（期末复习拔高）长方体和正方体的体积解决问题高频常考易错题专项训练一-2025-2026学年五年级下册数学沪教版

**基本信息** 聚焦长方体和正方体体积计算的实际应用，通过26道高频易错题构建“公式应用-变式转化-实际辨析”的三阶方法体系，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础公式应用|5题（如沙池厚度）|V=abh直接计算，单位换算|从体积公式推导，巩固长×宽×高核心原理| |不规则体积|6题（如珊瑚石体积）|排水法：V=Sh差（水面上升体积）|转化思想，将不规则物体体积转化为规则水体体积| |容积与体积辨析|3题（如牛奶盒净含量）|体积＞容积（考虑容器厚度）|区分体积（外部尺寸）与容积（内部空间）概念| |拼接与切割|4题（如两盒茶叶包装）|拼接最小表面积：重合最大面；切割增表面积=2×截面面积|表面积与体积关系，空间组合与拆分逻辑| |综合应用|8题（如展开图、无盖鱼缸）|展开图还原立体图形；表面积（少面）与体积结合计算|融合空间想象与实际问题，提升应用意识|

（期末复习拔高）长方体和正方体的体积解决问题高频常考易错题专项训练一 一、解答题 1．为了让学生有参与种植的体验，王老师为花箱购置一些营养土并指导学生把营养土平整地铺进花箱（如图），上面要预留出2厘米高的空间不铺土方便浇水。若箱子厚度忽略不计，至少需要买几袋这样的营养土？ 2．向一个长10分米、宽8分米、高6分米的长方体鱼缸里，注入一些水后测量水深4分米，再往这个长方体鱼缸里放入一块不规则的珊瑚石后（珊瑚石完全浸没在水中），这时水面距离鱼缸口1.9分米，这块珊瑚石的体积是多少立方分米？（容器壁厚忽略不计） 3．为落实教育部“每天综合体育活动时间不低于2小时”的要求，实验小学决定对操场上的跳远沙池进行升级改造。新的跳远沙池长7米，宽3米，后勤部门运来12.6立方米的细沙，全部倒入沙池后均匀铺平，沙子的厚度是多少厘米？ 4．一种牛奶用塑料盒密封包装（如图）。从外面量长是6cm，宽是5cm，高是10cm。盒上注明“净含量：350mL”，请分析注明的内容是否真实。     5．一根铁丝长1.6米，现将这根铁丝焊接成一个长方体框架，长是16厘米，宽和高相等。给这个长方体框架糊上包装纸，做成礼物盒子，这个盒子的体积是多少立方厘米？ 6．晓丽从信阳旅游回来，买了如图所示的两盒茶叶，如果用包装纸包在一起变成一个大长方体，表面积最少是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 7．“度量衡”是我国古代计量长度、容量、重量的标准或器具的统称，“度”用以计量长短；“量”用以测量容量大小；“衡”用以测量物体轻重。“商鞅变法”的重要物证商鞅方升（如下图），就是“度量衡”中的“量”，用来测量容量大小。它全长18.7厘米，内口长约12.5厘米、宽约7厘米、深约2.3厘米，容积便是商鞅规定的“一升”。算一算，商鞅规定的“一升”大约相当于现在的多少升？（得数保留一位小数） 8．做一个长方体的无盖鱼缸，长8分米，宽3分米，高5分米，需要玻璃多少平方分米？现在水深3.8分米，这个鱼缸现在装有多少升水？ 9．一个长方体玻璃容器，从里面量长3分米、宽2分米。向容器中倒入7.5升水，把一个苹果放入水中完全浸没，这时测得容器内的水面高度为13.5厘米。这个苹果的体积是多少立方分米？ 10．把一块长12米的长方体木料锯成完全相同的两个小长方体（如图所示），表面积增加了0.8平方米，这块木料原来的体积是多少立方米？ 11．小聪正在打包一个茶叶礼盒（如下图，底面为正方形），一共用了3.43米长的绸带，打结处用了13厘米。这个茶叶礼盒的占地空间是多少立方分米？ 12．一个长方体容器，长6分米、宽5分米、高4分米。里面装了2.8分米深的水，把一块不规则的石头没入水中，水深3.2分米。这块石头的体积是多少立方分米？ 13．一个长方体铁块，长12厘米，宽7厘米，高6厘米。工人师傅从这个铁块上切去一个棱长为5厘米的正方体用来加工零件，如下图，求剩下铁块的体积。 14．在综合实践课堂上，小明制作了一个长方体木盒，已知这个长方体的表面积是184平方厘米，底面积是20平方厘米，底面周长是18厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 15．游泳中心新建了一个长50米、宽25米的游泳池，安全水位为1.8米。游泳池的注水系统有4根注水管，每根管子1时注水12.5立方米，多长时间能注水至安全水位线？ 16．科学课上为了研究船的载质量和容积的关系，要分组开展实验。为准备实验器材，先从一个长方形铝箔纸的四个角剪去4个相同的小正方形，制作如图所示的铝箔船。有个小组画出了一种设计方案的草图（如图2）。请计算出按此设计方案制作出的铝箔船的容积。（不考虑接缝及损耗） 17．小芳家有一个纸巾盒（如下图），一包纸巾长22cm，宽10cm，体积为2200，这包纸巾能装进这个纸巾盒吗？请通过计算说明。（提示：解决问题时，请和实际生活相结合哟！） 18．一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长5厘米的正方形，然后做成无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多大？ 19．把长12厘米，宽8厘米，高5厘米的木块锯成棱长2厘米的正方体木块。够锯50块吗？为什么？（请列式说明） 20．“小达人社团”的同学们，在一个长、宽、高分别为48厘米、25厘米、40厘米的长方体的水槽中，放入一个高为24厘米的花岗石。如果水管以每分钟6立方分米的流量向水槽注水，4分钟刚好淹没花岗石。花岗石的体积是多少立方厘米？ 21．如下图是一个无盖长方体纸盒展开图，其中①⑤为正方形。请你计算做这个长方体纸盒需要多少纸板？这个纸盒的体积是多大？ 22．一个长方体鱼缸，从里面量得长为8分米，宽为5分米，高为6分米，现在水深5.4分米，当把一个棱长为4分米的小正方体铁块完全浸没在水中后，水会溢出多少升？如果再将铁块取出，那么容器内的水深将会变成多少？ 23．为举办“欢乐购物节”，五年级2班的同学们搭了一个放置物品的展示桌，桌子长30分米，宽25分米，高5分米。同学们要在桌子四周贴上彩条（地面不贴），如下图。至少需要多少米彩条？桌子下面想要放置待卖物品，桌子下面空间为多少立方米？ 24．一个长方体水箱，从里面量长8分米，宽6分米，高5分米，现在水面高度是1分米。 (1)如果把这些水全部倒入棱长4分米的正方体水箱中，这时水面高度是多少分米？ (2)如果在长方体水箱中放入一块铁块（被水完全浸没），这时水面上升到45厘米，这块铁块的体积是多少立方分米？ 25．做一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽40厘米，高50厘米。 （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米玻璃？ （2）鱼缸内装有30厘米深的水，现在放入一个珊瑚后，水深35厘米，这个珊瑚的体积是多少立方厘米？ 26．要过教师节了，学校为每位教师定制了一个手提袋（如下图所示）。 （1）做100个这样的手提袋至少需要用料多少平方米？（接口处忽略不计） （2）这个手提袋的容积是多少立方厘米？ 参考答案 1．3袋 【分析】先用花箱总高度减去预留不铺土的2厘米，求出营养土铺设高度，再根据长方体体积＝长×宽×铺土高度求出营养土总体积，把体积单位换算成立方分米，最后用总体积除以每袋营养土体积求出需要的袋数。 【详解】100×50×（20－2） ＝5000×18 ＝90000（立方厘米） 90000立方厘米＝90立方分米 90÷30＝3（袋） 答：至少需要买3袋这样的营养土。 2．8立方分米 【分析】根据题意，珊瑚石完全浸没在水中，珊瑚石的体积等于水面上升部分的水的体积。先求出现在的水深，再计算水面上升的高度，最后根据 “上升部分水的体积长×宽×水上升的高度”，代入数据即可求出上升部分水的体积。 【详解】6－1.9＝4.1（分米） 4.1－4＝0.1（分米） 10×8×0.1 ＝80×0.1 ＝8（立方分米） 答：这块珊瑚石的体积是8立方分米。 3． 60厘米 【分析】根据“沙子的体积＝沙池的长×沙池的宽×沙子的厚度”计算沙子的厚度，再将单位“米”换算成“厘米”。 【详解】 （米） 0.6米＝60厘米 答：沙子的厚度是60厘米。 4．不真实 【分析】净含量是指盒子内部能装的牛奶体积，也就是盒子的容积；长方体的体积＝长×宽×高，先根据盒子外部的长、宽、高算出盒子的体积，再根据“1cm3＝1mL”进行单位换算；盒子的容积一定小于它的体积（因为塑料盒本身有厚度），将盒子的体积和标注的净含量比较，判断是否真实即可。 【详解】6×5×10＝300（cm3） 300cm3＝300mL 300＜350 答：注明的内容不真实。 5．2304立方厘米 【分析】根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，用1.6除以4求出（长＋宽＋高），再换算成厘米，然后减去16，求出（宽＋高），再除以2，求出宽和高，最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数值计算即可解答。 【详解】1.6÷4＝0.4（米） 0.4米＝40厘米 （40－16）÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 16×12×12 ＝192×12 ＝2304（立方厘米） 答：这个盒子的体积是2304立方厘米。 6．20平方分米；6立方分米 【分析】两个长方体拼接成大长方体时，重合的面的面积越大，拼接后减少的表面积越多，最终得到的大长方体表面积就越小；拼接前后总体积不变，等于两个小长方体的体积之和。注意统一单位；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出结果。 【详解】15厘米＝1.5分米，要使拼接后表面积最小，需将两个小长方体面积最大的面重合拼接，拼接后大长方体的长为2分米，宽为1.5 分米，高为：1＋1＝2（分米） 大长方体的表面积： （2×1.5＋2×2＋1.5×2）×2 ＝（3＋4＋3）×2 ＝10×2 ＝20（平方分米） 大长方体的体积： 2×1.5×2 ＝3×2 ＝6（立方分米） 答：表面积最少是20平方分米，体积是6立方分米。 7．0.2升 【分析】已知内口长约12.5厘米、宽约7厘米、深约2.3厘米，根据“长方体的体积（容积）＝长×宽×高”计算出长方体的容积；然后将立方厘米换算为立方分米，再换算为升，最后根据题目要求按“四舍五入”法保留一位小数即可求解。 【详解】12.5×7×2.3 ＝87.5×2.3 ＝201.25（立方厘米） 201.25立方厘米＝0.20125立方分米 0.20125立方分米＝0.20125升 0.20125升0.2升 答：商鞅规定的“一升”大约相当于现在的0.2升。 8．134平方分米；91.2升 【分析】求需要玻璃的面积就是求长方体的表面积，因为鱼缸无盖，所以只需计算长方体5个面的面积，根据“”求出需要玻璃的面积，由“”可知，这个鱼缸现在装有水的体积＝鱼缸的长×鱼缸的宽×鱼缸内水的深度，最后根据“1立方分米＝1升”把体积单位转化为容积单位。 【详解】8×3＋（8×5＋3×5）×2 ＝8×3＋（40＋15）×2 ＝8×3＋55×2 ＝24＋110 ＝134（平方分米） 8×3×3.8 ＝24×3.8 ＝91.2（立方分米） 91.2立方分米＝91.2升 答：需要玻璃134平方分米，这个鱼缸现在装有91.2升水。 9．0.6立方分米 【分析】根据“把一个苹果放入水中，这时容器内的水深是13.5厘米”，利用长方体的体积公式V＝abh可以求出水和苹果的总体积，单位不一样，要先把13.5厘米化成1.35分米，再列式为：3×2×1.35＝8.1（立方分米）；然后减去水的体积就是这个苹果的体积。 【详解】13.5厘米＝1.35分米 7.5升＝7.5立方分米 3×2×1.35－7.5 ＝6×1.35－7.5 ＝8.1－7.5 ＝0.6（立方分米） 答：这个苹果的体积是0.6立方分米。 10．4.8立方米 【分析】把长方体木料锯成完全相同的两个小长方体，增加的表面积等于2个横截面的面积，用增加的表面积除以2求出横截面的面积，再根据长方体的体积＝横截面的面积×原长方体木料的长解答。 【详解】0.8÷2×12 ＝0.4×12 ＝4.8（立方米） 答：这块木料原来的体积是4.8立方米。 11．24立方分米 【分析】绸带长度单位米换算成厘米，减去打结部分，就是礼盒部分的绸带长度。 从图中可以看出，绸带包含6条高和6条底面边长（底面是正方形，四条边相等）。 先算出6条高的总长度，用礼盒部分的绸带长度减去6条高的长度，再除以6，得到底面边长。底面是正方形，求出整体体积即为占地空间，最后换算成立方分米。 【详解】3.43米＝343厘米 343－13＝330（厘米） 15×6＝90（厘米） 330－90＝240（厘米） 240÷6＝40（厘米） 40×40×15 ＝1600×15 ＝24000（立方厘米） 24000立方厘米＝24立方分米 答：这个茶叶礼盒的占地空间是24立方分米。 12． 12立方分米 【分析】根据题意，石头完全没入水中且最终水深小于容器高度，说明水未溢出，石头的体积等于水面上升部分的水的体积；上升部分的水形状为长方体，其长和宽与容器相同，高为放入石头前后的水深之差；因此可以先求出水面上升的高度，再根据“长方体体积＝底面积×高”计算体积。 【详解】 （立方分米） 答：这块石头的体积是 12 立方分米。 13．379立方厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据分别求出长方体铁块的体积和切去的体积，再用减法求出剩余的体积即可。 【详解】12×7×6－5×5×5 ＝504－125 ＝379（立方厘米） 答：剩下铁块的体积是379立方厘米。 14．160立方厘米 【分析】长方体的表面积等于两个底面积加上侧面积。据此用表面积减去两个底面积，先求出侧面积；再根据长方体的侧面积＝底面周长×高，用侧面积除以底面周长求出高；最后根据长方体的体积＝底面积×高，即可求出体积。 【详解】长方体的侧面积： （平方厘米） 长方体的高：（厘米） 长方体的体积：（立方厘米） 答：长方体的体积是160立方厘米。 15．45小时 【分析】根据题意可得：长×宽×安全水位的高＝至安全水位线时注入的水的体积，每根管子1时注水的体积×管子的数量＝1时注入的总水量，至安全水位线时注入的水的体积÷1时注入的总水量＝注水至安全水位需要的时间。 【详解】注入的水的体积：50×25×1.8 ＝1250×1.8 ＝2250（立方米） 1时注入的总水量：12.5×4＝50（立方米） 注水至安全水位需要的时间：2250÷50＝45（小时） 答：45小时的时间能注水至安全水位线。 16．420毫升 【分析】根据图可知，铝箔船是一个长方体，长＝（20－3×2）厘米，宽＝（16－3×2）厘米，高是3厘米；根据长方体容积＝长×宽×高，据此求出铝箔船的容积，注意单位换算。 【详解】长：20－3×2 ＝20－6 ＝14（厘米） 宽：16－3×2 ＝16－6 ＝10（厘米） 高3厘米 14×10×3 ＝140×3 ＝420（立方厘米） 420立方厘米＝420毫升 答：铝箔船的容积是420毫升。 17．2200÷22÷10＝10（cm）   10＞9 答：这包纸巾不能装进这个纸巾盒。 【分析】利用长方体体积公式V＝长×宽×高，求出纸巾的高。将纸巾的长、宽、高与纸巾盒的尺寸逐一比较，若纸巾盒的长、宽、高均不小于纸巾的长、宽、高，则能装入；否则不能。 【详解】纸巾的高：2200÷22÷10＝10（cm） 纸巾的长为22cm，宽为10cm，高为10cm 纸巾盒的长为25cm，宽为12cm，高为9cm 10＞9 即纸巾的高大于纸巾盒的高，所以这包纸巾不能装进这个纸巾盒。 18．1650平方厘米；5000立方厘米 【分析】铁皮用量是原长方形面积减去4个切掉的正方形面积；盒子的长、宽需要用长方形铁皮的长和宽减去两条小正方形的边长，高为小正方形边长，再根据长方体容积公式计算即可。 【详解】50×35－5×5×4 ＝1750－100 ＝1650（平方厘米） 长：50－5×2 ＝50－10 ＝40（厘米） 宽：35－5×2 ＝35－10 ＝25（厘米） 高：5厘米 40×25×5＝5000（立方厘米） 答：这个盒子用了1650平方厘米铁皮，它的容积是5000立方厘米。 19． 不够；理由见详解 【分析】用长方体木块的长、宽、高分别除以正方体木块的棱长算出长方体木块长、宽、高方向上能锯出的正方体数量；然后把长、宽、高三个方向上能容纳的数量相乘，得到实际能锯出的小正方体总数，再与50块作比较。 【详解】12÷2＝6（块） 8÷2＝4（块） 5÷2＝2（块）……1（厘米） 6×4×2 ＝24×2 ＝48（块） 48＜50 答：不够锯50块。 20． 4800 立方厘米 【分析】已知水槽的长和宽，以及花岗石的高度。注水4分钟后刚好淹没花岗石，说明此时水的深度等于花岗石的高度，即24厘米。花岗石的体积等于水面上升到24厘米时水槽内水和花岗石的总体积减去注入水的体积。注水流量的单位是立方分米，而长度单位是厘米，最终要求体积单位是立方厘米，需要先进行单位换算，1立方分米＝1000立方厘米。 【详解】1立方分米＝1000立方厘米 48×25×24－6000×4 ＝1200×24－24000 ＝28800－24000 ＝4800（立方厘米） 答：花岗石的体积是4800立方厘米。 21．126平方厘米；108立方厘米 【分析】由①⑤是正方形说明①⑤是相对的面，②和④是相对的面，③作为底面，由此得出长方体长是6厘米，宽是3厘米，高是6厘米；需要的纸板就是5个面的面积之和，将长、宽、高代入体积公式即可计算出体积。 【详解】6×6×2＋3×6×3 ＝72＋54 ＝126（平方厘米） 6×3×6 ＝18×6 ＝108（立方厘米） 答：做这个长方体纸盒需要126平方厘米纸板，这个纸盒的体积是108立方厘米。 22．40升；4.4分米 【分析】（1）求溢出水的体积：根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，先计算铁块的体积，再根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，计算鱼缸内剩余空间的体积。若铁块体积大于剩余空间体积，则差值为溢出水的体积，根据1立方分米＝1升进行换算单位。 （2）求取出铁块后的水深：溢出水的体积即为容器内减少的水的体积。用溢出水的体积除以鱼缸底面积，得到水面下降的高度，再用原水深减去下降的高度即可得到现在的水深。 【详解】（立方分米） （立方分米） （立方分米） 40dm3＝40升 （平方分米） （分米） （分米） 答：水会溢出40升，如果再将铁块取出，那么容器内的水深将会变成4.4分米。 23．13米；3.75立方米 【分析】根据题意，彩条长度为2条长，2条宽和4条高的总长度；长方体体积＝长×宽×高。 【详解】彩条长度： 30×2＋25×2＋5×4 ＝60＋50＋20 ＝110＋20 ＝130（分米） ＝13（米） 长方体体积： 30×25×5 ＝750×5 ＝3750（立方分米） ＝3.75（立方米） 答：至少需要13米的彩条，桌子下面的空间为3.75立方米。 24．(1)3分米 (2)168立方分米 【分析】（1）水的体积不变，先根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，再用水的体积除以正方体水箱的底面积，即可求出倒入正方体水箱后的水面高度。 （2）铁块完全浸没在水中，铁块的体积等于水面上升部分的水的体积。先统一单位，将厘米换算成分米，求出水面上升的高度，再乘长方体水箱的底面积即可求出铁块体积。 【详解】（1）（1）8×6×1＝48（立方分米）      48÷（4×4） ＝48÷16 ＝3（分米） 答：这时水面高度是3分米。 （2）（2）45厘米＝4.5分米 8×6×（4.5－1） ＝48×3.5 ＝168（立方分米） 答：这块铁块的体积是168立方分米。 25．（1）152平方分米 （2）16000立方厘米 【分析】（1）求制作无盖鱼缸所需玻璃面积，即求无盖长方体5个面（缺少上面）的面积之和，即：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，已知长8分米，宽40厘米，高50厘米，先根据1分米＝10厘米，统一单位后把数据代入计算即可。 （2）放入珊瑚前水深30厘米，放入后水深35厘米，因此水面上升的高度为35－30＝5厘米。先统一单位，长8分米转化为80厘米，宽为40厘米，根据“底面积＝长×宽”，求出鱼缸的底面积；用底面积乘上升的高度，得到珊瑚体积。据此解答。 【详解】（1）40厘米＝4分米 50厘米＝5分米 8×4＋（8×5＋4×5）×2 ＝32＋（40＋20）×2 ＝32＋60×2 ＝32＋120 ＝152（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要152平方分米玻璃。 （2）水面上升高度：35－30＝5（厘米） 8分米＝80厘米 鱼缸底面积：80×40＝3200（平方厘米） 珊瑚体积：3200×5＝16000（立方厘米） 答：这个珊瑚的体积是16000立方厘米。 26．（1）18.6平方米 （2）5400立方厘米 【分析】（1）根据手提袋的展开图，可以将展开图的面积看成两个长方形的面积和： 一个长方形的长为38厘米，宽是30厘米； 另一个长方形的长为（10＋30）厘米，宽是（38－10×2）厘米； 根据长方形的面积公式即可一个手提袋需要用料的面积； 用每个手提袋需要的用量面积乘制作的个数100即可求出需要用料的总面积； 根据1平方米＝10000平方厘米，将求出的面积换算为平方米。 （2）这个手提袋的容积可以抽象成一个长方体的体积： 这个长方体的长为（38－10×2）厘米，宽为10厘米，高为30厘米，利用长方体的体积公式：即可求出手提袋的容积。 【详解】（1） （平方厘米） 1860×100＝186000（平方厘米） 186000÷10000＝18.6（平方米） 答：做100个这样的手提袋至少需要用料18.6平方米。 （2） （立方厘米） 答：这个手提袋的容积是5400立方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $