第二十五章  一元二次方程-2026-2027学年九年级数学上册基本功（人教版）

第25章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 知识点1一元二次方程的定义 1.【2025日照质检】下列方程中：()2x2-1:(②2x2-5y+y2=0;③7x+1-0: 1 (4)ax2+bx+c=0;(5)x2+2x=x2-1,是一元二次方程的有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.关于x的方程ax2+bx+c=0,有以下说法，其中正确的是() A.当b=0时，ax2+c=0是一元二次方程 B当c=0时，ax2+bx=0是一元二次方程 C.当a=0时，bx+c=0是一元一次方程 D.以上说法都不对 知识点2一元二次方程的一般形式 3.【2025孝感质检】一元二次方程(x-3)2+5=6x化成一般形式是（二次项系数大于 0),其中一次项系数是。 4.【2026洛阳期中】若关于x的一元二次方程3x2+x-2=ax(x-2)化成一般形式后， 其二次项系数为1，常数项为一2，则该方程中的一次项系数为。 知识点3一元二次方程的根 5.已知x=2是关于x的一元二次方程x2-mx-2=0的一个根，则m的值是（) A.-1 B.0 C.1 D.0或1 6.下表是代数式ax2+bx的值的情况，根据数据可知方程ax2+bx=6的根是() -3 -2 -101234 ax2+bx 126 2002612 A.x1=0,X2=1 B.X1=-1,X2=2 C.X1=-2,X2=3 D.X1=-3,x2=4 3/86 第25章一元二次方程 7.【2026惠州期中】若a是方程x2-x-1=0的一个根，则-a3+2a+2020的值为 知识点4建立一元二次方程模型 8.2025年是“全运年”，第十五届全运会于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行。为 了激励学生运动，各学校也开展篮球比赛，每两支队都要进行两场比赛，共要比赛56场，若 有x支队参赛，则可得方程为 (化成一般形式)。 9.【2026深圳质检】一块正方形纸板，在四个角上分别截去一个边长为1c的小正方形，然 后把四边折起来，做成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为32c3，则所用的正方形纸 板的边长应是多少厘米？如果设正方形纸板的边长是xcm,请列出方程，并把它化成一般形 式（不用解方程）。 易错点忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错 10.【2025新乡期末】如果关于x的一元二次方程(m-3)x2+3x+m-3=0有一个解是 x=0,那么m的值是() A.3 B.-3C.+3D.0或-3 486 第25章一元二次方程 25.2直接开平方法 知识点1解形如x2=p(p≥0)的方程 1.【2025安阳质检】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为() A.x2-4=0 B.-2x2=0 C.x2+3=0 D.x2-a=0(a>0) 2.【2026孝感期中】如果关于x的方程x2=m一1可以用直接开平方法求解，那么的 值可能是 3.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4,则 a 4.解方程 1 (1)3x2 270 (2)2x2+3=-2x2+4. 知识点2解形如(mx+n)2=p(m≠0p≥0)的方程 5.【2025铁岭期末】解一元二次方程(x+1)2=16,用直接开平方法可转化为两个一元一 次方程，其中一个一元一次方程是x+1=4,则另一个一元一次方程是() A.x-1=-4 B.x-1=4 C.x+1=-4 D.x+1=4 6.已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程(x一3)2=4的一个根，则此三角形的周 长为() A.17 B.11 C.15 D.11或15 7.【2026长治期末】已知(x2+y2+1)2=81,则x2+y2= 8.【2026海淀质检】对于实数p,q,用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数，例 如：min{-2,8}=-2,若min{x2,(x-1)2}=1,则x= 5/86 第25章一元二次方程 9.【2025吕梁期中】解方程 (1)3(x-1)2=12: (2)(2x+3)2=81. 易错点方程两边同时开平方，忽略被开方数互为相反数的情况致错 10.【2025白城期中】解方程(y+2)2=(3y-1)2 某同学的解题过程：解：y+2=3y-1,…第一步 -2y=-3,…第二步 y第三步 3 (1)以上解方程的过程中从第步开始出现错误，错误的原因是 (2)请写出正确的解方程过程 6/86 第25章一元二次方程 25.3配方法 知识点1配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1.【2025河东区期末】一元二次方程y2-4y-5=0配方后可化为() A.(y-2)2=9 B.y-2)2=5 C.y+2)2=5 D.(y+2)2=9 2.【2025安庆期末】已知方程x2一6x+4=口，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配 方成(x一p)2=7的形式，则印刷不清楚的数字是() A.6 B.9 C.2 D.-2 3.【2026南京期中】若关于x的一元二次方程x2+a-2ax-7=0有两个正实数根，则 整数a的最小值是 4.用配方法解方程： (1)x2-4x+1=0: (2)x2-2x-1=0 知识点2配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 5.用配方法解方程2x2-12x=5时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上的数 为() A.4 B.9 C.25 D.36 6.设x1为一元二次方程2x2-2x-1=0较大的实数根，则() A.3<x1<4 B.2<X1<3 C.1<x1<2 D.0<x1<1 7.【2026鞍山期中】用配方法解一元二次方程-3x2+12x-2=0时，将它化为(x+a)2= b的形式，则a+b的值为 7/86 第25章一元二次方程 8.【2026闵行质检】用配方法解方程： (1)2x2+4x-3=0; (2)3x2-6x+1=0。 易错点在配方时忽视等式的性质而致错 9.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容。 解方程：2x2-8x-18=0 解：移项，得2x2-8x=18。① 两边同时除以2，得x2-4x=9。② 配方，得x2-4x+4=9,③ 即(x-2)2=9,所以x-2=±3。④ 故x1=5,x2=-1。⑤ 上述过程中开始出错的步骤是（填序号），原因是 请写出正确的解答过程。 8/86 第25章一元二次方程 25.4公式法 知识点1一元二次方程根的判别式 1.【2026潍坊质检】若实数b,c满足c-b+2=0,则关于x的方程x2+bx+c=0根的 情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D无法确定 2.【2026南宁期中】如果关于x的方程kx2-2x+1=0有实数根，那么k的取值范围是 () A.k≤1 B.k≤1且k≠0 C.k≥1 D.k≥1或k=0 3.【2026宜宾质检】嘉淇在解关于x的方程x2+4x+c=0时，解出其中一个根是x=-1。 他核对时发现所抄的c比原方程的c值小1，则原方程的根的情况是 4.【2025郑州质检】请写出一个关于x的一元二次方程，并满足以下两个条件：①二次项系 数为k(k≠0)；②方程必须有两个不相等的实数根，这个一元二次方程可以是 知识点2一元二次方程的求根公式 5.【2025厦门期中】关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0(a≠0b2-4ac)0)的根是() A.x= b±Vb2-4ac B.x b2±Vb2-4ac 2a 2a -b±Vb2-4ac -b±Vb2-4ac C.x= D.x= 2 2a 6【2025信阳质检】用公式法解关于x的-元二次方程，得x=6±V6-4×4×1 ，则 2×4 该一元二次方程是 9/86 第25章一元二次方程 知识点3公式法解一元二次方程 7.【2025张家口期末】利用公式法解一元二次方程2x2-4x-1=0,可得两根为a,b,若 a>b,则a的值为() A.2+V6 B. 2-V6 c.2+6 D.26 2 2 2 2 8.【2025长春质检】用公式法解一元二次方程： (1)x2+3x-1=0 (②)22-4x+2=0。 易错点在用公式法时未将方程化为一般形式而出错 9.小明在解方程x2-5x=1时出现了错误，解答过程如下： 解：a=1,b=-5,c=1,(第一步) b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21,(第二步) …x=5±V2i 2—,(第三步) 5+V2i5-V21 X1= 2，2= 2—。(第四步) (1)小明解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是 (②)写出此题正确的解答过程。 10/86 第25章一元二次方程 25.5因式分解法 知识点1用因式分解法解一元二次方程 1.【2025吕梁期中】我们解一元二次方程x2-1=0时，可以运用因式分解法，将此方程化 为(x-1)(x+1)=0,得到两个一元一次方程：x-1=0,x+1=0,从而得到原方程的解 为x1=1,x2=-1。这种解法体现的数学思想是() A.整体思想 B模型思想 C.函数思想 D.转化思想 2.【2026遵义期中】小聪在解方程x2=3x时，只得到一个根x=3,则被漏掉的一个根是 () A.x=-3 B.x=0 C.x=1 D.x=2 3.【2026太原质检】已知(m2+n2)(m2+n2+2)-8(m2+n2+2)=0,则m2+n2的值 为() A.-8或2 B.-2或8 C.2 D.8 4.【2026无锡期中】请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一个根比-2小，比 一4大，则构造的一元二次方程是 (答案不唯一) 5.【2025西安质检】用因式分解法解方程： (1)(x+2)2-4(x-3)2=0; (2)3y2+1=2V3y。 知识点2用合适的方法解一元二次方程 6.【2026南阳质检】下列方程中，最适合用因式分解法解方程的是() A.(x-2)(x-3)=1 B.x2-2x-1=0 C.X-2=x2-4 D.x2-3x+4=0 11/86 第25章一元二次方程 7.【2025杭州期中】(1)关于x的方程x(x-1)=3(x-1),下列解法完全正确的是（填 “甲"“乙"“丙”或“丁") 甲：移项得x(x-1)+3(x-1)=0,(x-1)(x+3)=0,x-1=0或x+3=0,x1= 1,x2=-3 乙：两边同时除以(x-1),得x=3 两理得4E3,aE1b4c3xy282+,这2士7心2 2-√7 丁：整理得x2-4x=-3,配方得x2-4x+4=1,(x-2)2=1,x-2=士1，x1=1,X2=3 (2)选择合适的方法解方程 ①2(x+2)2-8=0; ②x(x-3)=2x-6; ③2x2-5x-2=0; ④(2x-5)2-(x+4)2=0。 12/86 第25章一元二次方程 25.6一元二次方程的根与系数的关系 知识点一一元二次方程根与系数的关系 1.若a,b是-元二次方程r2-2018x+1=0的两根，则+5的值是() A.2017 B.2018 1 1 C2017 2018 2.【2026江苏质检】当a=1,6=m,C-15时，代数式b+v24ac的值为3， 2a 则代数式b-VvB4a 的值为() 2a A.5 B.-5 C.1 D.-1 3.【2025山西质检】已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若2a+b=0, 且方程的一个根大于2，则另一个根是() A.正数 B.负数 C.0 D.无法确定 4.【2025揭阳期中】请写出一个满足下列条件的一元二次方程：二次项系数为1， 且两根之和为正数，两根之积为负数」 1 不化质检】已知m,n是不为0的实数，且m≠九，若m+1=5 m n 则”+”的值为一。 m n 6.【2026厦门质检】已知实数k,m,n(m+n≠0)满足m2+4m-1=k,n2-4n-k=1。 若m,n异号，则k的取值范围为 13/86 第25章一元二次方程 7.【2026遵义期末】已知关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个实数根。 (1)求k的取值范围。 (2)是否存在实数k的值，使得一元二次方程的两个实数根分别为x1,x2, 且满足2(x1+x2)=x1x2-4?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由。 易错点已知根与系数的关系求字母系数的值时，忽视△≥0而出错 8.关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2=0的两根为a,b,且a+b=ab-4,求m的值。 嘉佳的解题过程如下： 解：a+b=2m-1,ab=m2,2m-1=m2-4, 整理，得m2-2m-3=0, 解得m1=-1,m2=3 嘉佳的解题过程漏考虑了哪个条件？请写出正确的解题过程。 14/86 第25章一元二次方程 25.7几何图形问题 知识点1面积问题 1.【2026连云港期中】如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大 了一倍，则小圆形场地的半径为() A.5m B.(5+V2)m C.(5+3V2m D.(5+5V2m 2.【2026佳木斯期中】锦绣家园小区在一块长方形空地上建一个停车场，其布局如图所示。 已知停车场的长为52米，宽为34米，阴影部分设计为停车位，其余部分是宽度相同的通道 要使停车位占地面积为880平方米，则通道宽度应为米。 52米 34米 3.【2026泉州期中】某学校艺术节期间举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操 场，学校利用操场最北边的一面长度为36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为68米的栏 杆围成一个矩形场地，场地中间用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个2米宽 的小门，方便参加比赛的选手出入。设矩形场地的宽EF为x米。 (1)FN的长为 (用含x的代数式表示) (2)若围成的矩形场地的面积为384平方米，求矩形场地的宽EF。 E M CD入 15/86 第25章一元二次方程 知识点2存在性问题 4.【2026成都质检】对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是() A.至少存在一个钝角三角形 B.至多存在一个直角三角形 C至少存在一个锐角三角形 D至多存在一个钝角三角形 5.【2026青岛质检】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务。 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半， 那么称这个矩形是给定矩形的“减半"矩形。 如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半"矩形。 D,长4C D 长：12 宽3 宽：2 A B A,B 任务： (1)当一个矩形的长为40，宽为4时，若存在它的“减半”矩形，则它的“减半”矩形的周长为一， 面积为 (2)当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，求出“减半"矩形的长和宽； 如果不存在，请说明理由。 16/86 第25章一元二次方程 25.8传播问题、平均变化率问题和循环问题 知识点1传播问题 1.【2026阜新期中】某同学自主学会了某几何模型，并把它分享给学校里其他同学，第一次 教会了若干名同学，第二次所有会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样共有36 名同学会做这个模型。若设1名同学每次都能教会x名同学，则下列结论错误的是() A.第一次后共有(x+1)名同学会做这个模型 B.第二次又增加(x+1)x名同学会做这个模型 C.依题意可列方程为1+x+(x+1)x=36 D.不考虑其他因素，经过三次一共会有180名同学会做这个模型 2.【2026武汉】某种电脑病毒传播非常快，如果有1台电脑被感染，经过2轮感染后就会有 81台电脑被感染。 (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 知识点2平均变化率问题 3.【2025湖北】一辆新车购买价为20万元，第一年使用后折旧率为20%，以后该车的年折引旧 率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同。若第三年年末这辆车折引旧后价格为11.56万 元，则第二、三年的年折旧率为() A.106 B.15% C.20% D.25% 17/86 第25章一元二次方程 4.【2025吕梁质检】为开拓市场，某蛋糕生产厂家采用线下和线上两种销售方式销售蛋糕， 厂长统计了今年6月份和8月份线上销售量占总销售量的百分比，并绘制成如图所示的两幅扇 形统计图，由统计图可知，线上销售量占比的月平均增长率为 。(6月份线上占比25%， 8月份线上占比30.25%) 线上 线上 25% 30.25% 6月份 8月份 知识点3循环问题 5.距期末考试还有20天的时候，为鼓舞干劲，班主任老师要求班上每一位同学要给同组的其 他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的“战无不胜”学习小组共写了30份留言，则该学习 小组共有学生() A.4人 B.5人 C.6人 D.7人 6.【2026银川期中】问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握1次手，共握手45次，则 参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有x人，则根据题意，可列方程： 7.拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，如： 四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条 (1)六边形的对角线有条，七边形的对角线有 条。 (2)多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由。 18/86第25章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 知识点1一元二次方程的定义 1【2025日照质检下列方程中：（①22- 1 =1;(2)2x2-5xy+y2=0;③7x2+1=0;(4) Qx2+bx+c=0;(5)x2+2x=x2-1,是一元二次方程的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：A 解析：一元二次方程需要满足的三个条件：(1)是整式方程(2)化简后只含有一个未知数：(3)化简 后未知数的最高次数是2。 ①分母中有未知数，不是整式方程× ②含有两个未知数× ③满足一元二次方程的三个条件√ ④当a=0时，不含有二次项× ⑤化简得2x=-1,不含有二次项× 故选A。 2.关于x的方程ax2+bx+c=0,有以下说法，其中正确的是() A.当b=0时，ax2+c=0是一元二次方程 B.当c=0时，ax2+bx=0是一元二次方程 C.当a=0时，bx+c=0是一元一次方程 D以上说法都不对 答案：D 解析： 关于x的方程ax2+bx+c=0,当a≠0时，方程为一元二次方程；当a=0且b≠0时，方程 为一元一次方程。 故A、B、C选项中的说法都不正确，故选D。 3/169 第25章一元二次方程 知识点2一元二次方程的一般形式 3.【2025孝感质检】一元二次方程(x-3)2+5=6x化成一般形式是（二次项系数大于 0),其中一次项系数是。 答案：x2-12x+14=0;-12 解析：一元二次方程(x-3)2+5=6x化成一般形式是x2-12x+14=0,其中一次项系数 是-12。 4.【2026洛阳期中】若关于x的一元二次方程3x2+x-2=ax(x-2)化成一般形式后， 其二次项系数为1，常数项为-2，则该方程中的一次项系数为一。 答案：5 解析：将方程整理为3x2-ax2+x+2ax-2=0,即(3-a)x2+(1+2a)x-2=0,由题意 得3-a=1,解得a=2,·该方程中的一次项系数为1+2a=1+2×2=5。 知识点3一元二次方程的根 5.已知x=2是关于x的一元二次方程x2-mx-2=0的一个根，则m的值是() A.-1 B.0 C.1 D.0或1 答案：C 解析：由题意可得x=2是方程x2-mx-2=0的一个根，将x=2代入方程x2-mx- 2=0中，可得4-2m-2=0,解得m=1,故选C。 6.下表是代数式ax2+bx的值的情况，根据数据可知方程ax2+bx=6的根是() -3 -2 -101 2 ax2 +bx 12 6 2002 612 A.x1=0,X2=1 B.x1=-1,X2=2 C.x1=-2,xX2=3 D.x1=-3,x2=4 答案：C 4/169 第25章一元二次方程 解析：由题意得当x=-2时，ax2+bx=6,当x=3时，ax2+bx=6,方程ax2+bx=6 的根是x1=-2,x2=3,故选C。 7.【2026惠州期中】若a是方程x2-x-1=0的一个根，则-a3+2a+2020的值为一。 答案：2019 解析：a是方程x2-x-1=0的一个根，a2-a-1=0,即a2-a=1。 原式=-(a3-2a)+2020=-(a3-a2+a2-a-a)+2020=-[a(a2-a)+1-a+2020 =-(a×1+1-a)+2020=-(a+1-a)+2020=-1+2020=2019 知识点4建立一元二次方程模型 8.2025年是“全运年”，第十五届全运会于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行。为 了激励学生运动，各学校也开展篮球比赛，每两支队都要进行两场比赛，共要比赛56场，若 有x支队参赛，则可得方程为（化成一般形式）。 答案：x2-x-56=0 解析：依题意得共要比赛x(x-1)场，所以x(x-1)=56,整理得x2-x-56=0。 9.【2026深圳质检】一块正方形纸板，在四个角上分别截去一个边长为1cm的小正方形，然 后把四边折起来，做成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为32c3，则所用的正方形纸 板的边长应是多少厘米？如果设正方形纸板的边长是xcm,请列出方程，并把它化成一般形 式（不用解方程）。 答案：方程为(x-2)(x-2)×1=32,一般形式为x2-4x-28=0 解析：正方形纸板的边长是xcm,则没有盖的长方体盒子的长、宽均为(x一1×2)cm,高为 1cm。根据题意列方程为(x-1×2)(x-1×2)×1=32,化为一般形式为x2一4x-28=0。 易错点忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错 5/169 第25章一元二次方程 10.【2025新乡期末】如果关于x的一元二次方程(m-3)x2+3x+Jml-3=0有一个解是 x=0,那么m的值是() A.3 B.-3 C.±3 D.0或-3 答案：B 解析：把x=0代入方程(m-3)x2+3x+m-3=0中，得m-3=0,解得m=-3 或3。当m=3时，原方程二次项系数m-3=0,不符合一元二次方程的定义，故舍去， m=-3,故选B。 6/169 第25章一元二次方程 25.2直接开平方法 知识点1解形如x2=p(p≥0)的方程 1.【2025安阳质检】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为() A.x2-4=0 B.-2x2=0 C.x2+3=0 D.x2-a=0(a>0) 答案：C 解析：A选项，x=±2，有解，故不符合题意；B选项，x=0,有解，故不符合题意；C选 项，方程无解，故符合题意；D选项，x=士√a,有解，故不符合题意.故选C 2.【2026孝感期中】如果关于x的方程x2=m-1可以用直接开平方法求解，那么m的 值可能是 答案：2（答案不唯一） 解析：：关于×的方程x2=m-1可以用直接开平方法求解，·m-1≥0，解得m≥1， m的值可能是2（答案不唯一）. 6 3.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4,则。= 答案：4 解析：由题意得两根不相等，x2= a则x=t ,·方程的两个根互为相反数，m+1+ a 2m-4=0,解得m=1,·一元二次方程ax2=b的两个根分别是2与-2，·. Va 二2 b -=4.故答案为4. 4.解方程： 1 (1032- 270: (2)2x2+3=-2x2+4. 7/169 第25章一元二次方程 答案：0)行日 1 1 (2)x1=2:2=-2 解析： (①)移项，得3二7，二次项系数化为1，得x2- 1 81,根据平方根的意义，得x=±。， 1 1 即x1=g，x2=- (②移项，合并同类项，得42=1.二次项系数化为1，得2-根据平方根的意义，得x 1 1 7,即x12,2三- 知识点2解形如(mx+n)2=p(m≠0p≥0)的方程 5.【2025铁岭期末】解一元二次方程(x+1)2=16,用直接开平方法可转化为两个一元一 次方程，其中一个一元一次方程是x+1=4,则另一个一元一次方程是() A.X-1=-4 B.x-1=4 C.x+1=-4 D.x+1=4 答案：C 解析：(x+1)2=16,x+1=±4，即x+1=4或x+1=-4,故选C。 6.已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程(x一3)2=4的一个根，则此三角形的周 长为() A.17 B.11 C.15 D.11或15 答案：C 解析：(x-3)2=4,x-3=士2，解得x1=5,x2=1.若x=5,则三角形的三边长 分别为4,5,6，其周长为4+5+6=15；若x=1,1+4=5<6,则不能构成三角形， 故此三角形的周长是15.故选C。 7.【2026长治期末】已知(x2+y2+1)2=81,则x2+y2=一 答案：8 解析：(x2+y2+1)2=81,x2+y2+1=±V81=±9，x2+y2=8或x2+y2=-10 (舍去).故答案为8. 8/169 第25章一元二次方程 8.【2026海淀质检】对于实数p,q,用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数，例 如：min{-2,8}=-2,若min{x2,(x-1)2}=1,则x= 答案：-1或2 解析：由题意知，①当(x-1)2>x2时，x2=1,x=1或x=-1. :x=1时，(x-1)2=0<1,x=1不符合要求，舍去；x=-1时，(x-1)2=4>1, .x=一1符合要求 ②当(x-1)2<x2时，(x-1)2=1,x=2或x=0. :x=2时，(x-1)2=1<4,x=2符合要求； :x=0时，(x-1)2=1>0,x=0不符合要求，舍去， 综上所述，x=-1或x=2,故答案为-1或2. 9.【2025吕梁期中】解方程： (1)3(x-1)2=12; (2)(2x+3)2=81. 答案：(1)x1=3,x2=-1,(2)x1=3,x2=-6 解析： (1)整理得(x-1)2=4,根据平方根的意义，得x-1=±2， 即x-1=2或x-1=-2,解得x1=3,x2=-1。 (2)根据平方根的意义，得2x+3=±9，即2x+3=9或2x+3=-9, 解得x1=3,X2=-6。 易错点方程两边同时开平方，忽略被开方数互为相反数的情况致错 10.【2025白城期中】解方程(y+2)2=(3y-1)2 某同学的解题过程：解：y+2=3y-1,…第一步 -2y=-3,…第二步 y-第三步 3 (1)以上解方程的过程中从第步开始出现错误，错误的原因是 (2)请写出正确的解方程过程， 9/169 第25章一元二次方程 答案： (1)一；开平方时，忽略被开方数互为相反数的情况 (2)直接开平方，得y+2=3y-1或y+2=-(3y-1), 3 解y+2=3y-1,得2y=3,y1= 解y+2=-(3y-1,得y+2=-3y+1,4y=-1,%=- 1 31 综上，y1=2y2=-4 10/169 第25章一元二次方程 25.3配方法 知识点1配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1.【2025河东区期末】一元二次方程y2-4y-5=0配方后可化为() A.(y-2)2=9 B.y-2)2=5 C.y+2)2=5 D.y+2)2=9 答案：A 解析：y2-4y-5=0,移项得y2-4y=5,配方得y2-4y+4=5+4,即(y-2)2=9。 故选A。 2.【2025安庆期末】已知方程x2一6x+4=口，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配 方成(x-)2=7的形式，则印刷不清楚的数字是() A.6 B.9 C.2 D.-2 答案：C 解析：设印刷不清楚的数字为t,则x2-6x+4=t,移项得x2-6x=t-4,配方得(x-3)2= t+5,因为配方后为(x-p)2=7,所以t+5=7,解得t=2,即印刷不请楚的数字是2。 故选C。 3.【2026南京期中】若关于x的一元二次方程x2+a2-2ax-7=0有两个正实数根，则 整数a的最小值是 答案：3 解析：对x2+a2-2ax-7=0配方，得(x-a)2-7=0,即(x-a)2=7,开方解得x1=V7+ a,x2=-V7+a :原方程有两个正实数根，-V7+a>0,即a>V7。 又：a为整数，且2<V7<3,a的最小值为3。故答案为3。 11/169 第25章一元二次方程 4.用配方法解方程： (1)x2-4x+1=0 (2)x2-2x-1=0 答案：(1)x1=2+V3,x2=2-V3;(2)x1=1+V2,x2=1-V2。 解析： (1)x2-4x+1=0,移项得x2-4x=-1,配方得x2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3, 开方得x-2=±V3,解得x1=2+V,x2=2-V3。 (2)x2-2x-1=0,移项得x2-2x=1,配方得x2-2x+1=2,即(x-1)2=2,开方得x- 1=±√2，解得x1=1+V2,x2=1-V2。 知识点2配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 5.用配方法解方程2x2-12x=5时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上的数 为() A.4 B.9 C.25 D.36 答案：B :2x212x=5,方程两边同时除以2，得x2-6x),根据配方法，两边加一 数一半的平方，即-9，得2-6c+9-受即-)-空故选B: 23 6.设x1为一元二次方程2x2-2x-1=0较大的实数根，则() A.3<x1<4 B.2<x1<3 C.1<x1<2 D.0<x1<1 答案：C 1 1 解析：对2x2-2x-1=0变形，得2x2-2x=1,两边除以2得x2-x=2配方得2-x+ 4 日京(》-是开方得±受解器9么受 1V31V3 1,3 1<V3<2,1<2+之<2，即1<<2。故选C 12/169 第25章一元二次方程 7.【2026鞍山期中】用配方法解一元二次方程-3x2+12x-2=0时，将它化为(x+a)2=b 的形式，则a+b的值为 答案：3 2 解桥：对-32+12x-2三0变形，两边除以3得2-4r士0，移项得x2-红之3 配方得2-4批+4=一子+4，即c-2y- 2 3。 10 .104 4 对比(c+a2=b,得a=-2,b=3则a+b=-2+3=3故答案为写 8.【2026闵行质检】用配方法解方程： (1)2x2+4x-3=0; (2)3x2-6x+1=0。 答案：(1)x1=-1+ 2,-1-V0 v√1 :2四）=1+9=16 V6 3 解析： (①)22+4x-3=0,移项得22+4x=3,两边除以2得2+2x=2配方得2+2x+1 3 V10 ,V10 V10 7+1,即x+12三，开方得x土1=士2，解得x11十，x21 2 (2)32-6x+1=0,移项得32-6x=-1,两边除以3得x2-2x=-3配方得x2-2x+1 +1,即收-少-系开方得-1=土气解得=1+=1- ,V6 3。 易错点在配方时忽视等式的性质而致错 9.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容。 解方程：2x2-8x-18=0 解：移项，得2x2-8x=18。① 两边同时除以2，得x2一4x=9。② 配方，得x2-4x+4=9,③ 即(x-2)2=9,所以x-2=±3。④ 故x1=5,x2=-1。⑤ 13/169 第25章一元二次方程 上述过程中开始出错的步骤是（填序号），原因是 请写出正确的解答过程。 答案：③；配方时等式右边未同时加上一次项系数一半的平方，不符合等式的基本性质 解析：配方的核心是等式两边同时进行相同的变形，步骤③中左边加4，右边未加4，违反了 等式的基本性质，因此开始出错的步骤为③。 正确解答过程：移项，得2x2-8x=18, 两边同时除以2，得x2一4x=9, 配方，得x2-4x+4=9+4, 即(x-2)2=13, 开方得x-2=±√13， 解得x1=2+√13，x2=2-V√13。 14/169 第25章一元二次方程 25.4公式法 知识点1一元二次方程根的判别式 1.【2026潍坊质检】若实数b,c满足c-b+2=0,则关于x的方程x2+bx+c=0根的 情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C没有实数根 D.无法确定 答案：B 解析：实数b,c满足c-b+2=0,·c=b-2,△=b2-4c=b2-4(b-2)=(b 2)2+4>0,·.方程有两个不相等的实数根，故选B。 2.【2026南宁期中】如果关于x的方程kx2-2x+1=0有实数根，那么k的取值范围是 () A.k≤1 B.k≤1且k≠0 C.k≥1 D.k≥1或k=0 答案：A 解析：当k=0时，方程为一元一次方程-2x+1=0,且方程的根为x=当k≠0时， 方程为一元二次方程。：一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，·b2-4ac=(-2)2- 4k×1=4-4k≥0，解得k≤1。综上，k≤1。故选A。 3.【2026宜宾质检】嘉祺在解关于x的方程x2+4x+c=0时，解出其中一个根是x=-1。 他核对时发现所抄的c比原方程的c值小1，则原方程的根的情况是 答案：有两个相等的实数根 解析：：关于x的方程x2+4x+c=0的一个根是x=-1,·(-1)2+4×(-1)+c=0, 解得c=3。他核对时发现所抄的c比原方程的c值小1，·原方程的c值为3+1=4， 那么原方程为x2+4x+4=0,.△=b2-4ac=42-4×1×4=16-16=0,·原方程有 两个相等的实数根。故答案为有两个相等的实数根。 15/169 第25章一元二次方程 4.【2025郑州质检】请写出一个关于x的一元二次方程，并满足以下两个条件：①二次项系 数为k(k≠0)；②方程必须有两个不相等的实数根，这个一元二次方程可以是 答案：kx2+4kx-k=0(k≠0)（答案不唯一） 解析：·方程必须有两个不相等的实数根，△>0。又：二次项系数为k,·不妨设b=4k, c=-k,此时△=(4)2-4k(-)=20k2>0,·.满足条件的一元二次方程可以是kx2+ 4kx-k=0(k≠0)。故答案为kx2+4kx-k=0(k≠0)（答案不唯一)。 知识点2一元二次方程的求根公式 5.【2025厦门期中】关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0(a≠0b2-4ac0)的根是() b±vb2-4ac B.x= 2+Vb2-4ac A.x= 2a 2a cx=-b±vBF-4ac D.x=-b±vB4ac 2 2a 答案：A 解析：4=（-b2-4ac=2-4ac>0,÷方程的根是x-b士v24aC 故选A。 2a 6.【2025信阳质检】用公式法解关于×的-元二次方程，得x=-6士V62-4×4× ，则 2×4 该一元二次方程是 答案：4x2+6x+1=0 解析：设一元二次方程为ax2+bc+c=0a≠0)，则x=b士V2一4 二，与x= 2a -6±V62-4×4×1 对比，得a=4,b=6,c=1,·.该一元二次方程为4x2+6x+1=0。 2×4 故答案为4x2+6x+1=0。 知识点3公式法解一元二次方程 7.【2025张家口期末】利用公式法解一元二次方程2x2-4x-1=0,可得两根为a,b,若 a>b,则a的值为() 16/169 第25章一元二次方程 2+V6 A B. 2-V6 2 c.-2+6 D.2-V6 2 答案：A 解析：2x2-4x-1=0,·.a=2,b=-4,c=-1,·△=(-4)2-4×2×(-1)=24>0， x= 4±V242±V6 2×2 2。:一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为a,b,a>b,a的 2+V6 值为2。故选A。 8.【2025长春质检】用公式法解一元二次方程： (1)x2+3x-1=0 (②22-4k+2=0 -3+V13 答案：(1)x1=2 ,名3- 2 解析：x2+3x-1=0,a=1,b=3,c=-1,A=b2-4ac=32-4×1×(-1)=13>0, -3±V13-3±V13-3+V13 该方程有两个不相等的实数根，·X= 2×1 2,x1= 2一，2= -3-V13 2 答案：(2)x1=4+2V3,x2=4-2V3 解析：22-4x+2=0.二次项系数化为1得2-8x+4=0,“Q=1,6=-8,c=4, ·△=b2-4ac=(-8)2-4×1×4=48>0,该方程有两个不相等的实数根，·x= 8±V488±4v3 =4±2W3,÷x1=4+2W3,x2=4-2W3。 2×1 2 易错点在用公式法时未将方程化为一般形式而出错 9.小明在解方程x2-5x=1时出现了错误，解答过程如下： 解a=1,b=-5,c=1,(第一步) b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21,(第二步) “x=5tV27 2二，（第三步） …y=5+v@ 2-,x2=5-V21 2—。(第四步) 17/169 第25章一元二次方程 (1)小明解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是 (2)写出此题正确的解答过程。 答案：(1)一；原方程没有化成一般形式；(2)见解析 解析：(1)用公式法解一元二次方程的前提是将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)， 才能准确确定α、b、c的值，小明第一步未将方程化为一般形式，导致c的值判断错误。 (2)正确解答过程： 原方程化成一般形式为x2-5x-1=0,a=1,b=-5,c=-1,b2-4ac=(-5)2-4× 1×(-1)=29,x=5±v2四 .-5+V2四=5-v2四 21 2，X2 2 18/169 第25章一元二次方程 25.5因式分解法 知识点1用因式分解法解一元二次方程 1.【2025吕梁期中】我们解一元二次方程x2-1=0时，可以运用因式分解法，将此方程化 为(x-1)(x+1)=0,得到两个一元一次方程：x-1=0,x+1=0,从而得到原方程的解 为X1=1,x2=-1。这种解法体现的数学思想是() A.整体思想 B模型思想 C.函数思想 D.转化思想 答案：D 解析：把一元二次方程化为两个一元一次方程的解法体现的数学思想是转化思想。故选D。 2.【2026遵义期中】小聪在解方程x2=3x时，只得到一个根x=3,则被漏掉的一个根是 () A.x=-3 B.x=0 C.x=1 D.x=2 答案：B 解析：x2=3x,x2-3x=0,x(x-3)=0,x=0或x-3=0,即x=0或x=3。小 聪只得到x=3,故被漏掉的根是x=0。故选B。 3.【2026太原质检】已知(m2+n2)(m2+n2+2)-8(m2+n2+2)=0,则m2+n2的值 为() A.-8或2 B.-2或8 C.2 D.8 答案：D 解析：令t=m2+n2,则原方程变为t(t+2)-8(t+2)=0。提取公因式t+2得(t+ 2)(t-8)=0,解得t=-2或t=8。由题意可知m2+n2>0,“舍去t=-2,t=8。因 此m2+n2的值为8。故选D。 4.【2026无锡期中】请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一个根比-2小，比 一4大，则构造的一元二次方程是 (答案不唯一) 答案：x2+x-6=0 19/169 第25章一元二次方程 解析：：一元二次方程的一个根为2，另一个根比-2小，比-4大，则可以设另一个根为-3， (x-2)(x+3)=0,展开得x2+x-6=0。故答案为x2+x-6=0（答案不唯一)。 5.【2025西安质检】用因式分解法解方程： (1)(x+2)2-4(x-3)2=0; (2)3y2+1=2W3y。 4 3 答案：(1)x1=32=8;(2)y1=y2=30 解析： (1)因式分解，得[(x+2)+2(x-3)][(x+2)-2(x-3)]=0,化简得(3x-4)(-x+8)=0, 3x-4=0或-x+8=0,解得x1=32=8。 3 (2)整理得3y2-2V3y+1=0,因式分解，得(3y-1)=0,“y1=y2=3 知识点2用合适的方法解一元二次方程 6.【2026南阳质检】下列方程中，最适合用因式分解法解方程的是() A.(x-2)(x-3)=1 B.x2-2x-1=0 C.x-2=x2-4 D.x2-3x+4=0 答案：C 解析：A选项，整理得x2-5x+5=0,左边不可以分解因式，故不符合题意；B选项，x2-2x一 1=0,左边不能分解因式，故不符合题意；C选项，移项得x2-4一(x-2)=0,因式分解 得(x+2)(x-2)-(x-2)=0,提取公因式得(x-2)(x+1)=0,适合用因式分解法求解， 故符合题意；D选项，x2-3x+4=0,左边不能分解因式，故不符合题意。故选C。 7.【2025杭州期中】 (1)关于x的方程x(x一1)=3(x-1),下列解法完全正确的是（填“甲”“乙”“丙或“丁”) 甲：移项得x(x-1)+3(x-1)=0,(x-1)(x+3)=0,∴x-1=0或x+3=0,x1= 1,x2=-3 乙：两边同时除以(x-1),得x=3 20/169 第25章一元二次方程 丙：整理得2-4x-3,a=1,b=-4c-,x-4生西=217，x=21V7为 2 2-V7 丁：整理得x2-4x=-3,配方得x2-4x+4=1,(x-2)2=1,x-2=士1，x1=1,x2=3 (2)选择合适的方法解方程： ①2(x+2)2-8=0; ②x(x-3)=2x-6; ③2x2-5x-2=0; ④(2x-5)2-(x+4)2=0。 答案： (1)丁； ②四0,34：②32：国x5V7五5+V4 4 1 ④x1=3x2=9。 解析： (1)方程两边不能同时除以(x-1),这样会漏解，故甲错误；移项时符号错误，故乙错误； 计算根的判别式后代入求根公式计算错误，故丙错误；利用配方法解方程，计算正确，故丁正 确。故答案为丁。 (2)①整理得(x+2)2=4,开方得x+2=±2，解得x1=0,x2=-4; ②x(x-3)=2x-6,移项得x(x-3)-(2x-6)=0,因式分解得x(x-3)-2(x-3)=0, 即(x-3)(x-2)=0,x-3=0或x-2=0,解得x1=3,x2=2; ③2x2-5x-2=0,4=(-5)2-4×2×(-2)=41>0,由求根公式得x-5+④ 22,解 5-V415+√41 得X1= 4,2 4 ④因式分解得(2x-5+x+4)(2x-5-x-4)=0,化简得(3x-1)(x-9)=0,3x-1= 1 0或x-9=0,解得x1=3x2=9。 易错警示 解一元二次方程时不能随便在方程两边约去含有未知数的代数式，约去的前提是该代数式不为 0,否则会出现漏解现象。 21/169 第25章一元二次方程 25.6一元二次方程的根与系数的关系 知识点一一元二次方程根与系数的关系 1.若a,b是一元二次方程x2-2018x+1=0的两根，则+的值是() a h A.2017 B.2018 C D 2017 2018 答案：B 11 解析：a,b是一元二次方程x2-2018x+1=0的两根，·a+b=2018,ab=1,二+ a+b2018 ab 1 =2018。故选B。 2【2026江苏质检】当a=1,b=m,c=-15时，代数式b+vB2一4aC 的值为3，则代数 2a 式b-v-4ac 的值为() 2a A.5 B.-5 C.1 D.-1 答案：B 解析：一元二次方程ar2+x+c=0(a+0)的两个根为1=-b+-4a ，X2= 2a b-Vb2-4ac 2a 5x2- c-15 a 1 -15。代数式b+v-4a的值为3，“代数式 2a -b-V2-4aC的值为-5，故选B。 2a 3.【2025山西质检】已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若2a+b=0,且方程的一 个根大于2，则另一个根是() A.正数 B.负数 C.0 D无法确定 答案：B b 解析：2a+b=0,-。=2,即方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和为2。：该方程的- a 个根大于2，“另一个根必是负数。故选B。 22169 第25章一元二次方程 4.【2025揭阳期中】请写出一个满足下列条件的一元二次方程：二次项系数为1，且两根之和 为正数，两根之积为负数 0 答案：x2-2x-8=0(答案不唯一) 解析：：二次项系数为1，且两根之和为正数，两根之积为负数，“这个方程可以为x2一2x一 8=0。故答案为x2-2x-8=0（答案不唯一)。 5.【2025怀化质检】已知m,n是不为0的实数，且m≠n,若m+=5,n+】=5,则”+” 1 1 m m m 的值为 答案：23 1 解析：m,n是不为0的实数，由m+=5,n+二=5，得m2-5m+1=0,n2-5n+1=0。 m n m+,m,n为一元二次方程x2-5x+1=0的两个不相等的实数根，m+n=一气三 mn=1。 n,m + n2+m2 (m+n)2-2mn 25-2 =23。 m mn mn 1 6.【2026厦门质检】已知实数k,m,n(m+n≠0)满足m2+4m-1=k,n2-4n-k=1。若 m,n异号，则k的取值范围为 0 答案：-5<k<-1 解析：m2+4m-1=k,n2-4n-k=1,m+n≠0，整理得m2+4m-k-1=0,(-n)2+ 4(-n)-k-1=0,∴m,-n可看作方程x2+4x-k-1=0的两个不相等的实数根，·△= 42-4(-k-1)>0,解得k>-5。根据根与系数的关系得m·(-n)=-k-1,即mn=k+1。 m,n异号，·k+1<0,解得k<-1,故k的取值范围为-5<k<-1。 7.【2026遵义期末】已知关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个实数根。 (1)求k的取值范围。 (2)是否存在实数k的值，使得一元二次方程的两个实数根分别为x1,x2, 23/169 第25章一元二次方程 且满足2(x1+x2)=x1x2-4？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由。 答案：(1)k≤4； (2)不存在实数k的值，使得方程的两个实数根x1,x2满足2(x1+x2)=x1x2-4。 理由如下：假设满足题意的k的值存在。x2一4x+k=0,·x1+x2=4,x12=k。“2(x1十 x2)=x1x2-4,·2×4=k-4,解得k=12。由(1)得k≤4，k=12不在k≤4的范围内， ·不存在实数k的值，使得一元二次方程的两个实数根x1,x2满足2(x1+x2)=x1x2一4。 易错点已知根与系数的关系求字母系数的值时，忽视△≥0而出错 8.关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2=0的两根为a,b,且a+b=ab-4,求m的值。 嘉佳的解题过程如下： 解：a+b=2m-1,ab=m2,2m-1=m2-4, 整理，得m2-2m-3=0, 解得m1=-1,m2=3 嘉佳的解题过程漏考虑了哪个条件？请写出正确的解题过程。 答案：嘉佳漏考虑了△≥0这一条件；m=一1，正确解题过程见解析。 解析：嘉佳的解题过程漏考虑了△≥0这一条件。 正确的解题过程如下： 根据题意得私=(2m-1)2-4m2≥0， 展开得4m2-4m+1-4m2≥0， 1 化简得-4m+1之0，解得m≤4 a+b=2m-1,ab =m2,Ha+b=ab-4, 2m-1=m2-4, 整理得m2-2m-3=0, 因式分解得(m-3)(m+1)=0,解得m1=-1,m2=3。 :3>不符合m≤不舍去， 1 .m的值为-1。 24/169 第25章一元二次方程 25.7几何图形问题 知识点1面积问题 1.【2026连云港期中】如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大 了一倍，则小圆形场地的半径为() A.5m B.(5+V2)m C.(5+3V2)m D.(5+5V2m 答案：D 2.【2026佳木斯期中】锦绣家园小区在一块长方形空地上建一个停车场，其布局如图所示。 已知停车场的长为52米，宽为34米，阴影部分设计为停车位，其余部分是宽度相同的通道， 要使停车位占地面积为880平方米，则通道宽度应为 米。 52米 34米 答案：6 解析：设通道宽度为x米。由题意，得(52-2x)(34-2x)=880,解得x=6或x=37(不 符合题意，舍去)。故答案为6。 3.【2026泉州期中】某学校艺术节期间举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操 场，学校利用操场最北边的一面长度为36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为68米的栏 杆围成一个矩形场地，场地中间用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个2米宽 的小门，方便参加比赛的选手出入。设矩形场地的宽EF为x米。 (1)FN的长为. (用含x的代数式表示) (2)若围成的矩形场地的面积为384平方米，求矩形场地的宽EF。 M FAB 25/169 第25章一元二次方程 答案：(1)(72-3x)米；(2)16米 解析： (1):矩形场地的宽EF为x米，“FN=68-3x+2×2=(72-3x)米，故答案为(72- 3x)米。 (2)由题意得x(72-3x)=384,整理得x2-24x+128=0,解得x=8或x=16。 当x=8时，72-3x=72-3×8=48>36,不符合题意，舍去； 当x=16时，72-3x=72-3×16=24<36,符合题意。 答：矩形场地的宽EF为16米。 知识点2存在性问题 4.【2026成都质检】对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是() A.至少存在一个钝角三角形 B至多存在一个直角三角形 C至少存在一个锐角三角形 D至多存在一个钝角三角形 答案：A 解析：设三个连续正整数n,n+1,n+2为三角形的三边长，则n+2<n+n+1,n>1。 若所构成的三角形是钝角三角形，则n2+(n+1)2<(n+2)2,即n2-2n-3<0,.(n+ 1)(n-3)<0。 :n+1>0,.n-3<0,n<3。又n>1,n=2,.n+1=3,n+2=4,即至多存在 一个钝角三角形，三边长为2,3,4，故选项A符合题意，选项D不符合题意。 若所构成的三角形是直角三角形，则n2+(n+1)2=(n+2)2,即n2-2n-3=0,解得 n1=3,n2=-1(不符合题意，舍去)，“n+1=4,n+2=5,即至多存在一个直角三角形， 三边长为3,4,5，故选项B不符合题意。 若所构成的三角形是锐角三角形，则n2+(n+1)2>(n+2)2,即n2-2m-3>0,·.(n+ 1)(n-3)>0。 :n+1>0,n一3>0，n>3,·至少存在一个锐角三角形，故选项C不符合题意。故选 Ao 26/169 第25章一元二次方程 5.【2026青岛质检】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务。 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半， 那么称这个矩形是给定矩形的“减半"矩形： 如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半"矩形。 D长4C D 长：12 宽：3 宽：2 A B A B 任务： (1)当一个矩形的长为40，宽为4时，若存在它的“减半”矩形，则它的“减半”矩形的周长为一， 面积为 (2)当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，求出“减半"”矩形的长和宽； 如果不存在，请说明理由。 4宽为9-西 答案：(1)44,80；(2存在，长为9+ 4 解析： (1)依题意可知，当一个矩形的长为40，宽为4时，若存在它的“减半"矩形，则它的“减半"矩 1 形的周长为2×2×(40+4)=44，面积为2×40×4=80。故答案为44,80。 (2)存在。 9 设减半矩形的长为x,则宽为2。 9 9-V17 题意得x2x=×8x1整理得x2x+4三0，解得x1=V1x 4。 当x= 9+V17 4 x-9四 时， 4 符合题意； 当x= 9-V17 99+V17.9-V17 4 时2x=一 4—，不合题意，舍去。 ·长为8，宽为1的矩形存在"减半"矩形，且减半"矩形的长为9+西 -√17 4， 宽为9 4 27/169 第25章一元二次方程 25.8传播问题、平均变化率问题和循环问题 知识点1传播问题 1.【2026阜新期中】某同学自主学会了某几何模型，并把它分享给学校里其他同学，第一次 教会了若干名同学，第二次所有会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样共有36 名同学会做这个模型。若设1名同学每次都能教会x名同学，则下列结论错误的是() A.第一次后共有(x+1)名同学会做这个模型 B.第二次又增加(x+1)x名同学会做这个模型 C.依题意可列方程为1+x+(x+1)x=36 D.不考虑其他因素，经过三次一共会有180名同学会做这个模型 答案：D 解析：：第一次后会做这个模型的总人数为1+x,第二次后会做这个模型的总人数为1+ x+(1+x)x=36,化简得(1+x)2=36,解得x=5(负值已舍去)，·第三次后会做这个 模型的总人数为36+36×5=216，·选项A、B、C均正确，选项D错误。故选D。 2.【2026武汉】某种电脑病毒传播非常快，如果有1台电脑被感染，经过2轮感染后就会有 81台电脑被感染。 (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ 答案：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑。 解析：设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑。根据题意得1+x+(1+x)x=81,整 理得(1+x)2=81,“1+x=±9，解得x1=8,x2=-10(不符合题意，舍去)。 (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 答案：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台。 解析：81×(1+8)=81×9=729（台）>700（台）。 28/169 第25章一元二次方程 知识点2平均变化率问题 3.【2025湖北】一辆新车购买价为20万元，第一年使用后折旧率为20%，以后该车的年折引旧 率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同。若第三年年末这辆车折旧后价格为11.56万 元，则第二、三年的年折旧率为() A.10% B.15% 0.20% D.25% 答案：B 解析：·新车购买价为20万元，第一年折引旧率为20%，·第一年后价格为20×(1一 20%)=16(万元)。设第二、三年的年折引旧率为x,则第二年后价格为16(1一x)万元，第 三年后价格为16(1-x)2万元。根据题意，得16(1-x)2=11.56,解得x=0.15=15%或 x=1.85(舍去)，故选B。 4.【2025吕梁质检】为开拓市场，某蛋糕生产厂家采用线下和线上两种销售方式销售蛋糕， 厂长统计了今年6月份和8月份线上销售量占总销售量的百分比，并绘制成如图所示的两幅扇 形统计图，由统计图可知，线上销售量占比的月平均增长率为。（6月份线上占比25%， 8月份线上占比30.25%) 线上 线上 25% 30.25% 6月份 8月份 答案：10% 解析：设线上销售量占比的月平均增长率为x。根据题意，得25%(1+x)2=30.25%,解得 x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意，舍去)，线上销售量占比的月平均增长率为10%。 知识点3循环问题 5.距期末考试还有20天的时候，为鼓舞干劲，班主任老师要求班上每一位同学要给同组的其 他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的“战无不胜”学习小组共写了30份留言，则该学习 小组共有学生() A.4人 B.5人 C.6人 D.7人 29/169 第25章一元二次方程 答案：C 解析：设该学习小组共有学生x人，则每人需写(x一1)份拼搏进取的留言。依题意得x(x一 1)=30,整理得x2-x-30=0,解得x1=6,x2=-5(不合题意，舍去)。故选C。 6.【2026银川期中】问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握1次手，共握手45次，则 参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有x人，则根据题意，可列方程： 1 答案：7x(x-1)=45 解析：参加聚会的同学共有x人，对于其中任意一人来说，他需要和除自己之外的(x-1)人 握手。：总共有x人，则总共握手的次数是2c-1),可列方程为2xc-1)=45。 1 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，如：四边形的对 角线有2条，五边形的对角线有5条。 7.拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，如： 四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条. (1)六边形的对角线有条，七边形的对角线有」 条。 答案：9；14 解析：：六边形的每个顶点可以与另外3个顶点连接形成对角线，·每个顶点可以形成3条 6×3 对角线，·六边形的对角线数量为2°=9（条）。：七边形的每个顶点可以与另外4个顶点 连接形成对角线，·每个顶点可以形成4条对角线，·七边形的对角线数量为 7×4=14(条)· 2 (2)多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由。 答案：可以，多边形的边数为9。 解析：：在n边形中，每个顶点可以与(n一3)个顶点连接形成对角线，：每个顶点可以形 成(0m-3)条对角线，n边形的对角线数量为n-3】 条。当对角线数量为27条时，可得 2 30/169 第25章一元二次方程 方程0，列=27，化简为n2-3m-54=0,解得n=9或n=-6。:n为正整数，” 2 n=9,即多边形的边数为9。 31/169