精品解析：2026年江苏省南通市二模数学试题

2026年初中毕业、升学模拟考试试卷数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回、 2.答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3.答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题纸相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ ∴的倒数是． 2. “苏超”持续带动南通消费，5月9日晚，南通队主场对阵南京队，全市72个第二现场人潮涌动，观赛氛围火热．当天，全市共接待游客约480800人次．将480800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 3. 如图为某几何体的三视图，则该几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 长方体 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵几何体的主视图和侧视图都是宽度相等的长方形， 故该几何体是一个柱体， 又∵俯视图是一个圆， 故该几何体是一个圆柱． 4. 若，则整数m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 5. 将直尺和三角板（Rt）如图所示放置，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角板中角度的计算，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．解这类题时要注意：直尺的两条边是平行的，三角板有一个角是直角． 【详解】解：过点作， ∴， ， ∴， 又∵ ， ∴ ∵， ∴ ∴ . 6. 如图，点在上，点在上，且，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先列出已有的条件，再根据补充的条件，利用全等三角形的判定定理，，，即可判断选项． 【详解】解：已有的条件为，公共角， 补充作为条件，可以根据证明， 故A不符合题意； 补充作为条件，可以根据证明， 故B不符合题意； 补充作为条件，属于，不可以证明， 故C符合题意； 补充作为条件，可以根据证明， 故D不符合题意． 7. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一次函数图象的平移规律可知一次函数 的图象与轴的交点坐标为，进而根据图象解答即可求解． 【详解】解：一次函数的图象向左平移个单位长度得到一次函数 的图象， ∵一次函数的图象经过点， ∴一次函数 的图象与轴的交点坐标为， 由函数图象可知，当时，一次函数 的图象位于轴的下方， ∴关于的不等式的解集为． 8. 如图，在某次表演中，机器人需要从处移动到北偏东的处，机器人先向正东方向移动到达处，再向北偏东方向移动到处，则处到的距离长为（ ） A. B. 60 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设米，分别求出米，，根据列方程求解即可． 【详解】解：设米， 在中，， ∴， ∴米， 在中，， ∵，即， ∴， ∵米， ∴， 解得：， 所以，处到的距离长为米． 9. 如图，中，，，．点从点出发，沿边向点运动．过点作，垂足为，交边（或边）于点，设，的面积为，则与之间的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出点运动过程中，与相交、与相交的两种情况，写出关于的函数表达式，根据表达式选出符合题意的函数图象． 【详解】解：在中，，，， ， ， 由勾股定理得，，即， 解得，， 如图，过点作， 则，即 ， 解得， ， 情况1：当与相交即时， ，， ， 的面积， 情况2：当与相交即时，如图所示， 在中， ， 在中， ， ， ， 的面积； 综上，， 且当时， ， 符合以上函数表达式的图象是选项B． 10. 平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，以为圆心，长为半径画弧，交过点且平行于轴的直线于点，作垂直于轴交双曲线于点．若的面积为16，则的值等于（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用正比例函数与反比例函数交点关于原点对称的性质，设然后用和表示出点、点、点的坐标，再利用直角三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：如图，作于点，设交y轴于点， 直线过原点，双曲线关于原点对称 交点关于原点对称 设 ，则 由题意得，轴， ∴点纵坐标与点纵坐标相同，且 ， ∴ ∴ 轴， 点横坐标为，又在双曲线上，得 轴，轴， ， 是直角三角形 计算得 ， ， ∴ 由题意 ， ， 解得． 二、填空题（本大题共6小题，第11－12题每小题3分，第13－16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题纸相应位置上） 11. 若分式有意义，则应满足的条件是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分式的分母不能为0，据此列不等式求解即可. 【详解】由分式的分母不能为0可得： 解得． 12. 的结果是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 劳动教育是连接德、智、体、美的桥梁．为了解同学们周末在家的劳动情况，某校随机抽取了名学生调查周末劳动时间，进行整理、分析，得出如下统计表． 时长（单位：小时） 人数（单位：人） 根据上面的信息可知，表格中的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据表格可知抽取的总人数即样本容量为，然后用总人数减去其余各组的人数即可得到的值． 【详解】解：由题意可知，样本容量为，所有组的频数和等于样本容量， ∴． 14. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质得，即得是的直径，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的直径， ∴寸， ∵寸， ∴(寸)． 15. 如图，在中，，，，若为的角平分线，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先作高，利用三角函数求面积，再由角平分线性质得，分割两小三角形面积求和，算出垂距，最后在中，用正弦求． 【详解】解：过点分别作于点，于点，过点作于点G，如图： ∵，，，， ∴， 解得：， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵ ， ， ∴ ， 即， 解得：， ∵，， ∴， 解得：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点处有一光源，当光照射到坐标轴的时候发生反射．在如图所示位置有一个光照感应器，端点的坐标分别为．若光源发出的光，仅经过轴上的点反射后，恰好经过点，则点的横坐标为__________；光源发出的光照射在轴上，能让感应器接收到信号的区域长度为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】如图：作点关于x轴的对称点，连接，利用待定系数法求得的解析式，令，即可求得点D的横坐标；如图：作点关于y轴的对称点，连接，反射光线所在直线即为，与y轴的交点分别为F、E，利用待定系数法求得的解析式，令，即可求得点E的纵坐标，即，同理可得：；再根据线段的和差求得的长即可． 【详解】解：如图：作点关于x轴的对称点，连接，反射光线所在直线即为．与x轴的交点即为点D， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴． 令，得，解得， ∴点D的横坐标为． 如图：作点关于y轴的对称点，连接，反射光线所在直线即为，与y轴的交点分别为F、E， 设直线的解析式， 则，解得：， ∴， 令，可得：，即点E的纵坐标为； ∴， 同理可得：， ∴， 即能让感应器接收到信号的区域长度为． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程组与计算 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用加减消元法求解即可． （2）先通分计算括号内的，再计算除法，最后约分，化成最简分式． 【小问1详解】 解： ①＋②得， 解得， 将代入①得， 解得， 方程组的解为． 【小问2详解】 解：原式 ． ． ． 18. 近年来，青少年的视力健康越来越受重视，养成良好的用眼习惯是保护视力的关键．在学校组织的视力检查中，设置了三个检查组同时进行视力检查． （1）小明选择组检查的概率为__________； （2）求小明和小强在同一组检查视力的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人在同一组的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有3组，每个组被选择的概率相同， ∴小明选择 组检查的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小强在同一组检查视力的情况有3种， ． 19. 如图，点是的中点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：点是的中点， ． ， ． 又， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由点是的中点，可知，因为，根据平行线性质可得，结合条件，利用“边角边”证明全等即可； （2）由全等三角形对应角相等，再由平行线的性质即可求解题目． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：， ． ， ． 20. 月季作为我市的市花，被广泛种植，形成独特的月季文化景观．某校为了美化校园，用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度（单位：），数据整理如下： a．两批月季花树高度的频数： 121 125 126 130 134 138 139 第一批 1 3 1 0 4 3 0 第二批 0 1 3 2 5 0 1 b．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 第一批 131 134 第二批 131 m 134 （1）写出表中，的值； （2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是__________（填“第一批”或“第二批”）； （3）根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为和的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是多少？ 【答案】（1）， （2）第二批 （3）和 【解析】 【分析】（1）为第二批月季花高度的中位数，是数据按大小顺序排列是第6、7个数据，为第一批月季花高度的众数，即频数最多的数据； （2）高度的整齐度就是数据的波动大小和离散程度，可通过计算方差来判断； （3）由表格可知，两批花原本的平均数是相等的，在各去掉两棵花后，还要平均数尽可能接近，就是要去掉的花的高度和尽可能接近． 【小问1详解】 解：∵为第二批月季花高度的中位数， 第二批有12个数据， ∴中位数是数据按大小顺序排列是第6、7个数据的平均数， 从表格中可得：第6个数据为130，第7个数据为134， ∴， ∵为第一批月季花高度的众数，即频数最多的数据， ∴． 【小问2详解】 解：第一批的方差为， 第二批的方差为， ， ∴第二批的高度的整齐度更好． 【小问3详解】 解：由表格可知，两批花原本的平均数是相等的， ∴在各去掉两棵花后，还要平均数尽可能接近，就是要去掉的花的高度和尽可能接近， ∵， 在第一批花树中，仅有 第一批去掉的两棵花树的高度为和． 21. 请从下面两个命题中选取一个命题，判断该命题是真命题还是假命题，若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例． （1）任意两个连续偶数的平方差都是8的倍数； （2）如果四边形的两条对角线互相垂直，那么该四边形的面积等于这两条对角线乘积的一半． 【答案】（1）是假命题，，不是8的倍数 （2）是真命题，如图，在四边形中，，交点为，求证：． 证明： ． 【解析】 【分析】（1）举“，不是8的倍数”作为反例，即可得出这个命题是假命题； （2）该命题是真命题，先根据命题的文字描述，写出已知条件和要求证的结论，将四边形的面积分为两个三角形的面积来分别计算，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，为的直径，点为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为D，与的延长线交于点． （1）求证：平分； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：与相切，切点为， ， ， ． ， ． ， ， ， 平分． （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质结合已知条件，可证明，根据平行线的性质，解得，再由等边对等角，可证，进而解得此题； （2）先根据及与的等量关系，利用锐角三角函数的定义在求出度数与的长度，最后代入即可求解，扇形面积公式：． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， ， ， ， ． 23. 随着“体重管理年”三年行动方案的开展，为鼓励人们多运动，某游泳馆推出甲、乙两套收费方案，两种方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的关系如图所示． （1）分别求甲、乙两种方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式； （2）请从消费者的角度思考，选择哪种方案比较好？请说明理由． 【答案】（1）甲方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为，乙方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为 （2）当时，选择甲方案比较好；当时，甲与乙均可；当时，选择乙方案比较好； 理由： 令，则， 解得， 由图可知， 当时，选择甲； 当时，甲与乙均可； 当时，选择乙． 【解析】 【小问1详解】 解：由图可知：甲、乙两种方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系分别为正比例函数、一次函数， ∴设甲方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为， ∵在函数图像上， ∴将代入，得 ， 解得， ∴， 设乙方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为， ∵和在函数图像上， ∴将和代入，得 ， 解得， ∴， 综上所述：甲方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为，乙方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为； 【小问2详解】 略． 24. 如图，四边形为正方形．以为中心，旋转角等于，将边逆时针旋转得到．连接并延长交于点，作，垂足为点． （1）求证：； （2）当点与点恰好重合时，请在图2中画出图形，并求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）证明：由旋转可得：， ∴， 四边形是正方形， ， ∴， ∴， ， ， ∴． （2）当点与点恰好重合时如图所示： 此时 （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转可得：，利用等腰三角形的性质可得：，再利用三角形内角和定理可求出，即可得证； （2）过点作，垂足为，由（1）可知，，，可证明，得出，利用，即可求出结果； （3）设，则，由（2）得，，，得出，当在左侧时，此时，可求出；当E在G的右侧时，此时，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当点与点恰好重合时如图所示： 过点作，垂足为， ， ∴，， 由（1）可知，，， ∴， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， ， 在中，， 在中，， ， ∴． 【小问3详解】 解：当在左侧时，如图所示，过点作，垂足为， ∵， 设，则， 由（2）得，，， ∴， ∴， ∴； 当E在G的右侧时，如图所示，过点作，垂足为， ∵， 设，则， 由（2）得，，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 25. 已知二次函数（a为常数，）的图象与一次函数的图象交于点，且． （1）若该二次函数的图象经过原点，求的值； （2）线段的长是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． （3）已知点为二次函数图象上一点，当时， ，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）是；线段的长度为定值； （3）或． 【解析】 【分析】（1）将点代入二次函数，即可求解； （2）联立，求出两点的坐标，得到两点水平方向的距离和竖直方向的距离，利用勾股定理求解即可； （3）结合（2）可得 ，分别令，，求出或，或，建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，点在函数图象上， 将代入二次函数，得， 解得或， ， ； 【小问2详解】 解：线段的长度为定值， 联立，则 ， ∴ ， ∴ ， 解得， ，， ， 两点水平方向的距离为 ，两点竖直方向的距离为 ， ； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ， 解得 ， 令，得 ，则 ， ∴， 解得或， 令，得 ，则 ， ∴ ， 解得或， ， 解得， 或， 解得， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业、升学模拟考试试卷数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回、 2.答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3.答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题纸相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. “苏超”持续带动南通消费，5月9日晚，南通队主场对阵南京队，全市72个第二现场人潮涌动，观赛氛围火热．当天，全市共接待游客约480800人次．将480800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图为某几何体的三视图，则该几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 长方体 4. 若，则整数m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 将直尺和三角板（Rt）如图所示放置，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点在上，点在上，且，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在某次表演中，机器人需要从处移动到北偏东的处，机器人先向正东方向移动到达处，再向北偏东方向移动到处，则处到的距离长为（ ） A. B. 60 C. D. 9. 如图，中，，，．点从点出发，沿边向点运动．过点作，垂足为，交边（或边）于点，设，的面积为，则与之间的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，以为圆心，长为半径画弧，交过点且平行于轴的直线于点，作垂直于轴交双曲线于点．若的面积为16，则的值等于（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 二、填空题（本大题共6小题，第11－12题每小题3分，第13－16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题纸相应位置上） 11. 若分式有意义，则应满足的条件是__________． 12. 的结果是__________． 13. 劳动教育是连接德、智、体、美的桥梁．为了解同学们周末在家的劳动情况，某校随机抽取了名学生调查周末劳动时间，进行整理、分析，得出如下统计表． 时长（单位：小时） 人数（单位：人） 根据上面的信息可知，表格中的值等于______． 14. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 15. 如图，在中，，，，若为的角平分线，则的长为__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点处有一光源，当光照射到坐标轴的时候发生反射．在如图所示位置有一个光照感应器，端点的坐标分别为．若光源发出的光，仅经过轴上的点反射后，恰好经过点，则点的横坐标为__________；光源发出的光照射在轴上，能让感应器接收到信号的区域长度为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程组与计算 （1） （2）． 18. 近年来，青少年的视力健康越来越受重视，养成良好的用眼习惯是保护视力的关键．在学校组织的视力检查中，设置了三个检查组同时进行视力检查． （1）小明选择组检查的概率为__________； （2）求小明和小强在同一组检查视力的概率． 19. 如图，点是的中点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 月季作为我市的市花，被广泛种植，形成独特的月季文化景观．某校为了美化校园，用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度（单位：），数据整理如下： a．两批月季花树高度的频数： 121 125 126 130 134 138 139 第一批 1 3 1 0 4 3 0 第二批 0 1 3 2 5 0 1 b．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 第一批 131 134 第二批 131 m 134 （1）写出表中，的值； （2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是__________（填“第一批”或“第二批”）； （3）根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为和的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是多少？ 21. 请从下面两个命题中选取一个命题，判断该命题是真命题还是假命题，若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例． （1）任意两个连续偶数的平方差都是8的倍数； （2）如果四边形的两条对角线互相垂直，那么该四边形的面积等于这两条对角线乘积的一半． 22. 如图，为的直径，点为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为D，与的延长线交于点． （1）求证：平分； （2）若，求图中阴影部分的面积． 23. 随着“体重管理年”三年行动方案的开展，为鼓励人们多运动，某游泳馆推出甲、乙两套收费方案，两种方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的关系如图所示． （1）分别求甲、乙两种方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式； （2）请从消费者的角度思考，选择哪种方案比较好？请说明理由． 24. 如图，四边形为正方形．以为中心，旋转角等于，将边逆时针旋转得到．连接并延长交于点，作，垂足为点． （1）求证：； （2）当点与点恰好重合时，请在图2中画出图形，并求的值； （3）若，求的值． 25. 已知二次函数（a为常数，）的图象与一次函数的图象交于点，且． （1）若该二次函数的图象经过原点，求的值； （2）线段的长是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． （3）已知点为二次函数图象上一点，当时， ，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $