精品解析：2025年江苏省南通市崇川如皋联考中考二模数学试卷 (2)

2025年初中毕业、升学模拟考试试卷 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家．若将“收入80元”记作“元”，则“支出50元”记作（ ） A. 50元 B. 元 C. 30元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数的运用，掌握正负数的意义是关键． 根据题意，收入用正数表示，则支出用负数表示，由此即可求解． 【详解】解：“收入80元”记作“元”， ∴“支出50元”记作， 故选：B ． 2. 2025年2月12日，中国载人航天工程办公室宣布，载人月球探测任务的登月服命名为“望宇”．已知月球距离地球的距离约为384000，将384000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故选：A． 3. 如图，，为垂足，过点作，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是关键． 根据平角的性质得到，由两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，根据运算法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. ，原计算错误； C. ，原计算错误； D. ，计算正确； 故选：D． 5. 如图是由5个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，根据从上面看到的几何图形解答即可 【详解】解：几何体的俯视图为： ， 故选：A． 6. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解方程有两个相等的实数根是关键． 根据方程有两个相等的实数根得到，由此即可求解． 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故选：A ． 7. 下列调查中，应采用全面调查的是（ ） A. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 B. 调查某品牌手机的使用满意度 C. 了解全班同学的身高情况 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面抽查和抽样调查，根据全面调查的定义（对需要调查的对象进行逐个检查的一种调查方法）和抽样调查的定义（从全部调查的研究对象中，抽选一部分单位进行调查，并据此对全部调查研究对象做出估计和推断的一种调查方法）逐项判断即可． 【详解】解：A. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标，采用抽样调查； B. 调查某品牌手机的使用满意度，采用抽样调查； C. 了解全班同学的身高情况，采用全面调查； D. 调查某批次汽车的抗撞击能力，采用抽样调查； 故选：C 8. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，锐角三角函数的计算，合理构造直角三角形是关键． 如图所示，在线段上取格点，得到是正方形方格的对角线，，由勾股定理得到，根据余弦值的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，在线段上取格点， 根据网格格点得到，是正方形方格的对角线， ∴， 根据网格得到，， ∴， 故选：D ． 9. 如图①，在扇形中，，动点P从点O出发，沿匀速运动，的长度y与点P运动的路程x之间的函数关系如图②所示，则图中a的值为（ ） A. 12 B. C. 18 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，根据图象先得到半径长，然后代入弧长公式计算弧长，即可得到a的值解题． 【详解】解：由图象可得， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在中，，，D为延长线上一点，E为上一点，，连接，F为的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 或 B. 5或7 C. 或 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先用分别表示出，，，再利用中位线的性质求出，然后利用解直三角形求得，，，再利用勾股定理得到关于的方程求解，最后求得． 【详解】解：在上截取，连结，过点作于点， 设， ∵，， ∴，， ∵F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 又， ∴，解得：或， 当时，； 当时，， 故选： B． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直三角形，二次根式的应用，中位线定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 分解因式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：， 故答案为：． 12. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是_______ 【答案】3 【解析】 【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等．点到直线的距离是指过点作已知直线的垂线段的长度．过点D作DE⊥AB，则DE就是点D到直线AB的距离．根据角平分线的性质可得DE=CD=3． 【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，DE⊥AB， ∴DE=CD=3， ∴点D到AB的距离为3， 故答案为：3． 14. 若点和是一次函数的图象上两点，则与的大小关系为：________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数增减性是关键． 根据一次函数解析式得到一次函数图象中随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：一次函数中，， ∴一次函数图象中随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，码头A在码头B的正东方向，一货船由码头A出发，沿北偏东方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西方向，已知码头A与小岛C的距离是20海里，那么，码头B与小岛C的距离是________海里（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、等角对等边，理解题意，熟练掌握解直角三角形的应用是解题关键．过点作交的延长线于，根据等角对等边，得，得海里，在中，由锐角三角函数，即可解答． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于，则， ∵一货船由码头出发，沿北偏东方向航行到达小岛处，此时测得码头在南偏西方向， ∴，， ∴， ∵海里， ∴海里， 在中，， ∴海里， 故答案为： ． 16. 已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程后得出不等式是解题的关键． 分式方程去分母转化成整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程的解大于1结合分式有意义的条件即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 解得： ， ∵关于x的方程的解大于1， ∴得到 ，且， 解得：且． 故答案为：且． 17. 如图，在中，，，垂足为E，点B关于的对称点为F，连接交于点H，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求得，从而可利用线段差求得，再利用点B关于的对称点为F，求出，然后可求出，再根据平行线分线段成比例求出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵点B关于的对称点为F， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平行四边形的性质求解，根据成轴对称图形的特征进行求解，由平行截线求相关线段的长或比值，勾股定理，解题关键是根据平行截线求相关线段的长． 18. 如图，A，B两点分别在函数和的图象上，过点B作y轴的垂线，垂足为点C，作点A关于原点O的对称点D，连接，，，若，且，则k的值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】先证出，再推出，进而求出，再证明，求出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点F，过点D作轴交于点E，连接， ∵， ∴， 根据对称得，，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴, ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设， 则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，平行线的性质，直角三角形的性质，对称的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定以及反比例函数的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解不等式组： （2）化简求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查不等式组的解法，分式的化简求值； （1）先分别求出两个不等式的解集，然后求出公共解集即可； （2）先把括号内的分式通分合并，然后把除法化为乘法，分子、分母因式分解约分计算解题即可． 【详解】解：（1）解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为； （2） ； 当时，原式． 20. 如图，E为菱形的对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角； （1）根据菱形的性质，利用证明两三角形全等，即可得到结论； （2）根据全等可得，根据等边对等角得到，即可得到，根据三角形的内角和求出的度数解题即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 甲、乙、丙三人相约去图书馆看书，甲先到达图书馆，选择了一张正五边形的书桌，坐在如图所示的座位上，乙到达图书馆后，从座位①、②、③、④中随机选择一个坐下，丙到达图书馆后，从这张书桌剩下的座位中再随机选择一个坐下． （1）乙选择座位②的概率为________； （2）求乙和丙两人相邻而坐的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法的运用是关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：乙从座位①、②、③、④中随机选择一个坐下，选中座位②的结果有1种， ∴乙选择座位②的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下， 共有12种等可能结果，其中相邻而坐的结果有，共6种， ∴乙和丙两人相邻而坐的概率为． 22. 无人机产业已成为我国低空经济的新兴生产力．某公司对其内部研发的A，B两种型号的民用无人机的飞行续航时间进行测试，每个型号均测试10次，并对收集到的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．每次飞行测试的续航时间（单位：分钟）记录如下： A型号：26，33，28，30，30，32，30，32，35，34； B型号：25，32，28，30，28，33，32，36，32，34； b．将收集的数据整理成表格如下： 型号 平均数 众数 中位数 A 31 m 31 B 31 32 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的________，________； （2）根据以上数据，你认为哪种型号的无人机的续航性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）公司仓库有A型无人机150架，B型无人机200架，若将无人机续航时间不低于32分钟定为优秀，试估计这350架无人机中飞行续航时间达到优秀的共有多少架． 【答案】（1）30；32 （2）B型号的无人飞行器的续航性能更优，理由见解析 （3）195 【解析】 【分析】本题主要考查众数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及样本估计总体的应用． （1）利用众数、中位数的定义进行计算即可； （2）根据求得的中位数，众数及平均数进行判断即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：将A型号重新排列得：26，28，30，30，30，32，32，33，33，35； ∴； B型号重新排列得：25，28，28，30，32，32，32，33，34，36； ∴； 故答案为：30，32． 【小问2详解】 解：虽然平均数相同，但从众数、中位数看B型号都优于A型号， ∴B型号的无人飞行器的续航性能更优． 【小问3详解】 解：（架）， 答：这350架无人机中飞行续航时间达到优秀的共有195架． 23. 如图，在中，，，O是上一点，，以O为圆心，长为半径的圆与相切于点D，与相交于点E，与相交于点F． （1）求的长； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的切线性质、等腰与等边三角形判定及性质、相似三角形判定与性质、三角形及扇形面积公式；关键在于利用切线性质和平行线得到相似三角形，结合角度与边长关系逐步求解． （1）连接，，利用切线性质得，结合，证． 由三角形内角和求出，根据证是等边三角形，得．利用中角性质，设表示、，再由列方程求出，最后用得出结果． （2）由是等边三角形得度数，进而求出，根据相似三角形性质和已求边长算出，在中用勾股定理求出，计算，确定扇形圆心角和半径，计算，用得出阴影部分面积． 【小问1详解】 连接，， ∵圆与相切于点， ∴． ∴， ∴， ∴． 在中，，， ． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 在中，， ∴． 设， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即． ∴． 【小问2详解】 ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴，． 在中，，， ∴ ∴． ∴． 扇形的圆心角，半径． ． 阴影部分面积． 24. 随着新能源汽车的增加，某社区计划在相关区域建设一些充电基础设施，经过公开招标，拟定购买甲型慢充桩和乙型快充桩两种型号的充电桩．相关信息如下： 信息1 甲型充电桩的单价比乙型充电桩的单价少万元 信息2 购买5个甲型充电桩和3个乙型充电桩的总费用是万元 信息3 需购买40个充电桩，乙型的数量不少于甲型数量的一半 （1）求甲、乙两种型号充电桩的单价； （2）要想总费用最少，应购买甲、乙型充电桩各多少个？最少费用是多少万元？ 【答案】（1）甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元 （2）购买甲型充电桩，乙型充电桩，此时总费用最少，最少费用为万 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数求最大利润的计算，理解数量关系，正确列式是关键． （1）设甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元，由此列式求解即可； （2）设购买甲型充电桩个，则乙型充电桩有个，则，设总费用为，由此得到一次函数解析式，根据一次函数求最大值的计算即可求解． 【小问1详解】 解：设甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元， ∴ 解得，， ∴甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元； 【小问2详解】 解：设购买甲型充电桩个，则乙型充电桩有个， ∴， 解得，， 设总费用为， ∴， ∵， ∴总费用随甲型充电桩的数量增加而减小， ∴当时，总费用最小，最小值为（万元）， ∴购买甲型充电桩，乙型充电桩，此时总费用最少，最少费用为万． 25. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点，其中点A在点B的左侧，点是抛物线上的一个动点． （1）若，求点A的坐标； （2）若点A恰好为抛物线的顶点，在抛物线上另取一点，当时，试比较与的大小，并说明理由； （3）若点A的横坐标为4，当时，，求b的范围． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数化顶点式，二次函数与一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意得到抛物线和直线的解析式，令，解一元二次方程，即可解题； （2）将抛物线化为顶点式，得到顶点坐标，进而求出，再分情况讨论求解，即可解题； （3）根据点A的横坐标为4，得到的一个解为4，进而求出或，根据点A在点B的左侧，的对称轴为直线，推出，再结合二次函数增减性讨论求解，即可解题． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线解析式为，直线解析式为， 令，即， 解得：， ⸪点A在点B的左侧， ⸫，则， ； 【小问2详解】 解：∵，点A恰好为抛物线的顶点， ∴， ∵直线与抛物线相交于A点， ∴，即， 解得：， 当时，则抛物线图象关于对称，开口向上， ∵， ∴， ∴两点关于直线对称， ∴； 当时，直线与抛物线的另一个交点在点A左侧，不合题意，舍去； 综上，当时，； 【小问3详解】 解：点A的横坐标为4， 的一个解为4，即的一个解为4， ， 整理得， 解得或， 点A在点B的左侧，的对称轴为直线， ， 解得， ， 当时，， 当时，， ①当时， 又，有， 当时，有，不满足，舍去； ②当时，随的增大而减小， 又，有，时，， 或， 解得， 综上所述，． 26. 综合与实践：某数学兴趣组开展“旋转与作图”探究活动． 【探究情境】 有一张矩形纸片，，．如图1，沿直线将矩形纸片裁剪为和，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为点E． 【补图推证】 （1）当的边经过点D时，小组探究“如何在仅有的图中补画”．在完成了第一步“在射线上截取”后，同学们就“如何确定点E的位置”先后发言． ①小丽：如图2，分别以点A，F为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点E．连接，，可以依据“________”证得． ②小强：还可以这样画，如图3，作的垂直平分线，交于点M．分别以点A，M为圆心，线段，长为半径画弧，两弧交于点E．连接，，也可以证得． ③小红：是的．点E始终在以A为圆心，长为半径的圆上，且就是该圆的切线． ①小丽证得的依据是________； ②判断小强的说法是否正确，并说明理由； 【画图再探】 （2）记直线与的边的交点为G，小明提问：当直线经过点C时，能求出的长吗？请在图4中画出图形，并解决小明提出的问题； 【拓广延伸】 （3）请解决小强提出的问题：当E，F，D三点共线时，连接，求的面积． 【答案】（1）① ②小强的说法正确，理由见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据作图，利用得到两三角形全等即可； ②连接，即可得到，根据得到两三角形全等即可； （2）根据三线合一和旋转的性质可得，，然后在中运用勾股定理解答即可； （3）过点作于点，根据勾股定理求出长，即可得到长，然后根据正弦的定义求出长，利用三角形的面积公式计算解题． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， 故答案为：； ②解：小强的说法正确，理由为： 连接， ∵是的中点，， ∴， ∴，， ∴， 又∵是矩形， ∴， 又∵，， ∴； （2）如图，∵，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即； （3）如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，即， 解得， ∴； 如图，过点作于点， 同上可得， ∴； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定，勾股定理，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业、升学模拟考试试卷 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家．若将“收入80元”记作“元”，则“支出50元”记作（ ） A. 50元 B. 元 C. 30元 D. 元 2. 2025年2月12日，中国载人航天工程办公室宣布，载人月球探测任务的登月服命名为“望宇”．已知月球距离地球的距离约为384000，将384000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，为垂足，过点作，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由5个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 下列调查中，应采用全面调查的是（ ） A. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 B. 调查某品牌手机的使用满意度 C. 了解全班同学的身高情况 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 8. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图①，在扇形中，，动点P从点O出发，沿匀速运动，的长度y与点P运动的路程x之间的函数关系如图②所示，则图中a的值为（ ） A. 12 B. C. 18 D. 10. 如图，在中，，，D为延长线上一点，E为上一点，，连接，F为的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 或 B. 5或7 C. 或 D. 6 二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 分解因式_______． 12. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是_______ 14. 若点和是一次函数的图象上两点，则与的大小关系为：________（填“”，“”或“”）． 15. 如图，码头A在码头B的正东方向，一货船由码头A出发，沿北偏东方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西方向，已知码头A与小岛C的距离是20海里，那么，码头B与小岛C的距离是________海里（结果保留根号）． 16. 已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是________． 17. 如图，在中，，，垂足为E，点B关于的对称点为F，连接交于点H，若，则的长为________． 18. 如图，A，B两点分别在函数和的图象上，过点B作y轴的垂线，垂足为点C，作点A关于原点O的对称点D，连接，，，若，且，则k的值等于________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解不等式组： （2）化简求值：，其中． 20. 如图，E为菱形的对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 甲、乙、丙三人相约去图书馆看书，甲先到达图书馆，选择了一张正五边形的书桌，坐在如图所示的座位上，乙到达图书馆后，从座位①、②、③、④中随机选择一个坐下，丙到达图书馆后，从这张书桌剩下的座位中再随机选择一个坐下． （1）乙选择座位②的概率为________； （2）求乙和丙两人相邻而坐的概率． 22. 无人机产业已成为我国低空经济的新兴生产力．某公司对其内部研发的A，B两种型号的民用无人机的飞行续航时间进行测试，每个型号均测试10次，并对收集到的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．每次飞行测试的续航时间（单位：分钟）记录如下： A型号：26，33，28，30，30，32，30，32，35，34； B型号：25，32，28，30，28，33，32，36，32，34； b．将收集的数据整理成表格如下： 型号 平均数 众数 中位数 A 31 m 31 B 31 32 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的________，________； （2）根据以上数据，你认为哪种型号的无人机的续航性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）公司仓库有A型无人机150架，B型无人机200架，若将无人机续航时间不低于32分钟定为优秀，试估计这350架无人机中飞行续航时间达到优秀的共有多少架． 23. 如图，在中，，，O是上一点，，以O为圆心，长为半径的圆与相切于点D，与相交于点E，与相交于点F． （1）求的长； （2）求阴影部分的面积． 24. 随着新能源汽车的增加，某社区计划在相关区域建设一些充电基础设施，经过公开招标，拟定购买甲型慢充桩和乙型快充桩两种型号的充电桩．相关信息如下： 信息1 甲型充电桩的单价比乙型充电桩的单价少万元 信息2 购买5个甲型充电桩和3个乙型充电桩的总费用是万元 信息3 需购买40个充电桩，乙型的数量不少于甲型数量的一半 （1）求甲、乙两种型号充电桩的单价； （2）要想总费用最少，应购买甲、乙型充电桩各多少个？最少费用是多少万元？ 25. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点，其中点A在点B的左侧，点是抛物线上的一个动点． （1）若，求点A的坐标； （2）若点A恰好为抛物线的顶点，在抛物线上另取一点，当时，试比较与的大小，并说明理由； （3）若点A的横坐标为4，当时，，求b的范围． 26. 综合与实践：某数学兴趣组开展“旋转与作图”探究活动． 【探究情境】 有一张矩形纸片，，．如图1，沿直线将矩形纸片裁剪为和，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为点E． 【补图推证】 （1）当的边经过点D时，小组探究“如何在仅有的图中补画”．在完成了第一步“在射线上截取”后，同学们就“如何确定点E的位置”先后发言． ①小丽：如图2，分别以点A，F为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点E．连接，，可以依据“________”证得． ②小强：还可以这样画，如图3，作的垂直平分线，交于点M．分别以点A，M为圆心，线段，长为半径画弧，两弧交于点E．连接，，也可以证得． ③小红：是的．点E始终在以A为圆心，长为半径的圆上，且就是该圆的切线． ①小丽证得的依据是________； ②判断小强的说法是否正确，并说明理由； 【画图再探】 （2）记直线与的边的交点为G，小明提问：当直线经过点C时，能求出的长吗？请在图4中画出图形，并解决小明提出的问题； 【拓广延伸】 （3）请解决小强提出的问题：当E，F，D三点共线时，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $