠0CB+∠EDP=90°，.∠OCD=90°，.OC1CD, 而0C是半径，CD为⊙0的切线，①正确。 无法确定BE和PE的长度，②错误。 :∠0CD=90,∠BDP=∠CPB,2zCPB+∠C0D=180,又：∠A=乞180-∠G0D), 1 ·180°-2LA=180°-∠C0D,·.∠C0D=2LA,③正确。故选B。 5.开放性试题如图，AB是⊙0的直径，要使得直线AT是⊙0的切线，需要添加的一 个条件是 。(写一个条件即可) B 0 答案：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 解析：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°。∠ABT=∠ATB=45°，∠BAT=90°， 又AB是⊙O的直径，·OA是⊙0的半径，AT是⊙0的切线。 6.【2026江门质检】如图，在平面直角坐标系x0y中，以点A(√2,0)为圆心，1为半径画 圆。将⊙A绕点0逆时针旋转α(0°<《<180)得到⊙A,使得⊙A与y轴相切， 则《的度数是 152/169 第30章直线与圆的位置关系 Y 1A 答案：45°或135° 解析： A 图(1)， 点A在第一象限时，设⊙A'与y轴相切于点C,连接OA、A'C, 则0C1AC,∠A'C0=90°。A(V2,0),·0A=V2,由旋转得0A=0A=V√2。 :⊙A的半径为1，⊙A的半径为1，AC=1, ÷0C=V0A2-A'C2=,(W2)2-12=1,·AC=0C,÷∠C0A=∠0A'C=45, .=∠A0A=90°-45°=45°。 A'。 图(2)， 点A在第二象限时，设⊙A'与y轴相切于点C,连接OA'、A'C, 则OC1AC,∠AC0=90°。 :0A=V2,AC=1,0C=V0A?-AC=22-12=1, AC=0C,.∠C0A=∠0AC=45°，·a=∠A0A=90°+45°=135°。 153/169 第30章直线与圆的位置关系 7.【2025郑州期中】如图，⊙0的直径AB=10,∠ABC=30°，BC交⊙0于P,P是BC 的中点。 (1)求BC的长； (2)连接AC,过点P作PQ1AC,垂足为Q,求证：PQ是⊙0的切线。 0 B 0 0 A B 答案：C (1)连接AP。AB是⊙0的直径，∠APB=90°。 LABC =30,AB =10,AP =7AB=5,BP=AB2-AP2 =5V3. :P是BC的中点，·BC=2BP=10V5,即BC的长为10V5。 (2)连接OP。 :PQ1AC,∠PQC=90°。P是BC的中点，0是AB的中点， OP是△BAC的中位线，.OP II AC,LOPQ=PQC=90°，OP1PQ。 OP是⊙0的半径，PQ是⊙O的切线。 154/169 第30章直线与圆的位置关系 30.3切线长定理 知识点1过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 1.【2026龙岩质检】如图，AB是⊙O的弦，P是AB延长线上一点。 (1)过点P作⊙O的切线PC,切点C在直线AB的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图 痕迹) (2)在(1)的条件下，连接AC,BC。求证：∠PCB=LBAC。 B 0 H 、 B 0 答案： (1)如图，直线PC即为所求。 (2)证明：如图，作直径CH,连接BH。 由作图可知CH L CP,LPCB+∠HCB=90°。 :CH是直径，·.∠H+LBCH=90°，·∠PCB=∠H。 :∠BAC=∠H,·∠PCB=∠BAC。 知识点2切线长定理 2.【2026深圳质检】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA,CD是⊙O的切线，A, D为切点，连接BD,AD。若∠ACD=48°，则∠DBA的大小是() A.32° B.48° C.60° D.66° 155/169 第30章直线与圆的位置关系 B 答案：D 解析：CA,CD是⊙O的切线，·CA L AB,CA=CD。 :∠ACD=48°，.∠CAD=∠CDA=66°。 :CA1AB,AB是直径，·∠ADB=∠CAB=90°， ∠DBA+∠DAB=90°，∠CAD+∠DAB=90°，∠DBA=∠CAD=66°，故选D. 3.【2026秦皇岛期末】如图，在四边形ABCD中，AB II CD,AD1AB,以D为圆心，AD为半 径的弧恰好与BC相切，切点为E。若AB=1,BC=3,则阴影部分的面积是() A.4V5 4π 826- c26-n D.3v6-5 π A B D 答案：C A B E -- 解析：D 如图，连接DB,DE。:AD LAB,以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切， ·AB,BC是该弧所在圆的切线，·AB=BE=1,∠ABD=∠EBD,DE⊥BC, .EC=BC-BE=3-1=2。 :AB II CD,∴.∠ABD=∠BDC,·∠EBD=∠BDC,DC=BC=3。 在Rt△DEC中，DE=V32-22=V5,·AD=DE=V5, 156/169 第30章直线与圆的位置关系 阴影部分的面积为×(1+3)×V5-×(52-2V5-.故选C. 4.【2026德阳期末】如图，EB,EC是⊙O的两条切线，B,C是切点，A,D是⊙O上两点，连 接AB,BC,CD,DA。若∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是 度。 B 0 E F 答案：99 解析：：EB,EC是⊙O的切线，·EB=EC,又∠E=46°，∠ECB=∠EBC=67°， ∴.∠BCD=180°-（∠BCE+∠DCF)=180°-(67°+32）=81°. . 四边形ADCB内接于⊙0，∠A+∠BCD=180°，·∠A=180°-81°=99°。 5.【2026绵阳期末】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6,以点C为圆心，2为 半径作⊙C,过AB上的动点P作⊙C的切线PD,PE,过劣弧DE上一点Q作⊙C的另一条切线分 别交PD,PE于点M,N,则△PMN周长的最小值为 答案：2V14 M D 解析： 157/169 第30章直线与圆的位置关系 :PD,PE,MN是⊙C的切线，.PD=PE,MD=MQ,NQ=NE, △PMN的周长为PM+MN+PN=PM+MD+PN+NE=PD+PE=2PE。 连接PC,CE,如图，则∠CEP=90°，·PE=VPC2-CE2。 :⊙C的半径不变，即CE长不变， PE长随着PC长的变化而变化，即当PC长最小时，PE长最小，则△PMN的周长最小。 :当PC1AB时，PC长最小，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6, 勾股定理得AB=VAC+BC2=V6+6=6V2,点P是AB的中点，则PGAB=3 PE=√PC2-CE2=(3V2)2-22=V14,△PMN周长的最小值为2W14。 6.【2026日照期中】如图，在以点0为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心0，且与小圆相交于 A,与大圆相交于B,小圆的切线AC与大圆相交于C,BC平分∠ABO。 (1)证明：直线BC是小圆的切线； (2)证明：AC+AD=BC; (3)若AB=8cm,BC=10cm,求大圆与小圆形成的圆环的面积。 答案： (1)证明：如图，作0E1BC于E。:AC是小圆的切线，OA1AC。 :BC平分∠AB0,.OA=OE。:A在小圆上，E也在小圆上，即OE是小圆的半径， .直线BC是小圆的切线。 (2)证明：如图，连接0D。 158/169 第30章直线与圆的位置关系 :AC,BC是小圆的切线，AC=CE。 REA AODE与Rt△E0B中，{A=OE,Rt△AOD兰Rt△EOB(H),∴AD=BE ·BC=CE+BE=AC+AD。 (3)解：由(2)可得BE=AD=BC-AC=10-√BC2-AB2=10-6=4(cm), S圆环=S大圆-S小圆=π(0B2-0E2)=元·BE2=16πcm2。 159/169 第30章直线与圆的位置关系 30.4三角形的内切圆 知识点三角形的内切圆与内心 1.根据尺规作图的痕迹，可以判定点I为△ABC的内心的是（) 答案：C 解析：三角形的内心是三角形角平分线的交点。由基本作图知选项C中尺规作图作的是∠ABC 和LACB的平分线，所以点I为△ABC的内心，故选C。 2.【2025广州期末】如图，△ABC的内切圆I与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,若⊙1 的半径为r,∠FDE=,则AF+CD-AC的值和LA的度数分别为() A.0,180°-2a B.0,180°- C.V2r,90°-2a D.V3,90-2 B 答案：A 解析：连接IE,IP,ID,如图。B D :△ABC的内切圆I与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, AF=AE,CD=CE,AB⊥IF,AC⊥IE, 160/169 第30章直线与圆的位置关系 ·LAEI=∠AFI=90°，AF+CD=AE+CE=AC,·.AF+CD-AC=AC-AC=0。 :∠FIE=2LFDE=2a,.∠A=360°-90°-90°-2a=180°-2a。 3.【2026宁波质检】已知△ABC为等腰三角形，AB=AC=5,BC=6,点I为△ABC的内心， 点O为△ABC的外心，则OI的长为() 5 A.2 c D.2 .0 B 答案：B 解析： B D 如图，连接AI并延长交BC于D,连接BI,BO。 :点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，AB=AC, ·.∠BAD=∠CAD,BD=CD,∠ADC=∠ADB=90°，即AD垂直平分BC,点O在AD上。 AB=AC=5,BC=6,BD=CD=3,AD=V52-32=4。 :点O是△ABC的外心，：可设A0=B0=R,则OD=4-R。 257 在Rt△B0D中，由勾股定理得4-R+32=R,解得R=8,0D=4一8= 作HI⊥AB于H,JI⊥AC于J。点I为△ABC的内心，.HI=JI=DI。 设0=a5cAna+7Ac-a+ca-xBc×6D, 21 21 1 ,1 1 1 “2×5a+2×5a+2×6a=2×6×4, 3 3 375 即16a=24,解得a=2即1D=201=1D-0D=288故选B。 归纳总结 三角形的内心是三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等；三角形的外心是三边垂直平 161/169 第30章直线与圆的位置关系 分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。等腰三角形的内心和外心都在底边上的高线上面。 4.【2026准安期中】在△ABC中，∠A=50°，点0是△ABC的内心，连接0B,OC,则∠B0C 的度数为 B 答案：115° 解析：如图，⊙O是△ABC的内切圆，BO平分LABC,CO平分LACB, OBC-ABC /0CB-ACB. 1 :∠A=50°，·∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°， 1 ∠0BC+∠0CB=2(LABC+LACB)=65, ∠B0C=180°-(L0BC+∠0CB)=115°。 5.【2025杭州质检】如图，平面直角坐标系中，A(1,1),B(2,4),C(3,1),则△ABC的内切圆 的半径长为 3 2 A 01234x V10-1 答案： 3 162/169 第30章直线与圆的位置关系 4 3 2 解析： 1234x 设△ABC的内切圆I与AB,BC,AC分别相切于点F,J,E,连接IF,IU,IE,如图。 :A(1,1),B(2,4),C(3,1), 1 AC=3-1=2,AB=BC=V12+32=V0,SaA8c=2×2X3=3。 连接AI,BI,CI,设△ABC的内切圆⊙I的半径长为r,则IF=U=IE=r。 ~IF⊥AB于点F,IU⊥BC于点J,IE⊥AC于点E, SAANG -SAAB+SAnc+SAAG-ABF+BC+AC.IE, 时×m×mr+x-3,解得，而1. 1 3。 6.阅读材料：如图(1)，△ABC的周长为L,面积为S,内切圆O的半径为r,探究r与S,l之间的 关系。 解：如图(1)，连接0A,OB,OC。 AB.S0OBG-BC SAOcA= 1 1 2 CA·T, 1 1 1 1 2S S=2ABr+BCr+CAr= lr,r=7 A 如图(1) 如图(2) 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5,12,13的三角形内切圆半径。 答案：2 163/169 第30章直线与圆的位置关系 解析：：52+122=132，“此三角形为直角三角形， 1 2×30 三角形面积S=×5×12=30,三角形内切圆半径为写+12十13=2。 (2)如图(2)，若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S,各边长分别为a, b,c,d,内切圆半径为r,试推导四边形的内切圆半径公式。 2S 答案：r= a+b+c+d D 解析： B 设四边形ABCD内切圆的圆心为O,连接OA,OB,OC,OD, 1 1 1 0侧S=SA0AB+SA0Bc+Sa0D+S0nAAB·T+5BC·r+5CD·r+5DAL =a+b+c+0·H 2S ∴r= a+b+c+d° (3)若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S,各边长分别为a1,a2,a3, …,an,内切圆半径为r,猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）。 2S 答案：r= a1+a2+…+an 164/169 第30章直线与圆的位置关系 30.5正多边形与圆 知识点1正多边形的有关概念及计算 1.对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各 角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形。正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：B 解析：①错误，如矩形，满足条件，却不是正多边形；②正确；③错误，如圆内接矩形，满 足条件，却不是正多边形；④正确。共有2个正确. 2.【2026临沂质检】如图，已知五边形ABCDE为正五边形，以点A为圆心，以AC的长为半径 画弧，分别交AB,AE的延长线于点F,G.连接CG,DG,则LCGD=() A.18° B.24° C.28° D.36 A 答案：A 解析： 1 如图，连接AC,AD∠CGD=2∠CAD. 五边形4GDE为正五边形，A8G=68E180X52--10g,ABC, 5 ·∠BCA=∠BAC= 180°-108° =36,同理可得LEAD=36°. ®2CAD=BAE=∠BAC=DAE=36,2CGD专CAD号X36=18,故选A 165/169 第30章直线与圆的位置关系 3.【2025四平期中】如图，O是正五边形ABCDE的内切圆，分别切AB,CD于点M,N,P是优 弧MPN上的一点，则LMPN的度数为() A.54° B.60° C.66° D.72° M B E C N D 答案：D A M B E 解析： 如图，连接MO,ON.⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，分别切AB,CD于点M,N. ∠0MB=∠0NC=90:五边形ABCDE是正五边形，·∠B=∠C=5-2)×180 =108°. .∠M0N=(5-2)×180°-90°-90°-108°-108°=144°， 1 “∠MPN=2M0N=72°.故选D, 4.【2026保定期中】如图，A,B,C,D均为圆周上的十二等分点，若用直尺测量弦CD的长时， 发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A,B两点的距离是() A.2v2cm B.2V3cm C.3v3cm D.6cm A D T可四p4可T 0cmi23456 答案：C 166/169 第30章直线与圆的位置关系 解析： D 如图，设点O为圆心，连接AD,AC,CO,CD,由圆的对称性可知，AD是⊙O的直径， 点O在AD上“点A,B,C,D是圆周上的十二等分点， ∠C0D=360 12×2=60,AB=AC,AB=AC,∠CAD=∠C0D=30°， :AD是⊙O的直径，LACD=90° 在Rt△ACD中，∠CAD=30°，CD=4-1=3(cm),.AD=6cm, ·AC=V62-32=3V3(cm),AB=AC=3V3cm,故选C. 5.【2026连云港质检】如图，⊙0的内接正十二边形的面积为S1,⊙0的面积为S,若⊙0的 半径为1，则S-S1=() A.π-2 Bπ-1C.π-3D.2m-3 0 答案：C C 解析： B A ⊙0的半径为1，⊙0的面积S=π. 如图，设AB是⊙O内接正十二边形的一条边，连接0A,OB,·.OA=OB=1. ⊙0的内接正十二边形的中心角为12 360° =30°，.∠A0B=30° 1 1 过点A作AC10B于点C,“AC=20A=2 167/169 第30章直线与圆的位置关系 1 1 S1=12SaA08=12×20B.AC=12×2×1×2=3,S-S1=π-3.故选C 6.【2026宿迁期中】如图，AB,BC分别为⊙O的内接正三角形与内接正四边形的一边，AC 是圆内接正n边形的一边，则n的值为 B 0 答案：12 B 解析： A 连接0A,OB,OC,如图. :AB,BC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边， 360° 、∠A0B= 360° =90°，∠B0C=3 =120°，∠A0C=∠B0C-∠A0B=30°， 4 30=12,即4C是圆内接正十二边形的一边。故答案为12 360° 知识点2正多边形的画法 7.【2026东城期中】我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在⊙0上任取点A, 从点A开始，以⊙0的半径为半径，在⊙0上依次截取点，从而把⊙0六等分。下列可以只用 圆规将圆（已知圆心）等分的是() ①二等分；②三等分；③四等分， A.② B.①② c.①③ D.①②③ 答案：D 168/169 第30章直线与圆的位置关系 A 解析： E :只用圆规可完成圆的六等分，“可以利用六等分点得到二等分点和三等分点，①②可以将 半径为r的⊙O六等分，依次得到A,B,C,D,E,F六个等分点；分别以点A,D为圆心，AC 长为半径画弧，G是两弧的一个交点；以点D为圆心，OG长为半径作弧，交⊙O于点M,N,如 图，A,M,D,N就是圆的四等分点，③也可以。故选D. 8.【2025荆门质检】如图，在⊙O中，MF为直径，OA1MF,圆内接正五边形ABCDE的部分 尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H； ②以点H为圆心，HA长为半径作圆弧，交直径MF于点G; ③AG长即为正五边形的边长，在⊙O上依次作出各等分点B,C,D,E. 已知OO的半径R=2,则AB2= 答案：10-2V5 解桥：连接AG8H为0F中点，∴0H0P三×2卫 在Rt△0AH中，由勾股定理，得AH=√OA2+OH2=√22+12=V5. AH-HG=V5,..0G GH-OH=V5-1. 在Rt△A0G中，由勾股定理得，AG2=0A2+0G2=22+(V5-1)2=10-25. AB=AG,.AB2=10-2V5. 故答案为10-2V5. 169/169