第4章 立体几何 复习(高效培优讲义)高一数学湘教版必修第二册

该高中数学立体几何复习讲义通过表格对比和知识模块系统梳理知识体系，涵盖空间几何体结构、点线面位置关系、平行垂直证明、表面积体积及空间角计算等内容，突出距离、空间角计算及平行垂直证明等重难点，呈现知识内在逻辑。 讲义亮点在于“即学即练+典例变式”的分层练习设计，如半正多面体棱长计算培养空间观念，平行垂直转化思想训练数学思维，综合题提升创新意识。基础题巩固知识，综合题深化理解，助力学生自主复习，便于教师精准教学。

第四章 立体几何 复习讲义 教学目标 巩固对空间几何体结构的理解掌握，掌握直观图的计算，掌握点、线、面的位置关系，掌握距离、表面积、体积、线面角、二面角的计算，掌握空间的平行与垂直的证明方法. 教学重点 距离、表面积、体积、线面角、二面角的计算，掌握空间的平行与垂直的证明方法. 教学难点 距离、线面角、二面角的计算，空间的平行与垂直的证明方法. 知识点01 空间几何体的结构 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 含义 ①有两个面互相平行且全等， 其余各面都是平行四边形． ②相邻两个四边形的公共边都互相平行 有一个面是多边形， 其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面 平行四边形 三角形 梯形 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 3.直观图 直观图 斜二测画法：(1)直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半. 斜二测画法的直观图与原图面积的关系： 4．侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 直棱柱 正棱锥 正棱台 侧面展开图 侧面积公式 【即学即练1-1】(24-25高一下·北京延庆·期末)下列命题错误的是(    ) A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B．底面是正多边形的棱柱一定是正棱柱 C．棱柱的侧面都是平行四边形 D．斜棱柱的侧面有可能是矩形 【即学即练1-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)已知按照斜二测画法画出它的直观图(如图所示)，其中 则的长为(    )    A．2 B． C．3 D．4 【即学即练1-3】(多选)(24-25高一下·广东佛山·月考)已知长方体同一顶点的3条棱长度分别为2，3，4，现从该长方体的12条面对角线及4条体对角线中选出3条线段(不考虑原位置关系)构造三角形，则构成的三角形可能为(    ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 知识点02 空间点、线、面的位置关系 (一)基本事实与推论 1．四个基本事实 基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 注意：(1)此公理是判定直线在平面内的依据；(2)此公理是判定点在面内的方法 基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 注意：(1)此公理是确定一个平面的依据；(2)此公理是判定若干点共面的依据 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 注意：(1)此推论是判定若干条直线共面的依据；(2)此推论是判定若干平面重合的依据； (3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面； 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 注意：(1)此公理是判定两个平面相交的依据； (2)此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）； (3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (二)空间中直线与直线的位置关系 1.位置关系的分类： 2．空间中直线与平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系： 3．空间中平面与平面的位置关系 空间平面与平面的位置关系： 4．等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【即学即练2-1】(24-25高二上·上海·期中)如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是(   ) A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【即学即练2-2】(多选)(2023·江西景德镇·一模)如图，正方体的棱长为2，E，F，G，H分别是所在棱上的点，且满足 ，则(    )    A．若四边形为矩形，则 B．若四边形为菱形，则E，G或F，H为所在棱中点 C．若四边形为菱形，则四边形的周长取值范围为 D．当且仅当E，F，G，H均为所在棱中点时，四边形为正方形 知识点03 空间平行关系 1．线面平行 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) ∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b 2.面面平行 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 如果两个平面互相平行，其中一个平面内的一直线平行与另外平面 ⇒a∥β 3.平行问题的转化关系 4.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)若α∥β，a⊂α，则a∥β. 【即学即练3-1】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 【即学即练3-2】(多选)（24-25高一下·甘肃武威·期末）在正方体中，是棱的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 知识点04 空间垂直关系 1. 2．线面垂直 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b (3)与线面垂直有关的重要结论 ①如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． ②如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． ③如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． ④过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 2.面面垂直 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥ 3.三垂线定理:直线AB为斜线OB在平面内的投影， 4.垂直关系的转化 (1)判定定理转化：线线垂直线面垂直面面垂直 (2)性质定理转化：面面垂直 用图形表示为： (3)同时，在平行与垂直之间也存在相互转化，即：线线垂直线面垂直线线平行线面平行 【即学即练4-1】（24-25高一下·贵州·月考）在空间中，关于垂直与平行问题，有下列四个结论： ①平行于同一个平面的两条直线可能互相垂直；②平行于同一个平面的两个平面可能互相垂直； ③垂直于同一个平面的两条直线可能互相垂直；④垂直于同一个平面的两个平面可能互相垂直． 其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【即学即练4-2】(多选)（25-26高一下·全国·单元测试）设是直线，，是两个不同的平面，下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 知识点05 表面积与体积 1.体积公式： 所有椎体体积公式：, 所有柱体体积公式：, 台体体积公式：V＝(S上＋S下＋)h 球体体积公式：, 2.侧面积公式： 圆柱：S圆柱侧2πrl， 圆锥：S圆锥侧πrl， 圆台：S圆台侧＝π(r1＋r2)l. 3.表面积公式： 球体表面积公式：, 圆柱：, , 圆锥：, , 【即学即练5-1】（25-26高一下·重庆·期中）半径为6的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为（   ） A． B． C． D． 【即学即练5-2】(多选)（25-26高一下·河北·期中）如图为圆台的轴截面，其上底面直径为4、下底面直径为8，母线长为4，为边的中点，则（    ）    A．圆台的高为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积是 D．在圆台的侧面上，从沿圆台侧面到的最短路径的长度为10 知识点06 空间距离 1.点到平面的距离：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段.垂线段的长度叫这个点到平面的距离. 2.直线到平面的距离的定义： 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到平面的距离. 【即学即练6-1】（22-23高一下·广东深圳·期中）如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．2 D． 【即学即练6-2】(多选)（23-24高一下·浙江绍兴·期末）如图，已知正方体的棱长为，分别为棱上的点，，则（    ） A． B．平面经过棱的中点 C．平面截该正方体，截面面积的最大值为 D．点到平面距离的最大值为 知识点07 线面角 1.异面直线所成的角定义：已知两异面直线，，经过空间任一点分别作直线∥，∥， 我们把直线，所成的角叫做异面直线，所成的角. 空间两条直线所成角的取值范围是. 2.线面角：直线与平面交于点，过直线上的点作，连接，将称为直线与平面所成的角，简称线面角. 若直线在平面内，则直线与平面所成的角为 若直线，则直线与平面所成的角为 线面角的范围：. 【即学即练7-1】(24-25高一下·山东泰安·月考)在正方体中，异面直线与所成角的正弦值是(    ) A． B． C． D．1 【即学即练7-2】(多选)（23-24高一下·吉林·期中）在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），则下列结论正确的是（    ） A．直线与异面 B．直线与平面所成的角为 C．的最小值为 D．的最小值为 知识点08 二面角 1.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面. 记作：例如二面角或二面角或二面角. 2.二面角的平面角： 在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作射线，，则为二面角的平面角. 二面角的范围是. 【即学即练8-1】（23-24高一下·北京·期末）我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体（如图）．若该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【即学即练8-2】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）从空间中一点P向二面角的两个面，分别作垂线，，E，F为垂足，若，则二面角的大小可能是（   ） A． B． C． D． 题型01 空间几何体的结构 【典例1-1】(24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末)如图，长方体被截去一小部分，其中 ，则截去的几何体是(    )      A．三棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．五棱柱 【典例1-2】(24-25高一下·北京朝阳·期中)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的棱长为(   ) A． B． C． D． 【典例1-3】(多选)(22-23高一下·福建龙岩·期中)正方体的棱长为分别是和的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是(    ) A．三棱锥的体积是定值 B．平面截正方体所得的截面是梯形 C．线段长度的最小值为 D．是面积为的等腰三角形 【典例1-4】(24-25高一下·陕西西安·期中)已知某棱锥有个面，条棱，若，则__________. 【变式1-1】(24-25高一下·河南·月考)下列说法中正确的是(   ) A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 【变式1-2】(23-24高一下·吉林·期中)如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是(    ) A． B． C． D． 【变式1-3】(25-26高一下·全国·课后作业)如图所示的是水平放置的的直观图，是中边的中点，且轴，那么，，三条线段对应原图形的线段，，中(   ) A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是(且)，最短的是 D．最长的是，最短的是 【变式1-4】(24-25高一下·河南新乡·期末)已知半径为2的球与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为(    ) A． B． C． D． 【变式1-5】(多选)(25-26高一下·浙江金华·月考)在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则(    ) A． B．过点的平面截该长方体，所得截面周长为 C．以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为 D．三棱锥外接球的体积是 【变式1-6】(24-25高一下·广东汕头·期中)如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________． 题型02 空间点、线、面位置关系的判断与应用 【典例2-1】(23-24高一下·福建·期末)如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则(  ) A．2 B． C．1 D． 【典例2-2】(23-24高一下·江苏·月考)下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是(    ) A． B． C． D． 【典例2-3】(多选)(2023·江苏南京·一模)已知正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是(    ) A．三点共线 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 【典例2-4】(21-22高一下·北京·月考)如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是___________.(请写出所有正确命题的编号) ①当时，S为等腰梯形；②当时，S与的交点满足； ③当时，S为六边形；④当时，S的面积为. 【变式2-1】(22-23高一下·山东烟台·期末)下列几何元素可以确定唯一平面的是(    ) A．三个点 B．圆心和圆上两点 C．梯形的两条边 D．一个点和一条直线 【变式2-2】(23-24高一下·广东珠海·期中)下列命题正确的为( ) A．已知为三条直线，若异面，异面，则异面 B．已知为三条直线，若，则 C．底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线 【变式2-3】(20-21高一下·山东济南·期中)在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是(    ) A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，A四点共面 C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 【变式2-4】(21-22高一·全国·单元测试)在长方体中，、，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为(    ) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式2-5】(多选)(22-23高一下·四川广安·期中)如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是(    ) A．四点共面 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【变式2-6】(25-26高二上·浙江嘉兴·月考)在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为__________. 题型03 空间平行关系 【典例3-1】(24-25高一下·全国·课前预习)下列说法正确的是(    ) A．若直线平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线在平面外，则 C．若直线与直线不相交，直线，则 D．若直线，，那么直线平行于平面内的无数条直线 【典例3-2】(24-25高一下·浙江台州·期中)如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为PC上一点，当平面时，(    ) A． B． C． D． 【典例3-3】(多选)（24-25高一下·河北保定·月考）如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．存在点，使得平面 B．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C．异面直线与所成的角的大小为 D．若平面，则点的轨迹的长度为 【典例3-4】（23-24高一下·浙江嘉兴·月考）在棱长为1的正方体中，E，F分别为和的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是________． 【变式3-1】(23-24高一下·河北·期中)下列命题中正确的是(    ) A．若直线l平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交； C．若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线 D．若直线，和平面满足，；则 【变式3-2】(24-25高一下·安徽蚌埠·期中)如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设，则(   ) A．3 B．2 C． D． 【变式3-3】(24-25高一下·河南·月考)如图，在长方体中，，点分别是的中点，则下列说法正确的是(    ) A．此长方体的表面积为112 B．与是相交直线 C．与是异面直线 D．直线与平面相交 【变式3-4】(23-24高一下·江苏扬州·月考)在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，(    ) A．3 B．4 C． D． 【变式3-5】(多选)（24-25高一下·山东青岛·期末）在棱长为4的正方体中，点P为的中点，点E在线段上运动，点M在线段上运动，点N在正方形内（包含边界）运动，则下列结论正确的有（   ） A．直线与平面所成角为定值 B．三棱锥外接球球心到平面的距离为 C．的最小值为8 D．若平面，则异面直线与所成角的余弦值取值范围是 【变式3-6】（22-23高一下·河北邢台·月考）已知正方体的棱长为2，为的中点，且点在四边形内部及其边界上运动，（1）若总是保持平面，则动点的轨迹长度为______；（2）若总是保持与的夹角为，则动点的轨迹长度为______. 题型04 空间垂直关系 【典例4-1】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）如图，在正方体中，下列判断正确的是（   ） A．直线平面 B．直线直线 C．直线平面 D．直线与直线是异面直线 【典例4-2】（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，在三棱锥中，平面，且是边长为的正三角形，若，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【典例4-3】(多选)（22-23高一下·湖南益阳·期末）在正方体中，分别为，，的中点，P为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成的角为 B．平面与平面相交 C．平面 D．三棱锥的体积为定值 【典例4-4】（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，已知平面上放置有正三棱锥，其中是边长为2的正三角形，侧棱，若该三棱锥绕棱旋转，使点到平面的距离为1，则点到平面的距离为______. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（    ） A．若 ，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【变式4-2】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，某人在水平地面上的点O处观测垂直水平面的墙面上的动点P，观测点O到墙面的距离，墙角处点B到点A的距离，墙面上，当动点P沿射线在墙面上移动时，仰角θ(直线与水平面所成的角)正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一下·北京·期中）已知点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，已知满足，为中点，为线段上的动点，记．将四边形沿着翻折成几何体，在翻折过程中，总存在某一个位置使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-5】(多选)（21-22高一下·湖北·月考）已知正方体的棱长为2，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（    ） A．时， B．时，的最小值为 C．时，直线与面的交点轨迹长度为 D．时，正方体被平面截的图形最大面积是 【变式4-6】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知正四棱锥的所有棱长均为2，以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为__________. 题型05 空间距离及表面积与体积 【典例5-1】（25-26高一下·浙江·期中）已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（25-26高一下·天津武清·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【典例5-3】(多选)（24-25高一下·辽宁大连·期末）在正三棱柱中，，，，分别为，的中点，，，，四点均在球的表面上，则（    ） A．平面 B．球的表面积为 C．球表面与三棱柱表面的交线长度之和为 D．六面体与七面体公共部分的体积为 【典例5-4】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为_________． 【变式5-1】（25-26高一下·河北衡水·期中）若圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一下·山东淄博·期中）一圆台的上底面半径为，下底面半径为，若母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一下·浙江·期中）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．48 B．50 C．96 D．100 【变式5-4】（23-24高一下·天津滨海新区·期末）《九章算术·商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”．所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”， 是的中点，过三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，给出下列四个结论： ①过三点的平面截该“堑堵”的截面是三角形；②该三棱台的表面积为； ③二面角的正切值为；④三棱锥的外接球的表面积为； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-5】(多选)（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（ ） A．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B．无论点N在何处，始终有平面成立． C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 【变式5-6】（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 题型06 空间角 【典例6-1】(24-25高一下·山东泰安·月考)在正方体中，异面直线与所成角的正弦值是(    ) A． B． C． D．1 【典例6-2】（23-24高一下·湖南永州·期末）已知正方体的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，直线与平面ABCD所成角为，为正方形的中心，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例6-3】(多选)（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 【典例6-4】（22-23高一下·北京·期末）在正方体中，棱长为2，已知点P，Q分别是线段，上的动点（不含端点）.给出下列四个结论： （1）直线与直线垂直；（2）直线与直线不可能平行； （3）二面角的平面角的正弦值为；（4）的最小值是. 其中所有正确结论的序号是_______.    【变式6-1】(24-25高一下·湖南衡阳·期中)如图，在正方体中，异面直线与所成的角是(   ) A． B． C． D． 【变式6-2】(24-25高一下·江苏南京·期末)如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数(    ) A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 【变式6-3】（24-25高一下·辽宁丹东·期末）正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（22-23高二上·浙江台州·期末）在三棱锥中，．若与面所成角的最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-5】(多选)(24-25高一下·安徽宿州·期末)在正三棱柱中，，E，F，G，H分别为的中点，动点N在四边形内及其边界上运动，则下列说法正确的是(   ) A．E，F，G，H四点共面 B．FH与BC所成角的余弦值为 C．正三棱柱的外接球表面积为 D．若平面，则动点N的轨迹长度为 【变式6-6】(25-26高二下·上海·月考)正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上，则异面直线与所成角的余弦值为_____________________ 一、单选题 1.(25-26高一下·全国·单元测试)用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则的高为(   ) A．1 B．2 C． D． 2.（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，α∥β，A，C∈α，B，D∈β，AC与BD为异面直线，AC=6，BD=8，AB=CD=10，AB与CD成60°的角，则异面直线AC与BD夹角的大小是（    ） A．60° B．90° C．45°或60° D．60°或90° 3.(23-24高三上·陕西西安·期末)如图，在长方体中，，异面直线与所成的余弦值为，则(    ) A． B． C． D． 4.(24-25高一下·江苏南京·期末)直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱，分别是的中点，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为(    ) A． B． C． D． 5.(22-23高一下·陕西宝鸡·月考)如图，在四面体中，、分别为、的中点，若、所成的角为，且，则的长为(    ) A． B． C． D．或 6.(22-23高一下·湖北黄冈·月考)如图所示，棱柱的侧面是矩形，D是上的动点，若平面，则的值为(    ) A． B． C． D．1 7.（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在长方体中，，，点在矩形内运动（包括边界），，分别为的中点，若平面，当取得最小值时，的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8.（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知正方体边长为1，点分别在线段和上，，动点在线段上，且满足，分别记二面角，的平面角为，则总有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9.(23-24高一下·福建福州·期末)圆台的轴截面如图所示，其上、下底面的半径分别为，，母线长为，点为母线的中点，则下列结论正确的是(    ) A．圆台的侧面积为 B．与所成角为 C．圆台外接球的半径为 D．在圆台的侧面上，从点到点的最短路径的长度为 10.（23-24高一下·吉林·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，则（    ） A．三棱锥的外接球的表面积为 B．三棱锥的外接球的体积为 C．点C到平面的距离为 D．已知点P是底面（不含边界）内一动点，且平面，则线段的长度的取值范围是 11.（24-25高一下·四川成都·期末）在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，且，点，，分别为棱，，的中点，则（   ） A． B．平面与平面所成角的正弦值为 C．过点，，的平面截四棱锥所得的截面图形的周长为 D．设点为侧面内（包括边界）的一动点，且，则点的轨迹长度为 三、填空题 12.（25-26高一下·全国·课堂例题）已知平面//平面，直线与交于，且，，，则________． 13.（24-25高一下·吉林·期末）已知菱形的各边长为4，．如图所示，将沿折起，使得点D到达点S的位置，连接，得到三棱锥，此时．若E是线段的中点，点F在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点F轨迹的面积为______． 14.（25-26高二上·浙江·月考）已知三棱锥中，，，，，，则当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为________． 四、解答题 15.（24-25高一下·山西·月考）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点，分别为线段，上的一点，且，． (1)求证：；(2)求证：平面． 16.（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． (1)证明：；(2)求证：平面平面；(3)若，求与平面所成角的正弦值． 17.（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，在正三棱柱中，，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18.（24-25高一下·河南安阳·期末）阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形，．（角的运算均采用弧度制） (1)若，求四棱柱在任意三个顶点处的离散曲率的和； (2)若与平面所成角的正弦值为，求四棱柱在顶点处的离散曲率； (3)截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为与平面交于点，求． 19.（23-24高一下·安徽·期末）如图①，已知是边长为2的等边三角形，D是的中点，，如图②，将沿边DH翻折至. (1)在线段BC上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (2)若平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为，求点B到直线CH的距离. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章立体几何复习讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01空间几何体的结构 知识点02空间点、线、面的位置关系 知识点03空间平行关系 题型01空间几何体的结构 题型02空间点、线、面的位置关系 第四章立体几何 题型03空间平行关系 知识点04空间垂直关系 题型04空间垂直关系 题型05空间距离及表面积与体积 知识点05表面积与体积 题型06空间角 知识点06空间距离 知识点07线面角 知识点08二面角 教学目标、教学重难点 巩固对空间几何体结构的理解掌握，掌握直观图的计算，掌握点、线、面的位置关系， 教学目标 掌握距离、表面积、体积、线面角、二面角的计算，掌握空间的平行与垂直的证明方法。 教学重点 距离、表面积、体积、线面角、二面角的计算，掌握空间的平行与垂直的证明方法. 教学难点 距离、线面角、二面角的计算，空间的平行与垂直的证明方法. 知识清单 知识点01空间几何体的结构 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 ①有两个面互相平行且全等， 有一个面是多边形， 用一个平行于棱锥底面的平面去 含义 其余各面都是平行四边形. 其余各面都是有一个公共顶点的三 截棱锥，截面和底面之间的部分 ②相邻两个四边形的公共边都互相平行 角形的多面体 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面 平行四边形 三角形 梯形 2.旋转体的结构特征 第1页共28页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 3.直观图 斜二测画法：(1)直观图中x'轴、y′轴的夹角为45或135°，z'轴与x轴和y'轴所在平面垂直。 直观图 (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长 度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半 斜二测面法的直观图与原图面积的关系：S直观- 4S原图形”S原图形=2V2S直观图 4.侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 2πr 侧面展开图 2 侧面积公式 Sa柱侧=2πl S网维侧=兀 S网台侧=π（们十）l 直棱柱 正棱锥 正棱台 侧面展开图 侧面积公式 S直棱柱侧=ch S直棱柱侧=2 -ch S正棱台侧= 2(c+c)h 【即学即练1-1】(24-25高一下.北京延庆期末)下列命题错误的是() A.侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B.底面是正多边形的棱柱一定是正棱柱 C.棱柱的侧面都是平行四边形 D.斜棱柱的侧面有可能是矩形 【即学即练1-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)己知△ABC按照斜二测画法画出它的直观图△A'B'C如图所 示)，其中AB'=BC'=1,AC'=V2,则AB的长为) B O'(A) A.2 B.2V2 C.3 D.4 【即学即练1-3】（多选）(24-25高一下·广东佛山月考)已知长方体同一项点的3条棱长度分别为2,3,4，现 第2页共28页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 从该长方体的12条面对角线及4条体对角线中选出3条线段（不考虑原位置关系）构造三角形，则构成的三 角形可能为) A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 知识点02空间点、线、面的位置关系 (一基本事实与推论 1.四个基本事实 基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 注意：(1)此公理是判定直线在平面内的依据：(2)此公理是判定点在面内的方法 基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 注意：(1)此公理是确定一个平面的依据；(2)此公理是判定若干点共面的依据 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面： 注意：(1)此推论是判定若干条直线共面的依据；(2)此推论是判定若干平面重合的依据： (3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面： 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面： 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 注意：（①）此公理是判定两个平面相交的依据： (2)此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）： (3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据， 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. (仁)空间中直线与直线的位置关系 (平行直线 共面直线 1.位置关系的分类： (相交直线 (异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 2.空间中直线与平面的位置关系 (直线与平面平行 直线在平面外 空间直线与平面的位置关系： (直线与平面相交 直线在平面内 3.空间中平面与平面的位置关系 空间平面与平面的位置关系： 两个平面相交 两个平面平行 4.等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 【即学即练2-1】(24-25高二上·上海·期中)如图，在三棱锥A-BCD中，棱AB的中点为E,棱AC的中点为F, 棱BD的中点为G,经过E、F、G的截面一定是() A.三角形 B.矩形 C.梯形 D.平行四边形 第3页共28页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 【即学即练2-2】（多选）2023江西景德镇一模)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G,H 分别是所在棱上的点，且满足DH+BF=AE+CG=2,则() D C B B A.若四边形EFGH为矩形，则DH=CG B.若四边形EFGH为菱形，则E,G或F,H为所在棱中点 C.若四边形EFGH为菱形，则四边形EFGH的周长取值范围为[8,4W⑤ D.当且仅当E,F,G,H均为所在棱中点时，四边形EFGH为正方形 知识点03空间平行关系 1.线面平行 文字语言 图形语言 符号语言 判定 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与 ,l∥a,aca,14a,∴.l∥a 定理 此平面平行（线线平行→线面平行） a 性质 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此 l∥a,1CB,a∩B=b,.l∥b 定理 平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行→线线平行”） 2.面面平行 文字语言 图形语言 符号语言 判定 个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两 a (aca,bca, anb=P,→a∥B 定理 个平面平行（简记为“线面平行→面面平行） a//B.b//B. B 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的 a//B axny=a→a∥b 性质 交线平行 Bny=b) 定理 如果两个平面互相平行，其中一个平面内的一直线平行 与另外平面 aai a 第4页共28页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.平行问题的转化关系 性质 判定 线线平行 线面平行 性质 判定之面面平行 性质 判定 4.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥a,a⊥B,则a∥B. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若a∥B,B∥y,则a∥y. (3)若a∥B,aCa,则a∥B. 【即学即练3-1】(24-25高一下.安徽合肥期中)己知1，m,n是三条不同的直线，a,B,Y是三个不同的平 面，则下列命题一定正确的是() A.若m//a,n//B,a//B,则m//m B.若mc,nc,m/B,n//B,则a/B C.若//a,lcB,anB=m,则/m D.若mc,nca,lcB,且m/B,n/L,则a/B 【即学即练3-2】（多选）(24-25高一下·甘肃武威期末)在正方体ABCD一A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点， 则() A.B1D⊥AD1 B.B1D1平面ACD1C.BE//CD1 D.BE/平面ACD1 知识点04空间垂直关系 平行四边形：菱形、矩形、正方形 特殊图形 (特殊三角形：等腰（等边）三角形…取中点 1.线线垂直{边角关系 (正余弦定理 勾股（逆）定理 线面垂直的定义 面面垂直的性质 2. 线面垂直 文字语言 图形语言 符号语言 判定 条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 L⊥a,L⊥b, anb=0,→l1 定理 直，则该直线与此平面垂直 &b六 a、b≤， 性质 垂直于同一个平面的两条直线平行 a1cm→a∥b 定理 b⊥a (3)与线面垂直有关的重要结论 ①如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线， ②如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. ③如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行. 第5页共28页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直. 2.面面垂直 文字语言 图形语言 符号语言 判定 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平 定理 面垂直 IEB-aL L⊥a) 性质 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的 (a⊥B, anB=a,→l⊥a 定理 直线与另一个平面垂直 l∈B,l1a, la 3.三垂线定理：直线AB为斜线OB在平面a内的投影，L⊥AB三LLOB 4.垂直关系的转化 (1)判定定理转化：线线垂直→线面垂直→面面垂直 (②)性质定理转化：面面垂直→线面垂直→线线垂直 用图形表示为： 判定 判定 线线垂直 线面垂直 判定 面面垂直 ↑性质 性质 性质 (3)同时，在平行与垂直之间也存在相互转化，即：线线垂直→线面垂直→线线平行→线面平行 【即学即练41】(24-25高一下.贵州月考)在空间中，关于垂直与平行问题，有下列四个结论： ①平行于同一个平面的两条直线可能互相垂直：②平行于同一个平面的两个平面可能互相垂直： ③垂直于同一个平面的两条直线可能互相垂直；④垂直于同一个平面的两个平面可能互相垂直. 其中正确结论的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 【即学即练42】（多选）(25-26高一下.全国单元测试)设l是直线，，B是两个不同的平面，下列说法错误 的是() A.若/1a,/IB,则a/B B.若//a,l⊥B,则a⊥B C.若a1B,l1,则l1B D.若1B,l/a,则l1B 第6页共28页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点05表面积与体积 1.体积公式 所有椎体体积公式：V=Sh, 所有柱体体积公式：V=Sh, 台体体积公式：V=S上十S+SSh 球体体积公式：V=R, 2.侧面积公式： 圆柱：S圆柱剩=2九l, 圆锥：S圆锥测=0l, 圆台：S圆台测=π(1十)儿. 3.表面积公式： 球体表面积公式：S=4πR2, 圆柱：V=Sh=r2l,S表=S底+S侧=2r2+2ml, 圆锥：V=Sh=πr2h,S表=S底+S侧=r2+ml, 【即学即练5-1】(25-26高一下.重庆期中)半径为6的球0中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球 的表面积与圆柱的侧面积之差为() A.62π B.72π C.75π D.80π 【即学即练5-2】（多选）(25-26高一下·河北期中)如图为圆台的轴截面，其上底面直径为4、下底面直径 为8，母线BC长为4，M为BC边的中点，则() 0 B A.圆台的高为2V3 B.圆台的侧面积为24π C.圆台的体积是56v3π D.在圆台的侧面上，从A沿圆台侧面到M的最短路径的长度为10 知识点06空间距离 1.点到平面的距离：过一点垂直于己已知平面的直线有且只有一条，过一点作垂直于己知平面的直线，则该 点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段.垂线段的长度叫这个点到平面的距离， 2.直线到平面的距离的定义： 条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到平面的距离， 【即学即练6-1】(22-23高一下·广东深圳·期中)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为6，△A1BC的面积 为2√3，则点A到平面A1BC的距离为() A.√2 B.V3 C.2 D.5 第7页共28页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B A A 【即学即练6-2】（多选）(23-24高一下.浙江绍兴·期末)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F,G 分别为棱AA1,CC,BC上的点，A1E=CF=CG=1∈(0,1)，则() A.EG⊥GF B.平面EFG经过棱AB的中点H C.平面EFG截该正方体，截面面积的最大值为 D.点D到平面EFG距离的最大值为 D A B E G 知识点07线面角 1.异面直线所成的角定义：已知两异面直线a,b,经过空间任一点0分别作直线a∥a,∥b, 我们把直线a',所成的角叫做异面直线a,b所成的角 空间两条直线所成角的取值范围是[0°，90]： 2.线面角：直线与平面a交于点O,过直线l上的点P作PA1于A,连接A0,将LPOA称为直线I与平面a所 成的角，简称线面角. 若直线在平面α内，则直线l与平面a所成的角为0°. 若直线l1a,则直线l与平面a所成的角为90°， 线面角的范围：[0°，90]. 【即学即练7-1】(24-25高一下.山东泰安月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线BD与AD1所成角的 正弦值是() A号 B.② C. D.1 2 【即学即练7-2（多选）(23-24高一下吉林期中)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=3A1B1=6,AA1=4, P为棱BB1上的动点（含端点），则下列结论正确的是() A.直线AA1与CC1异面 B.直线AA1与平面ABCD所成的角为 C.AP+PC的最小值为6V3 D.AP+PC1的最小值为2W13 知识点08二面角 1.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半 第8页共28页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平面叫二面角的面 记作：例如二面角a一AB-B或二面角a-1-B或二面角P-1一Q. 2.二面角的平面角： 在二面角a-1-B的棱上任取一点0，分别在两个半平面内作射线A01l,B01l,则∠A0B为二面角a-l-B 的平面角. 二面角的范围是[0°，180： 【即学即练8-1】(23-24高一下北京期末)我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体E一 ABCD一F（如图).若该正八面体的所有棱长均为2，则二面角E一AB一F的余弦值为() A 2 8.、22 3 c.- D.月 【即学即练8-2】（多选）(25-26高一下，全国课后作业)（多选）从空间中一点P向二面角a-1-B的两个面 ,B分别作垂线PE,PF,E,F为垂足，若∠EPF=60°，则二面角-1-B的大小可能是() A.60° B.120° C.30° D.150° 题型精讲 题型01空间几何体的结构 【典例1-1】(24-25高一下·新疆乌鲁木齐.期末)如图，长方体ABCD-A'B'CD被截去一小部分，其中EH// AD'/∥FG,则截去的几何体EFB'-HGC是() D H E D B A.三棱锥 B.三棱柱 C.三棱台 D.五棱柱 【典例1-2】(24-25高一下.北京朝阳·期中)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形 状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图）.半正多面 体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的 半正多面体，它的所有项点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为 () 第9页共28页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2-√2 B.V2-1 c.号 D. 图1 图2 【典例1-3】（多选22-23高一下·福建龙岩·期中）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E,F分别是B1C1和C1D1 的中点，P为线段EF上的动点，则下列说法正确的是() A.三棱锥B-DCP的体积是定值 B.平面BEF截正方体所得的截面是梯形 C.线段CP长度的最小值为2v2 D.△AEF是面积为2√17的等腰三角形 D C A 【典例1-4】(24-25高一下.陕西西安期中)已知某n棱锥有m个面，k条棱，若3k=5m,则n= 【变式1-1】(24-25高一下河南·月考)下列说法中正确的是() A.棱柱的所有面都是四边形 B.棱柱的侧面一定是平行四边形 C.棱柱的侧棱不全相等 D.各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 【变式1-2】(23-24高一下·吉林期中)如图，在正四棱锥P一ABCD中，2PA=√6AB=6,E是棱PB上的动点， 一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是() D E D A.2V2 B.25 C.25 D.2V6 【变式1-3】(25-26高一下，全国课后作业)如图所示的是水平放置的△ABC的直观图，D'是△AB'C中BC边 的中点，且ADIy轴，那么AB',AD,A'C三条线段对应原图形的线段AB,AD,AC中() 第10页共28页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Ay' B A.最长的是AB,最短的是AC B.最长的是AC,最短的是AB C.最长的是AB(且AB=AC),最短的是ADD.最长的是AD,最短的是AC 【变式1-4】(24-25高一下·河南新乡，期末)己知半径为2的球0与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的 轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为() A.24π B.36m C.18π D.30π 【变式1-5】（多选）(25-26高一下·浙江金华.月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正 方形，P在棱A1D1上，且PA=V1O,PD=V2,则) A.AA1=1 B.过点A、P、C的平面截该长方体，所得截面周长为5√2+2W10 C.以点P为球心，V2为半径作一个球，则球面与底面ABCD的交线长为2π D.三棱锥P-ABD外接球的体积是36π 【变式1-6】(24-25高一下·广东汕头·期中)如图，已知圆台的轴截面为梯形ABCD,AB=4,CD=2,梯形ABCD 的高为2V2,圆台的体积为 :在圆台的侧面上，从点A到点C的最短路径长度是 C 题型02空间点、线、面位置关系的判断与应用 【典例2-1】(23-24高一下·福建·期末)如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱DD1的中点， N为棱B1C1的中点，设直线A1D1与平面MNC交于点Q,则D1Q=() D B M D A.2 B. C.1 0. 【典例2-2】(23-24高一下江苏月考)下列选项中，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的 第11页共28页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是() D R R B. 【典例2-3】（多选2023江苏南京·一模）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，0为B1D1的中点，直线A1C交平 面AB1D1于点M,则下列结论正确的是() A.A,M,O三点共线 B.A,M,O,A1四点共面 C.A,0,C,M四点共面 D.B,B1,O,M四点共面 【典例2-4】(21-22高一下·北京·月考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为棱CC1 上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是 (请写出所有 正确命题的编号)】 B D ①当CQ=时，S为等腰梯形：②当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R= ③<cQ<1时，s为六边形：④当cQ=1时，8的面积为 【变式2-1】(22-23高一下山东烟台期末)下列几何元素可以确定唯一平面的是() A.三个点 B.圆心和圆上两点 C.梯形的两条边 D.一个点和一条直线 【变式2-2】(23-24高一下·广东珠海·期中)下列命题正确的为( A.已知a,b,c为三条直线，若a,b异面，b,c异面，则a,c异面 B.己知a,b,c为三条直线，若a1c,b1c,则a/b C.底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D.若△ABC在平面a外，它的三条边所在的直线分别交于P,Q,R,则P,Q,R三点共线 【变式2-3】(20-21高一下.山东济南·期中)在长方体ABCD-ABCD1中，直线AC与平面ABD1的交点为M, O为线段BD,的中点，则下列结论错误的是() 第12页共28页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.A,M,O三点共线 B.M,O,A1,A四点共面 C.B,B1,O,M四点共面 D.A,O,C,M四点共面 【变式2-4】(21-22高一.全国.单元测试)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4、BC=3,M、N分别为棱AB、 BB1的中点，点P在对角线A1C1上，且A1P=3,过点M、N、P作一个截面，该截面的形状为) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 【变式2-5】（多选）22-23高一下·四川广安·期中)如图所示，在空间四边形ABCD中，点E,H分别是边AB,AD 的中点，点F,G分别是边BC,CD上的三等分点，且器-惡=子则下列说法正确的是() CB CD C A.E,F,G,H四点共面 B.EF与GH异面 C.EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D.EF与GH的交点M一定在直线AC上 【变式2-6】(25-26高二上·浙江嘉兴月考)在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵” 如图，棱柱ABC-A1B1C1为一“堑堵”，P是BB1的中点，AA1=AC=BC=2,则在过点P且与AC1平行的截 面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为 B1 y 题型03空间平行关系 【典例3-1】(24-25高一下·全国·课前预习)下列说法正确的是() A.若直线平行于平面a内的无数条直线，则l/a B.若直线a在平面a外，则a/a C.若直线a与直线b不相交，直线bca,则a/a D.若直线a/b,bcu,那么直线a平行于平面a内的无数条直线 【典例3-2】(24-25高一下·浙江台州·期中)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为线段AD上靠 近A的三等分点，F为PC上一点，当PA/平面EBF时，E=) A. B. c.青 0月 第13页共28页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 【典例3-3】（多选）(24-25高一下河北保定·月考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别 是AD,DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为() A.存在点P,使得FP/平面ABC1D1 B.过B,E,F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C.异面直线BA1与EF所成的角的大小为60° D.若D1P//平面A1BC1,则点P的轨迹的长度为V2 C D E 【典例3-4】(23-24高一下浙江嘉兴·月考)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为BC和CC1 的中点，M是侧面BCC1B1内一点，若D1M/平面DEF,则线段D1M长度的取值范围是 【变式31】(23-24高一下河北期中)下列命题中正确的是() A.若直线I平行于平面a内的无数条直线，则l// B.若直线a,b相交，b,c相交，则，c相交； C.若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线 D.若直线a,b和平面满足a/b,a/a;则b/a 【变式32】(24-25高一下·安徽蚌埠.期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC//AD,AD=2BC,点E是棱 PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设CP=ACF,则1=() E 第14页共28页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.2 c 0. 【变式33】(24-25高一下河南·月考)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4,AA1=7,点 M,N,G,H分别是DD1,C1D1,CC,DC的中点，则下列说法正确的是() A.此长方体的表面积为112 B.A1M与B1H是相交直线 C.A1N与B1G是异面直线 D.直线A1N与平面B1GH相交 D 【变式3-4】(23-24高一下江苏扬州·月考)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为线段AD 上靠近A的三等分点，F为线段PC上一点，当PA/平面EBF时，器=() A.3 B.4 c D. 【变式35】（多选）(24-25高一下.山东青岛期末)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为A1D1 的中点，点E在线段BD1上运动，点M在线段AB上运动，点N在正方形A1B1C1D1内（包含边界）运动， 则下列结论正确的有() A.直线C1M与平面ADD1A1所成角为定值 B。三棱锥P-A1AB,外接球球心到平面PAB的距离为 C.2EN+V2EM的最小值为8 D.若BN/平面AB1P,则异面直线CC1与BN所成角的余弦值取值范围是9， 3,5 D P 不N·B C M 【变式36】(22-23高一下河北邢台月考)己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，且点 P在四边形BCC1B1内部及其边界上运动，(1)若总是保持EP/平面BDD1B1,则动点P的轨迹长度为： (2)若总是保持AP与AB的夹角为30°，则动点P的轨迹长度为 第15页共28页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04空间垂直关系 【典例41】(24-25高一下·贵州铜仁期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列判断正确的是() D A.直线BCC平面AA1C1 B.直线AB/直线A1C1 C.直线CD1平面AA1C1 D.直线BC与直线A1C1是异面直线 【典例4-2】(23-24高一下.四川成都.期末)如图所示，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC,且△ABC是边 长为1的正三角形，若SA=BC,则点A到平面SBC的距离为() A.27 B.② 7 7 c.9 D.3② 【典例43】（多选）(22-23高一下湖南益阳期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,M分别为BC,CC1, BB的中点，P为线段AM上的动点，则下列说法正确的是() A.异面直线A1C1与EF所成的角为60° B.平面A1MC1与平面AEF相交 C.BD1I平面AEF D.三棱锥F-APE的体积为定值 【典例44】(24-25高一下·江苏连云港月考)如图，己知平面a上放置有正三棱锥A-BCD,其中△BCD 是边长为2的正三角形，侧棱AB=√5，若该三棱锥绕棱BC旋转，使点D到平面a的距离为1，则点A到平面 a的距离为 【变式41】(24-25高一下·江苏泰州·期末)已知平面a和不重合的两条直线m,n,则下列说法正确的是（) A.若m1n,mIa,则n1a B.若m⊥n,m1a,则n‖ C.若mⅡn,m‖a,则n‖a D.若mln,m⊥a,则n⊥a 【变式42】(24-25高一下.福建福州·期末)如图，某人在水平地面上的点O处观测垂直水平面的墙面ABC 上的动点P,观测点O到墙面的距离0A=12m,墙角处点B到点A的距离BA=16m,墙面上∠ABC=60°， 第16页共28页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当动点P沿射线BC在墙面上移动时，仰角（直线OP与水平面所成的角）正切值的最大值为() B A.5/3 B.53 C.5 3 9 12 【变式43】(23-24高一下，北京期中)已知点P在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1表面运动，且PB= PD1,则线段AP的长的取值范围是() A.92 B.[1,3] c.[2,3] D. 【变式44】(24-25高一下·浙江宁波·期中)如图，己知△ABC满足AB1AC,∠ACB=30°，D为BC中点，E 为线段AC上的动点，记LEDC=日.将四边形ABDE沿着DE翻折成几何体C-A1B1DE,在翻折过程中，总存 在某一个位置使得B1C1EC,则8的取值范围为() D A.(信) B.() c.() .) 【变式45】（多选）（21-22高一下，湖北月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为线段AA1的中 点，AP=λAB+AD,其中)，H∈[0,1]，则下列选项正确的是（) A.I=时，A1P1ED1 B.λ=时，B1P+PD的最小值为V13 C.1+以=1时，直线A1P与面B1D,E的交点轨迹长度为号 D.1+L=1时，正方体被平面PAD1截的图形最大面积是4V2 【变式46】(23-24高一下·江苏南京·期末)已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2，以点A为球心，2为 半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为 题型05空间距离及表面积与体积 【典例5-1】(25-26高一下浙江期中)已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表 面积与圆柱的表面积的比值是() A. 8.号 C. 第17页共28页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例5-2】(25-26高一下·天津武清·期中)如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中， 大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为2V, 则5个球的表面积之和为() D A.4π B.6π C.8It D.10m 【典例5-3】（多选）(24-25高一下·辽宁大连·期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=V3,E, F分别为AB,B1C1的中点，A1,E,C,F四点均在球O的表面上，则() A.EF/平面A1ACC1 B.球0的表面积为28π C.球O表面与三棱柱ABC-A1B1C1表面的交线长度之和为2m D.六面体A1 B1FEBC与七面体A1C1FACE公共部分的体积为号 【典例5-4】(25-26高一下·湖南衡阳·期中)有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4 和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为 【变式51】（25-26高一下·河北衡水.期中)若圆锥的底面半径为1，高为√2，则该圆锥的侧面积为() A.V3π B.2π C.2V3π D.4π 【变式52】(25-26高一下山东淄博·期中)一圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，若母线与底面的夹 角为60°，则该圆台的体积为() A.2 3π B.4/3 3π C.5/3 【变式53】(25-26高一下.浙江·期中)已知圆锥的底面周长为16π，侧面积为80π，则过该圆锥顶点的平 面截此圆锥所得截面面积的最大值为() A.48 B.50 C.96 D.100 【变式5-4】(23-24高一下天津滨海新区期末)《九章算术商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈， 表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”.所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形 的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，AB=BC=2,AA1=4,M是A1C1的中点，过B,C,M三点的平 面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，给出下列四个结论： ①过B,CM三点的平面截该堑堵"的截面是三角形：②该三枝台的表面积为号+6V2+ 第18页共28页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③二面角M-BC-C1的正切值为渠； ④三棱锥M-ABC的外接球的表面积为：： 其中正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式55】（多选）(25-26高一下.广东深圳·期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BD的中点， N是线段CD1上一动点，则下列说法正确的有() A.三棱锥N-BAA1的体积随着点N的位置的改变而随之变化. B.无论点N在何处，始终有B1DI平面ACN成立 C.直线N与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为[O,V②. D.平面BDN截得正方体ABCD-A1B1C1D1的截面可能是三角形或四边形. 【变式5-6】(24-25高一下·江苏无锡·期末)已知四面体ABCD中，△ABD为边长为2V3的等边三角形，CD1BD, CD=4,二面角A一BD一C的大小为120°，则四面体ABCD的外接球的表面积为 题型06空间角 【典例6-1】(24-25高一下山东泰安，月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线BD与AD1所成角的正弦 值是() A号 B.② 2 c. D.1 【典例6-2】(23-24高一下.湖南永州·期末)己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为底面ABCD内 一动点，直线D1P与平面ABCD所成角为FE为正方形A1ADD1的中心，点M为线段D1B上一动点，则MP+ME 的最小值为() A.√10-2V2 B.√10-4V2 C.V12-2W2 D.√12-4y2 【典例6-3】（多选）(24-25高一下江苏无锡·期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M是其 侧面ADD1A1上的一个动点（含边界），点P是线段CC1上的动点，则（) 第19页共28页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.PM的长度范围是[1，V2 B.存在点P,M,使得平面B1D1M与平面PBD平行 C.存在点P,M,使得二面角M-DC-P大小为 D.当P为棱CC1的中点且PM=2V2时，则点M的轨迹长度为 D 【典例6-4】(22-23高一下北京·期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，己知点P,Q分别是线段 AD1,AC1上的动点（不含端点）.给出下列四个结论： (1)直线PQ与直线B1C垂直：(2)直线PQ与直线CD不可能平行： (3)二面角P-AC-Q的平面角的正弦值为得；(4)PQ1+QCI的最小值是号 其中所有正确结论的序号是 D C 0月 D A B 【变式61】(24-25高一下·湖南衡阳·期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1C1与BC所成的 角是() A.30° B.45° C.60° D.90 D B D 【变式62】(24-25高一下·江苏南京·期末)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB,AD 的中点，则过点B作与异面直线B1C与EF所成的角都是60的直线条数() A.有无数条 B.有两条 C.有三条 D.有一条 D C B 41 F A E B 【变式63】(24-25高一下辽宁丹东·期末)正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为() 第20页共28页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A号 B. 3 C. D. 【变式64】(22-23高二上浙江台州期末)在三棱锥S-ABC中，SA=SB=V2,AB=2,BC=1,AB1BC.若 SC与面SAB所成角的最大值为8，则tana的值为() A B.9 C.s-1 2 D.S+1 2 【变式65】（多选）(24-25高一下·安徽宿州期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,E,F,G, H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点，动点N在四边形ABB1A1内及其边界上运动，则下列说法正确的是() A.E,F,G,H四点共面 B。所与BC所成角的余弦值为沿 C.正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球表面积为2 D.若CN//平面AGC1,则动点N的轨迹长度为V5 G 【变式66】(25-26高二下.上海·月考)正四棱锥P一ABCD的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一 球面上，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为 强化训练 一、单选题 1.(25-26高一下·全国·单元测试)用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角 形ABC'.已知点0'是斜边BC的中点，且A'O'=1,则△ABC的高AC为) A.1 B.2 C.v2 D.2W2 B C 2.(24-25高一下·河南南阳期末)如图，a∥B,A,C∈a,B,D∈B,AC与BD为异面直线，AC=6,BD=8, AB=CD=10,AB与CD成60°的角，则异面直线AC与BD夹角的大小是() A.60° B.90° C.45°或60° D,60°或90° 第21页共28页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(23-24高三上陕西西安，期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=8,AD=6,异面直线BD与AC1 所成的余弦值为品 则CC1=) A.V3 B.2W2 C.23 D.3V2 D C D B 4.(24-25高一下江苏南京·期末)直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2W2的正方形，侧棱AA1=3V2, E,F分别是AB,BC的中点，则过点D1,E,F的平面截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为() A.8V3 B.4W3 c.9 D.7V3 5.(22-23高一下·陕西宝鸡·月考)如图，在四面体ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，若BD、AC所成的角 为60°，且BD=AC=4,则EF的长为() A.2 B.4 C.2v3 D.2或2V3 6.(22-23高一下·湖北黄冈·月考)如图所示，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是矩形，D是A1C1上的动点， 若A18平面，CD,测器的值为) A.3 B. c. D.1 7.(23-24高一下江苏无锡期中)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,BC=CC1=2,点P在矩 形BCC1B1内运动（包括边界），M,N分别为BC,CC1的中点，若A1P/平面MAN,当A1P取得最小值时，∠B1BP 的余弦值为() 5 A. B. 2V5 C.vio D.3Vio 5 5 10 10 D 第22页共28页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(23-24高一下浙江杭州期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1边长为1，点E,0分别在线段B1D1和BD上， EB1=B1D1,D0=B0,动点F在线段AA1上，且满足AF=1AA1(0<1<),分别记二面角F-OB1 E,F-OE-B1,F-EB1-O的平面角为aB,Y,则总有() A.a>B>y B.Y>B>a C.Y>a>B D.B>a>y A D B 二、多选题 9.(23-24高一下·福建福州·期末)圆台的轴截面如图所示，其上、下底面的半径分别为r1=1,r2=2,母线AB 长为2，点E为母线AB的中点，则下列结论正确的是() A.圆台的侧面积为12π B.AB与BC所成角为120° C.圆台外接球的半径为2 D.在圆台的侧面上，从点C到点E的最短路径的长度为5 D 10.(23-24高一下.吉林.期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是棱BC,CD 的中点，则() A.三棱锥A1-ACD的外接球的表面积为12π B.三棱锥A1一ACD的外接球的体积为4V3π C.点C到平面C1EF的距离为 D.已知点P是底面ABCD(不含边界)内一动点， 且D,P/平面A,BC1,则线段DP的长度的取值范围是[，V) A E D B 11.(24-25高一下.四川成都期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA1平面ABCD, 且PA=1,点E,F,G分别为棱AB,AD,PC的中点，则() A.AG⊥PD B.平面EFG与平面ABCD所成角的正弦值为号 C.过点E,F,G的平面截四棱锥P-ABCD所得的截面图形的周长为6+2 2 D.设点Q为侧面PAD内（包括边界）的一动点，且BQ=雪，则点Q的轨迹长度为治π 3 第23页共28页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、填空题 12.(25-26高一下·全国·课堂例题)己知平面a/平面B,A,C∈，B,D∈B,直线AB与CD交于S,且AS=8,BS= 9,CD=34,则CS=· 13.(24-25高一下.吉林.期末)己知菱形ABCD的各边长为4，∠D=60°.如图所示，将△ACD沿AC折起， 使得点D到达点S的位置，连接SB,得到三棱锥S-ABC,此时SB=6.若E是线段SA的中点，点F在三 棱锥S一ABC的外接球上运动，且始终保持EF1AC,则点F轨迹的面积为一· B D 14.(25-26高二上浙江月考)已知三棱锥A-BCD中，AB=,CD=1,LABC=5,∠CBD=5 tantABD=9, 3 则当三棱锥A-BCD的体积最大时，二面角A一CD-B的余弦值为 四、解答题 15.(24-25高一下.山西·月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA1平面ABCD,点M,N 分别为线段PC,BD上的一点，且PM=2MC,DN=2NB. (1)求证：PC1BD;(2)求证：MN/平面PAD 第24页共28页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(25-26高一下.陕西西安·期中)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA1底面ABCD,M,N分别为CD, PD的中点，AC与BM交于点E,AB=6V2,AD=6,K为PA上一点，PK=PA (1)证明：KE/MN;(2)求证：平面PAC1平面BMNK;(3)若PA-求BK与平面PAC所成角的正弦值. D 第25页共28页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(24-25高一下.安徽宣城期末)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=4,点M为A1B1 的中点。 (1)求点A到平面MBC1的距离； (2)在棱BB1上是否存在点Q,使得AQ1平面BC1M?若存在，求出9的值；若不存在，请说明理由. QB M 第26页共28页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(24-25高一下河南安阳期末)阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离 散曲率为1-(Q1PQ2+∠Q2PQ3+∠Q3PQ4++∠Qk-1PQk+∠QPQ1),其中Q,=1,2,…,k,k≥3) 为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2,平面Q2PQ3,…,平面Qk-1PQk和平面QkPQ1为多面体M 的所有以P为公共点的面."已知在直四棱柱ABCD一A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1=AB,(角的运 算均采用弧度制) (1)若AC=BD,求四棱柱ABCD-A1B1C1D1在任意三个顶点处的离散曲率的和； 2)若BC1与平面ACC所成角的正弦值为源，求四棱柱ABCD-A1B1C1D,在顶点A处的离散曲率； (3)截取四面体A1-ABD,若该四面体在点A1处的离散曲率为品，AC,与平面A1BD交于点G,求G ACT 第27页共28页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(23-24高一下，安徽期末)如图①，已知△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB的中点，DH1BC, 如图②，将△B'DH沿边DH翻折至△BDH. )在线段BC上是否存在点R。使得AF/平面BDH?若存在，求器的值；若不存在，请说明理由： (2)若平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为2V2,求点B到直线CH的距离. B D B' H H 图① 图② 第28页共28页 第四章 立体几何 复习讲义 教学目标 巩固对空间几何体结构的理解掌握，掌握直观图的计算，掌握点、线、面的位置关系，掌握距离、表面积、体积、线面角、二面角的计算，掌握空间的平行与垂直的证明方法. 教学重点 距离、表面积、体积、线面角、二面角的计算，掌握空间的平行与垂直的证明方法. 教学难点 距离、线面角、二面角的计算，空间的平行与垂直的证明方法. 知识点01 空间几何体的结构 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 含义 ①有两个面互相平行且全等， 其余各面都是平行四边形． ②相邻两个四边形的公共边都互相平行 有一个面是多边形， 其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面 平行四边形 三角形 梯形 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 3.直观图 直观图 斜二测画法：(1)直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半. 斜二测画法的直观图与原图面积的关系： 4．侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 直棱柱 正棱锥 正棱台 侧面展开图 侧面积公式 【即学即练1-1】(24-25高一下·北京延庆·期末)下列命题错误的是(    ) A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B．底面是正多边形的棱柱一定是正棱柱 C．棱柱的侧面都是平行四边形 D．斜棱柱的侧面有可能是矩形 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】根据棱柱的概念逐一判断即可. 【详解】对A，侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，正确； 对B，底面是正多边形的直棱柱定是正棱柱，故错误； 对C，棱柱的侧面都是平行四边形，正确； 对D，斜棱柱的侧面有可能是矩形，正确. 故选：B 【即学即练1-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)已知按照斜二测画法画出它的直观图(如图所示)，其中 则的长为(    )    A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的规则和线段的长度关系即可求出的长. 【详解】在斜二测画法中，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的一半. 由直观图可知，，. 在平面图中，，所以根据勾股定理. 故选：C. 【即学即练1-3】(多选)(24-25高一下·广东佛山·月考)已知长方体同一顶点的3条棱长度分别为2，3，4，现从该长方体的12条面对角线及4条体对角线中选出3条线段(不考虑原位置关系)构造三角形，则构成的三角形可能为(    ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、棱柱及其有关计算 【分析】根据已知条件，求出面对角线，体对角线的长度，逐个选项验证即可. 【详解】根据已知条件有长方体的面对角线长度有： ，，共可能， 其中每种可能长度都有条面对角线与之对应， 体对角线有共种可能，即条体对角线长度均为， 对于A，若所选的条边长度相同，例如都为，构成等边三角形，所以A正确； 对于B，先检验有两边相同的情况， ，，，， 没有与之对应满足勾股定理的长度， 再检验三边各不相同的情况， ，，， ，，， 没有与之对应满足勾股定理的长度，所以B错误； 对于C，若所选长度为，、、时， 检验可以构成三角形，最大角为所对的角设为， ，因为，所以为钝角，所以C正确； 对于D，若所选的条边长度相同，例如都为，构成三角形为锐角三角形，所以D正确. 故选：ACD. 知识点02 空间点、线、面的位置关系 (一)基本事实与推论 1．四个基本事实 基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 注意：(1)此公理是判定直线在平面内的依据；(2)此公理是判定点在面内的方法 基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 注意：(1)此公理是确定一个平面的依据；(2)此公理是判定若干点共面的依据 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 注意：(1)此推论是判定若干条直线共面的依据；(2)此推论是判定若干平面重合的依据； (3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面； 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 注意：(1)此公理是判定两个平面相交的依据； (2)此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）； (3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (二)空间中直线与直线的位置关系 1.位置关系的分类： 2．空间中直线与平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系： 3．空间中平面与平面的位置关系 空间平面与平面的位置关系： 4．等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【即学即练2-1】(24-25高二上·上海·期中)如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是(   ) A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】作出辅助线，得到，所以四边形为平行四边形，求出经过、、的截面为平行四边形. 【详解】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，，故， 所以四边形为平行四边形，故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D 【即学即练2-2】(多选)(2023·江西景德镇·一模)如图，正方体的棱长为2，E，F，G，H分别是所在棱上的点，且满足 ，则(    )    A．若四边形为矩形，则 B．若四边形为菱形，则E，G或F，H为所在棱中点 C．若四边形为菱形，则四边形的周长取值范围为 D．当且仅当E，F，G，H均为所在棱中点时，四边形为正方形 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】由正方体的结构特征，结合已知和平面的基本性质、矩形、菱形的特征判断各项正误即可. 【详解】A：若四边形为矩形，也有可能，如下图示，即只需用一个垂直于一组对面的平面截正方体，并保证 即可，错；    B：若四边形为菱形， ，则且对角线垂直， 若E，G或F，H都不是棱中点，如下图，作，分别交于， 因为E，G都不是棱中点，则，易知，与菱形矛盾， 所以E，G或F，H至少有一对是棱中点，对；    C：由B分析知：四边形为菱形，假设E，G是棱中点，且， 所以F，H都是棱中点时，菱形边长最短为2；F，H都是顶点时，菱形边长最长为， 棱长的范围为，故四边形的周长取值范围为，对；    D：要使四边形为正方形，即用一个垂直于一组对面的平面截正方体， 且截面过一组相对侧棱的中点， 结合矩形和菱形的性质，且 ，则E，F，G，H均为所在棱中点，对. 故选：BCD 知识点03 空间平行关系 1．线面平行 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) ∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b 2.面面平行 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 如果两个平面互相平行，其中一个平面内的一直线平行与另外平面 ⇒a∥β 3.平行问题的转化关系 4.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)若α∥β，a⊂α，则a∥β. 【即学即练3-1】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】线面平行的性质、判断面面平行、判断线面平行 【分析】利用线面、面面位置关系，结合线面平行的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由，，，得或与相交或与是异面直线，A错误； 对于B，由，，，，得或与相交，B错误； 对于C，由，，，得，C正确； 对于D，由，，，且，，得或与相交，D错误. 故选：C 【即学即练3-2】(多选)（24-25高一下·甘肃武威·期末）在正方体中，是棱的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、证明线面垂直 【分析】根据正方形的性质，直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质即可判断选项A和B；分别取棱，的中点，，连接，，，，，根据线线平行、线面平行及面面平行的判定和性质即可判断选项C和D． 【详解】对于选项A，连接， 因为四边形是正方形，所以， 又由正方体的性质可知平面， 因为平面，所以， 因为，平面，且，所以平面， 又平面，所以，故选项A正确； 对于选项B，连接， 因为四边形是正方形，所以， 又由正方体的性质可知平面， 因为平面，所以， 因为，平面，且，所以平面， 又平面，所以，结合选项A有， 因为，平面，且，所以平面，故选项B正确； 分别取棱，的中点，，连接，，，，， 对于选项C，由正方体的性质可知，则不成立，故选项C错误； 对于选项D，因为，分别是棱，的中点，所以，所以， 又平面，则平面， 假设平面， 又，平面，且，则平面平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，且，所以平面平面， 则平面平面，与平面平面矛盾，故假设不成立， 即平面不成立，故选项D错误． 故选：AB． 知识点04 空间垂直关系 1. 2．线面垂直 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b (3)与线面垂直有关的重要结论 ①如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． ②如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． ③如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． ④过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 2.面面垂直 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥ 3.三垂线定理:直线AB为斜线OB在平面内的投影， 4.垂直关系的转化 (1)判定定理转化：线线垂直线面垂直面面垂直 (2)性质定理转化：面面垂直 用图形表示为： (3)同时，在平行与垂直之间也存在相互转化，即：线线垂直线面垂直线线平行线面平行 【即学即练4-1】（24-25高一下·贵州·月考）在空间中，关于垂直与平行问题，有下列四个结论： ①平行于同一个平面的两条直线可能互相垂直；②平行于同一个平面的两个平面可能互相垂直； ③垂直于同一个平面的两条直线可能互相垂直；④垂直于同一个平面的两个平面可能互相垂直． 其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】由空间直线，平面的位置关系逐项判断每个选项的正误即可. 【详解】对于①，平行于同一个平面的两条直线可能互相垂直，故①正确； 对于②，平行于同一个平面的两个平面互相平行，故②错误； 对于③，垂直于同一个平面的两条直线可能互相平行，故③错误； 对于④，垂直于同一个平面的两个平面可能互相垂直，故④正确． 所以正确结论的个数为2个. 故选：C。 【即学即练4-2】(多选)（25-26高一下·全国·单元测试）设是直线，，是两个不同的平面，下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】由空间线面关系，面面关系相关知识判断各选项正误即可. 【详解】若，，则，可能平行也可能相交，故A错误； 由于，故在内存在直线，又因为，所以，故，所以B正确； 若，在内作交线的垂线，则，此时在平面内，因此C错误； 已知，若，，且不在平面，内，，则，因此D错误. 故选：ACD 知识点05 表面积与体积 1.体积公式： 所有椎体体积公式：, 所有柱体体积公式：, 台体体积公式：V＝(S上＋S下＋)h 球体体积公式：, 2.侧面积公式： 圆柱：S圆柱侧2πrl， 圆锥：S圆锥侧πrl， 圆台：S圆台侧＝π(r1＋r2)l. 3.表面积公式： 球体表面积公式：, 圆柱：, , 圆锥：, , 【即学即练5-1】（25-26高一下·重庆·期中）半径为6的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】圆柱表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据圆柱侧面积公式及基本不等式求解. 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，已知球O的半径， 作轴截面，如图， 由勾股定理得：， 圆柱侧面积， 当且仅当时等号成立， 因此圆柱侧面积的最大值为， 球的表面积为， 故两者差值为. 【即学即练5-2】(多选)（25-26高一下·河北·期中）如图为圆台的轴截面，其上底面直径为4、下底面直径为8，母线长为4，为边的中点，则（    ）    A．圆台的高为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积是 D．在圆台的侧面上，从沿圆台侧面到的最短路径的长度为10 【答案】ABD 【难度】0.55 【知识点】组合体表面两点间的最短路径、圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】求出等腰梯形的高，进而求出面积判断A；利用圆台体积、侧面积公式求解判断BC；利用圆台侧面展开图求解判断D. 【详解】对于A，如图所示，过点作交于点，过点作交于点，    根据题意，在中，，，则，故A正确； 对于B，圆台的侧面积为，故B正确； 对于C，因为圆台上底面半径，下底面半径，高， 所以圆台的体积，故C错误； 对于D，圆台侧面展开为扇环，设扇环的圆心角为，将其补充为扇形，大扇形母线长为，小扇形母线长为， 根据弧长公式，，解得，其展开后的示意图如图所示，    在圆台的侧面上，从沿圆台侧面到的最短路径为， 由题意可得， 因为为中点，所以，所以，故D正确． 知识点06 空间距离 1.点到平面的距离：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段.垂线段的长度叫这个点到平面的距离. 2.直线到平面的距离的定义： 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到平面的距离. 【即学即练6-1】（22-23高一下·广东深圳·期中）如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离 【分析】利用等体积法，由求解即可. 【详解】由直三棱柱的体积为6，可得， 设到平面的距离为，由， ， ，解得， 即到平面的距离为. 故选：B. 【即学即练6-2】(多选)（23-24高一下·浙江绍兴·期末）如图，已知正方体的棱长为，分别为棱上的点，，则（    ） A． B．平面经过棱的中点 C．平面截该正方体，截面面积的最大值为 D．点到平面距离的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、求点面距离 【分析】记为的中点，取线段上的点使得，正方体的中心为，然后说明平面截该正方体的截面就是中心为的六边形，之后根据正方体的对称性和勾股定理，逐个选项验证即可. 【详解】记为的中点，棱的中点， 取线段上的点使得，正方体的中心为. 则根据对称性，和，和，和分别关于点对称. 从而在平面内，而，故，从而在平面内. 由于前面的对称性，及在平面内， 知平面截该正方体的截面就是中心为的六边形， 从而一定在平面内，至此我们得到选项B正确. 前面已经证明，同理有，故. 由于，故， 同时显然有. 从而，. 由于，， 故四边形和都是等腰梯形，从而，. 表明线段和互相平分且长度相等，所以四边形是矩形，故，至此我们得到选项A正确. 由于四边形和都是等腰梯形，且上底均为，下底均为， 腰长均为，故它们的高都等于. 所以它们的面积都等于. 故截面的面积. 当时，，至此我们得到选项C错误. 由于，且在平面内， 故点到平面的距离不超过. 而当时，分别是各自所在棱的中点，从而. 而，这表明点和点到三点的距离两两相等. 故点和点在平面的投影同样满足到三点的距离两两相等， 从而点和点在平面的投影都是的外心， 所以由点和点的投影是同一点，知垂直于平面. 从而由在平面内，知点到平面的距离就是的长，即. 所以，点到平面的距离的最大值是，至此我们得到选项D正确. 故选：ABD. 知识点07 线面角 1.异面直线所成的角定义：已知两异面直线，，经过空间任一点分别作直线∥，∥， 我们把直线，所成的角叫做异面直线，所成的角. 空间两条直线所成角的取值范围是. 2.线面角：直线与平面交于点，过直线上的点作，连接，将称为直线与平面所成的角，简称线面角. 若直线在平面内，则直线与平面所成的角为 若直线，则直线与平面所成的角为 线面角的范围：. 【即学即练7-1】(24-25高一下·山东泰安·月考)在正方体中，异面直线与所成角的正弦值是(    ) A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】首先画出图象，然后确定异面直线与所成角的大小，进而求出其正弦值. 【详解】如图，连接，，则∥， 所以为异面直线BD与所成角， 因为为等边三角形， 所以， 所以， 所以异面直线BD与所成角的正弦值是， 故选：A 【即学即练7-2】(多选)（23-24高一下·吉林·期中）在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），则下列结论正确的是（    ） A．直线与异面 B．直线与平面所成的角为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】求线面角、棱台表面积的有关计算 【分析】根据正四棱台的性质可判断A选项，再根据线面角的几何意义可判断B选项，把四边形，展开至同一个平面，可判断CD选项. 【详解】如图1，，即四边形为等腰梯形，则与相交，则A选项错误； 设，分别是和的中点，则是四棱台的高， 作，垂足为， 由题中数据可知，则直线与平面所成的角为， ，则，故B选项正确； 如图2，把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 易知的最小值就是展开图中的长， 过点作，则，又，所以， 故在中，，，则， 即的最小值为，故C选项正确； 在中，由余弦定理可得，则，， ， 从而， 由图可知，则D选项错误； 故选：BC. 知识点08 二面角 1.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面. 记作：例如二面角或二面角或二面角. 2.二面角的平面角： 在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作射线，，则为二面角的平面角. 二面角的范围是. 【即学即练8-1】（23-24高一下·北京·期末）我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体（如图）．若该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求二面角 【分析】利用定义作出二面角的平面角，在中利用余弦定理即可求解. 【详解】如图，连接AC，BD交于点O，连接EF，依题意，EF过点O，取的中点，连接，， 由正八面体的几何特征，得，为二面角的平面角， 而平面，AC在面ABCD内，则， 是直角三角形，又，，则，， 在中，，同理， 在中，，所以二面角的余弦值为. 故选：C 【即学即练8-2】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）从空间中一点P向二面角的两个面，分别作垂线，，E，F为垂足，若，则二面角的大小可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】二面角的概念及辨析、求二面角 【分析】根据给定条件，利用点P与二面角的位置关系分析、推理判断作答. 【详解】依题意，点P不在平面和平面内，当点P在二面角内时，如图， 令直线平面，连，因，则， 因此，直线平面，有，则是二面角的平面角， 四边形中，，，则有； 当点P在二面角外时，如图，同理可得是二面角的平面角， 令，在与中，，则， 所以二面角的平面角的大小为或. 故选：AB 题型01 空间几何体的结构 【典例1-1】(24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末)如图，长方体被截去一小部分，其中 ，则截去的几何体是(    )      A．三棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．五棱柱 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】由正方体的几何特征结合三棱柱的定义即可求解. 【详解】在长方体中，由 可得四边形为平行四边形， 所以,所以四边形为平行四边形， 所以， 则几何体为三棱柱. 故选：B. 【典例1-2】(24-25高一下·北京朝阳·期中)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的棱长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】组合体截面的形状 【分析】利用多面体棱长与正方体的棱长的关系列方程即可求解 【详解】如图，设该半正多面体的棱长为，则， 延长与交于点，延长交正方体棱于， 由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形， ∴，∴ ∴，即该半正多面体棱长为. 故选：B 【典例1-3】(多选)(22-23高一下·福建龙岩·期中)正方体的棱长为分别是和的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是(    )    A．三棱锥的体积是定值 B．平面截正方体所得的截面是梯形 C．线段长度的最小值为 D．是面积为的等腰三角形 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、判断正方体的截面形状、正棱柱及其有关计算 【分析】求出三棱锥的体积判断；由，且，可得四边形是梯形判断B；根据当为的中点时，的长度最小，最小值是判断C；求得判断D. 【详解】对于，点到平面的距离为，所以三棱锥的体积是定值，正确； 对于，平面截正方体所得的截面是四边形，因为，且，所以四边形是梯形，B正确；     对于，当为的中点时，的长度最小，最小值是，C不正确；    对于D，是等腰三角形且面积为正确.    故选：ABD. 【典例1-4】(24-25高一下·陕西西安·期中)已知某棱锥有个面，条棱，若，则__________. 【答案】5 【难度】0.94 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】利用棱锥棱数与侧棱数、面数与侧棱数的关系，结合已知列式求解. 【详解】依题意，棱锥的侧棱数为，底面边数为，则棱数， 棱锥的侧面数为，则面数，而，于是， 所以. 故答案为：5 【变式1-1】(24-25高一下·河南·月考)下列说法中正确的是(   ) A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】利用棱柱的有关定义与性质逐项判断即可. 【详解】对于A，三棱柱的两底面是三角形，故A错误； 对于B，由棱柱的定义可得棱柱的侧面一定是平行四边形，故B正确； 对于C，由棱柱的定义可得棱柱的侧面都是平行四边形，由平行四边形的性质对边相等， 所以棱柱的侧棱全相等，故C错误； 对于D，各条棱长都相等的棱柱可能是正棱柱(如正六棱柱)，但底面不一定是正方形， 故各条棱长都相等的棱柱不一定是正方体，故D错误. 故选：B. 【变式1-2】(23-24高一下·吉林·期中)如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】棱锥的展开图、余弦定理解三角形、二倍角的余弦公式 【分析】根据题意，将平面和平面展开到同一个平面，利用两点之间线段最短可得AC的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，由余弦定理计算以及二倍角公式可得答案. 【详解】根据题意，如图，将平面和平面展开到同一个平面， 连接，与交于点，则的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值， 设，则， 又由得，则 ， 则有， 故， 则，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是. 故选：C. 【变式1-3】(25-26高一下·全国·课后作业)如图所示的是水平放置的的直观图，是中边的中点，且轴，那么，，三条线段对应原图形的线段，，中(   ) A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是(且)，最短的是 D．最长的是，最短的是 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】直观图结合斜二测画水平放置的平面图形直观图的规则可得，，长，进而逐一判断选项. 【详解】由题意可得原图形，如图所示.由轴，可知在中,， 因为是中边的中点，所以是中点，故为等腰三角形， 所以， 故选：C. 【变式1-4】(24-25高一下·河南新乡·期末)已知半径为2的球与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥的特征、边角关系求出圆锥底面半径和母线的长，进而根据圆锥的表面积公式求出圆锥的表面积. 【详解】如图，是该圆锥的轴截面，为线段的中点，为球的球心， 作，垂足为，则． 因为为等边三角形，所以，所以， 所以，所以，所以， 那么该圆锥的表面积为． 故选：B. 【变式1-5】(多选)(25-26高一下·浙江金华·月考)在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则(    ) A． B．过点的平面截该长方体，所得截面周长为 C．以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为 D．三棱锥外接球的体积是 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】设，在直角中，根据勾股定理得， 在直角中，根据勾股定理得，解得，故，故A正确， 延长相交于点，连接交于点，则截面周长为， 在中，利用三角形相似可得，在中，利用三角形相似可得， ，又底面是边长为4的正方形，则， 故截面周长为，故B正确， 点到底面的距离为1，球的半径为，设球面与底面(正方形)的交线为半圆， 圆心在线段上且与距离为1，圆的半径，可得交线长为，故错误， 在中，，则的外接圆半径，显然平面， 因此三棱锥的外接球的球心在线段的中垂线上，球心到平面的距离为， 则球半径，故三棱锥的外接球体积为，故D正确. 【变式1-6】(24-25高一下·广东汕头·期中)如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________． 【答案】 / 【难度】0.4 【知识点】圆台的展开图、台体体积的有关计算 【分析】①由，得圆台的下底面和上底面的半径，结合梯形的高为圆台的高，利用圆台的体积公式即可求解；②由圆台性质，延长，，交于点，由与相似即可计算，设该圆台的侧面展开图的圆心角为，计算出圆心角，在侧面展开图中，连接，，即可计算出的最短距离. 【详解】①由，，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为，圆台的高为， 所以圆台的体积为. ②在梯形中，，即母线长为3， 如图，由圆台性质，延长，，交于点， 由与相似，得，即，解得， 设该圆台的侧面展开图的圆心角为， 则，所以， 在侧面展开图中，连接，，则从点到的最短路径为线段， 又在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 验证知，由，，，得， 此时，恰与扇形弧所在圆相切于点，满足题意. 故答案为：，. 题型02 空间点、线、面位置关系的判断与应用 【典例2-1】(23-24高一下·福建·期末)如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则(  ) A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度. 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则. 故选：C 【典例2-2】(23-24高一下·江苏·月考)下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间中的点(线)共面问题 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【详解】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线，四点不共面. 故选：D. 【典例2-3】(多选)(2023·江苏南京·一模)已知正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是(    ) A．三点共线 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】空间中的点共线问题、空间中的点(线)共面问题 【分析】根据基本事实和推论判断. 【详解】连接，，，因为为的中点，所以，平面平面， 因为平面，平面，所以点是平面和平面的交点， 所以，，，三点共线，故A正确； 因为，，三点共线，所以，，，四点共面，，，，四点共面，故BC正确； 取中点，连接交于点，由题意得，， 所以，即为的三等分点，因为，，不共线，平面，平面，为的中点， 所以点平面，，，，四点不共面，故D错. 故选：ABC. 【典例2-4】(21-22高一下·北京·月考)如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是___________.(请写出所有正确命题的编号) ①当时，S为等腰梯形；②当时，S与的交点满足； ③当时，S为六边形；④当时，S的面积为. 【答案】①②④ 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】①作出辅助线，找到S为四边形，证明出其为等腰梯形；②作出辅助线，找到S，利用各边长度与相似，求出；③在②的分析基础上，得到S为五边形；④作出辅助线，得到S为菱形，求出对角线，进而求出面积. 【详解】当时，S为等腰梯形，理由如下： 如图1，连接，，因为为的中点，为上的中点， 所以∥， 所以四边形为S，其中， 所以S为等腰梯形，①正确； 当时，S与的交点满足，理由如下： 如图2，延长至点E，使得，连接EA，EQ交于点R， 取AD中点N，DE中点M，连接MQ，MN，PN， 则，DN=CP，所以四边形CQMD与四边形PCDN均为平行四边形， 所以MQ∥NP∥CD，且MQ=NP=CD，所以四边形MNPQ为平行四边形， 所以PQ∥MN，由中位线的性质可知：MN∥AE，所以PQ∥AE， 所以四边形AEQP即为S，其中， 所以，所以，②正确； 当时，S为五边形，理由如下： 如图3，根据②的分析，随着Q点在图2的基础上沿着向上移动， 则点E点沿着射线向上移动，此时AE与相交于点G， EQ与相交于点R，连接GR，故所截得的S为五边形，故③错误； 当时，S的面积为，理由如下： 如图4，点Q与重合，此时G为的中点，可证得：∥，AP∥GQ， 其中，所以S为菱形APQG， 且，S的面积为，④正确. 故答案为：①②④ 【变式2-1】(22-23高一下·山东烟台·期末)下列几何元素可以确定唯一平面的是(    ) A．三个点 B．圆心和圆上两点 C．梯形的两条边 D．一个点和一条直线 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】点(线)确定的平面数量问题 【分析】根据平面的确定方法求解. 【详解】对A，三个不共线的点才能确定唯一平面，A错误； 对B，当圆上的两点和圆心共线时，三个点不能确定唯一平面，B错误； 对C，梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面，所以确定的平面唯一，C正确； 对D，当点在直线上时，这个点和直线不能确定唯一平面，D错误， 故选:C. 【变式2-2】(23-24高一下·广东珠海·期中)下列命题正确的为( ) A．已知为三条直线，若异面，异面，则异面 B．已知为三条直线，若，则 C．底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间中的点共线问题、棱锥的结构特征和分类、异面直线的概念及辨析 【分析】举例说明判断ABC；利用平面的基本事实推理判断D. 【详解】对于A，直线是异面直线，是异面直线，则可能平行、相交或异面，A错误； 对于B，，则可能平行、相交或异面，B错误； 对于C，底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥的侧棱长不一定相等，该三棱锥不一定是正三棱锥， 如图：为等腰直角三角形，，为等边三角形， ，此时三棱锥不是正三棱锥，C错误； 对于D，如图，设平面平面，由，得平面， 则，同理，所以三点共线，D正确. 故选：D 【变式2-3】(20-21高一下·山东济南·期中)在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是(    ) A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，A四点共面 C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间中的点(线)共面问题、棱柱的结构特征和分类 【分析】由长方体性质易知，，，四点共面且，是异面直线，再根据与、面、面的位置关系知在面与面的交线上，同理判断、，即可判断各选项的正误. 【详解】因为，则，，，四点共面. 因为，则平面，又平面， 则点在平面与平面的交线上， 同理，、也在平面与平面的交线上， 所以、、三点共线，从而，，，四点共面，，，，四点共面. 由长方体性质知：，是异面直线，即，，，四点不共面. 故选：C. 【变式2-4】(21-22高一·全国·单元测试)在长方体中，、，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为(    ) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】找到截面与长方体的平面的交线，判断为五边形. 【详解】如图所示，延长、，使，连接、， ∵、、， ∴、， ∵、分别为棱、的中点， ∴， ∴， ∵，又、、三点共线， ∴、、三点共线，∴在截面上， 延长、，使，连接，使，∴在截面上， 连接、，∵，且；∴，∴ 且=， 又为中点，、、三点共线，∴、、三点共线，∴截面为五边形， 故选：C． 【变式2-5】(多选)(22-23高一下·四川广安·期中)如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是(    ) A．四点共面 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】空间中的点(线)共面问题、空间中的线共点问题、公理的应用 【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例的性质可得，即可判断A，B；由平面基本事实推理可判断C，D. 【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且， 点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且， 因此，点E，F，G，H四点共面，故A正确，B错误； ，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，交点为M， 点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上， 则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线， 所以点M一定在直线AC上，故C错误，D正确. 故选：AD. 【变式2-6】(25-26高二上·浙江嘉兴·月考)在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为__________. 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】取、、分别为、、的中点，分析出四边形为等腰梯形，求其面积可得结果；然后将三棱柱补成正方体，计算出三棱柱的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果. 【详解】如图，取、、分别为、、的中点， 、分别为、的中点，则且， 在直三棱柱中，且， 因为、分别为、的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，且， 且、分别为、的中点，则， 所以，四边形是等腰梯形， 当不是中点时，不平行平面， 则四边形不是等腰梯形，等腰梯形有且仅有一个， 取的中点，连接、， ，，且点为的中点， 则且， 所以，四边形为平行四边形，可得， 同理可得， 所以，、、均为等边三角形， . 故答案为：. 题型03 空间平行关系 【典例3-1】(24-25高一下·全国·课前预习)下列说法正确的是(    ) A．若直线平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线在平面外，则 C．若直线与直线不相交，直线，则 D．若直线，，那么直线平行于平面内的无数条直线 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行 【分析】结合线面平行的判定定理，逐个分析即可． 【详解】A错误，直线还可以在平面内，同时存在无数条直线与之平行； B错误，直线在平面外，包括平行和相交； C错误，还可以与平面相交或在平面内； D正确，直线，，那么直线平行于平面内的无数条直线. 故选：D． 【典例3-2】(24-25高一下·浙江台州·期中)如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为PC上一点，当平面时，(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线面平行的性质、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】根据线面平行的性质定理构造线线平行，再根据平行线段比例关系，即可判断选项. 【详解】如图，连结，交于点，连结， 因为平面，且平面，平面平面，所以， 因为，且，所以，即，所以. 故选：B 【典例3-3】(多选)（24-25高一下·河北保定·月考）如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．存在点，使得平面 B．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C．异面直线与所成的角的大小为 D．若平面，则点的轨迹的长度为 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、求异面直线所成的角、证明面面平行、由线面平行求线段长度 【分析】A选项，作出辅助线，得到线面平行，故平面 平面，故当在线段上时，满足平面，A正确；B选项，作出辅助线，得到四边形为截面图形，并得到其为梯形；C选项，作出辅助线，为直线与所成角，为等边三角形，故，C正确；D选项，作出辅助线，证明出平面平面，故当在线段上时，平面，点的轨迹的长度为，D错误. 【详解】A选项，取的中点，连接，因为，分别是，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，同理可得平面， 因为，平面，所以平面 平面， 故当在线段上时，满足平面，A正确；    B选项，连接，由A知，，又，所以， 所以四边形即为过，，三点的平面截正方体所得截面图形， 因为，所以四边形为梯形，B错误； C选项，由B知，，故为直线与所成角或其补角， 连接，则，所以为等边三角形，故， 异面直线与所成的角的大小为，C正确； D选项，连接，因为，平面，平面，所以平面， 又，同理可得平面， 又，平面，所以平面平面， 故当在线段上时，平面，所以平面， 所以若平面，则点的轨迹的长度为，D错误 故选：AC 【典例3-4】（23-24高一下·浙江嘉兴·月考）在棱长为1的正方体中，E，F分别为和的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】取的中点，连接，，，即可证明平面平面，从而得到点的轨迹为线段，求出，，即可求出的取值范围. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接，，， 因为为所在棱的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面； 因为 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面； 又因为，且平面，平面, 所以平面平面， 因为是侧面内一点，且平面，则点必在线段上， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 又，在中，， 所以为钝角，所以当在线段运动时，最短为，最长为， 所以线段长度的取值范围是. 故答案为： 【变式3-1】(23-24高一下·河北·期中)下列命题中正确的是(    ) A．若直线l平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交； C．若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线 D．若直线，和平面满足，；则 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】异面直线的判定、判断线面平行 【分析】根据线线，线面的位置关系，即可判断选项. 【详解】选项A中缺少l在平面外这一条件，A错误； 选项B，若直线a，b相交，b，c相交，则a，c异面、平行、相交都有可能，B错误； 选项C，若四点中恰有三点共线，则直线和直线外一点，确定一个平面；若四点共线，则四点一定共面；若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线，故C正确； 选项D，缺少b不在平面内，D错误． 故选：C． 【变式3-2】(24-25高一下·安徽蚌埠·期中)如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设，则(   ) A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】线面平行的性质 【分析】延长DC，AB交于G，连接，连接交于点，由题意可得出是的重心，可得，即可得出答案. 【详解】延长DC，AB交于G，连接，连接交于点， 则由，，得C是DG中点， 是PD中点，是的重心，，即. 故选：A. 【变式3-3】(24-25高一下·河南·月考)如图，在长方体中，，点分别是的中点，则下列说法正确的是(    ) A．此长方体的表面积为112 B．与是相交直线 C．与是异面直线 D．直线与平面相交 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、判断线面平行、异面直线的判定、棱柱表面积的有关计算 【分析】对于A求出长方体的表面积即可判断，对于B即证平面 平面即可判断，对于C，根据异面直线定义即可判断，对于D即证直线 平面即可判断. 【详解】此长方体的表面积为，故A错误； 连接，因为 ，所以四边形为平行四边形，所以 ， 因为平面平面，所以 平面， 因为 平面平面，所以 平面， 又平面，所以平面 平面， 又平面平面，所以与无公共点，故B错误； 又因为平面，所以直线 平面，故D错误. 因为平面平面，所以与异面，故C正确. 故选：C. 【变式3-4】(23-24高一下·江苏扬州·月考)在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，(    ) A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、线面平行的性质 【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【详解】如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点，则即. 故选：D. 【变式3-5】(多选)（24-25高一下·山东青岛·期末）在棱长为4的正方体中，点P为的中点，点E在线段上运动，点M在线段上运动，点N在正方形内（包含边界）运动，则下列结论正确的有（   ）    A．直线与平面所成角为定值 B．三棱锥外接球球心到平面的距离为 C．的最小值为8 D．若平面，则异面直线与所成角的余弦值取值范围是 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】求线面角、求异面直线所成的角、多面体与球体内切外接问题、余弦定理解三角形 【分析】对于A，由面面平行可得即为直线与平面所成角，，点M在线段上运动，不是定值，故A错误；对于B，根据墙角模型易得外接球半径，利用球的截面性质可求距离；对于C，由要最小，首先要最小，过作平面，可得；对于D，易得在线段运动，过作平面，即就是异面直线与所成角或其补角，，，进而求出余弦值的取值范围. 【详解】对于A,由正方体性质知平面平面， 故直线与平面所成角等于直线与平面所成的角， 因为⊥平面，所以即为直线与平面所成角， ，点M在线段上运动，不是定值， 故直线与平面所成角不为定值，A错误；    对于B，由于两两垂直， 故三棱锥外接球即为以为长宽高的长方体的外接球， ，故外接球直径为， 又， 故， 故，则的外接圆的半径为， 结合外接球球心和的外接圆的圆心的连线垂直于平面， 故三棱锥外接球球心到平面的距离为，B正确； 对于C，要最小，首先要最小， 即当平面时，取得最小值， 过作平面，此时三点共线，，    在正方体，易得， 所以， 则，故C正确； 对于D，设中点为，    所以， 因为平面，平面，所以平面，同理可得平面， 因为，平面，所以平面平面， 即在线段运动，过作平面，所以，， 显然为锐角，即就是异面直线与所成角，其中， 又为钝角，所以，又， 所以，， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最小值，为， 所以异面直线与所成角的余弦值取值范围是，故D正确； 故选：BCD. 【变式3-6】（22-23高一下·河北邢台·月考）已知正方体的棱长为2，为的中点，且点在四边形内部及其边界上运动，（1）若总是保持平面，则动点的轨迹长度为______；（2）若总是保持与的夹角为，则动点的轨迹长度为______. 【答案】 2 【难度】0.4 【知识点】证明面面平行、立体几何中的轨迹问题 【分析】分别取的中点，连接，可证得平面∥平面，从而可得点的轨迹是，进而可求出其长度，由可得，则得点的轨迹是以为圆心，为半径的一段弧，且圆心角为直角，从而可求出其长度. 【详解】分别取的中点，连接，则， 因为∥，，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥，因为为的中点，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面，∥平面， 因为，所以平面∥平面， 因为平面平面，点在四边形内部及其边界上运动，平面， 所以点的轨迹是，因为，所以动点的轨迹长度为2， 因为平面，平面，所以， 在中，，则，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的一段弧，且圆心角为直角， 所以动点的轨迹长度为， 故答案为：2， 题型04 空间垂直关系 【典例4-1】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）如图，在正方体中，下列判断正确的是（   ） A．直线平面 B．直线直线 C．直线平面 D．直线与直线是异面直线 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断线面是否垂直、判断线面平行、异面直线的判定 【分析】根据正方体的结构特征，结合异面直线、线面位置关系判断各项的正误. 【详解】平面即平面，显然直线与平面相交，故A错误； 假设平面，即平面，因为平面，所以， 在正方体中显然与不垂直，所以假设不成立，故C错误； 由正方体性质可知 ，而直线与直线相交，所以直线与直线不平行，故B错误； 因为直线与直线不同在任何一个平面内，根据异面直线的定义可得直线与直线为异面直线，故D正确. 故选：D 【典例4-2】（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，在三棱锥中，平面，且是边长为的正三角形，若，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用等体积法求解，由题意求出，从而可求出，然后利用可求得答案. 【详解】设点到平面的距离为， 因为平面，平面，所以， 因为是边长为的正三角形，， 所以，，所以， 所以， 因为，所以，所以，解得. 故选：B 【典例4-3】(多选)（22-23高一下·湖南益阳·期末）在正方体中，分别为，，的中点，P为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成的角为 B．平面与平面相交 C．平面 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】判断线面是否垂直、求异面直线所成的角、锥体体积的有关计算 【分析】对于A，根据为正三角形以及得A正确；对于B，根据必相交得B正确；对于C，根据，与不垂直可得C错误；对于D，根据平面，可得D正确. 【详解】对于A，连，，因为为正三角形，所以，因为分别为的中点，所以，所以异面直线与所成的角为，故A正确；    对于B，在平面中，因为为的中点，分别为的中点，所以延长必相交，设交点为，则为平面与平面的公共点，显然这两个平面不重合，所以它们相交，故B正确； 对于C，假设平面，因为平面，所以， 又因为，所以，这显然不可能，故C错误；    对于D，因为，所以共面.因为与平行且相等，与平行且相等，所以与平行且相等，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离等于到平面的距离， 所以为定值.故D正确. 故选：ABD. 【典例4-4】（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，已知平面上放置有正三棱锥，其中是边长为2的正三角形，侧棱，若该三棱锥绕棱旋转，使点到平面的距离为1，则点到平面的距离为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、余弦定理解三角形、证明线面垂直、求点面距离 【分析】过作平面的垂线，垂足分别为，连接，记中点为，证明出经过点，在直角梯形中，，结合余弦定理，三角恒等变换，求出各边长和，然后可解. 【详解】过作平面的垂线，垂足分别为，连接，记中点为，连接， 因为，所以， 又为平面内的两条相交直线，所以平面， 因为，，所以， 由于平面，所以平面，同理平面，所以经过点， 因为，，由勾股定理得，， 是边长为2的正三角形，故， 如图所示，在直角梯形中，， 所以， 而， 所以， 则 ， 所以. 故答案为： 【变式4-1】（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（    ） A．若 ，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断线面是否垂直 【分析】根据平面的基本性质，结合空间线线、线面位置关系判断各项正误. 【详解】对A：若 ，则或 ，或或与相交，错误； 对B：若，则 或 ，错误； 对C：若 ，则 或 ，错误； 对D：若 ，则，正确. 故选：D 【变式4-2】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，某人在水平地面上的点O处观测垂直水平面的墙面上的动点P，观测点O到墙面的距离，墙角处点B到点A的距离，墙面上，当动点P沿射线在墙面上移动时，仰角θ(直线与水平面所成的角)正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求线面角 【分析】过点作，根据线面角定义说明直线与水平面所成的角为，设，分析得，转换为函数的最值即可求解. 【详解】如图所示，过点作，因为平面平面，平面， 所以平面，所以直线与水平面所成的角为， 设，因为，，所以，， 又因为点到平面的距离为， 所以 设，则， 所以当时，有最小值，此时有最大值， 且最大值为. 故选：A. 【变式4-3】（23-24高一下·北京·期中）已知点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、证明线面垂直 【分析】作出正方体的对角线的中垂面截正方体所得截面多边形，再分段求出的长范围作答． 【详解】点在棱长为2的正方体表面运动，且， 则点的轨迹是线段的中垂面截正方体所得截面多边形， 分别取棱，，，，，的中点，，，，，， 则， 因此四边形均为棱长为的菱形，所以 平面， 因此点，，，，，在线段的中垂面上，点的轨迹是六边形，如图， 当点在线段上时，若点为线段中点，有， 于是点为线段上任意一点，， 当点在线段上时，为钝角， 则，即， 当点在线段上时，， 为钝角，则，即， 当点在线段上时，由， 边上的高为，此时， 由对称性知，当点在折线上时，， 所以线段的长的取值范围是． 故选：D． 【变式4-4】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，已知满足，为中点，为线段上的动点，记．将四边形沿着翻折成几何体，在翻折过程中，总存在某一个位置使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】根据可得在平面上的投影在上（不含端点），故可求的取值范围. 【详解】由题设不妨设，， 如图，取的中点为，的中点为，连接， 延长交于，过作平面，垂足为，连接， 则且，而，故， 若，则，而平面， 故平面，而平面，故，而平面，故， 因为，平面，故平面， 而平面，故，但， 故，故与重合， 而，故，故在上（不含端点）， 过作，交于，连接，同理可证， 由旋转不变性得，故三点共线， 因此问题转化为如下平面问题：当在如何变化，使得在上（不含端点）. 设，而，设， 则，而，结合可得： 故，故，令， 故，当时，，当时，， 故， 故选:B 【变式4-5】(多选)（21-22高一下·湖北·月考）已知正方体的棱长为2，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（    ） A．时， B．时，的最小值为 C．时，直线与面的交点轨迹长度为 D．时，正方体被平面截的图形最大面积是 【答案】ABD 【难度】0.15 【知识点】立体几何中的轨迹问题、证明线面垂直、判断截面形状、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】A选项，作出辅助线，得到点在线段上，证明线面垂直，得到线线垂直； B选项，将两平面展开为同一平面内，利用两点之间线段最短，得到的最小值，求出答案； C选项，作出辅助线，找到直线与面的交点轨迹，求出长度； D选项，作出辅助线，分P位于线段DZ上和线段BZ上，分别求出截面的最大面积，比较得到结果. 【详解】取AD中点F，BC的中点G，连接，，，则， 因为，，；所以，即点在线段上， 因为E为线段的中点，则，故， 所以，由于，所以， 又⊥平面，平面，所以⊥， 因为，所以平面， 因为平面，所以，A正确； B选项，在AB上取点H，使得，在DC上取点K，使得， 因为，，；所以点P在线段HK上， 将平面与平面沿着HK展开到同一平面内，如图1， 连接交HK于点P，即三点共线时，取得最小值， 其中由勾股定理得：，所以， 所以，故B正确； C选项，，，时， 由向量共线定理的推论可得：P点在线段BD上， 连接，交于点M，交于点N，连接MN， 则线段MN即为直线与面的交点轨迹，其中三角形 是等边三角形，， 由三角形相似可知：，而，所以， 同理可得：，所以三角形是等边三角形，所以， 直线与面的交点轨迹长度为，C错误； 由C选项的分析可知，：P点在线段BD上， 连接AC，BD相交于点Z，当P位于线段DZ上时，连接AP并延长交CD于点Q， 连接，则平面截正方体所得图形为三角形， 则当与重合时，Q与C重合，此时截面三角形面积最大，面积为； 当P位于线段BZ上时，如图3，连接AP并延长，交BC于点W， 过点W做WR∥交于点R，连接，则四边形即为平面截正方体所得的截面， 设，则由平行性质可知：， 则，所以四边形为等腰梯形， 其中，设梯形的高为h，则， 则截面面积为， 如图4所示，直角三角形，直角边， 在上取一点，连接，则三角形的面积即为， 显然当时，面积取得最大值，最大面积为， 因为，所以时，正方体被平面截的图形最大面积是，D正确.. 故选：ABD 【变式4-6】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知正四棱锥的所有棱长均为2，以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为__________. 【答案】 【难度】0.15 【知识点】证明线面垂直、球的截面的性质及计算、棱锥中截面的有关计算、正棱锥及其有关计算 【分析】由题意可得以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的表面，，有交线，其中表面，的交线相同，取的中点，连接，过作‖，过作‖，过作于，连接，可证得平面，所以可得以点为球心，2为半径的球与四棱锥的表面的交线为以为圆心，为半径的一段弧，根据已知条件可求出弧长，从而可求得结果. 【详解】因为正四棱锥的所有棱长均为2， 所以以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的表面，，有交线， 取的中点，连接，过作‖，过作‖，， 则四边形为平行四边形，，所以， 过作于，连接， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为正四棱锥的所有棱长均为2，所以， 所以,所以，得， 因为，所以, 所以以点为球心，2为半径的球与四棱锥的表面的交线为以为圆心，为半径的一段弧， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以弧的长为， 同理可得以点为球心，2为半径的球与四棱锥的表面的交线长为， 以点为球心，2为半径的球与四棱锥的表面的交线为点为圆心，为半径的四分之一圆， 弧的长为， 所以以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为， 故答案为： 题型05 空间距离及表面积与体积 【典例5-1】（25-26高一下·浙江·期中）已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】由圆锥、圆柱的表面积公式即可求解. 【详解】由底面半径，高， 圆锥母线长， 圆锥表面积： 圆柱表面积： ， 所以 . 【典例5-2】（25-26高一下·天津武清·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.35 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及表面积即可. 【详解】如图所示，在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形 的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体的体积为，得 ，解得 ， 正四面体的高，内切球半径满足，代入：，则. 正四面体顶点到大球球心的距离为， 顶点到小球球心（小球和三个面切，满足顶点到小球球心距离为），两球外切，球心距为， 因此：，整理得，得. 由总表面积为大球表面积加4个小球表面积可得： . 【典例5-3】(多选)（24-25高一下·辽宁大连·期末）在正三棱柱中，，，，分别为，的中点，，，，四点均在球的表面上，则（    ） A．平面 B．球的表面积为 C．球表面与三棱柱表面的交线长度之和为 D．六面体与七面体公共部分的体积为 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、球的截面的性质及计算 【分析】设中点为，易证四边形为平行四边形，可得，根据线面平面的判定即可证明平面确定A；由题可得为直角三角形，为公共斜边，则球心在中点处，为球的直径，利用球的表面积公式即可判断B；利用球的性质可求与各面的交线长，求和即可判断C；易知六面体与七面体无公共部分即可判断D. 【详解】设中点为，又为中点，所以，且， 又为中点，所以，且，即，且， 则四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 根据题意，易得 又平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证，所以为直角三角形， 为公共斜边，则球心在中点处，为球的直径， 则球的表面积为，故B错误； 设分别为的中点，平面截球的截面半径为， 易得平面，则， 所以球与上底面的交线如图，，， ，则为等边三角形， 所以，则，由对称性与底面的交线长也为， 因为分别为的中点，所以， 又平面，所以平面， 设平面截球的截面半径为，， 所以球与面的交线如图，，， ，所以， ，根据对称性可知与面的交线长也为， 易知与面无交线， 所以球表面与三棱柱表面的交线长度之和为，故C正确； 根据图像六面体与七面体无公共部分，故D错误； 故选：AC. 【典例5-4】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为_________． 【答案】 【难度】0.42 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】由题意可知若一个正方体可以在盒内任意旋转,则正方体的外接球直径不超过正四棱台内切球的直径.则此题转化成求正四棱台内切球半径.分情况讨论：当内切球与棱台的上、下底面相切时，半径即为棱台高的一半；当内切球与棱台的腰相切时，利用三角形相似可求得内切球半径. 【详解】将正四棱台的四条侧棱延长交于一点，形成一个正四棱锥，作出截面（如图） 正四棱台的上、下底面为正方形，且上、下底面面积分别为4和64， 则上底边长为2，下底边长为8.即. 侧面梯形的高为6,则，所以棱台的高. 若一个正方体可以在盒内任意旋转,则正方体的外接球直径不超过正四棱台内切球的直径. 当内切球与棱台的上、下底面相切时，内切球半径； 当内切球与棱台的侧面相切时（如图），假设 由，则，即，得,则，. 又，，即，解得 ，正四棱台内切球的半径,即正方体外接球半径. 此时正方体的边长为，则正方体棱长的最大值为. 【变式5-1】（25-26高一下·河北衡水·期中）若圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【详解】由题知圆锥的底面半径，高， 所以母线长， 所以该圆锥的侧面积. 【变式5-2】（25-26高一下·山东淄博·期中）一圆台的上底面半径为，下底面半径为，若母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】先根据母线与底面的夹角求出圆台的高，再代入圆台体积公式计算结果即可. 【详解】已知圆台的上底面半径为，即，下底面半径为，即，母线与底面的夹角为， 由于圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示，由题意得，， 因此圆台的高， 由圆台的体积公式得. 【变式5-3】（25-26高一下·浙江·期中）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．48 B．50 C．96 D．100 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】余弦定理及辨析、圆锥中截面的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】由题可求出圆锥底面半径和母线长，先求当截面过中心轴时顶角为钝角，然后得出截面面积的最大值即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 则，解得. 当截面过中心轴时，则，， 所以， 由三角形面积公式可得，当时，截面面积最大，最大为. 【变式5-4】（23-24高一下·天津滨海新区·期末）《九章算术·商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”．所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”， 是的中点，过三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，给出下列四个结论： ①过三点的平面截该“堑堵”的截面是三角形；②该三棱台的表面积为； ③二面角的正切值为；④三棱锥的外接球的表面积为； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.15 【知识点】棱台表面积、多面体与球体内切外接问题、由平面的基本性质作截面图形、求二面角 【分析】对于①，利用线面平行的性质易判断截面为四边形；对于②，先证明，再求三棱台的表面积即可排除②；对于③，结合图形，先证得平面，即可得到二面角平面角，计算即得；对于④，先确定外接球球心所在直线，再利用，列出方程求解即得. 【详解】对于①，如图1，因平面平面，而平面，故平面， 设过三点的截面为平面，则因是的中点，取的中点为,则, 即平面，连接，则得过三点的平面截该“堑堵”的截面是四边形，故①错误； 对于②，如图2，棱台中，因， 而平面, 平面,则, 又，平面,故平面， 则平面,又平面，则. 因则, 故该三棱台的表面积为 ,故②错误； 对于③，如图3，分别取中点和,连接,因,易得, 又平面,平面,则, 因,平面,故平面， 因平面,则,易得, 因,平面,故平面， 因平面，则,故即二面角的平面角， 易得，故③错误； 对于④，如图4，取中点，连接,显然是的外心，因,易得平面， 故棱锥的外接球球心必在线段上，连,设外接球半径为， 因,在中，,解得，， 故三棱锥的外接球的表面积为，故④正确. 故选：A. 【变式5-5】(多选)（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（ ） A．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B．无论点N在何处，始终有平面成立． C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 【答案】BCD 【难度】0.43 【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、证明线面垂直、求线面角 【分析】A选项，直角面积为定值，点N到平面的距离为定值，进而判断体积；B选项，平面即为平面 ，再结合正方体特点判断； C选项，作出辅助线，得到即为直线与平面所成角，设大小为，设，，分，和三种情况，得到的取值范围；D选项，当为的中点，和三种情况，画出平面BDN截得正方体的截面. 【详解】A选项，在点N的位置移动时，点N到平面的距离为定值， 等于正方体的棱长，且直角面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，不会随着点N的位置的改变而变化，A错误； B选项，平面ACN即为平面AC ，而正方体中必有平面；得到B正确； C选项，取的中点，连接，则⊥，过点作⊥于点， 则，故⊥平面， 所以即为直线MN与平面所成角，设大小为， 设正方体的棱长为2，则， 设，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为1，故， 若，此时平面，此时夹角为0，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 显然，，，此时， 综上，，直线MN与平面所成角的正切值的取值范围为，C正确； D选项，当为的中点时，平面截得正方体的截面为正， 当时，延长交于点，连接， 则即为平面BDN截得正方体的截面， 当时，延长交于点， 在平面上，过点作平行于，交于点，连接， 则四边形即为平面BDN截得正方体的截面， 故平面截得正方体的截面可能是三角形或四边形，D正确. 【变式5-6】（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】设外接球球心为，、的外心分别为点、，取线段的中点，连接、、、，则，，由二面角的定义结合余弦定理求出的长，进而可求得的长，利用勾股定理可求出球的半径，再利用球体表面积公式可得结果. 【详解】设外接球球心为，、的外心分别为点、， 取线段的中点，连接、、、，则，， 因为是边长为的等边三角形，所以， 所以，， 因为，则为的中点， 又因为，故，故， 因为，，所以二面角的平面角为， 易知，， 所以、、、四点共圆， 由余弦定理可得， 所以，由正弦定理可得， 所以， 故球的半径为， 故四面体的外接球的表面积为. 题型06 空间角 【典例6-1】(24-25高一下·山东泰安·月考)在正方体中，异面直线与所成角的正弦值是(    ) A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】首先画出图象，然后确定异面直线与所成角的大小，进而求出其正弦值. 【详解】如图，连接，，则∥， 所以为异面直线BD与所成角， 因为为等边三角形，所以，所以， 所以异面直线BD与所成角的正弦值是， 故选：A 【典例6-2】（23-24高一下·湖南永州·期末）已知正方体的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，直线与平面ABCD所成角为，为正方形的中心，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由线面角的大小求值 【分析】需要先找到点位置，再将立体问题平面化，根据三点共线距离最短求解. 【详解】因为直线与平面ABCD所成角为，又因为面 所以为直线与平面所形成的角，即， 又，所以， 所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆落在四边形内的部分，即四分之一圆弧. 分析可知，点为和 圆弧的交点时，最小. 此时可将面沿着翻折到面所在平面. 根据长度关系，翻折后的图形如图所示，其中分别为正方体上下底面的中心，    当三点共线时，最小.因为 ， 所以最小值为 故选：B. 【典例6-3】(多选)（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】证明面面平行、求二面角、立体几何中的轨迹问题 【分析】对于A，易得即可判断；对于B，可找到点P，M使得平面与平面PBD平行；对于C，由题意，证得，得到二面角的平面角即可判断；对于D，求得点M的轨迹长度判断． 【详解】解：对于A，易知点到侧面的距离为2，故，故A错误； 对于B，当M为中点，P为中点时，连接、， 结合正方体的结构特征有，，又平面，平面，则平面PBD， ，又平面，平面，则平面， 又且都在面内，则平面平面 故B正确； 对于C，在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，所以C正确； 对于D，取中点E，连接PE，ME，PM，则平面， 根据线面垂直的性质有，则， 则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧， 分别交AD、于、，则， 则，劣弧的长为，故D错误． 【典例6-4】（22-23高一下·北京·期末）在正方体中，棱长为2，已知点P，Q分别是线段，上的动点（不含端点）.给出下列四个结论： （1）直线与直线垂直；（2）直线与直线不可能平行； （3）二面角的平面角的正弦值为；（4）的最小值是. 其中所有正确结论的序号是_______.    【答案】（1）（3）（4） 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面垂直、二倍角的正弦公式 【分析】证明出平面，利用线面垂直的性质可判断（1）；取、分别为、的中点，利用中位线的性质以及平行线的传递性可判断（2）；利用二面角的定义可判断（3）；将和延展至同一平面，分析可知当时，取最小值，根据三角形边与角的关系可求得的最小值，可判断（4）. 【详解】对于（1），因为，则、、、四点共面， 因为四边形为正方形，则，因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，，（1）对； 对于（2），当、分别为、的中点时，，又因为，此时，（2）错； 对于（3），因为、，平面即为平面，平面即为平面， 所以，二面角即为二面角，    取上下底面中心点分别为，分别连接， 平面即为平面，由题知底面， 因为平面，所以，易知， 又因为为中点，则，因为平面平面，平面，面， 则二面角即为，因为平面，平面， 所以，而，， 所以，则（3）正确； 对于（4），因为平面，平面，则，同理可得， 因为，同理可得，， 将和延展至同一平面，如下图所示：    在中，，， 因为，，，所以，， 所以，，故， 所以，， 当时，取最小值，且最小值为，（4）对. 故答案为：（1）（3）（4）. 【变式6-1】(24-25高一下·湖南衡阳·期中)如图，在正方体中，异面直线与所成的角是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据异面直线所成的角的定义，利用平行线转化为相交直线所成角，即可求解. 【详解】因为，所以异面直线与所成的角为. 故选：B 【变式6-2】(24-25高一下·江苏南京·期末)如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数(    )    A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】将平移到，平移到，则过点作与异面直线与所成的角都是的直线，一条在平面内，两条在平面外. 【详解】将平移到，平移到，    所以点作与异面直线与所成的角都是的直线， 即过点作与异面直线与所成的角都是的直线， 因为异面直线与所成的角为， 所以的角平分线平分角为或， 若的角平分线平分角为，则角平分线与异面直线与所成的角都是， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有一条， 若的角平分线平分角为，即角平分线与异面直线与所成的角都是， 则将过点的直线绕点向上转动到与平面垂直的过程中，存在两条与异面直线与所成的角都是的直线， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有两条， 综上，过点作与异面直线与所成的角都是的直线条数有三条. 故选：C 【变式6-3】（24-25高一下·辽宁丹东·期末）正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求线面角 【分析】根据正四面体的性质求解即可. 【详解】在正四面体中，不妨取棱长为1，设为底面的中心，为的中点，连接， 则平面，所以就是侧棱与底面所成角， 又，所以，故正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为. 故选：A. 【变式6-4】（22-23高二上·浙江台州·期末）在三棱锥中，．若与面所成角的最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.15 【知识点】求线面角、对勾函数求最值、基本不等式求和的最小值、余弦定理解三角形 【分析】取中点分别为O，D，E，连，过D作于G，连，可证为所求线面角，设，用表示出求最值. 【详解】取中点分别为O，D，E，连，过D作于G，连， 由，则，又，则， 又平面，平面，， 所以平面，又平面，则， 又平面，平面，，则平面． 又，故与面所成角与与面所成角相等，所以为所求线面角， 设，则， ， 故 ， 令，则， 因为，所以，当且仅当时取等号． 所以. 故选：C 【变式6-5】(多选)(24-25高一下·安徽宿州·期末)在正三棱柱中，，E，F，G，H分别为的中点，动点N在四边形内及其边界上运动，则下列说法正确的是(   ) A．E，F，G，H四点共面 B．FH与BC所成角的余弦值为 C．正三棱柱的外接球表面积为 D．若平面，则动点N的轨迹长度为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、空间中的点(线)共面问题、球的表面积的有关计算 【分析】对于选项A，证明即可证明四点共面；对于选项B，先确定与所成角，然后根据余弦定理可求出其余弦值；对于选项C，先由正弦定理求出外接圆半径，然后根据勾股定理求出球的半径，从而求出球的表面积即可；对于选项D，先确定动点的轨迹，然后根据勾股定理求出轨迹长度. 【详解】连接，因为分别为的中点， 所以，从而，故四点共面，A正确； 连接，因为，则为与所成角， 在中， 由余弦定理可得，B错误； 在等边中，由正弦定理可得，的外接圆半径， 设正三棱柱的外接球半径为，且球心到平面的距离为1， 由勾股定理可知，所以球的表面积为，C正确； 在正三棱柱中，取的中点，连接，可知， 又平面平面平面平面， 所以平面平面， 又因为是平面内两条相交直线，因此平面平面， 当点N在四边形内及其边界上运动时，若平面， 则在平面内，从而动点N的轨迹为， 又因为，所以动点N的轨迹长度为，D正确． 故选：ACD. 【变式6-6】(25-26高二下·上海·月考)正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上，则异面直线与所成角的余弦值为_____________________ 【答案】或 【难度】0.25 【知识点】求异面直线所成的角、多面体与球体内切外接问题 【分析】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，利用求出进而得到侧棱长，根据异面直线的概念可知即为异面直线与所成角的平面角，在中利用余弦定理求解即可； 【详解】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径， 因为底面边长为4，所以， 易知球心在直线上，则，解得或， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成的角. 在中，由余弦定理可得，解得； 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成的角. 在中，由余弦定理可得，解得. 综上：直线与所成角的余弦值为或. 一、单选题 1.(25-26高一下·全国·单元测试)用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则的高为(   ) A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的性质直观图平行于轴的长度变为原来的一半，结合的长度即可求. 【详解】的直观图是等腰直角三角形，，， ． 根据直观图平行于轴的长度变为原来的一半， 的高为． 故选：D． 2.（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，α∥β，A，C∈α，B，D∈β，AC与BD为异面直线，AC=6，BD=8，AB=CD=10，AB与CD成60°的角，则异面直线AC与BD夹角的大小是（    ） A．60° B．90° C．45°或60° D．60°或90° 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】面面平行证明线线平行、求异面直线所成的角 【分析】过点作的平行线交平面于点，连接，，得到平行四边形，在中，计算即得到异面直线与所成的角. 【详解】 过点作的平行线交平面于点，连接，. ，平面，平面， 四边形为平行四边形， 又与成60°的角，故或， 当时，又为等边三角形，故 当时，， 又，不合题意；综上， 在中，， 所以（或其补角）为异面直线与所成的角， 故异面直线与所成的角为. 故选：B. 3.(23-24高三上·陕西西安·期末)如图，在长方体中，，异面直线与所成的余弦值为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、余弦定理解三角形 【分析】把异面直线所成的角，转化为平面角，再用解三角形的方法求解. 【详解】连接，交于点，取的中点，连接. 因为 ，所以与所成的角为(或其补角). 令，在中，由，得. 又，， 由余弦定理得，即，解得， 所以. 故选：C 4.(24-25高一下·江苏南京·期末)直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱，分别是的中点，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、由平面的基本性质作截面图形 【分析】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可. 【详解】设设直线分别交的延长线于点，连接，交于点， 连接，交于点，连接， 所以过点的平面截直四棱柱的截面为五边形. 由平行线分线段比例可知：，故， 故为等腰直角三角形，所以， 故，则，. 连接，易知， 所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分， 等腰梯形的高，则等腰梯形的面积为. 又，所以五边形的面积为. 故选：D. 5.(22-23高一下·陕西宝鸡·月考)如图，在四面体中，、分别为、的中点，若、所成的角为，且，则的长为(    )    A． B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】取线段的中点，连接、，分析可知异面直线、所成的角为或其补角，分、两种情况讨论，通过解，可得出的长. 【详解】取线段的中点，连接、，    因为、分别为、的中点，则且， 同理可得且， 所以，异面直线、所成的角为或其补角， ①若，则是边长为的等边三角形，故； ②若，因为，则为等腰三角形，且， 取的中点，则，且. 综上所述，或. 故选：D. 6.(22-23高一下·湖北黄冈·月考)如图所示，棱柱的侧面是矩形，D是上的动点，若平面，则的值为(    )    A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线面平行的性质 【分析】根据线面平行的性质将平面转化为线线平行，然后集合位置关系求解即可； 【详解】  连接交于，连接， 因为平面，平面平面, 所以,又因为是的中点， 所以D是上的中点，即 故选：B. 7.（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在长方体中，，，点在矩形内运动（包括边界），，分别为的中点，若平面，当取得最小值时，的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、证明面面平行 【分析】分别为的中点，证明平面平面，得点在线段上，取得最小值时为线段的中点，求出，余弦定理求的余弦值即可. 【详解】如图，取的中点，的中点，连接，所以， 又分别为的中点，所以，故， 平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，故， 平面，平面，平面， 又平面，，故平面平面， 所以当平面时，平面，则点在线段上， 当时，取得最小值，易知， 此时为线段的中点. 由平面几何知识可知，，，， . 所以的余弦值为. 故选：D. 8.（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知正方体边长为1，点分别在线段和上，，动点在线段上，且满足，分别记二面角，的平面角为，则总有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、二面角的概念及辨析、证明线面垂直 【分析】作出三个二面角的平面角，求出其正切值后比较大小可得． 【详解】作平面，垂足为，则， 因为平面，所以， 作，，，垂足分别为，连接， 由于，平面，平面，所以平面， 又平面，从而， 所以，同理，， 所以，，， 因为点是正方形对角线的交点，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 就是在平面上的射影，， 又，， 且，则， 由得， 从而，所以， 所以，又，所以. 故选：D. 二、多选题 9.(23-24高一下·福建福州·期末)圆台的轴截面如图所示，其上、下底面的半径分别为，，母线长为，点为母线的中点，则下列结论正确的是(    ) A．圆台的侧面积为 B．与所成角为 C．圆台外接球的半径为 D．在圆台的侧面上，从点到点的最短路径的长度为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、球的表面积的有关计算、圆台表面积的有关计算、圆台的结构特征辨析 【分析】根据圆台的上、下底面半径和母线长求出圆台的侧面积，可判断选项A；求出，可判断选项B；由勾股定理求出圆台外接球的半径，可判断选项C；利用侧面展开图求出的长，可判断选项D． 【详解】对于A，圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为2，为母线中点， 所以圆台的侧面积为，选项A错误； 对于B，因为，所以，所以与所成角为，选项B正确； 对于C，根据题意知，外接球的球心在圆台的中心连线上， 设球心到上底面的距离为， 所以，解得， 所以圆台外接球的半径为，选项C正确； 对于D，展开面如图所示： 根据比例关系求出，展开面为半圆环； 点为母线的中点，所以，，选项D正确． 故选：BCD． 10.（23-24高一下·吉林·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，则（    ） A．三棱锥的外接球的表面积为 B．三棱锥的外接球的体积为 C．点C到平面的距离为 D．已知点P是底面（不含边界）内一动点，且平面，则线段的长度的取值范围是 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算、面面平行证明线面平行、求点面距离 【分析】对于AB，取的中点，连接，则可证得三棱锥的外接球的球心，从而可求出球的半径，进而求出球的表面积和体积，对于C，利用等体积法求解判断，对于D，取的中点，连接，可证得平面∥平面，则可得点在平面上的轨迹为线段（不含端点），从而可求出的范围. 【详解】对于AB，取的中点，连接，因为平面，平面， 所以，所以，同理可证， 所以， 所以三棱锥的外接球的球心，设外接球的半径为，则， 所以外接球的表面积为，体积为，所以AB正确， 对于C，因为E，F分别是棱，的中点，所以， 所以，所以, 设点C到平面的距离为，因为，所以， 所以，解得，所以C错误， 对于D，取的中点，连接， 因为为的中点，所以∥，因为∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为为的中点，为的中点，∥，， 因为∥，，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，平面，所以平面∥平面， 因为平面，所以平面， 因为平面平面，所以点在平面上的轨迹为线段（不含端点）， 在中，， 则边上的高为, 所以线段的长度的取值范围是，所以D正确， 故选：ABD 11.（24-25高一下·四川成都·期末）在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，且，点，，分别为棱，，的中点，则（   ） A． B．平面与平面所成角的正弦值为 C．过点，，的平面截四棱锥所得的截面图形的周长为 D．设点为侧面内（包括边界）的一动点，且，则点的轨迹长度为 【答案】AD 【难度】0.15 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、证明线面垂直、求二面角、立体几何中的轨迹问题 【分析】A选项，作出辅助线，得到线面垂直，得到⊥，结合⊥，得到线面垂直，证出；B选项，作出辅助线，得到即为平面与平面所成角，由余弦定理和勾股定理求出各边长，由正弦定理得到；C选项，作出辅助线，得到五边形即为过点，，的平面截四棱锥所得的截面图形，并求出各个边的长度，相加得到周长；D选项，证明线面垂直，得到点的轨迹为以为圆心，长度为半径的圆在侧面的部分，求出两段圆弧的圆心角，从而求出弧长，得到答案. 【详解】A选项，取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以 ， 因为底面是边长为1的正方形，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，故⊥， 因为，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以； B选项，连接，交相交于点，连接， 因为，分别为棱，的中点，故，， 因为平面，平面，所以 ， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，， 所以即为平面与平面所成角， 其中，，故， ，， 在中，由余弦定理得 ，故， 由正弦定理得，即，解得，B错误； C选项，直线与直线分别相交于，连接，分别与相交于，连接， 故五边形即为过点，，的平面截四棱锥所得的截面图形， 由于≌，所以，，， 由A知，⊥，由B知，，故， 在中，，由余弦定理得， ，由于，由勾股定理逆定理得， 所以，在Rt中，， 故，同理可得， 由B可知，，故， 由于为的中点，由三线合一可得， 由对称性，又， 所以截面图形的周长为，C错误； D选项，因为平面，平面，所以 ， 又⊥，因为，平面，所以⊥平面， 点为侧面内（包括边界）的一动点，且，由勾股定理得，如图所示， 的中点为，则⊥，，又， 所以点的轨迹为以为圆心，长度为半径的圆在侧面的部分， 即与两部分，其中， 所以，同理，故， 所以，D正确. 故选：AD 三、填空题 12.（25-26高一下·全国·课堂例题）已知平面//平面，直线与交于，且，，，则________． 【答案】16或272 【难度】0.65 【知识点】面面平行证明线线平行 【详解】分两种情况讨论：（1）位于平面之间，如图①所示．由于， 可设所在平面为．因为，，，所以， 则，所以，解得． （2）位于平面同侧，如图②所示．由于， 可设所在平面为．因为，，，所以， 所以，即，解得． 故或272． 13.（24-25高一下·吉林·期末）已知菱形的各边长为4，．如图所示，将沿折起，使得点D到达点S的位置，连接，得到三棱锥，此时．若E是线段的中点，点F在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点F轨迹的面积为______． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】取中点M，连接，，作于H，设点F轨迹所在平面为，则平面经过点H且，设三棱锥外接球的球心为O，，的中心分别为，，则平面，平面，且O，，，M四点共面，求出外接球半径，截面圆半径后可得结论. 【详解】取中点M，连接，， 则，，，，平面，∴平面，， 由题意，又，所以， 是三角形内角，因此， 作于H，设点F轨迹所在平面为，则平面经过点H且， 设三棱锥外接球的球心为O，，的中心分别为，， 易知平面，平面，且O，，，M四点共面， ，由球的性质知，从而，即是的角平分线， 所以，，， 又，则三棱锥外接球半径， 易知O到平面的距离，故平面截外接球所得截面圆的半径为， 所以截面圆的面积为，即点F轨迹的面积为． 故答案为：． 14.（25-26高二上·浙江·月考）已知三棱锥中，，，，，，则当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为________． 【答案】/ 【难度】0.15 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、锥体体积的有关计算、求二面角 【分析】先证点到平面的距离为定值，再说明当为等边三角形时，面积最大，再求此时二面角的余弦值. 【详解】如图：过作平面，垂足为，过作于，连接. 因为平面，平面，所以. 又，平面，，所以平面. 平面，所以.因为，所以. 类似地，可证. 在中，， ，， 所以，. 在中，，，所以，. 所以.即点到平面的距离为. 在中，. 由余弦定理，得，所以 ， 所以，当且仅当即为等边三角形时取等号， 此时三棱锥的体积最大.此时，看底面，如下图： 过作，交延长线于. 因为，，，所以. 设二面角为，则，所以. 故答案为： 四、解答题 15.（24-25高一下·山西·月考）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点，分别为线段，上的一点，且，． (1)求证：；(2)求证：平面． 【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解. 【难度】0.85 【知识点】证明面面平行、面面平行证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据题意，连接，可证得平面，进而可证明； （2）在，上各取一点，，使，，根据题意可证明平面平面，又平面，所以平面. 【详解】（1）连接，如图所示，因为底面是菱形，所以， 又平面，平面，所以， 又平面，平面，且与相交于点， 所以平面，又平面，所以. （2）如图所示，在，上各取一点，，使，，所以， 又点，分别为线段，上的一点，且，，所以，， 又底面是棱形，所以，所以，， 所以，所以点，，，四点共面， 又平面，平面，且与相交于点， 又平面，平面，所以平面，平面， 平面，平面，且与相交于点，所以平面平面， 又平面，所以平面. 16.（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． (1)证明：；(2)求证：平面平面；(3)若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求线面角、证明面面垂直 【分析】（1）利用平行关系得出三角形相似，利用相似比相等得出线线平行，进而证明结论； （2）利用勾股定理得出线线垂直，进而利用线面垂直判定定理，由线面垂直证明面面垂直； （3）利用垂直关系得出线面角，计算相关边长进而求解． 【详解】（1）已知底面是矩形，底面，，分别为，的中点， 则， 在和中，，则三个内角均对应相等，故， 相似比为，，即， 已知，则， 由平行线分线段成比例定理可得， 又分别为的中点， ，． （2）在矩形中，， ，则， ，则， ，，即， 底面，底面，故， ，且平面，平面， 又 平面，平面平面． （3）平面，即平面，即为与平面所成的角， 由（2）知，， 已知，，，， 在中，． 17.（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，在正三棱柱中，，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求点面距离 【分析】（1）过点作交于点，交于点，说明点A到平面的距离为的长度，结合几何性质求出的长度即可；（2）根据给定条件，证明平面平面，过点作交于点，利用面面垂直的性质推理作答. 【详解】（1）如图所示，过点作交于点，交于点， 因为与互余，与互余，所以， 又因为，所以，所以， 因为在正三棱柱中，，，点M为的中点， 所以即为，解得，所以， 由等面积法有，即，解得，所以， 由正棱柱性质可知，平面，而平面，从而， 因为三角形是正三角形且点为的中点，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 所以点A到平面的距离为； （2）在正三棱柱中，因为点为的中点，则， 又平面， 平面，则有， 而平面，于是平面， 平面，则平面平面，在平面内过点作交于点， 平面平面，因此平面，于是点即为所要找的点，所以. 18.（24-25高一下·河南安阳·期末）阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形，．（角的运算均采用弧度制） (1)若，求四棱柱在任意三个顶点处的离散曲率的和； (2)若与平面所成角的正弦值为，求四棱柱在顶点处的离散曲率； (3)截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为与平面交于点，求． 【答案】(1)；(2)；(3) 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、求线面角、立体几何新定义 【分析】（1）由题可推导直四棱柱为正方体，根据概念即可求离散曲率； （2）由题可证平面，即即为与平面所成的角，利用其正弦值为，可得，根据余弦定理的推论可求，即可得到在点处的离散曲率； （3）由点处的离散曲率为，可得，继而可得四棱柱为正方体，然后可推导是三棱锥的高，即可求的值. 【详解】（1）若，则菱形为正方形，即． 因为平面，，所以直四棱柱为正方体， 故在任意顶点处的离散曲率均为， 所以四棱柱在任意三个顶点处的离散曲率的和为． （2）因为底面为菱形，所以． 又直四棱柱，所以平面， 因为平面，所以． 又平面，，所以平面． 设，则即为与平面所成的角， 在中，， 所以，所以，则． 因为平面，平面，所以，， 所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为． （3）如图，在四面体中，，，， 所以，， 所以四面体在点处的离散曲率为，所以， 所以为等边三角形，所以． 又在中，，所以， 所以直四棱柱为正方体． 因为平面，平面，所以． 又，，，平面，所以平面． 又平面，所以． 因为平面，平面，所以． 又平面，，所以平面． 又平面，所以． 又，，平面，所以平面， 所以是三棱锥的高． 设正方体的棱长为，则， 因为，所以， 所以，所以， 所以． 19.（23-24高一下·安徽·期末）如图①，已知是边长为2的等边三角形，D是的中点，，如图②，将沿边DH翻折至. (1)在线段BC上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (2)若平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为，求点B到直线CH的距离. 【答案】(1)存在，；(2) 【难度】0.4 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、证明线面垂直、面面平行证明线面平行 【分析】（1）在图①中，取的中点M，连接AM，证明，则平面BDH，在线段BC上取点F使，连接MF，FA，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得解； （2）连接，取的中点，连接，平面，易得，则即为平面BHC与平面BDA所成的二面角的平面角，求出，再利用等面积法求解即可. 【详解】（1）在图①中，取的中点M，连接AM，如图所示， 因为是等边三角形，的中点为M，所以, 因为，所以， 在图②中，，平面BDH，平面BDH， 所以平面BDH，且， 在线段BC上取点F使，连接MF，FA，如图所示， 因为，所以， 又因为平面BDH，平面BDH，所以平面BDH， 又因为平面AMF，所以平面平面， 又因为平面，所以平面BDH， 所以存在点F满足题意，且； （2）如图所示，连接，取的中点，连接， 由折叠性质可得平面，平面， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 因为为的中点，所以， 所以即为平面BHC与平面BDA所成的二面角的平面角， 由（1）可得，， 因为平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为， 所以，所以，所以，所以， 设点B到直线CH的距离为，则，即，解得， 即点B到直线CH的距离为. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章立体几何复习讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01空间几何体的结构 知识点02空间点、线、面的位置关系 知识点03空间平行关系 题型01空间几何体的结构 题型02空间点、线、面的位置关系 第四章立体几何 题型03空间平行关系 知识点04空间垂直关系 题型04空间垂直关系 题型05空间距离及表面积与体积 知识点05表面积与体积 题型06空间角 知识点06空间距离 知识点07线面角 知识点08二面角 教学目标、教学重难点 巩固对空间几何体结构的理解掌握，掌握直观图的计算，掌握点、线、面的位置关系， 教学目标 掌握距离、表面积、体积、线面角、二面角的计算，掌握空间的平行与垂直的证明方法。 教学重点 距离、表面积、体积、线面角、二面角的计算，掌握空间的平行与垂直的证明方法. 教学难点 距离、线面角、二面角的计算，空间的平行与垂直的证明方法. 知识清单 知识点01空间几何体的结构 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 ①有两个面互相平行且全等， 有一个面是多边形， 用一个平行于棱锥底面的平面去 含义 其余各面都是平行四边形. 其余各面都是有一个公共顶点的三 截棱锥，截面和底面之间的部分 ②相邻两个四边形的公共边都互相平行 角形的多面体 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面 平行四边形 三角形 梯形 2.旋转体的结构特征 第1页共90页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 3.直观图 斜二测画法：(1)直观图中x'轴、y′轴的夹角为45或135°，z'轴与x轴和y'轴所在平面垂直。 直观图 (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长 度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半 斜二测面法的直观图与原图面积的关系：S用-号5乐形，S原影=-2W25限 4.侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 2πr 侧面展开图 侧面积公式 Sa柱侧=2l S因维侧=兀l S网台侧=π（们十）l 直棱柱 正棱锥 正棱台 侧面展开图 侧面积公式 S直棱柱侧=ch 1 S直棱柱侧=2} ch S正棱台侧=2(c+c)h 【即学即练1-1】(24-25高一下北京延庆·期末)下列命题错误的是() A.侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B.底面是正多边形的棱柱一定是正棱柱 C.棱柱的侧面都是平行四边形 D.斜棱柱的侧面有可能是矩形 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】根据棱柱的概念逐一判断即可. 【详解】对A,侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，正确； 对B,底面是正多边形的直棱柱定是正棱柱，故错误： 对C,棱柱的侧面都是平行四边形，正确： 对D,斜棱柱的侧面有可能是矩形，正确 故选：B 第2页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练1-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)已知△ABC按照斜二测画法画出它的直观图△A'B'C(如图所 示)，其中AB'=BC'=1,AC'=V2,则AB的长为) O'(A) A.2 B.2v2 C.3 D.4 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的规则和线段的长度关系即可求出AB的长， 【详解】在斜二测画法中，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半. 由直观图可知，BC=B'C'=1,AC=2AC'=2V2 在平面图中，AC1 BC,所以根据勾股定理AB=√8+1=3. 故选：C 【即学即练1-3】（多选）24-25高一下.广东佛山月考)已知长方体同一顶点的3条棱长度分别为2,3,4，现 从该长方体的12条面对角线及4条体对角线中选出3条线段（不考虑原位置关系）构造三角形，则构成的三 角形可能为() A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、棱柱及其有关计算 【分析】根据已知条件，求出面对角线，体对角线的长度，逐个选项验证即可。 【详解】根据已知条件有长方体的面对角线长度有： V22+32=V13,√22+4=√20=2W5,V32+42=V2=5共3可能， 其中每种可能长度都有4条面对角线与之对应， 体对角线有√22+32+平=√29共1种可能，即4条体对角线长度均为V29 对于A,若所选的3条边长度相同，例如都为5，构成等边三角形，所以A正确： 对于B,先检验有两边相同的情况， 2(13-26,2(2W⑤=40,2(5)2=50,2(V29=58, 没有与之对应满足勾股定理的长度， 再检验三边各不相同的情况， (3+(2V⑤-33，(V13+(5)2=38,(W3+(W292=42, (252+(5)2=45,(2W⑤2+(292=49，(5)2+(W29=54, 没有与之对应满足勾股定理的长度，所以B错误： 第3页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于C,若所选长度为，√13、√13、√29时， 检验213>√29可以构成三角形，最大角为V29所对的角设为6， cos0=国t回网<0，因为0(0,0，所以0为钝角，所以c正确： 2×V13×V13 对于D,若所选的3条边长度相同，例如都为5，构成三角形为锐角三角形，所以D正确. 故选：ACD 知识点02空间点、线、面的位置关系 (一基本事实与推论 1.四个基本事实 基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 注意：(1)此公理是判定直线在平面内的依据；(2)此公理是判定点在面内的方法 基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面， 注意：(1)此公理是确定一个平面的依据；(2)此公理是判定若干点共面的依据 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面： 注意：(1)此推论是判定若干条直线共面的依据：(2)此推论是判定若干平面重合的依据： (3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面： 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面： 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 注意：(1)此公理是判定两个平面相交的依据： (2)此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）： (3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. (仁)空间中直线与直线的位置关系 (平行直线 共面直线 1.位置关系的分类： (相交直线 (异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 2.空间中直线与平面的位置关系 (直线与平面平行 直线在平面外 空间直线与平面的位置关系： 直线与平面相交 直线在平面内 3.空间中平面与平面的位置关系 空间平面与平面的位置关系： (两个平面相交 两个平面平行 4.等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 【即学即练2-1】(24-25高二上·上海·期中)如图，在三棱锥A-BCD中，棱AB的中点为E,棱AC的中点为F, 棱BD的中点为G,经过E、F、G的截面一定是() 第4页共90页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.三角形 B.矩形 C.梯形 D.平行四边形 E D 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】作出辅助线，得到EF/GP,EG/FP,所以四边形EFPG为平行四边形，求出经过E、F、G的截面为 平行四边形EFPG. 【详解】取CD的中点P,连接PF,PG,EF,EG, 因为棱AB的中点为E,棱AC的中点为F,棱BD的中点为G, 所以EF/IBC,GP//BC,EG/IAD,FP//AD,故EF/GP,EG/IFP, 所以四边形EFPG为平行四边形，故经过E、F、G的截面为平行四边形EFPG. D 故选：D 【即学即练2-2】（多选）2023江西景德镇一模)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G,H 分别是所在棱上的点，且满足DH+BF=AE+CG=2,则() C H B A.若四边形EFGH为矩形，则DH=CG B.若四边形EFGH为菱形，则E,G或F,H为所在棱中点 C.若四边形EFGH为菱形，则四边形EFGH的周长取值范围为8,4V⑤ D.当且仅当E,F,G,H均为所在棱中点时，四边形EFGH为正方形 第5页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】由正方体的结构特征，结合已知和平面的基本性质、矩形、菱形的特征判断各项正误即可. 【详解】A:若四边形EFGH为矩形，也有可能DH=AE,如下图示，即只需用一个垂直于一组对面的平面 截正方体，并保证DH+BF=AE+CG=2即可，错： 0 C B A E G B B:若四边形EFGH为菱形，DH+BF=AE+CG=2,则EF=FG=GH=HE且对角线垂直， 若E,G或F,H都不是棱中点，如下图，作EI//AD,G/1CD,分别交DD1于I,J, 因为E,G都不是棱中点，则HI≠H,易知GH≠HE,与菱形矛盾， 所以E,G或F,H至少有一对是棱中点，对； D H G C:由B分析知：四边形EFGH为菱形，假设E,G是棱中点，且DH+BF=2, 所以F,H都是棱中点时，菱形边长最短为2：F,H都是顶点时，菱形边长最长为VS, 棱长的范围为[2，√⑤]，故四边形EFGH的周长取值范围为8,4V⑤，对： D B B D:要使四边形EFGH为正方形，即用一个垂直于一组对面的平面截正方体， 且截面过一组相对侧棱的中点， 结合矩形和菱形的性质，且DH+BF=AE+CG=2,则E,F,G,H均为所在棱中点，对 故选：BCD 第6页共90页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点03空间平行关系 1.线面平行 文字语言 图形语言 符号语言 判定 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与 ,l∥a,aCa,lda,∴.l∥a 定理 此平面平行（线线平行→线面平行） 性质 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此 .l∥a,lcB,anB=b,.l∥b 定理 平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行→线线平行”） 2.面面平行 文字语言 图形语言 符号语言 -4 判定 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两 ac a,bca, a b anb=P,→a∥B 定理 个平面平行（简记为“线面平行→面面平行） a//B.b//B. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的 a//B any=a→a∥b 性质 交线平行 & Bny=b) 定理 如果两个平面互相平行，其中一个平面内的一直线平行 B 与另外平面 ala-al/ a 3.平行问题的转化关系 性质 判定 线线平行 判定之 线面平行 三面面平行 性质 性质 判定 4.平行关系中的三个重要结论 (I)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥a,a⊥B,则a∥B. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若a∥B,B∥y,则a∥y (3)若a∥B,aCa,则a∥B. 【即学即练3-1】(24-25高一下.安徽合肥期中)己知1，m,n是三条不同的直线，，B,y是三个不同的平 面，则下列命题一定正确的是() A.若m/a,n/B,a/1B,则m/m B.若mca,nca,m/B,n/B,则a/B C.若//，lcB,anB=m,则/m D.若mca,ncax,lcB,且m/B,n/几，则a/B 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】线面平行的性质、判断面面平行、判断线面平行 【分析】利用线面、面面位置关系，结合线面平行的性质逐项判断即得 【详解】对于A,由m/a,n/B,a/B,得m/n或m与n相交或m与n是异面直线，A错误： 第7页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于B,由mca,nca,m/B,n/IB,得a/B或a与B相交，B错误： 对于C,由l/a,lcβ，anB=m,得l//m,C正确： 对于D,由mca,nca,lcB,且m/B,n/L,得a/B或a与B相交，D错误. 故选：C 【即学即练3-2】（多选）(24-25高一下.甘肃武威期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点， 则() A.B1D⊥AD1 B.B1D⊥平面ACD1C.BE//CD1 D.BE/平面ACD1 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、证明线面垂直 【分析】根据正方形的性质，直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质即可判断选项A和B:分别取棱B1C1, C1D1的中点F,G,连接BF,EF,AG,CG,A1C1,根据线线平行、线面平行及面面平行的判定和性质即可 判断选项C和D. 【详解】对于选项A,连接A1D, 因为四边形AA1D1D是正方形，所以AD11A1D, 又由正方体的性质可知A1B1I平面AA1D1D, 因为AD1C平面AA1D1D,所以A1B1⊥AD1, 因为A1D,A1B1C平面A1B1D,且A1D∩A1B1=A1,所以AD1⊥平面A1B1D, 又B1DC平面A1B1D,所以AD1⊥B1D,故选项A正确： D E B 对于选项B,连接BD, 因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD, 又由正方体的性质可知BB1I平面ABCD, 因为ACC平面ABCD,所以BB1IAC, 因为BD,BB1C平面BB1D,且BD∩BB1=B,所以AC⊥平面BB1D, 又B1DC平面BB1D,所以AC⊥B1D,结合选项A有AD11B1D, 因为AC,AD1C平面ACD1,且AC∩AD1=A,所以B1D1平面ACD1,故选项B正确： 第8页共90页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A E B D 分别取棱B1C1,C1D1的中点F,G,连接BF,EF,AG,CG,A1C1 对于选项C,由正方体的性质可知BEICG,则BEICD1不成立，故选项C错误： 对于选项D,因为E,F分别是棱A1B1,B1C1的中点，所以EFIA1C1,所以EF‖AC, 又ACC平面ACD1,则EFII平面ACD1, 假设BEI平面ACD1, 又BE,EFC平面BEF,且BE∩EF=E,则平面BEFI平面ACD1, 因为BEICG,BE￠平面ACG,CGC平面ACG,所以BEI平面ACG, 因为EF II AC,EF丈平面ACG,ACC平面ACG,所以EF/平面ACG, 因为BE,EFC平面BEF,且BE∩EF=E,所以平面BEFI平面ACG, 则平面ACD1II平面ACG,与平面ACD1∩平面ACG=AC矛盾，故假设不成立， 即BE‖平面ACD1不成立，故选项D错误. D D 故选：AB. 知识点04空间垂直关系 特殊图形 平行四边形：菱形、矩形、正方形 特殊三角形：等腰（等边）三角形…取中点 1.线线垂直边角关系 正余弦定理 勾股（逆）定理 线面垂直的定义 面面垂直的性质 2.线面垂直 文字语言 图形语言 符号语言 判定 条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 L⊥a,l⊥b, anb=0,→l1a 定理 直，则该直线与此平面垂直 b六 a、b∈u, 性质 垂直于同一个平面的两条直线平行 定理 Q 8618-ah 第9页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)与线面垂直有关的重要结论 ①如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线. ②如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. ③如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行 ④过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直. 2.面面垂直 文字语言 图形语言 符号语言 判定 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平 定理 面垂直 是8an 性质 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的 (a1B, anB=a,→lLax 定理 直线与另一个平面垂直 l∈B,l1a, a 3.三垂线定理：直线AB为斜线OB在平面a内的投影，L1AB→L1OB 4.垂直关系的转化 (1)判定定理转化：线线垂直→线面垂直→面面垂直 (2)性质定理转化：面面垂直→线面垂直→线线垂直 用图形表示为： 判定 判定 线线垂直 线面垂直 判定 面面垂直 性质 性质 性质 (3)同时，在平行与垂直之间也存在相互转化，即：线线垂直一线面垂直一线线平行→线面平行 【即学即练41】(24-25高一下贵州·月考)在空间中，关于垂直与平行问题，有下列四个结论： ①平行于同一个平面的两条直线可能互相垂直：②平行于同一个平面的两个平面可能互相垂直： ③垂直于同一个平面的两条直线可能互相垂直；④垂直于同一个平面的两个平面可能互相垂直. 其中正确结论的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【难度】0.94 第10页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】由空间直线，平面的位置关系逐项判断每个选项的正误即可. 【详解】对于①，平行于同一个平面的两条直线可能互相垂直，故①正确： 对于②，平行于同一个平面的两个平面互相平行，故②错误： 对于③，垂直于同一个平面的两条直线可能互相平行，故③错误： 对于④，垂直于同一个平面的两个平面可能互相垂直，故④正确。 所以正确结论的个数为2个 故选：C。 【即学即练4-2】（多选）(25-26高一下，全国·单元测试)设l是直线，，B是两个不同的平面，下列说法错误 的是() A.若//a,l/IB,则a/B B.若//a,l1B,则a⊥B C.若a1B,l1a,则l1B D.若a1B,/a,则l1B 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】由空间线面关系，面面关系相关知识判断各选项正误即可。 【详解】若/a,/B,则a,B可能平行也可能相交，故A错误： 由于//a,故在a内存在直线//儿，又因为l1B,所以1'1B,故a1B,所以B正确： 若aIB,在β内作交线的垂线L,则l1a,此时在平面B内，因此C错误： 已知a1B,若anB=a,I/a,且不在平面a,B内，l//a,则l//B,因此D错误. 故选：ACD 知识点05表面积与体积 1.体积公式： 所有椎体体积公式：V=Sh, 所有柱体体积公式：V=Sh, 台体体积公式：V=S上+S+VSS)h 球体体积公式：V=手mR3, 2.侧面积公式： 圆柱：S圆柱制=2l, 圆锥：S圆锥制=πl, 圆台：S圆台制=π1十)l, 3.表面积公式： 球体表面积公式：S=4πR2, 圆柱：V=Sh=r21,S表=S底+S侧=2r2+2ml, 第11页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 圆锥：V=Sh=π2h,S表=S底+S侧=r2+m 【即学即练5-1】(2526高一下·重庆期中)半径为6的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球 的表面积与圆柱的侧面积之差为() A.62π B.72π C.75π D.80π 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】圆柱表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据圆柱侧面积公式及基本不等式求解 【详解】设圆柱的底面半径为r,高为，已知球O的半径R=6, 作轴截面，如图， B 由勾股定理得：2+（)=2=36， 圆柱侧面积S=2mh=4r(份≤2π(r2+约) =72, 当且仅当r==3V2时等号成立. 因此圆柱侧面积的最大值为72π， 球的表面积为S=4R2=144r, 故两者差值为144r-72π=72π 【即学即练5-2】（多选）(25-26高一下河北期中)如图为圆台的轴截面，其上底面直径为4、下底面直径 为8，母线BC长为4，M为BC边的中点，则() B A.圆台的高为2V3 B.圆台的侧面积为24π C.圆台的体积是56v3π D.在圆台的侧面上，从A沿圆台侧面到M的最短路径的长度为10 【答案】ABD 【难度】0.55 【知识点】组合体表面两点间的最短路径、圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】求出等腰梯形的高，进而求出面积判断A:利用圆台体积、侧面积公式求解判断BC:利用圆台侧 面展开图求解判断D. 第12页共90页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】对于A,如图所示，过点C作CH L AB交AB于点H,过点D作DN L AB交AB于点N, D C B 根据题意，在△CHB中，BH=2,BC=4,则CH=√BC2-BH=2V3,故A正确： 对于B,圆台的侧面积为22+xx4=24m,故B正确： 2 对于C,因为圆台上底面半径r=2,下底面半径R=4,高h=23, 所以圆台的体积v=2+1R+R2)h=π，故C错误： 对于D,圆台侧面展开为扇环，设扇环的圆心角为，将其补充为扇形，大扇形母线长为L,小扇形母线长 为L-4, 根据弧长公式2π×R=aL,2m×r=a(L-4④，解得a=兀，L=8,其展开后的示意图如图所示， O C M B 在圆台的侧面上，从A沿圆台侧面到M的最短路径为AM, 由题意可得FB=FA=8,CB=4, 因为M为BC中点，所以FM=6,所以AM=VFM2+FA2=V62+82=10,故D正确 知识点06空间距离 1.点到平面的距离：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，过一点作垂直于已知平面的直线，则该 点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段.垂线段的长度叫这个点到平面的距离 2.直线到平面的距离的定义： 一 条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到平面的距离 【即学即练6-1】(22-23高一下.广东深圳·期中)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为6，△A1BC的面积 为2V3,则点A到平面A1BC的距离为() B A A.V2 B.V3 C.2 D.5 【答案】B 【难度】0.85 第13页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离 【分析】利用等体积法，由VA1-ABc=VA-A1Bc求解即可。 【详解】由直三棱柱ABC-AB1C1的体积为6，可得VA-ABc=VA,BC1-ABc=2, 设A到平面A1BC的距离为d,由VA1-ABc=VA-A1Bc S△4Bc·d=2,×2V3d=2,解得d=V3, 即A到平面A1BC的距离为V3 故选：B 【即学即练6-2】（多选）(23-24高一下·浙江绍兴期末)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F,G 分别为棱AA1,CC1,BC上的点，A1E=CF=CG=1∈0,1)则() D B E Di- G A.EG⊥GF B.平面EFG经过棱AB的中点H C.平面EFG截该正方体，截面面积的最大值为3 D.点D到平面EFG距离的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、求点面距离 【分析】记M为D1C1的中点，取线段A1D1上的点N使得A1N=,正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为0，然 后说明平面EFG截该正方体的截面就是中心为O的六边形EHGFMN,之后根据正方体的对称性和勾股定理， 逐个选项验证即可 【详解】记M为D1C1的中点，棱AB的中点H, D M H 取线段A1D1上的点N使得A1N=1,正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为0 则根据对称性，E和F,G和N,H和M分别关于点O对称 从而O在平面EFG内，而FG II BC1IHM,故FG IHO,从而H在平面EFG内. 由于前面的对称性，及E,F,G,H,O在平面EFG内， 知平面EFG截该正方体的截面就是中心为O的六边形EHGFMN, 第14页共90页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 从而H一定在平面EFG内，至此我们得到选项B正确. 前面已经证明FG II MH,同理有NE I MH,故FG II MH II NE. 由于A1N=A1E=CF=CG=L,故D1N=AE=C1F=BG=1-λ， 同时显然有AH=BH=D1M=C1M= 从而EN=FG=√2+2=V2,L,MN=MF=EH=GH 1-02+)-2-21+月 由于EN=FG=√2·<√2=HM,FGIMHII NE, 故四边形ENMH和GFMH都是等腰梯形，从而OE=ON,OF=OG 表明线段EF和GN互相平分且长度相等，所以四边形是EGFN矩形，故EG1GF,至此我们得到选项A正确： 由于四边形ENMH和GFMH都是等腰梯形，且上底均为V2,λ，下底均为v√2， 腰长均为 -2+ 放它们的商都等千-21+)-（）-2-2+司 2-21+1 2-+ 所以它们的面积都等于(2·1+V②： 2-+a+1)J月 -2+ 故截面EHGFMN的面积S=a+1),2-2A+号 当1=别.s=Q+e-2+-层+-草9 4 至此我们得到选项C错误. 由于D0=DB1=VAD2+AB2+B1B-V1+1+1=9,且0在平面EFG内， 故点D到平面EFG的距离不超过号 而当A=时，E,H,G,F,M,N分别是各自所在棱的中点，从而DE=DF=DG 12+月 而0E=0F=0G=兰，这表明点D和点0到ER,G三点的距离两两相等 故点D和点O在平面EFG的投影同样满足到E,F,G三点的距离两两相等， 从而点D和点O在平面EFG的投影都是△EFG的外心， 所以由点D和点的投影是同一点，知DO垂直于平面EFG. 从而由O在平面EFG内，知点D到平面EFG的距离就是DO的长，即 1 所以，点D到平面EFG的距离的最大值是5，至此我们得到选项D正确。 2 故选：ABD. 知识点07线面角 1.异面直线所成的角定义：己知两异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a∥a,b∥b, 我们把直线a,b所成的角叫做异面直线a,b所成的角 空间两条直线所成角的取值范围是[0°，90]： 2.线面角：直线l与平面a交于点O,过直线l上的点P作PA1于A,连接AO,将LPOA称为直线l与平面所 第15页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 成的角，简称线面角. 若直线在平面a内，则直线l与平面a所成的角为0°. 若直线l1,则直线与平面a所成的角为90° 线面角的范围：[0,90]. 【即学即练7-1】(24-25高一下.山东泰安·月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线BD与AD1所成角的 正弦值是() A号 B.② D.1 2 C. 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】首先画出图象，然后确定异面直线BD与AD1所成角的大小，进而求出其正弦值， 【详解】如图，连接B1D1,AB1,则B1D1∥BD, 所以LAD1B1为异面直线BD与AD1所成角， 因为△AD1B1为等边三角形， 所以LAD1B1=3 所以si∠AD,B=sin-号 所以异面直线BD与AD1所成角的正弦值是号 2 故选：A D A 0 【即学即练7-2】（多选）(23-24高一下.吉林.期中)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=3A1B1=6,AA1=4, P为棱BB1上的动点（含端点），则下列结论正确的是() A.直线AA1与CC1异面 B.直线AA1与平面ABCD所成的角为 C.AP+PC的最小值为6V3 D.AP+PC1的最小值为2W13 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】求线面角、棱台表面积的有关计算 【分析】根据正四棱台的性质可判断A选项，再根据线面角的几何意义可判断B选项，把四边形A1ABB1, BB1C1C展开至同一个平面，可判断cD选项. 【详解】如图1，AC/A1C1,即四边形AA1C1C为等腰梯形，则AA1与CC1相交，则A选项错误： 第16页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设01，O分别是A1C1和AC的中点，则001是四棱台ABCD-A1B1C1D1的高， 作A1H1AC,垂足为H, B D 由题中数据可知AH= √42-(2-2 2 =2√2，则直线AA1与平面ABCD所成的角为∠A1AH, casA,4=兴-兰则∠A4-片放B迹项正确： 如图2，把四边形A1ABB1BB1C1C展开至同一个平面，连接AC,AC1,AB1, 易知AP+PC的最小值就是展开图中AC的长， 过点B1作B1E1AB,则BE=2,又BB1=AA1=4,所以∠ABB1=60°， 故在△ABC中，AB=BC=6,∠ABC=120°，则AC=2×6×5=6V5, 2 即AP+PC的最小值为6V3,故C选项正确： 在△AA1B1中，由余弦定理可得AB1=2W7,则c0sLAB1A1=9,si∠AB1A1=四 7 7 cos(ABA10)cosABc0s120s1 2 14 从而AC1= AB+B1C-2AB1·B1C1C0s(∠AB1A1+120)=2V13, 由图可知AP+PC1>AC1=2V13,则D选项错误： 故选：BC 图1 图2 知识点08二面角 1.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半 平面叫二面角的面 记作：例如二面角a-AB-B或二面角a-1-B或二面角P-l-Q 2.二面角的平面角： 在二面角-1-B的棱上任取一点O,分别在两个半平面内作射线A01l,B011,则∠AOB为二面角a-L-B 的平面角 二面角的范围是[0°，180 【即学即练8-1】(2324高一下北京期末)我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体E一 第17页共90页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABCD-F（如图).若该正八面体的所有棱长均为2，则二面角E-AB一F的余弦值为() A号 8.22 3 c.- 0.-月 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】求二面角 【分析】利用定义作出二面角E-AB-F的平面角，在△EGF中利用余弦定理即可求解 【详解】如图，连接AC,BD交于点O,连接EF,依题意，EF过点O,取AB的中点G,连接EG,FG, 由正八面体的几何特征，得EG L AB,FG 1AB,∠EGF为二面角E-AB一F的平面角， 而EF⊥平面ABCD,AC在面ABCD内，则EF L AC, △A0E是直角三角形，又A0=√2，AE=2,则0E=√2，EF=2V2, 在△AEB中，EG=5AB=V3,同理GF=V3, 在△BGF中，c0s∠5GF--总-专所以=面角E-ABF的余弦值为- 2EG·FG 故选：C 【即学即练8-2】（多选）(25-26高一下·全国课后作业)（多选）从空间中一点P向二面角a-1-B的两个面 ,B分别作垂线PE,PF,E,F为垂足，若LEPF=60°，则二面角a-1-B的大小可能是() A.60° B.120° C.30° D.150° 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】二面角的概念及辨析、求二面角 【分析】根据给定条件，利用点P与二面角的位置关系分析、推理判断作答 【详解】依题意，点P不在平面a和平面B内，当点P在二面角-l-B内时，如图， 令直线l∩平面EPF=O,连EO,F0,因PEIa,PF1B,则I1PE,l1PF, 第18页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因此，直线l1平面EPF,有l1OE,l1OF,则∠EOF是二面角a-I-B的平面角， 四边形PE0F中，∠PE0=∠PF0=90°，∠EPF=60°，则有LE0F=120°： 当点P在二面角a-l-B外时，如图，同理可得∠E0F是二面角a-1-B的平面角， 令PE nOF=D,在Rt△DEO与Rt△DFP中，∠ODE=∠PDF,则∠EOF=∠EPF=60°， 所以二面角的平面角的大小为60°或120° 故选：AB 题型精讲 题型01空间几何体的结构 【典例1-1】(24-25高一下·新疆乌鲁木齐期末)如图，长方体ABCD-A'BCD被截去一小部分，其中EH/ AD'/IFG,则截去的几何体EFB'-HGC是() D H D B A.三棱锥 B.三棱柱 C.三棱台 D.五棱柱 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】由正方体的几何特征结合三棱柱的定义即可求解 【详解】在长方体ABCD-A'B'CD中，由EHI/A'D'/FG可得四边形BFGC,BEHC为平行四边形， 所以EH=FG,所以四边形EFGH为平行四边形， 所以△BEF兰△CHG, 则几何体EFB一HGC为三棱柱. 故选：B 【典例1-2】(24-25高一下，北京朝阳期中)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形 状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面 体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的 半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为 第19页共90页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 A.2-V2 B.V2-1 c. 0.青 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】组合体截面的形状 【分析】利用多面体棱长与正方体的棱长的关系列方程即可求解 【详解】如图，设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x, 延长CB与FE交于点G,延长BC交正方体棱于H, 由半正多面体对称性可知，△BGE为等腰直角三角形， 8G-GE-CH-xGH=2x+x-(+)*=1 “x=1=√2-1，即该半正多面体棱长为2-1. V2+1 R 故选：B 【典例1-3多选)(22-23高一下福建龙岩期中)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E,F分别是B1C1和C1D1 的中点，P为线段EF上的动点，则下列说法正确的是() D 4 A.三棱锥B-DCP的体积是定值 B.平面BEF截正方体所得的截面是梯形 C.线段CP长度的最小值为22 D.△AEF是面积为2W17的等腰三角形 【答案】ABD 【难度】0.65 第20页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】锥体体积的有关计算、判断正方体的截面形状、正棱柱及其有关计算 【分析】求出三棱锥B-DCP的体积判断A:由EF1/BD,且EF=B,D1=BD,可得四边形BDFE是梯形 判断B:根据当P为EF的中点时，CP1EE,CP的长度最小，最小值是3W2判断C:求得AF=AE=6,S△AP=2V7 判断D. 【详解】对于A,Vg-DcP=Vp-BcD,点P到平面BCD的距离为4，S△BcD=主×4×4=8，所以三棱锥B-DCP 的体积是定值，A正确： 对于B,平面BEF截正方体所得的截面是四边形BDFE,因为EF1/BD1/BD,且EF=BD:=BD,所以 四边形BDFE是梯形，B正确： D C B 对于C,CE=CF=2V5,EF=2V2,当P为EF的中点时，CP1EF,CP的长度最小，最小值是 (2W5⑤)2-(2)2=3V2,c不正确： D 对于D,AF=,AD12+D1F2=6,AE=,AB12+B1E2=6,EF=√22+22=2√2，△AEF是等腰三角形且面 积为×2V2×V36-2=2V17,D正确 D 故选：ABD. 【典例1-4】(24-25高一下陕西西安，期中)已知某n棱锥有m个面，k条棱，若3k=5m,则n= 【答案】5 【难度】0.94 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】利用棱锥棱数与侧棱数、面数与侧棱数的关系，结合已知列式求解， 第21页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】依题意，n棱锥的侧棱数为n,底面边数为n,则棱数k=2n, n棱锥的侧面数为n,则面数m=n+1,而3k=5m,于是6n=5(n+1), 所以n=5. 故答案为：5 【变式1-1】(24-25高一下·河南·月考)下列说法中正确的是() A.棱柱的所有面都是四边形 B.棱柱的侧面一定是平行四边形 C.棱柱的侧棱不全相等 D.各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】利用棱柱的有关定义与性质逐项判断即可. 【详解】对于A,三棱柱的两底面是三角形，故A错误； 对于B,由棱柱的定义可得棱柱的侧面一定是平行四边形，故B正确： 对于C,由棱柱的定义可得棱柱的侧面都是平行四边形，由平行四边形的性质对边相等， 所以棱柱的侧棱全相等，故C错误： 对于D,各条棱长都相等的棱柱可能是正棱柱（如正六棱柱），但底面不一定是正方形， 故各条棱长都相等的棱柱不一定是正方体，故D错误 故选：B 【变式1-2】(23-24高一下·吉林·期中)如图，在正四棱锥P-ABCD中，2PA=V6AB=6,E是棱PB上的动点， 一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是() A.2V2 B.23 C.2v5 D.2v6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】棱锥的展开图、余弦定理解三角形、二倍角的余弦公式 【分析】根据题意，将平面PAB和平面PBC展开到同一个平面，利用两点之间线段最短可得AC的长就是蚂 蚁爬行的路程的最小值，由余弦定理计算以及二倍角公式可得答案， 【详解】根据题意，如图，将平面PAB和平面PBC展开到同一个平面， 连接AC,与PB交于点M,则AC的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值， 设LAPB=日，则∠APC=20, 又由2PA=6AB-6得PA-3A0-6,则o0--号 第22页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则有c0s∠APC=c0s26=2cos20-1=-号 故AC2=PA2+PC2-2PA·PC·c0s∠APC=9+9+2×3×3×号=20， 则AC=2√5，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是2V5. 故选：C 【变式1-3】(25-26高一下·全国·课后作业)如图所示的是水平放置的△ABC的直观图，D'是△A'B'C中BC边 的中点，且AD'/y轴，那么AB',AD,A'C三条线段对应原图形的线段AB,AD,AC中() y' A.最长的是AB,最短的是AC B.最长的是AC,最短的是AB C.最长的是AB(且AB=AC),最短的是ADD.最长的是AD,最短的是AC 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】直观图结合斜二测画水平放置的平面图形直观图的规则可得AB,AC,AD长，进而逐一判断选项. 【详解】由题意可得原图形，如图所示.由A'D'y轴，可知在△ABC中，AD1BC, 因为D'是△A'BC中B'C边的中点，所以D是BC中点，故△ABC为等腰三角形， 所以AB=AC>AD, 故选：C 【变式1-4】(24-25高一下河南新乡期末)已知半径为2的球0与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的 轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为) A.24π B.36m C.18m D.30π 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥的特征、边角关系求出圆锥底面半径和母线的长，进而根据圆锥的表面积公式求出圆锥 第23页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的表面积 【详解】如图，△SAB是该圆锥的轴截面，H为线段AB的中点，O为球O的球心， 作0C1BS,垂足为C,则sin∠0sC=oS=盟 05B5 因为△SAB为等边三角形，所以BS=2BH,所以架=器=克 所以OS=20C=4,所以SH=6,所以BS=2BH=4V3, 那么该圆锥的表面积为m·(2W③)2+×4W3m×4W3=36m. 故选：B. H B 【变式1-5】（多选25-26高一下·浙江金华.月考）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正 方形，P在棱A1D1上，且PA=V1O,PD=√2，则() A.AA1=1 B.过点A、P、C的平面截该长方体，所得截面周长为5V2+2V10 C.以点P为球心，√2为半径作一个球，则球面与底面ABCD的交线长为2π D.三棱锥P-ABD外接球的体积是36π 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】设AA1=九，A1P=x,在直角△AA1P中，根据勾股定理得(V1O=h2+x2, 在直角△DD1P中，根据勾股定理得(V回=h2+(4-x)2,解得x=3,h=1,故AA1=1,故A正确， 延长AP,DD1相交于点Q,连接QC交C1D1于点R,则截面周长为AP+PR+RC+AC, 在△ADQ中，利用三角形相似可得QD=美在△CDQ中，利用三角形相似可得RD1=1, PR=√2，RC=√10，又底面ABCD是边长为4的正方形，则AC=4y2, 故截面周长为AP+PR+RC+AC=√10+√2+√10+4W2=2V10+5V2,故B正确， 点P到底面ABCD的距离为1，球的半径为√2，设球面与底面ABCD(正方形)的交线为半圆， 圆心在线段AD上且与D距离为1，圆的半径r=√(2-12=1，可得交线长为×2m×1=m,故C错误， 第24页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△PAD中，∠PDA=∠DPD:=45,则△PAD的外接圆半径r=×s=V5,显然AB1平面PAD, 因此三棱锥P-ABD的外接球的球心O在线段AB的中垂线上，球心O到平面PAD的距离为d=AB=2, 则球半径R=√F2+d正=√5+4=3，故三棱锥P-ABD的外接球体积为×π×(3)3=36m,故D正确 【变式1-6】(24-25高一下·广东汕头·期中)如图，已知圆台的轴截面为梯形ABCD,AB=4,CD=2,梯形ABCD 的高为22，圆台的体积为 :在圆台的侧面上，从点A到点C的最短路径长度是 【答案】 w4 3 3v3 【难度】0.4 【知识点】圆台的展开图、台体体积的有关计算 【分析】①由AB=4,CD=2得圆台的下底面和上底面的半径，结合梯形ABCD的高为圆台的高，利用圆 台的体积公式即可求解；②由圆台性质，延长AD,BC,OO1交于点P,由△PDC与△PAB相似即可计算PC, 设该圆台的侧面展开图的圆心角为a,计算出圆心角a,在侧面展开图中，连接AC,PC,即可计算出AC的最 短距离， 【详解】①由AB=4,CD=2,得圆台的下底面的半径为R=2,上底面的半径为r=1,圆台的高为h=2√2， 所以圆台的体积为=2+R2+Rrmk=12+2+1×222-m ②在梯形ABCD中，BC= (2-1)2+(2V2)2=3,即母线长为3， 如图，由圆台性质，延长AD,BC,OO1交于点P, DE----i0 由△PDC与△PAB相似，得2=卡即==京解得PC=3, 设该圆台的侧面展开图的圆心角为α， 则3a=2πr=2m,所以a=2里 3 在侧面展开图中，连接AC,PC,则从点A到C的最短路径为线段AC, 又在△PAC中，PC=3,PA=6:∠CPA=x号=号 由余弦定理得AC2=PA2+PC2-2PA·PCcos号 第25页共90页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以AC= 62+32-2×6×3×1=3V3 验证知，由PC=3,PA=6,AC=3V3,得PA2=AC2+PC2, 此时AC⊥PC,恰与扇形弧CC所在圆相切于点C,满足题意. 故答案为：45m,3V3 3 题型02空间点、线、面位置关系的判断与应用 【典例2-1】(23-24高一下福建期末)如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱DD1的中点， N为棱B1C1的中点，设直线A1D1与平面MNC交于点Q,则D1Q=() D A D A.2 C.1 0.克 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】先作出直线A1D:与平面MNC的交点Q,进而求得D1Q的长度 【详解】在平面CDD1C1中，延长CM交C1D1于P,连接PN,交A1D1于Q, 在△PCC中，D1MI/CC,D1M=CC,则DP=CD, 又在△PC1N中，D1Q/NC,D1P=C1D1 则D1Q=NC=B1C=1 4 D 故选：C 【典例2-2】(23-24高一下江苏月考)下列选项中，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的 是() S R R B 第26页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误， 【详解】在A图中，分别连接PS,QR,AB,CD, 由正方体可得四边形ABCD为矩形，则AB/CD 因为P,S为中点，故PS/AB,则PS//QR,所以P,S,R,Q四点共面. S 在B图中，设E,F为所在棱的中点，分别连接PS,SR,RF,FQ,EQ,PE, 由A的讨论可得PS/ER,故P,S,E,R四点共面， 同理可得ER/QF,故PS/QF,同理可得EP/RF,SR/IEQ 故F∈平面PRS,QE平面PRS,所以P,S,R,Q,E,F六点共面. 在C图中，由P,Q为中点可得PQ/AB,同理RS//AB, 故PQ/RS,所以P,S,R,Q四点共面. 在D图中，PQ,RS为异面直线，四点不共面 故选：D 【典例2-3】（多选）(2023江苏南京.一模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，0为B1D1的中点，直线A1C交平 面AB1D1于点M,则下列结论正确的是() A.A,M,O三点共线 B.A,M,O,A1四点共面 C.A,O,C,M四点共面 D.B,B,O,M四点共面 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】空间中的点共线问题、空间中的点（线）共面问题 【分析】根据基本事实和推论判断。 【详解】连接A1C1,AC,AO,因为0为B1D1的中点，所以A1C1∩B1D1=0,平面AA1C1C∩平面AB1D1=A0, 因为A1Mn平面AB1D1=M,A1MC平面AA1C1C,所以点M是平面AA1C1C和平面AB1D1的交点， 所以MEAO,A,M,O三点共线，故A正确： 第27页共90页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B C B 因为A,M,O三点共线，所以A,M,O,A1四点共面，A,M,O,C四点共面，故BC正确： 取AC中点O1,连接00：交A,C于点E,由题意得△A1OM~△CAM,船=克 所以兴-即M为A,C的三等分点，因为0，B:B不共线，0，B,BE平面BB1D1D,平面BBD1DnA1C=B, E为A1C的中点， 所以点M平面BB1D1D,B,B1,O,M四点不共面，故D错 故选：ABC 【典例2-4】(21-22高一下北京·月考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为棱CC1 上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是 .(请写出所有 正确命题的编号) D B B ①当CQ=时，S为等腰梯形：②当CQ=时，S与CD1的交点R满足CR= 国当<CQ<1时，S为六边形：④当cQ=1时，S的面积为 【答案】①②④ 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】①作出辅助线，找到S为四边形APQD1,证明出其为等腰梯形：②作出辅助线，找到S,利用各 边长度与相似，求出CR=子③在②的分析基础上，得到S为五边形：④作出辅助线，得到S为菱形， 求出对角线，进而求出面积， 【详解】当CQ=时，S为等腰梯形，理由如下： 如图1，连接AD1,D1Q,因为P为BC的中点，Q为CC1上的中点， 所以AD1∥PQ, 所以四边形APQD1为S,其中AP=D1Q= 1+ 所以S为等腰梯形，①正确： 第28页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=寺理由如下： E C D C D A M D A B 图1 图2 如图2，延长DD1至点E,使得D1E=,连接EA,EQ交C1D1于点R, 取AD中点N,DE中点M,连接MO,MN,PN, 则DM=CQ=是DNCP,所以四边形COMD与四边形PCDN均为平行四边形， 所以MQ∥NP∥CD,且MQ=NP=CD,所以四边形MNPQ为平行四边形， 所以PQ∥MN,由中位线的性质可知：MN∥AE,所以PQ∥AE, 所以四边形AEQP即为S,其中△ED1R~△QC1R, 所以-02，所以CR②正 <CQ<1时，s为五边形，理由如下： 如图3，根据②的分析，随着Q点在图2的基础上沿着CC1向上移动， 则点E点沿着射线DD1向上移动，此时AE与A1D1相交于点G, EQ与C1D1相交于点R,连接GR,故所截得的S为五边形，故③错误； 当CQ=1时，S的面积为9，理由如下： C G C(0) G A Q B D B 图3 图4 如图4，点Q与C1重合，此时G为A1D1的中点，可证得：AG∥PQ,AP∥GQ, 其中AP=PQ=QG=AG= 1+= ,所以S为菱形APOG, 且AQ=V3,PG=V2,S的面积为×V3×V2=5,④正确， 第29页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：①②④ 【变式2-1】(22-23高一下山东烟台期末)下列几何元素可以确定唯一平面的是() A.三个点 B.圆心和圆上两点 C.梯形的两条边 D.一个点和一条直线 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据平面的确定方法求解， 【详解】对A,三个不共线的点才能确定唯一平面，A错误： 对B,当圆上的两点和圆心共线时，三个点不能确定唯一平面，B错误： 对C,梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面，所以确定的平面唯一，C正确； 对D,当点在直线上时，这个点和直线不能确定唯一平面，D错误， 故选C 【变式2-2】(23-24高一下·广东珠海期中)下列命题正确的为) A.己知a,b,c为三条直线，若a,b异面，b,c异面，则a,c异面 B.己知a,b,c为三条直线，若a1c,b1c,则a/b C.底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D.若△ABC在平面a外，它的三条边所在的直线分别交a于P,Q,R,则P,Q,R三点共线 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间中的点共线问题、棱锥的结构特征和分类、异面直线的概念及辨析 【分析】举例说明判断ABC;利用平面的基本事实推理判断D, 【详解】对于A,直线a,b是异面直线，b,c是异面直线，则a,c可能平行、相交或异面，A错误； 对于B,a⊥c,b1c,则a,b可能平行、相交或异面，B错误： 对于C,底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥的侧棱长不一定相等，该三棱锥不一定是正 三棱锥， 如图：△ABD,△ACD为等腰直角三角形，AD=AB=AC=BC,△ABC为等边三角形， BD=CD≠AD,此时三棱锥D-ABC不是正三棱锥，C错误： D y 对于D,如图，设平面a∩平面ABC=l,由ABna=P,得P∈a,P∈平面ABC, 则P∈l,同理Q∈l,R∈l,所以P,Q,R三点共线，D正确 第30页共90页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B R 故选：D 【变式23】(20-21高一下山东济南·期中)在长方体ABCD-ABCD1中，直线AC与平面AB1D1的交点为M, O为线段BD的中点，则下列结论错误的是() A.A,M,O三点共线 B.M,O,A1,A四点共面 C.B,B1,O,M四点共面 D.A,O,C,M四点共面 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】空间中的点（线）共面问题、棱柱的结构特征和分类 【分析】由长方体性质易知A,A1,C1,C四点共面且OM,BB1是异面直线，再根据M与A1C、面ACC1A1 面AB1D1的位置关系知M在面ACC1A1与面AB1D1的交线上，同理判断O、A,即可判断各选项的正误. 【详解】因为AA1/CC1,则A,A1,C1,C四点共面 因为MEA1C,则M∈平面ACC1A1,又ME平面AB1D1, 则点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， 同理，O、A也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， 所以A、M、O三点共线，从而M,O,A1,A四点共面，A,O,C,M四点共面. 由长方体性质知：OM,BB1是异面直线，即B,B1,O,M四点不共面 故选：C D C A D C 【变式2-4】(21-22高一，全国.单元测试)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4、BC=3,M、N分别为棱AB、 BB1的中点，点P在对角线A1C1上，且A1P=3,过点M、N、P作一个截面，该截面的形状为() A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】找到截面与长方体的平面的交线，判断为五边形 【详解】如图所示，延长MN、A1B1,使MNnA1B1=T,连接PD1、PT, 第31页共90页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 0 ,AB=4、BC=3、A1P=3, .A1C1=5、C1P=2, ,M、N分别为棱AB、BB1的中点， ∴.BM=B1T=2, ∴.A1T=6, 部-能-是又A、PC三点共线， .T、P、D1三点共线，.D1在截面上， 延长NM、A1A,使NM∩A1A=K,连接D1K,使D1K∩AD=Q,.Q在截面上， 连接QM、KM,AQ/A1D1,且AQ=A1D1:AK=AA1,.AK∥BN且AK=BN, 又M为AB中点，A、B、M三点共线，∴.M、N、K三点共线，，截面为五边形D1SNMQ, 故选：C 【变式2-5】（多选）(22-23高一下四川广安·期中)如图所示，在空间四边形ABCD中，点E,H分别是边AB,AD 的中点，点E,G分别是边BC,CD上的三等分点，且器-惡=景则下列说法正确的是() A.E,F,G,H四点共面 B.EF与GH异面 C.EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D.EF与GH的交点M一定在直线AC上 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题、公理的应用 【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例的性质可得FGⅡEH,即可判断A,B:由平面基本 事实推理可判断C,D. 【详解】在空间四边形ABCD中，点E,H分别是边AB,AD的中点，则EH W BD,且EH=BD, 点R,G分别是边BC,CD上的点，酷-号-号则FGNBD,且FG-BD, 第32页共90页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因此FG II EH,点E,F,G,H四点共面，故A正确，B错误： H G FG I EH,FG>EH,即四边形EFGH是梯形，则EF与GH必相交，交点为M, 点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上， 则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线， 所以点M一定在直线AC上，故C错误，D正确。 故选：AD 【变式2-6】(25-26高二上·浙江嘉兴，月考)在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵” 如图，棱柱ABC-A1B1C1为一“堑堵”，P是BB1的中点，AA1=AC=BC=2,则在过点P且与AC1平行的截 面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为 【答案】93 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】取E、F、G分别为AA1、A1C1、B1C1的中点，分析出四边形PEFG为等腰梯形，求其面积可得结果： 然后将三棱柱ABC-A1B1C1补成正方体ACBQ-A1C1B1Q1,计算出三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半径，结 合球体表面积公式可得结果， 【详解】如图，取E、F、G分别为AA1、A1C1、B1C1的中点， “R、G分别为A1C1B1C1的中点，则FG/A1B1且FG=A1B1, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1/BB1且AA1=BB1 因为E、P分别为AA1、BB1的中点，则A1E/B1P且A1E=B1P, 所以四边形A1B1PE为平行四边形，∴PE/A1B1且PE=A1B1, A1C1=B1C1且F、G分别为A1C1、B1C1的中点，则EF=√A1E+A1F2=√B1P2+B1G=PG=√2 所以，四边形PEFG是等腰梯形， 第33页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当E不是AA1中点时，PE不平行平面A1B1C1: 则四边形PEFG不是等腰梯形，等腰梯形有且仅有一个， 取PE的中点D,连接DF、DG ~FG=A1B1=V2-PE,FG/BP,且点D为PE的中点， 则FG/DE且FG=DE, 所以，四边形DEFG为平行四边形，可得DG=EF=√2， 同理可得DF=PG=√2 所以，△DEF、△PDG、△DFG均为等边三角形， 50g6=3x9×(回2-9 故答案为：9 题型03空间平行关系 【典例3-1】(24-25高一下·全国·课前预习)下列说法正确的是() A.若直线平行于平面内的无数条直线，则/a B.若直线a在平面a外，则a//a C.若直线a与直线b不相交，直线bc,则a/ D.若直线a//b,bcu,那么直线a平行于平面a内的无数条直线 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行 【分析】结合线面平行的判定定理，逐个分析即可， 【详解】A错误，直线还可以在平面α内，同时α存在无数条直线与之平行： B错误，直线a在平面a外，包括平行和相交： C错误，a还可以与平面a相交或在平面a内： D正确，直线a//b,bca,那么直线a平行于平面a内的无数条直线， 故选：D. 【典例3-2】(24-25高一下·浙江台州期中)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为线段AD上靠 近A的三等分点，F为PC上一点，当PA/平面EBF时，() 第34页共90页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B. c. .月 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线面平行的性质、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】根据线面平行的性质定理构造线线平行，再根据平行线段比例关系，即可判断选项 【详解】如图，连结AC,交BE于点M,连结FM, 因为PA/平面BEF,且PAC平面PAC,平面PACn平面BEF=FM,所以PA//FM, 因为AE/BC,且AE:BC=1:3,所以AM:MC=1:3,即AM:AC=1:4,所以PF:PC=1:4 故选：B E A二 B 【典例3-3】（多选）（24-25高一下·河北保定·月考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别 是AD,DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为() D E A.存在点P,使得FP/平面ABC1D1 B.过B,E,F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C.异面直线BA1与EF所成的角的大小为60° D.若D1P//平面A1BC1,则点P的轨迹的长度为V2 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、求异面直线所成的角、证明面面平行、由线面平行求线段长度 【分析】A选项，作出辅助线，得到线面平行，故平面EHF/平面ABC1D1,故当P在线段EH上时，满足FP// 平面ABC1D1,A正确：B选项，作出辅助线，得到四边形EBC1F为截面图形，并得到其为梯形：C选项，作 出辅助线，∠A1BC1为直线BA1与EF所成角，△A1C1B为等边三角形，故LA1BC1=60°，C正确；D选项， 作出辅助线，证明出平面ACD1/平面A1BC1,故当P在线段AC上时，D1P//平面A1BC1,点P的轨迹的长度 第35页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为2W2,D错误， 【详解】A选项，取BC的中点H,连接EH,FH,因为E,F分别是AD,DD1的中点，所以EF/AD1, 因为EF￠平面ABC1D1,AD1C平面ABC1D1,所以EF/平面ABC1D1 因为EH/AB,同理可得EH/平面ABC1D1 因为EH n EF=E,EH,EFC平面EHF,所以平面EHF/平面ABC1D1, 故当P在线段EH上时，满足FP/平面ABC1D1,A正确： D B选项，连接C1F,由A知，EF//AD1,又BC1/AD1,所以EF/BC1, 所以四边形EBC1F即为过B,E,F三点的平面截正方体所得截面图形， 因为EF=AD1=BC1,所以四边形EBC,F为梯形，B错误： C选项，由B知，EF/BC1,故∠A1BC1为直线BA1与EF所成角或其补角， 连接A1C1,则A1C1=BA1=BC1=2√2，所以△A1C1B为等边三角形，故LA1BC1=60°， 异面直线BA1与EF所成的角的大小为60°，C正确： D选项，连接AD1,CD1,AC,因为BC1/AD1,BC1C平面A1BC1,AD1￠平面A1BC1,所以AD1/平面A1BC1, 又BA1/CD1,同理可得CD1//平面A1BC1, 又CD1nAD1=D1,CD1,AD1C平面ACD1,所以平面ACD1/平面A1BC1, 故当P在线段AC上时，D1PC平面ACD1,所以D1P/平面A1BC1, 所以若D1P/平面A1BC1,则点P的轨迹的长度为AC=2V2,D错误 故选：AC 【典例34】(23-24高一下浙江嘉兴月考)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为BC和CC1 的中点，M是侧面BCC1B1内一点，若D1M//平面DEF,则线段D1M长度的取值范围是 D D 【答案)停引 【难度】0.4 第36页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】取BB1,B1C1的中点M1,M2,连接D1M1,D1M2,M1M2,BC1,EM2,即可证明平面D1M1M2/平面DEF, 从而得到点M的轨迹为线段M1M2,求出D1M2,D1M1,即可求出D1M的取值范围 【详解】如图所示，分别取BB1,B1C1的中点M1,M2,连接D1M1,D1M2,M1M2,BC1,EM2, 因为M1,M2,E,F为所在棱的中点，所以M1M2/BC1,EF/BC1,所以M1M2/EF, 又因为M1M2丈平面DEF,EFC平面DEF,所以M1M2/平面DEF; 因为DD1/M2E,DD1=M2E,所以四边形DEM2D1为平行四边形， 所以D1M2/DE,又D1M2￠平面DEF,DEC平面DEF,所以D1M2/平面DEF; 又因为D1M2nM1M2=M2,且D1M2C平面D1M1M2,M1M2C平面D1M1M2 所以平面D1M1M2/平面DEF, 因为M是侧面BCC1B1内一点，且D1M/平面DEF,则点M必在线段M1M2上， 在直角三角形D1C1M2中，D1M2= Dc2+cM2-1+)-5 在直角三角形D1B1M1中，DM1= D1B12+B1M12 2+- 5+29 又M1M2= +- 在△D1M2M1中，c0s∠D,M,M1=1M+M3-D旺=<0， 2D1M2M1M2 所以∠D1M2M1为钝角， 所以当M在线段M1M运动时，D1M2最短为，D1M最长为号 所以线段D,M长度的取值范围是停引 故答案为： 引 【变式31】(23-24高一下河北期中)下列命题中正确的是() A.若直线1平行于平面a内的无数条直线，则l//a B.若直线a,b相交，b,c相交，则a,c相交； C.若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线 D.若直线a,b和平面满足a//b,a/a;则b/a 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】异面直线的判定、判断线面平行 【分析】根据线线，线面的位置关系，即可判断选项. 【详解】选项A中缺少I在平面α外这一条件，A错误： 选项B,若直线a,b相交，b,c相交，则a,c异面、平行、相交都有可能，B错误： 第37页共90页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选项C,若四点中恰有三点共线，则直线和直线外一点，确定一个平面：若四点共线，则四点一定共面：若 四点不共面，则这四点中任何三点都不共线，故C正确； 选项D,缺少b不在平面a内，D错误 故选：C 【变式32】(24-25高一下.安徽蚌埠.期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC/AD,AD=2BC,点E是棱 PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设CP=CF,则入=() B A.3 B.2 C. D. 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】线面平行的性质 【分析】延长DC,AB交于G,连接GP,连接GE交PC于点F,由题意可得出F是△PDG的重心，可得CF=CP, 即可得出答案， 【详解】延长DC,AB交于G,连接GP,连接GE交PC于点F, 则由BC/AD,AD=2BC,得C是DG中点， ~E是PD中点，“F是△PDG的重心，CF=CP,即1=3. 故选：A 【变式33】(24-25高一下.河南·月考)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4,AA1=7,点 M,N,G,H分别是DD1,C1D1,CC1,DC的中点，则下列说法正确的是() D H A.此长方体的表面积为112 B.A1M与B1H是相交直线 第38页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.A1N与B1G是异面直线 D.直线A1N与平面B1GH相交 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、判断线面平行、异面直线的判定、棱柱表面积的有关计算 【分析】对于A求出长方体的表面积即可判断，对于B即证平面A1MNI平面B1GH即可判断，对于C,根 据异面直线定义即可判断，对于D即证直线A1NI平面B1GH即可判断 【详解】此长方体的表面积为4×7×4+4×4×2=144，故A错误； 连接MG,因为A1B1IMG,A1B1=MG,所以四边形A1B1GM为平行四边形，所以A1M‖B1G, 因为A1MC平面A1MN,B1G平面A1MN,所以B1GI平面A1MN, 因为GH I MN,MNc平面A1MW,GH￠平面A1MN,所以GHI‖平面A1MW, 又B1GnGH=G,GH,B1GC平面B1GH,所以平面A1MNI平面B1GH 又A1MC平面A1MN,B1HC平面B1GH,所以A1M与B1H无公共点，故B错误： 又因为A1NC平面A1MW,所以直线A1NII平面B1GH,故D错误 因为A1NC平面A1B1C1D1,B1Gn平面A1B1C1D1=B1,B1A1N,所以A1N与B1G异面，故C正确. 故选：C D 【变式34】(23-24高一下.江苏扬州·月考)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为线段AD 上靠近A的三等分点，F为线段PC上一点，当PA/平面EBF时，E=() A.3 B.4 c 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、线面平行的性质 【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可。 【详解】如图，连接AC交BE于点G,连接FG 第39页共90页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为PA//平面BEF,PAC平面PAC,平面PACn平面BEF=FG所以PA/IFG, 所以器-怨因为AD/BC,E为AD的三等分点，测装-能-装=院- PC AC 故选：D 【变式35】（多选）(24-25高一下.山东青岛期末)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为A1D1 的中点，点E在线段BD1上运动，点M在线段AB上运动，点N在正方形A1B1C1D1内（包含边界）运动， 则下列结论正确的有() PN·B A.直线C1M与平面ADD1A1所成角为定值 B。三棱锥P-A1AB,外接球球心到平面PAB,的距离为 C.2EN+√2EM的最小值为8 D.若BN/平面AB1P,则异面直线CC,与BN所成角的余弦值取值范围是9， 3,5 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】求线面角、求异面直线所成的角、多面体与球体内切外接问题、余弦定理解三角形 【分析】对于A,由面面平行可得∠BC,M即为直线CM与平面BCCB,所成角，tan/MC B=器点M在线 段AB上运动，BM不是定值，故A错误；对于B,根据墙角模型易得外接球半径，利用球的截面性质可求距 离；对于C,由2EN+√2EM要最小，首先EM,EN要最小，过E作EHI平面ABCD,可得2EN+√2EM≥2NH= 8:对于D,易得N在线段D1P运动，过N作WG⊥平面ABCD,即∠BNG就是异面直线CC1与BN所成角或其补 角，BGe24W☑，tan-BNG=-e=g∈Bv同 进而求出余弦值的取值范围。 【详解】对于A,由正方体性质知平面ADD1A1/平面BCC1B1: 故直线C1M与平面ADD1A1所成角等于直线C1M与平面BCC1B1所成的角， 因为MB⊥平面BCC1B1,所以∠BC1M即为直线C1M与平面BCC1B1所成角， tmMC:B=器-器点M在线段AB上运动，BM不是定值， 故直线C1M与平面ADD1A1所成角不为定值，A错误： 第40页共90页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C© A M B 对于B,由于A1P,A1A,A1B1两两垂直， 故三棱锥P-A1AB1外接球即为以A1A,A1B1,A1P为长宽高的长方体的外接球， A1P=2,A1A=A1B1=4,故外接球直径为2R=√22+42+4=6，R=3, 又AP=V22+平=2V5,PB1=√22+4平=2W5,AB1=4V2, 故cos∠APB1=4P2+P8248=40-2= 2AP.PB1 40 =51 故sm∠APB,-则△APB,的外接圆的半径为对××签-华 AB1 5 结合外接球球心和△APB1的外接圆的圆心的连线垂直于平面PAB1, 故三棱锥P-A1AB1外接球球心到平面PAB1的距离为、√32- 5B正确： 3 对于C,2EN+√2EM要最小，首先EM,EN要最小， 即当EM⊥AB,EN⊥平面A1B1C1D1时，EM,EN取得最小值， 过E作EHI平面ABCD,此时N,E,H三点共线，NH=4, D C N. B A D H 6 在正方体ABCD-A1B1C1D1,易得EH/DD1,EM/AD1,∠AD1D=45°， 所以∠MEH=45°， 则2EN+V2EM=2EN+2EH≥2NH=8,故C正确： 对于D,设BC,B1C1中点为F,Q, D N B D G、 B 所以D1Q/PB1,BQ/AP, 因为D1QC平面BQD1,PB1女平面BQD1,所以PB1/平面BQD1,同理可得AP/平面BQD1, 因为PB1∩AP=P,PB1,APC平面AB1P,所以平面BQD1/平面AB1P, 第41页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即N在线段D,Q运动，过N作NG1平面ABCD,所以NG⊥BG,NG/CC1, 显然∠BNG为锐角，即∠BWG就是异面直线CC1与BN所成角，其中NG=4, 又∠BFD为钝角，所以BF≤BG≤BD,又BF=2,BD=4V2, 所以BGe24W☑tan-BNG=-e=e层V 当tam∠BNG=时，cos∠BNG取得最大值，为2号 当tan/BNG-=V2时，cos∠BNG取得最小，值为停 所以异面直线C,与BN所成角的余弦值取值范围是停， 故D正确： 故选：BCD 【变式36】(22-23高一下·河北邢台·月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，且点 P在四边形BCC1B1内部及其边界上运动，(1)若总是保持EP/平面BDD1B1,则动点P的轨迹长度为； (2)若总是保持AP与AB的夹角为30°，则动点P的轨迹长度为 【答案】 2 【难度】0.4 【知识点】证明面面平行、立体几何中的轨迹问题 【分析】分别取BC,B1C1的中点F,G,连接EF,FG,EG,可证得平面EFG∥平面BDD1B1,从而可得点P的轨迹 是FG,进而可求出其长度，由AB1BP可得BP-号AB-9,则得点P的轨迹是以B为圆心，为半径的 一段弧，且圆心角为直角，从而可求出其长度。 【详解】分别取BC,B1C1的中点F,G,连接EF,FG,EG,则BF=BC,B1G=B1C1, 因为BC∥B1C1,BC=B1C1,所以BF∥B1G,BF=B1G, 所以四边形BFGB1为平行四边形，所以BB1∥FG,因为E为CD的中点，所以EF∥BD, 因为EF,FG丈平面BDD1B1,BD,BB1C平面BDD1B1,所以EF∥平面BDD1B1,FG∥平面BDD1B1, 因为EF∩FG=F,所以平面EFG∥平面BDD1B1, 因为平面EFG∩平面BCC1B1=FG,点P在四边形BCC1B1内部及其边界上运动，EP/平面BDD1B1, 所以点P的轨迹是FG,因为FG=BB1=2,所以动点P的轨迹长度为2， 因为ABI平面BCC1B1,BPC平面BCC1B1,所以AB⊥BP, 在R胜△ABP中，A8=22BAP=30,则an∠BAP-铝=号所以BP-9AB=9 31 所以点P的轨迹是以B为圆心，为半径的一段弧，且圆心角为直角， 3 第42页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以动点P的轨迹长度为岁×2π×2= 33π， 故答案为：2，号m 题型04空间垂直关系 【典例41】(24-25高一下.贵州铜仁期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列判断正确的是() D A.直线BCC平面AA1C1 B.直线AB/直线A1C1 C.直线CD1平面AA1C1 D.直线BC与直线A1C1是异面直线 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断线面是否垂直、判断线面平行、异面直线的判定 【分析】根据正方体的结构特征，结合异面直线、线面位置关系判断各项的正误 【详解】平面AA1C1即平面AA1C1C,显然直线BC与平面AA1C1相交，故A错误： 假设CD1平面AA1C1,即CD1平面AA1C1C,因为ACC平面AA1C1C,所以CD1AC, 在正方体中显然CD与AC不垂直，所以假设不成立，故C错误： 由正方体性质可知AC//A1C1,而直线AB与直线AC相交，所以直线AB与直线A1C1不平行，故B错误： 因为直线BC与直线A1C1不同在任何一个平面内，根据异面直线的定义可得直线BC与直线A1C1为异面直线， 故D正确， D 故选：D 【典例4-2】(23-24高一下·四I川成都期末)如图所示，在三棱锥S-ABC中，SA1平面ABC,且△ABC是边 长为1的正三角形，若SA=BC,则点A到平面SBC的距离为() A.29 B.② 7 c.9 D.3v21 7 【答案】B 【难度】0.65 第43页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用等体积法求解，由题意求出SC,SB,从而可求出S△sBc,然后利用V4-s8c=Vs-ABc可求得答案 【详解】设点A到平面SBC的距离为d, 因为SA1平面ABC,AC,ABC平面ABC,所以SA1AC,SA⊥AB, 因为△ABC是边长为1的正三角形，SA=BC 所以SA=BC=AC=AB=1,Sa4Bc=卓所以SB=SC=V1+亚=V2. 所以5asc-BcSB2-(（传BC}-x1x 12 44 因为A-5c=Vg-ABc,所以SA5cd-S△48cSA,所以片×平d-x×1,解得d-T 故选：B 【典例43】（多选）(22-23高一下·湖南益阳·期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,M分别为BC,CC1, BB1的中点，P为线段A1M上的动点，则下列说法正确的是() A.异面直线A1C1与EF所成的角为60° B.平面A1MC1与平面AEF相交 C.BD1⊥平面AEF D.三棱锥F-APE的体积为定值 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】判断线面是否垂直、求异面直线所成的角、锥体体积的有关计算 【分析】对于A,根据△A1BC1为正三角形以及EF/IBC1得A正确；对于B,根据EF,MC1必相交得B正确： 对于C,根据BC1/EF,BD1与BC1不垂直可得C错误：对于D,根据A1M//平面AEFD1,可得D正确. 【详解】对于A,连A1B,BC1,因为△A1BC1为正三角形，所以LBC1A1=60°，因为E,F分别为BC,CC1的 中点，所以EF/BC1,所以异面直线A1C1与EF所成的角为60°，故A正确； G C D 对于B,在平面BCC1B1中，因为M为BB1的中点，E,F分别为BC,CC1的中点，所以延长EF,MC1必相交，设 交点为G,则G为平面A1MC1与平面AEF的公共点，显然这两个平面不重合，所以它们相交，故B正确： 对于C,假设BD1⊥平面AEF,因为EFC平面AEF,所以BD1⊥EF 又因为BC1/EF,所以BD1⊥BC1,这显然不可能，故C错误； D 第44页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于D,因为EF/BC1/AD1,所以A,E,F,D1共面.因为A1D1与B1C1平行且相等，B1C1与MF平行且相等，所 以A1D1与MF平行且相等，所以四边形A1D1FM为平行四边形，所以A1M/D1F,又A1M￠平面AEFD1,D1FC 平面AEFD1,所以A1M/平面AEFD1,所以点P到平面AEF的距离等于M到平面AEF的距离， 所以VF-APE=Vp-AEF=VM-AEF为定值.故D正确 故选：ABD, 【典例44】(24-25高一下，江苏连云港·月考)如图，己知平面a上放置有正三棱锥A-BCD,其中△BCD 是边长为2的正三角形，侧棱AB=√5，若该三棱锥绕棱BC旋转，使点D到平面a的距离为1，则点A到平面 a的距离为 【答案】2+ 3 【难度】0.4 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、余弦定理解三角形、证明线面垂直、求点面距离 【分析】过A,D作平面a的垂线，垂足分别为F,E,连接EF,记BC中点为S,证明出EF经过点S,在直角梯形 AFED中，AD=√5，AS=2,DS=√3，DE=1,结合余弦定理，三角恒等变换，求出各边长和sinzASF,然 后可解， 【详解】过A,D作平面a的垂线，垂足分别为F,E,连接EF,记BC中点为S,连接AS,DS, 因为AB=AC,DB=DC,所以AS⊥BC,DS⊥BC, 又AS,DS为平面ASD内的两条相交直线，所以BC1平面ASD, 因为AF1a,BCCa,所以AF⊥BC 由于AE平面ASD,所以AFC平面ASD,同理DEC平面ASD,所以EF经过点S, 因为BS=CS=1,AB=√5，由勾股定理得，AS=VAB2-BS=2, △BCD是边长为2的正三角形，故DS=√5， 如图所示，在直角梯形AFED中，AD=√5，AS=2,DS=V3,DE=1, 所以sE=VDs-DE=VL,easzDSE=器-得nDSE-器=言 而c0 SLASD= 4+3-5V3 2x2xW5=6 所以sintASD=厘， 6 第45页共90页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 sinzASF sin(ZASD +LDSE)=sinzASDcosLDSE cosLASDsinDSE 6 所以AF-ASsinLASF=2z+1 3 故答案为：亚4赳 3 【变式41】(24-25高一下·江苏泰州·期末)己知平面a和不重合的两条直线m,n,则下列说法正确的是() A.若m1n,mⅡ，则n1a B.若m⊥n,m⊥，则n‖a C.若mⅡn,mⅡa,则nla D.若mn,m1a,则n1& 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断线面是否垂直 【分析】根据平面的基本性质，结合空间线线、线面位置关系判断各项正误。 【详解】对A:若m1n,m‖a则n1a或n‖a,或nca或n与a相交，错误； 对B:若m⊥n,m1a,则nIa或nca,错误； 对C:若mIn,mIa,则nla或nca,错误： 对D:若mⅡ几，m⊥a,则n⊥a,正确. 故选：D 【变式42】(24-25高一下，福建福州·期末)如图，某人在水平地面上的点O处观测垂直水平面的墙面ABC 上的动点P,观测点O到墙面的距离0A=12m,墙角处点B到点A的距离BA=16m,墙面上LABC=60°， 当动点P沿射线BC在墙面上移动时，仰角（直线OP与水平面所成的角）正切值的最大值为() A.53 3 B.53 9 C.NE 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求线面角 【分析】过点P作PD L AB,根据线面角定义说明直线OP与水平面所成的角为∠POD,设BD=xm,(x>O), 分析得tanLPOD= 4032+1 ,转换为函数的最值即可求解， Vx2 x 【详解】如图所示，过点P作PD 1 AB,因为平面PBA∩平面OBA=AB,PDC平面PBA, 所以PD1平面OAB,所以直线OP与水平面所成的角为∠POD, 设BD=xm,(x>0),因为∠ABC=60°，BA=16m,所以PD=V5xm,AD=(16-x)m, 第46页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又因为点0到平面ABP的距离为0A=12m, 所以tanzPOD=巴 DO (16-x)2+122 √x2-32x+400 设t=上∈(0，+o),则tanzP0D= V3 40032+1 √x2x V400t2-32t+1 J4oot+号 所以当t=云时， 400(-+号有最小值，此时anP0D= 有最大值， 400(t)‘+号 且最大值为语- 3 V25 故选：A. 【变式43】(23-24高一下.北京期中)已知点P在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1表面运动，且PB= PD1,则线段AP的长的取值范围是() A.停，2同 B.[1,3] c.[V2,3] o.停3 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、证明线面垂直 【分析】作出正方体的对角线BD1的中垂面截正方体所得截面多边形，再分段求出AP的长范围作答。 【详解】点P在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1表面运动，且PB=PD1 则点P的轨迹是线段BD1的中垂面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面多边形， 分别取棱AA1,A1B1,B1C1,C1C,CD,DA的中点E,FG,H,I,J, EB=ED1=FB=FD1=GB=GD1=HB=HD1=IB=ID1=JB=JD1=5, 因此四边形D1GBJ,D1EBH均为棱长为V5的菱形，所以D1B1JG,D1B1EH, EHNJG=O,EH,JGc平面EFGHIJ, 因此点E,F,G,H,I,J在线段BD1的中垂面上，点P的轨迹是六边形EFGHIJ,如图， 当点P在线段上时，若点P为线段EI中点，有AP1队AP-兰， 第47页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于是点P为线段E上任意一点，≤AP≤AE=1, 2 当点P在线段EF上时，AF=√5，∠AEF为钝角， 则AE≤AP≤AF,即1≤AP≤√5 当点P在线段FG上时，AG= AA+AG2=3,FG=V2 AF2+FG2<AG2, ∠AFG为钝角，则AF≤AP≤AG,即V5≤AP≤3， 当点P在线段GH上时，由AG=AH=3,GH=√2， △AGH边GH上的高为 AG2-(GH02-V34,此时V34≤AP≤3， 由对称性知，当点P在折线H)上时，1≤AP≤3， 所以线段AP的长的取值范围是汽，3， 故选：D 【变式44】(24-25高一下·浙江宁波·期中)如图，己知△ABC满足AB1AC,∠ACB=30°，D为BC中点，E 为线段AC上的动点，记∠EDC=日.将四边形ABDE沿着DE翻折成几何体C-A1B1DE,在翻折过程中，总存 在某一个位置使得B1C1EC,则8的取值范围为() A.(怎) .() c.,) D.作劉 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】根据B1C⊥CE可得C在平面A1B1DE上的投影H在A1B1上（不含端点），故可求0的取值范围. 【详解】由题设不妨设AB=1,BC=2, 如图，取B1E的中点为S,B1C的中点为M,连接SM,SD,MD, 延长A1E,B1D交于T,过C作CHI平面A1B1DE,垂足为H,连接B1H, 则SM/CE且SD/ET,而B1D=CD=1,故MD1B1C, 若B1C⊥CE,则B1C⊥MS,而MS∩MD=M,MS,MDc平面MSD, 故B1CI平面MSD,而SDC平面MSD,故B1C1SD,而SDC平面A1B1DE,故CH⊥SD, 因为CHnB1C=C,CH,B1CC平面BC1H,故SD1平面B1CH, 第48页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 而B1HC平面B1CH,故SD1B1H,但SD/A1T,B1A11A1T, 故B1A11SD,故B1H与B1A1重合， 而CD=DB1=DA1=1,故DH<1,故H在A1B1上（不含端点）， 过H作HN L DE,交DE于N,连接CN,TN,同理可证CN⊥DE, 由旋转不变性得TN L DE,故T,N,H三点共线， 因此问题转化为如下平面问题：当E在CA1如何变化，使得H在A1B1上（不含端点）. 设0，s)(0<s<V3,而D(号)，设H(九，0). 则丽=（仇-V同，而DE=(s-)结合m:D店=0可得： 故-h+3-V3s=0,故h=3-2W3s,令0<3-2W3s<1, 故9<s<V3,当s=时，∠TDE=60,当s=V3时，TDE=0 故<∠CDE< A11 故选：B 【变式45】（多选）(21-22高一下.湖北月考)己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为线段AA1的中 点，AP=λAB+uAD,其中几，u∈[0,1]，则下列选项正确的是() A.u=时，A1P1ED1 B.1=时，BP+PD的最小值为3 C.1+u=1时，直线A,P与面8D1的交点轨迹长度为号 D.+μ=1时，正方体被平面PAD1截的图形最大面积是4W2 【答案】ABD 【难度】0.15 【知识点】立体几何中的轨迹问题、证明线面垂直、判断截面形状、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】A选项，作出辅助线，得到点P在线段FG上，证明线面垂直，得到线线垂直： B选项，将两平面展开为同一平面内，利用两点之间线段最短，得到B1P+PD的最小值，求出答案； C选项，作出辅助线，找到直线A1P与面B1D1E的交点轨迹，求出长度： D选项，作出辅助线，分P位于线段DZ上和线段BZ上，分别求出截面的最大面积，比较得到结果 【详解】取AD中点F,BC的中点G,连接A1F,A1G,FG,则FG=AB, 因为A=AB+AD,4=,1E[0,1:所以AP=AFG+AF,即点P在线段FG上， 因为E为线段AA1的中点，则A1E=AF,故△A1ED1兰△AFA1, 所以∠AA1F=∠A1D1E,由于LAA1F+∠D1A1F=∠A1D1E+∠D1A1F=,所以A1F1D1E, 第49页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又GF⊥平面ADD1A1,A1FC平面ADD1A1,所以GF⊥D1E, 因为GF∩A1F=F,所以D1E1平面A1FG, 因为A1PC平面A1FG,所以A1P1ED1,A正确； A D EA C B选项，在AB上取点，使得A丽=AB,在DC上取点K使得DR=DC, 因为AP=AB+uAD,1=μ∈[0,1]：所以点P在线段HK上， 将平面B1HKC1与平面AHKD沿着HK展开到同一平面内，如图1， 连接B1D交HK于点P,即三点共线时，B,P+PD取得最小值， 其中由勾股定理得：BH-22+自-多所以A0:-+3, 所以B1D=√22+32=√3，故B正确： A D B D K B B C C 图1 C选项，AP=1AB+AD,,u∈[0,1]，1+μ=1时， 由向量共线定理的推论可得：P点在线段BD上， 连接A1B,A1D,交B1E于点M,交D1E于点N,连接MN, 则线段MN即为直线A1P与面B1D1E的交点轨迹，其中三角形A1BD是等边三角形，∠BA1D=60°， 由三角形相似可知：器-二-京而AB=22。所以4，M=华 同理可得：A1N=乎所以三角形A,MN是等边三角形，所以MN=A,N=2 31 直线A,P与面B,D,E的交点轨迹长度为9，C错误， A D B 由C选项的分析可知，：P点在线段BD上， 第50页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接AC,BD相交于点Z,当P位于线段DZ上时，连接AP并延长交CD于点Q, 连接D1Q,则平面PAD1截正方体所得图形为三角形D1AQ, 则当P与Z重合时，Q与C重合，此时截面三角形D14Q面积最大，面积为×(2W②2=2V3: 当P位于线段BZ上时，如图3，连接AP并延长，交BC于点W, 过点W做WR∥AD1交CC1于点R,连接D1R,则四边形AWRD1即为平面PAD1截正方体所得的截面， 设BW=x,则由平行性质可知：C1R=x, 则AW=D1R=V4+x2,所以四边形AWRD1为等腰梯形 其中RW=√2(2-x),设梯形的高为h,则h= AW2 (AD1-WR)2 4 2+4, 则截面面积为V20-+22 2 V5x2+4=4-Wx2+8 如图4所示，直角三角形A'B'C',直角边A'B'=2V2,BC'=4, 在BC上取一点D,连接AD,则三角形ADC的面积即为4-+ 2 显然当x=0时，面积取得最大值，最大面积为4W2, 因为4W2>2W3,所以λ+4=1时，正方体被平面PAD1截的图形最大面积是4W2,D正确. D A D C 22 P B B'x D' 4-x 图2 图3 图4 故选：ABD 【变式46】(23-24高一下·江苏南京·期末)己知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2，以点A为球心，2为 半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为 【答案】8v5+9m 9 【难度】0.15 【知识点】证明线面垂直、球的截面的性质及计算、棱锥中截面的有关计算、正棱锥及其有关计算 【分析】由题意可得以点A为球心，2为半径的球与该四棱锥的表面PBC,PDC,ABCD有交线，其中表面PBC, PDC的交线相同，取BC的中点E,连接PE,过P作PF∥BC,过B作BF∥PE,过A作AG L BF于G,连接PG,AF, 可证得AG平面BCPF,所以可得以点A为球心，2为半径的球与四棱锥的表面PBC的交线为以G为圆心，PG 为半径的一段弧，根据已知条件可求出弧长，从而可求得结果 【详解】因为正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2， 所以以点A为球心，2为半径的球与该四棱锥的表面PBC,PDC,ABCD有交线， 取BC的中点E,连接PE,过P作PF∥BC,过B作BF∥PE,PF∩BF=F, 则四边形BEPF为平行四边形，PE⊥BC,所以BF⊥BC, 第51页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过A作AG⊥BF于G,连接PG,AF, 因为BC1AB,AB BF=B,AB,BFC平面ABF,所以BCI平面ABF, 因为AGC平面ABF,所以BC L AG, 因为AG L BF,BC n BF=B,BC,BFC平面BCPF,所以AG⊥平面BCPF, 因为正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2，所以BE=CE=PF=1,PE=BF=AF=√3， 所以S△ABF=AB BF2-(AB -×2×V2=V2,所以BF·AG=V2,得AG=25 因为AB=AP=2,所以BG=PG 2V2 2v5 3 所以以点A为球心，2为半径的球与四棱锥的表面PBC的交线为以G为圆心，为半径的一段弧， 3 因为BF=V3.所以FG=V原-9=号，所以a∠PGF=咒=V3,所以uPGF=骨 3 3 所以∠PGB=告所以弧PB的长为号×9-， 3 3 9 同理可得以点A为球心，2为半径的球与四棱锥的表面PDC的交线长为3， 9 以点A为球心，2为半径的球与四棱锥的表面ABCD的交线为点A为圆心，AB为半径的四分之一圆， 弧BD的长为5x2=, 所以以点A为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为×2+π=®v3+9严 9 9 故答案为：8V+9m 9 G D 题型05空间距离及表面积与体积 【典例5-1】(25-26高一下·浙江期中)已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表 面积与圆柱的表面积的比值是() A司 B. C. D.g 【答案】c 【难度】0.82 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】由圆锥、圆柱的表面积公式即可求解 【详解】由底面半径r=3,高h=4, 圆锥母线长1=VF2+h2=√32+4=5， 圆锥表面积：S1=m2+rl=π×32+π×3×5=9π+15π=24m 圆柱表面积：S2=2mr2+2rh=2m×32+2π×3×4=18π+24r=42m, 第52页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以是德-手 52 【典例5-2】(25-26高一下·天津武清·期中)如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中， 大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为2W6, 则5个球的表面积之和为() A.4n B.6π C.8π D.10m 【答案】A 【难度】0.35 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求 出对应的球半径及表面积即可。 【详解】如图所示，在正四面体A-BCD中，设棱长为a,高为h,O为正四面体A-BCD内切球的球心， 延长AO交底面BCD于E,E是等边三角形BCD的中心，BE延长线交CD于F, 连接AF,则点F是CD的中点，OE为正四面体A-BCD内切球的半径， AF BF-a:BE=BF=a,EF-a,h=AE VAFZ-EF7 -a, 2 3 6 3 由正四面体ABcD的体积为26，得誓aa=26,解得a=2V5。 B:::: 正四面体的高=，内切球半径满足R=片代入a=23:h=62-2V2→R=29-号则R2=专 3 3 4 正四面体顶点到大球球心的距离为3R, 顶点到小球球心（小球和三个面切，满足顶点到小球球心距离为3r),两球外切，球心距为R+, 因此：3识-3=R+整理得2R=4r→r=号得P2=华-吉 第53页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由总表面积为大球表面积加4个小球表面积可得： S=4mR2+4:4o2=4·+16m日=2n+2n=4n 【典例5-3】（多选）(24-25高一下.辽宁大连期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=V3,E, F分别为AB,B1C1的中点，A1,E,C,F四点均在球O的表面上，则() A.EF/平面A1ACC1 B.球0的表面积为28m C.球0表面与三棱柱ABC-A1B1C1表面的交线长度之和为2π D.六面体A1B1FEBC与七面体A1C1FACB公共部分的体积为 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、球的截面的性质及计算 【分析】设AC中点为G,易证四边形EGC1F为平行四边形，可得EF/GC1,根据线面平面的判定即可证明EF/ 平面A1ACC1确定A:由题可得△A1FC,△A1EC为直角三角形，A1C为公共斜边，则球心O在AC中点处，AC 为球O的直径，利用球的表面积公式即可判断B;利用球的性质可求与各面的交线长，求和即可判断C:易 知六面体A1B1FEBC与七面体A1C1FACE无公共部分即可判断D. 【详解】设AC中点为G,又E为AB中点，所以EGI/BC,且EG=BC, B B 又F为B1C1中点，所以FC1/BC,且FC1=号BC,即EG/FC1,且EG=FC1, 则四边形EGC1F为平行四边形，所以EF//GC1: 又EF￠平面A1ACC1,GC1C平面A1ACC1,所以EF/平面A1ACC1,故A正确； 根据题意，易得A1F⊥B1C1,A1F1CC, 又B1C1∩CC1=C1,B1C1,CC1C平面BB1C1C,所以A1F⊥平面BB1C1C, 又CFC平面BB1C1C,所以A1F1CF, 同理可证A1E1CE,所以△A1FC,△A1EC为直角三角形， A1C为公共斜边，则球心O在A1C中点处，A1C为球O的直径， 则球0的表面积为S=4πR2=πA1C2=7m,故B错误： 设M,N分别为A1C1,CF的中点，平面A1B1C1截球O的截面半径为r1, 易得0N1平面A:8,G,则n=R-00-1, 所以球0与上底面A1B1C1的交线如图，MP=MQ=1,MA1=MC1=1, ∠PA1M=∠QC1M=,则△PA1M,△QC1M为等边三角形， 第54页共90页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 所以PMQ=于则PQ=背由对称性与底面ABC的交线长也为5 因为0，N分别为CA,CF的中点，所以0N/A1E,ON=A,F= 2 又A1F1平面BB1C1C,所以ON1平面BB1C1C, 设平面BB1C1C截球0的截面半径为r2,T2=VR2-ON2= 1 所以球0与面BB1C1C的交线如图，NF=NH=NC=NC1=1,CC1=√3， CNC1=+=-京所以LFNH=CNC=号 2 团=号根据对称性可知与面BB1A,4的交线长也为号 易知与面AA1C1C无交线， 所以球0表面与三棱柱ABC-A1B1C1表面的交线长度之和为(G+)×2=2m,故C正确： 根据图像六面体A1B1FEBC与七面体A1C1FACE无公共部分，故D错误： 故选：AC 【典例5-4】(25-26高一下·湖南衡阳·期中)有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4 和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为 【答案】号 【难度】0.42 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】由题意可知若一个正方体可以在盒内任意旋转，则正方体的外接球直径不超过正四棱台内切球的直 径.则此题转化成求正四棱台内切球半径分情况讨论：当内切球与棱台的上、下底面相切时，半径即为棱台 高的一半；当内切球与棱台的腰相切时，利用三角形相似可求得内切球半径 【详解】将正四棱台的四条侧棱延长交于一点，形成一个正四棱锥，作出截面（如图） 正四棱台的上、下底面为正方形，且上、下底面面积分别为4和64， 则上底边长为2，下底边长为8.即02A=1,01A=4 侧面梯形的高为6，则A4'=6,所以棱台的高0102=，62-(4-1)2=3V3 第55页共90页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 若一个正方体可以在盒内任意旋转，则正方体的外接球直径不超过正四棱台内切球的直径. 当内切球与棱台的上、下底面相切时，内切球半径r=5 29 当内切球与棱台的侧面相切时（如图），假设PO2=x,OE=T 由△P02A心△P01A,则4=，即= 01AP01 4x+35 ,得P02=V5,则PA'=2,PA=8. 又AP0E△Pa0g-器明-仁解得r=00,-9 3 5<35 3 2 正四棱台内切球的半径r=9,即正方体外接球半径， 此时正方体的边长为号则正方体棱长的最大值为 33 【变式51】（25-26高一下河北衡水·期中)若圆锥的底面半径为1，高为V2,则该圆锥的侧面积为（) A.V3π B.2π C.2V3π D.4π 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【详解】由题知圆锥的底面半径R=1,高h=√2， 所以母线长1=VR2+厄=12+(22=V3, 所以该圆锥的侧面积S=πRl=√3π 【变式52】(25-26高一下山东淄博·期中)一圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，若母线与底面的夹 角为60°，则该圆台的体积为() A.29n B. 3 C.5v3 3 D.3 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】先根据母线与底面的夹角求出圆台的高，再代入圆台体积公式计算结果即可。 【详解】已知圆台的上底面半径为1，即r=1,下底面半径为2，即R=2,母线与底面的夹角为60°， 由于圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示，由题意得，AB=2,CD=4,∠ADC=60, 因此圆台的高h=cD,AB.tam60°=生与×V3=V5, 2 2 由圆台的体积公式得v=h(R2+Rr+r)=言×π×VB×(2+2×1+1-写n 【变式53】（25-26高一下.浙江·期中)已知圆锥的底面周长为16π，侧面积为80π，则过该圆锥项点的平 面截此圆锥所得截面面积的最大值为() A.48 B.50 C.96 D.100 第56页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】余弦定理及辨析、圆锥中截面的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】由题可求出圆锥底面半径r和母线长L,先求当截面过中心轴PO时顶角∠APB为钝角，然后得出截面 面积的最大值即可。 【详解】设圆锥底面半径为r,母线长为， 则[60解得18 当截面过中心轴P0时，则PA=PB=l=10,AB=2r=16, 所以c0 APB=1o0=-石<0， 2×10×10 由三角形面积公式可得，当∠CPD=时，截面面积最大，最大为×10×10=50. 【变式5-4】(23-24高一下·天津滨海新区·期末)《九章算术商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈， 表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”，所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形 的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵"，AB=BC=2,AA1=4,M是A1C1的中点，过B,C,M三点的平 面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，给出下列四个结论： ①过B,C,M三点的平面截该堑堵"的截面是三角形；②该三棱台的表面积为}+6N2+, ③二面角M-BC-C,的正切值为是，④三棱锥M-ABC的外接球的表面积为： 其中正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 B M 【答案】A 【难度】0.15 【知识点】棱台表面积、多面体与球体内切外接问题、由平面的基本性质作截面图形、求二面角 【分析】对于①，利用线面平行的性质易判断截面为四边形：对于②，先证明MN1BN,再求三棱台的表 面积即可排除②：对于③，结合图形，先证得PM1平面BCC1B1,即可得到二面角平面角∠MHP,计算即 得：对于④，先确定外接球球心所在直线SM,再利用Rt△BOS,列出方程求解即得. 第57页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】对于①，如图1，因平面ABC/平面A1B1C1,而BCC平面ABC,故BC/平面A1B1C1, 设过B,C,M三点的截面为平面e,则因M是A1C1的中点，取A1B1的中点为N,则MN/B1C1/BC, 即a∩平面A1B1C1=MN,连接BN,则得过B,C,M三点的平面截该“堑堵"的截面是四边形BCMN,故①错误； iB M 图1 图2 对于②，如图2，棱台ABC-A1NM中，因MN/B1C1 而AA11平面A1B1C1,B1C1C平面A1B1C1,则AA11B1C1 又B1C11A1B1,AA1∩A1B1=A1,AA,A1B1C平面AA1B1B,故B1C11平面AA1B1B, 则MN⊥平面AA1B1B,又BNC平面AA1B1B,则MN⊥BN 因AB=BC=2,AA1=4,则BN=√17，A1N=MN=1, 故该三棱台的表面积为S表=S△ABC+S△A1MN+SABNA1十SBCMN+SACMA =×2+×12+2+1)×4+×(2+1)×7+×(22+V×4 -2++6++62-号+62+四，故@错误： 2 2 对于③，如图3，分别取B1C,BC中点P和H,连接MP,PH,HM,因PM/A1B1,易得PM1B1C 又CC1I平面A1B1C1,PMC平面A1B1C1则CC11PM, 因B1C1nCC1=C1,B1C1,CC1C平面BCC1B1,故PM1平面BCC1B1, 因BCC平面BCC1B1,则PM⊥BC,易得PH⊥BC, 因PMOPH=P,PM,PHc平面PMH,故BCI平面PMH, 因MHC平面PMH,则BC⊥MH,故∠MHP即二面角M-BC-C1的平面角， 易得tan/MHP=子故③错误： B o D B 图3 图4 对于④，如图4，取AC中点S,连接MS,BS,显然S是Rt△ABC的外心，因SM/CC1,易得SMI平面ABC, 故棱锥M-ABC的外接球球心O必在线段SM上，连OB,设外接球半径为R, 因BS=-AC=V2,S0=4-R,在Rt△B0S中，R2=2+(4-R)P,解得，R=} 故三棱锥M-ABC的外接球的表面积为4R2=4红×（孕2-婴r,故④正确。 第58页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：A 【变式55】（多选）(25-26高一下.广东深圳·期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BD的中点， N是线段CD1上一动点，则下列说法正确的有() A.三棱锥N-BAA1的体积随着点N的位置的改变而随之变化， B.无论点N在何处，始终有B1DI平面ACN成立. C.直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为[O,V②： D.平面BDN截得正方体ABCD-A1B1C1D1的截面可能是三角形或四边形， 【答案】BCD 【难度】0.43 【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、证明线面垂直、求线面角 【分析】A选项，直角△BAA1面积为定值，点N到平面BAA1的距离为定值，进而判断体积；B选项，平面 ACN即为平面ACD1,再结合正方体特点判断：C选项，作出辅助线，得到∠NMW即为直线MN与平面ABCD 所成角，设大小为6，设NW=m,0≤m≤2，分1≤m≤2，m=0和0<m<1三种情况，得到tan0 的取值范围：D选项，当N为CD1的中点，CN<ND1和CN>ND1三种情况，画出平面BDN截得正方体ABCD- A1B1C1D1的截面 【详解】A选项，在点N的位置移动时，点N到平面BAA1的距离为定值， 等于正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长，且直角△BAA1面积为定值， 所以三棱锥N-BAA1的体积为定值，不会随着点N的位置的改变而变化，A错误： A A B… B选项，平面ACN即为平面ACD1,而正方体中必有B1DI平面ACD1;得到B正确： C选项，取CD的中点T,连接MT,则MT⊥CD,过点N作NW⊥CD于点W, 则NW/DD1,故NW⊥平面ABCD, 所以∠NMW即为直线MN与平面ABCD所成角，设大小为9， 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则MT=1, 设NW=m,0≤m≤2， 若1≤m≤2，则CW=m,WT=m-1, 由勾股定理得MW=√MT2+WT=,1+(m-1)2=Vm2-2m+2, 第59页共90页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则tan0= m 1 1 WM √m2-2m+2 品12 当m=2时，tan0取得最大值，最大值为v2, 当m=1时，tan8取得最小值，最小值为1，故tan0∈[1，V②： 若m=0,此时MNc平面ABCD,此时夹角为0，tan6=0, 若0<m<1,则CW=m,WT=1-m, 由勾股定理得MW=√MT2+WT= ,1+(1-m)2=Vm2-2m+2, 则tang=wy m 1 WM √m2-2m+2 品+126) 显然-分>、2-+>1,0< <1,此时tan8∈(0,1)， 2) 综上，tan0E[0,√见，直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为O,√，C正确： D选项，当N为CD1的中点时，平面BDN截得正方体ABCD-A1B1C1D1的截面为正△BDC1, B B 当CN<ND1时，延长DN交CC1于点E,连接BE, 则△BDE即为平面BDN截得正方体ABCD-A1B,C1D1的截面， 当CN>ND1时，延长DN交D1C1于点F, 在平面A1B1C1D1上，过点F作FP平行于BD,交B1C1于点P,连接BP, 则四边形BDFP即为平面BDN截得正方体ABCD-A1B1C1D1的截面， 故平面BDN截得正方体ABCD-A1B1C1D1的截面可能是三角形或四边形，D正确 【变式5-6(24-25高一下·江苏无锡期末)已知四面体ABCD中，△ABD为边长为2V3的等边三角形，CD1BD, CD=4,二面角A一BD-C的大小为120°，则四面体ABCD的外接球的表面积为 【答案】元 【难度】0.4 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】设外接球球心为O,△ABD、△BCD的外心分别为点G、F,取线段BD的中点E,连接OF、EF、EG、 OG,则EF L BD,EG1BD,由二面角的定义结合余弦定理求出FG的长，进而可求得OG的长，利用勾股定 第60页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理可求出球的半径，再利用球体表面积公式可得结果 【详解】设外接球球心为O,△ABD、△BCD的外心分别为点G、F, 取线段BD的中点E,连接OF、EF、EG、OG,则EF⊥BD,EG⊥1BD, 因为△ABD是边长为2V3的等边三角形，所以AE=ABsi5=2V3×5=3, 所以EG=AE=1,AG=子AE=2, 因为CD1BD,则F为BC的中点， 又因为CD=4,故BC=BD2+CD2=V12+16=2V7,故EF=CD=2, 因为EF⊥BD,EG1BD,所以二面角A-BD-C的平面角为∠GEF=120°， 易知OG⊥EG,OF⊥EF, 所以O、G、E、F四点共圆， 由余弦定理可得FG2=EG2+EF2-2EG·EFC0s120°=1+4-2×1×2×（月=7， 所以FG=√7，由正弦定理可得0E=G sin120°-V5 3 所以OG=VOE2-EG2 2-1-55 3 故球0的半径为R=OA=√OG2+AG2= +4= 3 3 故四面体ABCD的外接球的表面积为4R2=4r×?=14 3 3 题型06空间角 【典例6-1】(24-25高一下.山东泰安月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线BD与AD1所成角的正弦 值是() A. B.2 D.1 2 C. 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】首先画出图象，然后确定异面直线BD与AD1所成角的大小，进而求出其正弦值 【详解】如图，连接B1D1,AB1,则B1D1∥BD, 所以∠AD1B1为异面直线BD与AD1所成角， 因为△AD:B1为等边三角形，所以LAD,B1=号所以sin/AD,B1=sin号=号 第61页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以异面直线BD与AD,1所成角的正弦值是尊 故选：A D A D C 【典例6-2】(23-24高一下·湖南永州·期末)己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为底面ABCD内 一动点，直线D1P与平面ABCD所成角为FE为正方形A1ADD1的中心，点M为线段D1B上一动点，则MP+ME 的最小值为() A.√10-2V2 B.V10-4v2 C.V12-2W2 D.√12-4w2 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由线面角的大小求值 【分析】需要先找到P点位置，再将立体问题平面化，根据三点共线距离最短求解. 【详解】因为直线D:P与平面ABCD所成角为好又因为DD:1面ABCD, 所以∠DPD1为直线D1P与平面ABCD所形成的角，即∠DPD1=45, D C Di- B 又DD1=2,所以DP=2, 所以P点的轨迹为以D为圆心，2半径的圆落在四边形ABCD内的部分，即四分之一圆弧. 分析可知，P点为BD和圆弧的交点时，MP最小 此时可将面D1AB沿着D1B翻折到面BB1D1D所在平面. 根据长度关系，翻折后的图形如图所示，其中0，O,分别为正方体上下底面的中心， D E(O)A(D) M b 当E,M,P三点共线时，MP+ME最小.因为02P=√2-2，O102=2, 所以最小值为， 22+(2-2)2=V10-4W2 第62页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：B. 【典例6-3】（多选）(24-25高一下江苏无锡期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M是其 侧面ADD1A1上的一个动点（含边界），点P是线段CC1上的动点，则() D A.PM的长度范围是[1，√② B.存在点P,M,使得平面B1D1M与平面PBD平行 C.存在点卫，M,使得二面角M-DC-P大小为 D.当P为棱CC1的中点且PM=2V2时，则点M的轨迹长度为 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】证明面面平行、求二面角、立体几何中的轨迹问题 【分析】对于A,易得PM≥2即可判断；对于B,可找到点P,M使得平面B1D1M与平面PBD平行；对于 C,由题意，证得CD1MD,CD1DD1,得到二面角M-DC-P的平面角∠MDD1∈0，即可判断：对于D, 求得点M的轨迹长度判断. 【详解】解：对于A,易知点P到侧面ADD1A1的距离为2，故PM≥2，故A错误： 对于B,当M为AA1中点，P为CC1中点时，连接B1D1,B1M、D1M、PB、PD、BD, 结合正方体的结构特征有，BDIB1D1,又BDC平面PBD,B1D1￠平面PBD,则B1D1//平面PBD, MB1IPD,又PDC平面PBD,B1Mt平面PBD,则B1M//平面PBD, 又B1MnB1D1=B1且都在面B1D1M内，则平面B1D1M//平面PBD故B正确； D B M 对于C,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得CD1平面ADD1A1, 因为MDC平面ADD1A1,DD1C平面ADD1A1,所以CD⊥MD,CD1DD1, 所以二面角M-DC-P的平面角为LMDD1,其中∠MDD1∈[0，，所以C正确： 对于D,取DD1中点E,连接PE,ME,PM,则PE⊥平面AA1D1D, 根据线面垂直的性质有PE1ME,则ME=√PM?-PE= J(2②2-2=2 则点M在侧面AA1D1D内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧， 分别交AD、A1D1于M2M1,则∠M1ED1=∠M2ED= 第63页共90页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A M2 则∠MEM2=于劣弧MM2的长为×2=于，故D错误。 【典例6-4】(22-23高一下，北京·期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，已知点P,9分别是线段 AD1,AC1上的动点（不含端点）.给出下列四个结论： (1)直线PQ与直线B1C垂直：(2)直线PQ与直线CD不可能平行： (3)二面角P-AC-Q的平面角的正弦值为汽；(4)PQ1+Qc的最小值是 其中所有正确结论的序号是 D B A 0 D B 【答案】(1)(3)(4) 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面垂直、二倍角的正弦公式 【分析】证明出B1C1平面ABC1D1,利用线面垂直的性质可判断(1)：取P、Q分别为AD1、AC1的中点，利 用中位线的性质以及平行线的传递性可判断(2)；利用二面角的定义可判断(3)；将△ACC1和△AC1D1延 展至同一平面，分析可知当CP1AD1时，PQ+IQC1取最小值，根据三角形边与角的关系可求得引PQ1+IQC 的最小值，可判断(4)· 【详解】对于(1)，因为AB/C1D1,则A、B、C1、D1四点共面， 因为四边形BB1C1C为正方形，则B1C⊥BC1,因为AB⊥平面BB1C1C,B1CC平面BB1C1C,则B1C1AB, 因为ABn BC1=B,AB、BC1C平面ABC1D1,所以，B1C1平面ABC1D1, 因为PQC平面ABC1D1,所以，B1C1PQ,(1)对： 对于(2)，当P、Q分别为AD1AC1的中点时，PQ/C1D1,又因为CD/C1D1,此时PQ/CD,(2)错： 对于(3)，因为PEAD1、QEAC1,平面PAC即为平面ACD1,平面QAC即为平面ACC1 所以，二面角P-AC-Q即为二面角D1-AC-C1, D 第64页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 取上下底面中心点分别为01,0，分别连接010，AC,A1C1,D01,D0,D1C, 平面ACC1即为平面A1ACC1,由题知O01⊥底面ABCD, 因为ACC平面ABCD,所以0011AC,易知D1A=DC=2√2， 又因为0为AC中点，则D01AC,因为平面A1ACC1∩平面D1AC=AC,D0C平面D1AC,O01C面A1ACC1, 则二面角D1-AC-C1即为∠D001,因为0011平面A1B1C1D1,D101C平面A1B1C1D1, 所以0011D01,而D01=D1B1=V2,D10=22+(V②子=V6 所以sm4D0,=号=号则(3)正确： 对于(4)，因为CC11平面ABCD,ACC平面ABCD,则CC11AC,同理可得C1D11AD1, 因为AC=V2AD=2W2,同理可得AD1=2V2,AC1=√AC2+CC=23, 将△ACC1和△AC1D1延展至同一平面，如下图所示： D 在△Ac中，nAC,器-=goAG先-等-9 因为CC1=D1C1,AC=AD1,AC1=AC1,所以，△ACC1≌△AD1C1, 所以，∠D1AC1=∠CAC1,故∠CAD1=2∠CAC1 所以，sin/CAD,=sm(2zCAC)=2 2sinCAC1cos∠CAC1=2××5=29 3 当CP1AD,时，PQ1+1QC取最小值，且最小值为ACsin-CAD,=2W2x29-号(4)对. 故答案为：(1)(3)(4). 【变式61】(24-25高一下湖南衡阳·期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1C1与BC所成的 角是() ◇ D A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据异面直线所成的角的定义，利用平行线转化为相交直线所成角，即可求解 【详解】因为BC/A1D1,所以异面直线A1C1与BC所成的角为∠D1A1C1=45°. 第65页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：B 【变式62】(24-25高一下江苏南京期末)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB,AD 的中点，则过点B作与异面直线B1C与EF所成的角都是60的直线条数() D C B D A E B A.有无数条 B.有两条 C.有三条 D.有一条 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】将EF平移到BD,B1C平移到A1D,则过点B作与异面直线BD与A1D所成的角都是60的直线，一条 在平面A1DB内，两条在平面A1DB外 【详解】将EF平移到BD,B1C平移到A1D C B E B 所以点B作与异面直线B,C与EF所成的角都是60的直线， 即过点B作与异面直线BD与A1D所成的角都是60°的直线， 因为异面直线BD与A1D所成的角为60°， 所以∠A1DB的角平分线平分角为60°或30°， 若LA1DB的角平分线平分角为60°，则角平分线与异面直线BD与A1D所成的角都是60°， 此时将过D点的直线平移使其经过点B,故有一条， 若∠A1DB的角平分线平分角为30°，即角平分线与异面直线BD与A1D所成的角都是30°， 则将过D点的直线绕D点向上转动到与平面A1DB垂直的过程中，存在两条与异面直线BD与A1D所成的角都是 60的直线， 此时将过D点的直线平移使其经过点B,故有两条， 综上，过点B作与异面直线B1C与EF所成的角都是60°的直线条数有三条. 故选：C 【变式63】(24-25高一下辽宁丹东·期末)正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为() A.9 B.9 C. .9 【答案】A 【难度】0.85 第66页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】求线面角 【分析】根据正四面体的性质求解即可， 【详解】在正四面体A-BCD中，不妨取棱长为1，设O为底面BCD的中心，E为CD的中点，连接BE,AO, 则AO⊥平面BCD,所以∠ABO就是侧棱AB与底面所成角， 又B0=号BB=吕所以Cos-AB0-胎-号，放正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为号 故选：A 【变式6-4】(22-23高二上·浙江台州·期末)在三棱锥S-ABC中，SA=SB=V2,AB=2,BC=1,AB1BC.若 SC与面SAB所成角的最大值为0，则tan2a的值为() A.月 B.② 2 C.1 D.S+1 2 【答案】c 【难度】0.15 【知识点】求线面角、对勾函数求最值、基本不等式求和的最小值、余弦定理解三角形 【分析】取AB,AC,SA中点分别为O,D,E,连SO,OD,SD,DE,过D作DG⊥S0于G,连EG,可证∠DEG 为所求线面角，设∠S0D=a,用cosa表示出tan8求最值 【详解】取AB,AC,SA中点分别为O,D,E,连SO,OD,SD,DE,过D作DGL SO于G,连EG, 由SA=SB,则AB⊥SO,又AB1BC,OD IIBC,则AB⊥OD, 又S0c平面S0D,D0c平面S0D,S0nD0=0, 所以AB1平面SOD,又DGC平面SOD,则AB⊥DG, 又ABC平面SAB,SOC平面SAB,SO∩AB=O,则DGI平面SAB. 又SC/IDE,故SC与面SAB所成角与DE与面SAB所成角相等，所以∠DEG为所求线面角， 设∠50D=aa∈(0，m,则DG=sima,0G=cosa,SG=1-cosa, EG2 -SE2+5G2-2SE.SG.cos45-icoa-icosa+ DG2 sin2a 1-cos2a 故ta20EG-0oaoi中-需' 1 第67页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 令t=2cosa-3,te(-5,-1),则tan∠DEG= 因为t∈(-5，-1)，所以t++6≤6-2W5,当且仅当t=-V5时取等号. 所以an2zDEG≤号 故选：C 【变式65】（多选）24-25高一下·安徽宿州期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,E,F,G, H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点，动点N在四边形ABB1A1内及其边界上运动，则下列说法正确的是() A.E,F,G,H四点共面 B.阳与BC所成角的余弦值为号 C.正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球表面积为28 D.若CN//平面AGC1,则动点N的轨迹长度为V5 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、空间中的点（线）共面问题、球的表面积的有关计算 【分析】对于选项A,证明EF/GH即可证明E,F,G,H四点共面：对于选项B,先确定FH与BC所成角，然后 根据余弦定理可求出其余弦值：对于选项C,先由正弦定理求出外接圆半径，然后根据勾股定理求出球的半 径，从而求出球的表面积即可：对于选项D,先确定动点N的轨迹，然后根据勾股定理求出轨迹长度， 【详解】连接EF,GH,因为E,F,G,H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点， 所以EF/B1C,GH/BC1,从而EF/GH,故E,F,G,H四点共面，A正确： 连接EF,EH,因为EFI‖BC,则∠HFE为FH与BC所成角， 在△HFE中EF=2,FH= HC+FC=1+1=V2,EH EB?+HB? +(3)2=2, 由余弦定理可得cOS∠HFE=HP2+PE2-EH 2+4-4 ,B错误； 2xHFxEF 2×V2×2 在等边△ABC中，由正弦定理可得，△ABC的外接圆半径r=4B=25, 2sin60° 3 设正三棱柱的外接球半径为R,且球心到平面ABC的距离为1， 由勾股定理可知R2=12+?=1+子所以球的表面积为42-，C正确： 在正三棱柱中，取AB的中点D,连接DB1,DC,CB1,可知DC/GC1,AG/IDB1, 又DC2平面AGC1,GC1C平面AGC,DB12平面AGC1,GAC平面AGC1, 所以DC/平面AGC1,DB1/平面AGC1, 又因为DC,DB1是平面DCB1内两条相交直线，因此平面DCB1/平面AGC1, 当点N在四边形ABB1A1内及其边界上运动时，若CN//平面AGC1, 第68页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则CN在平面DCB1内，从而动点N的轨迹为DB1, 又因为DB1=,DB2+BB=√1+4=√5，所以动点N的轨迹长度为V5,D正确. D AL-G H 故选：ACD. 【变式66】(25-26高二下.上海月考)正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一 球面上，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为 【答案】或9 【难度】0.25 【知识点】求异面直线所成的角、多面体与球体内切外接问题 【分析】设外接球球心为0，底面中心为01，外接球半径R,利用(P01-R2)+O1C2=R2求出P01进而得到 侧棱长，根据异面直线的概念可知∠PCD即为异面直线PC与AB所成角的平面角，在△PCD中利用余弦定理 求解即可； 【详解】设外接球球心为0，底面中心为O1,外接球半径R=3, p 因为底面边长为4，所以01C=2V2, 易知球心0在直线P01上，则(P01-R)2+01C2=R2,解得P01=2或4， 当P01=2时，又PC=PD P0+01C2,解得PC=PD=23, 因为AB/CD,所以∠PCD即为异面直线PC与AB所成的角 在△PCD中，由余弦定理可得cOs∠PCD=PC2+cD2-PD 2PC.CD 解得cos∠PCD= 3 当P01=4时，又PC=PD= P0+01C2,解得PC=PD=2V6, 因为AB/CD,所以∠PCD即为异面直线PC与AB所成的角 在△PCD中，由余弦定理可得coS∠PCD=PC+cD-PD 2PC.CD 解得cos∠PCD= 6 第69页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上：直线PC与AB所成角的余弦值为或号 强化训练 一、单选题 1.(25-26高一下·全国·单元测试)用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角 形AB'C'.已知点O'是斜边BC的中点，且A'O'=1,则△ABC的高AC为) B C A.1 B.2 C.v2 D.2W2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的性质直观图平行于y轴的长度变为原来的一半，结合AC的长度即可求AC. 【详解】△ABC的直观图是等腰直角三角形AB'C,∠BA'C'=90°，A'0'=1, A'C'=V2. 根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半， ∴△ABC的高为AC=2AC'=2V2 故选：D. 2.(24-25高一下河南南阳期末)如图，a∥B,A,C∈a,B,D∈B,AC与BD为异面直线，AC=6,BD=8, AB=CD=10,AB与CD成60°的角，则异面直线AC与BD夹角的大小是() A.60° B.90° C.45°或60° D.60°或90 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】面面平行证明线线平行、求异面直线所成的角 【分析】过点A作CD的平行线交平面B于E点，连接DE,BE,得到平行四边形ACDE,在△BDE中，计算LEDB 即得到异面直线AC与BD所成的角 【详解】 过点A作CD的平行线交平面B于E点，连接DE,BE. ~a//B,AE/CD,平面ACDE∩a=AC,平面ACDEn B=DE, 第70页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC//DE,四边形ACDE为平行四边形， ..AE=CD=10,DE AC=6. 又AB与CD成60的角，故∠BAE=60°或∠BAE=120°， 当∠BAE=60时，又AB=10=AE,△ABE为等边三角形，故BE=10. 当∠BAE=120时，BE=2 AEsin60°=10V3, 又BE<DE+BD=6+8=14,不合题意；综上，BE=10. 在△BDE中，BE=10,BD=8,DE=6,∴BE2=BD2+DE2,∠BDE=90 ~AC/DE,所以∠BDE(或其补角)为异面直线AC与BD所成的角， 故异面直线AC与BD所成的角为90° 故选：B. 3.(23-24高三上陕西西安期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=8,AD=6,异面直线BD与AC1 所成的余弦值为汽，则cC1) 10 D C B A.V3 B.22 C.23 D.3V2 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、余弦定理解三角形 【分析】把异面直线所成的角，转化为平面角，再用解三角形的方法求解 【详解】连接AC,交DB于点O,取CC1的中点E,连接OE,BE. D 因为AC1/OE,所以BD与AC1所成的角为∠BOE(或其补角)： 令EC=x,在△BE0中，由AB=8,AD=6,得0B=5. 又0E=VR2+25,BE=VR2+36,c0sLB0E= 10 白余弦定理得0里-马即之5-品解得x=3, 20E.0B 101 2×5×√x2+25 第71页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以CC1=23. 故选：C 4.(24-25高一下·江苏南京·期末)直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2W2的正方形，侧棱AA1=3V2, E,F分别是AB,BC的中点，则过点D,E,F的平面截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为() A.8W3 B.4V3 c.9 D.7W3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、由平面的基本性质作截面图形 【分析】设直线EF分别交DA,DC的延长线于点P,Q,连接D1P,交AA1于点M,连接D1Q,交CC1于点N,得 到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可 【详解】设设直线EF分别交DA,DC的延长线于点P,Q,连接D1P,交AA1于点M, 连接D1Q,交CC1于点N,连接ME,FN, 所以过点D1,E,F的平面截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面为五边形D1MEFN. 由平行线分线段比例可知：AP=BF=√2，故DP=DD1=3V2, 故△DD1P为等腰直角三角形，所以AM=AP=V2, 故A1M=2V2,则D1M=D1N=4,ME=EF=FN=2. 连接MN,易知MN=4, 所以五边形D1MEFN可以分成等边三角形D1MN和等腰梯形MEFN两部分， 等腰梯形MEFN的高h=√2-()'-V3,则等腰梯形MEFN的面积为号x3=3V3 又SAD,ww=×4华=4W5,所以五边形的面积为3V5+4W5=7V5 4 D 故选：D. 5.(22-23高一下陕西宝鸡·月考)如图，在四面体ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，若BD、AC所成的角 为60°，且BD=AC=4,则EF的长为) A.2 B.4 C.23 D.2或23 第72页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】取线段AD的中点G,连接EG、FG,分析可知异面直线BD、AC所成的角为∠EGF或其补角，分LEGF= 60°、∠EGF=120°两种情况讨论，通过解△EGF,可得出EF的长. 【详解】取线段AD的中点G,连接EG、FG, 因为E、G分别为AB、AD的中点：则EG/BD且EG=BD=×4=2, 同理可得FG/1AC且FG=AC=×4=2, 所以，异面直线BD、AC所成的角为LEGF或其补角， ①若LEGF=60°，则△EGF是边长为2的等边三角形，故EF=2: ②若∠EGF=120°，因为EG=FG=2,则△EGF为等腰三角形，且LGEF=∠GFE=30°， 取EF的中点H,则GH1EF,且EF=2BH=2EGC0s30°=4×=2V3 综上所述，EF=2或2V3 故选：D. 6.(22-23高一下湖北黄冈月考)如图所示，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是矩形，D是A1C1上的动点， 若A1BI平面B1CD,则OC的值为) A.者 C. D.1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线面平行的性质 【分析】根据线面平行的性质将A1B平面B1CD转化为线线平行，然后集合位置关系求解即可： 【详解】连接BC1交B1C于O,连接OD, 因为A1BI平面B1CD,平面B1CDn平面A1BC1=OD, 所以A1B‖OD,又因为0是B1C的中点， 第73页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以D是A1C上的中点即器-多 故选：B D C B 7.(23-24高一下·江苏无锡·期中)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,BC=CC1=2,点P在矩 形BCC1B1内运动（包括边界），M,N分别为BC,CC1的中点，若A1P/平面MAN,当A1P取得最小值时，∠B1BP 的余弦值为() D B M A受 B. 5 c细 D.30 10 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、证明面面平行 【分析】E,F分别为BB1,B1C1的中点，证明平面A1EF/平面MAN,得点P在线段EF上，A1P取得最小值时P 为线段EF的中点，求出BE,EP,BP,余弦定理求LB1BP的余弦值即可. 【详解】如图，取BB1的中点E,B1C1的中点F,连接EF,A1E,A1F,FM,所以EF/BC1, D D B 又M,N分别为BC,CC1的中点，所以MN//BC1,故EF/IMW, EF￠平面MAN,MNC平面MAN,所以EF/平面MAN, 又AA1/MF,AA1=MF,所以四边形A1AMF为平行四边形，故A1F/AM, A1F￠平面MAN,AMC平面MAN,A1F/平面MAN, 又A1F,EFC平面A1EF,A1FOEF=F,故平面A1EF/平面MAN, 所以当A1PC平面A1EF时，A1P/平面MAN,则点P在线段EF上， 当A1P1EF时，A1P取得最小值，易知|A1E=|A1F=√9+1=V10, 此时P为线段EF的中点， 第74页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由平面几何知识可知，B=1,1EP1-号1BP1=√)+(= COSLB BP=P-EP3V10 2BEX BPI 10 所以∠B:BP的余弦值为0 故选：D 8.(23-24高一下…浙江杭州期中)己知正方体ABCD-A1B1C1D1边长为1，点E,O分别在线段B1D1和BD上， EB1=B1D,D0=B0,动点F在线段AA1上，且满足AF=1AA1(0<入<》，分别记二面角F-OB1 E,F-OE-B1,F-EB1-O的平面角为%，B,Y,则总有() B A.a>B>y B.Y>B>a C.y>x>β D.B>a>Y 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、二面角的概念及辨析、证明线面垂直 【分析】作出三个二面角的平面角，求出其正切值后比较大小可得. 【详解】作FF'1平面BB1D1D,垂足为F,则FF'=, 2 因为OB1C平面BB1D1D,所以FF1OB1, D C B A 作FK⊥OB1,FM L OE,FN⊥B1D1,垂足分别为K,M,N,连接KF,MF,NF, 由于FF‘∩FK=F,FF'C平面FFK,FKC平面FFK,所以OB1⊥平面FFK, 又FKC平面FFK,从而OB1⊥FK, 所以a=∠FKF,同理B=∠FMF,Y=∠FNF, 所以ama=tan/FKF'-点tag=tan/FMF'-点ay=tan-FNP'- 2F'M 2F'N 因为点O是正方形ABCD对角线的交点，所以OA1BD, 因为BB1I平面ABCD,OAC平面ABCD, 所以0A1BB1: 因为BB1∩BD=B,BB1C平面BDD1B1,BDC平面BDD1B1, 第75页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以A01平面BDD1B1 ON就是AA1在平面BDD1B1上的射影，ON=AA,ON/AA1,OF'=AF, 又FK=OF'.sinzB1OF,FM=OF'·sinzEOF, 且AF=1AA1<AA1,则OF<FN, 由EB1=专B1D1得EW<NB1, 从而LEOF'<LB1OF,所以FN>OF'>FK>F'M, 所以tanB>tana>tay,又a,B,ye(o,),所以B>a>Y 故选：D. 二、多选题 9.(23-24高一下·福建福州·期末)圆台的轴截面如图所示，其上、下底面的半径分别为r1=1,T2=2,母线AB 长为2，点E为母线AB的中点，则下列结论正确的是() A.圆台的侧面积为12π B.AB与BC所成角为120° C.圆台外接球的半径为2 D.在圆台的侧面上，从点C到点E的最短路径的长度为5 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、球的表面积的有关计算、圆台表面积的有关计算、圆台的结构特征辨析 【分析】根据圆台的上、下底面半径和母线长求出圆台的侧面积，可判断选项A:求出LABC,可判断选项 B:由勾股定理求出圆台外接球的半径，可判断选项C;利用侧面展开图求出CE的长，可判断选项D. 【详解】对于A,圆台的上、下底面半径分别为r1=1,T2=2,母线AB长为2，E为母线AB中点， 所以圆台的侧面积为S侧=1+r2)1=π(1+2)×2=6，选项A错误： 对于B,因为c0s2ABC=号-克所以∠ABC=60,所以A与BC所成角为120，选项B正确： 对于C,根据题意知，外接球的球心在圆台的中心连线上， 设球心到上底面的距离为x, 所以1+x2=22+(5-x)2,解得x=3 所以圆台外接球的半径为R=,1+(3)2=2,选项C正确： B 对于D,展开面如图所示： 第76页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据比例关系求出CD=OD=2,展开面为半圆环： 点E为母线的中点，所以OE=3,CE=V32+平=5，选项D正确. 故选：BCD. 10.（23-24高一下.吉林期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是棱BC,CD 的中点，则() A.三棱锥A1-ACD的外接球的表面积为12π B.三棱锥A1-ACD的外接球的体积为4V3π C.点C到平面C,EF的距离为号 D.己知点P是底面ABCD(不含边界)内一动点， 且D,P/平面A1BC,则线段D1P的长度的取值范围是受V) 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算、面面平行证明线面平行、求点面距离 【分析】对于AB,取A1C的中点O,连接OA,OD,则可证得O三棱锥A1-ACD的外接球的球心，从而可求出 球的半径，进而求出球的表面积和体积，对于C,利用等体积法求解判断，对于D,取AD的中点M,连接 MF,D1M,D1F,EM,可证得平面MD1F∥平面A1EC1,则可得点P在平面ABCD上的轨迹为线段MF(不含端点)， 从而可求出DP的范围」 【详解】对于AB,取A1C的中点O,连接OA,OD,因为AA11平面ABCD,ACC平面ABCD, 所以AA11AC,所以0A=A1C=0A1=0C,同理可证0D=A1C=0A1=0C, 所以0A=0D=OA1=OC, 所以0三棱锥A1-ACD的外接球的球心，设外接球的半径为R,则R=A1C=V22+22+2=V3。 所以外接球的表面积为4R2=12m,体积为πR3=手×3V3=4W3元，所以AB正确， D B 对于C,因为E,F分别是棱BC,CD的中点，所以CE=CF=1,EF=√2， 所以c,E=CF=+2=5,所以5ac,=EF·c,B2-(E时=×V2×5-号 设点C到平面C1EF的距离为d,因为c-cBR=Vc1-c,所以S△c,F·d=SACEF·CC1, 第77页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以×d=号x×1×1×2,解得d=子所以c错误， 对于D,取AD的中点M,连接MF,D1M,D1F,EM, 因为F为CD的中点，所以MF∥AC,因为AC∥A1C1,所以MF∥A1C1, 因为MF￠平面A1EC1,A1C1C平面A1EC1,所以MF∥平面A1EC1, 因为E为BC的中点，M为AD的中点，EM∥CD,EM=CD, 因为C1D1∥CD,C1D1=CD,所以EM∥C1D1,C1D1=EM, 所以四边形EMD1C1为平行四边形，所以C1E∥MD1 因为MD1平面A1EC1,C1EC平面A1EC1,所以MD1∥平面A1EC1, 因为MD1nMF=M,MD1,MFC平面MD1F,所以平面MD1F∥平面A1EC1, 因为D1P/平面A1EC1,所以D1PC平面MD1F, 因为平面MD1F∩平面ABCD=MF,所以点P在平面ABCD上的轨迹为线段MF(不含端点)， 在△MD1F中，D1M=D1F=V5,MF=V2, 则MF边上的高为JD,R-(GMP-5一号 所以线段D,P的长度的取值范围是学V),所以D正确， 1 -十D B 故选：ABD 11.(24-25高一下，四川成都期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA1平面ABCD, 且PA=1,点E,F,G分别为棱AB,AD,PC的中点，则（) 4. >D B. A.AG⊥PD B.平面EFG与平面ABCD所成角的正弦值为9 C.过点E,F,G的平面截四棱锥P一ABCD所得的截面图形的周长为6+互 2 D.设点Q为侧面PAD内（包括边界）的动点，且8Q-雪则点Q的轨迹长度为语 【答案】AD 【难度】0.15 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、证明线面垂直、求二面角、立体几何中的轨迹问题 第78页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】A选项，作出辅助线，得到线面垂直，得到GM⊥PD,结合AM⊥PD,得到线面垂直，证出AG L PD: B选项，作出辅助线，得到∠GUC即为平面EFG与平面ABCD所成角，由余弦定理和勾股定理求出各边长，由 正弦定理得到sin-GUG=C选项，作出辅助线，得到五边形EVGZFR即为过点E,P,G的平面截四棱锥P ABCD所得的截面图形，并求出各个边的长度，相加得到周长；D选项，证明线面垂直，得到点Q的轨迹为 以A为圆心，长度为半径的圆在侧面PAD的部分，求出两段圆弧的圆心角，从而求出弧长，得到答案。 【详解】A选项，取PD的中点M,连接AM,GM, 因为G为PC的中点，所以GM//CD, 因为PA平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD, 因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以CD⊥AD, 因为PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以CD⊥平面PAD, 因为PDc平面PAD,所以CD⊥PD,故GM⊥PD, 因为PA=AD=1,所以AM⊥PD, 因为GM OAM=M,GM,AMC平面AGM,所以PD⊥平面AGM, 因为AGC平面AGM,所以AG⊥PD: D A 、F D B B选项，连接AC,交EF,BD相交于点U,O,连接GU, 因为E,F分别为棱AB,AD的中点，故EF //BD,EF⊥AC,BD⊥AC, 因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以PA⊥BD, 因为PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,所以BD⊥平面PAC, 因为GUc平面PAC,所以BD⊥GU,EF⊥GU, 所以∠GUC即为平面EFG与平面ABCD所成角， 其中AC=厄，Uc=AC=9PC=VPA+AC=V5,故Gc=PC=号 4 COS-ACP-号-9 simLACP-号 3 在△GCU中，由余弦定理得 G2=cP+6c-2cU:GCcs/ACP-+-2x华×9x9-故c0=号 √6 由正弦定理得、0 峻 ACPGUC吗amc解得sin/GUC,B错误 3 C选项，直线EF与直线CB,CD分别相交于K,J,连接GK,G,分别与PB,PD相交于V,Z,连接EV,FZ, 故五边形EVGZF即为过点E,F,G的平面截四棱锥P-ABCD所得的截面图形， 第79页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由于AEAF≌△JDF,所以D=AB=克CI=DI+CD=多FI=EF= 29 由A,CD1PD,由B知Pc=,放eos∠PCD-号-9 在△cG中，CG-兽由余弦定理得/G=Gc+CP-26 cJoPCD=+}-2×兽×号x9-号 3 JG=三由于/G2+Gc2=C以，由勾股定理逆定理得G1GC, 所以os4cG=号=5在t△Dz中，z=D ΓcosCG5 41 故GZ=G-JZ=5=5,同理可得Gv=Gz=5 244 41 由B可知，GF=√GU2+UF夜= 、干号马版I=GR, 由于z为G的中点，由三线合一可得Fz=VGF-G7=号 由对称性E=F2=冬又EF-号 所以裁面图形的周长为学×2+号×2+号=64三，c错误： D选项，因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PA⊥AB, 又AB⊥AD,因为PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以AB⊥平面PAD, 点Q为侧面PAD内（包括边界）的一动点，且B0=要，由勾股定理得AQ=√BQ:-AB- 3 。如图所示， PD的中点为M,则AMLPD,AM=三，又1>5>三 2 3 21 所以点Q的轨迹为以A为圆心，长度为半径的圆在侧面PAD的部分， 即7与沉两部分，共中omrA7=尝是-兰 所以∠MAT=30°，同理∠MAY=30°，故∠TAI+∠YAL=30°， D 所以T+元=活9-治，D正确 故选：AD 第80页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、填空题 12.(25-26高一下·全国·课堂例题)己知平面a/平面B,A,C∈，B,D∈B,直线AB与CD交于S,且AS=8,BS= 9,CD=34,则CS= 【答案】16或272 【难度】0.65 【知识点】面面平行证明线线平行 【详解】分两种情况讨论：(1)S位于平面a,B之间，如图①所示.由于AB∩CD=S, 可设AB,CD所在平面为y.因为Yna=AC,YnB=BD,aIIB,所以ACIIBD, 则架-品所以号解得C5=16, B 图① 图② (2)S位于平面a,B同侧，如图②所示.由于ABnCD=S, 可设AB,CD所在平面为Y.因为Yna=AC,YnB=BD,aIB,所以ACIIBD, 所以==品即=解得CS=272, 故CS=16或272， 13.(24-25高一下.吉林·期末)已知菱形ABCD的各边长为4，∠D=60°.如图所示，将△ACD沿AC折起， 使得点D到达点S的位置，连接SB,得到三棱锥S-ABC,此时SB=6.若E是线段SA的中点，点F在三 棱锥S一ABC的外接球上运动，且始终保持EF1AC,则点F轨迹的面积为 【答案】停π 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】取AC中点M,连接BM,SM,作EH1AC于H,设点F轨迹所在平面为a,则平面a经过点H且AC⊥au, 设三棱锥S-ABC外接球的球心为O,△SAC,△BAC的中心分别为01，O2,则O011平面SAC,O02I平面 BAC,且O,O1O2,M四点共面，求出外接球半径，截面圆半径后可得结论 【详解】取AC中点M,连接BM,SM, 则AC1BM,AC1SM,BMnSM=M,BM,SMC平面SMB,.AC⊥平面SMB,SM=MB=2V3, 第81页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S B M-⊙ D A 由题意5M-BM=9AB=23,又5B=6,所以cos∠SMB=g-专 2×2V3×2V3 ∠SMB是三角形内角，因此∠SMB=120°， 作EH L AC于H,设点F轨迹所在平面为a,则平面a经过点H且AC1《, 设三棱锥S-ABC外接球的球心为O,△SAC,△BAC的中心分别为01，O2, 易知0011平面SAC,0021平面BAC,且O,01,02,M四点共面， △SAC兰△BAC,由球的性质知O01=O02,从而O1M=O2M,即0M是∠01M02的角平分线， 所以∠0M01=01M02=60,01M=SM-,001=V501M=2, 又0S=SM=9,则三棱锥S-ABC外接球半径r= 60+0= 易知O到平面的距离d=MH=1,故平面α截外接球所得截面圆的半径为r1=√T2-d亚=」 -1-9 所以截面圆的面积为，即点？轨迹的面积为 故答案为：要 14.(25-26高二上浙江月考)已知三棱锥A-BCD中，AB=图，CD=1,LABC=,4CBD=5 tan-ABD=5, 3 3 则当三棱锥A-BCD的体积最大时，二面角A-CD-B的余弦值为 【答案】5 【难度】0.15 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、锥体体积的有关计算、求二面角 【分析】先证点A到平面BCD的距离为定值，再说明当△BCD为等边三角形时，面积最大，再求此时二面角 A-CD-B的余弦值， 【详解】如图：过A作AEI平面BCD,垂足为E,过E作EF L BD于F,连接BE 因为AE⊥平面BCD,BCC平面BCD,所以BC⊥AE. 又BC⊥AB,AB,AEC平面ABE,AB∩AE=A,所以BC⊥平面ABE. BEC平面ABE,所以BC1BE.因为LCBD=于所以LFBE=若 第82页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类似地，可证BD L AF. 在RE△ABF中，AB=华am∠ABF=9→m∠ABF=号cOs∠ABF=晋 3 5 51 所以BF=平os∠ABF-平×-1，AF-g 9 kln-ABF=9×罗-9 Γ3 在Rt△BEF中，∠BFE=5∠FBE=台所以EF=BF,tamg号BE=2BF-2 3 所以AE=VAB2-BEZ= -厚号-停即A点到平面8GD的距离为号 在△BCD中CD=1,∠CBD-号 由余弦定理，得BC2+BD2-2·BC·BD·cos5=CD2=1,所以BC2+BD2-BC·BD=1→1≥BC·BD, 所以S△BcD-专BC:BD:n-年，当且仅当BC=BD即△BCD为等边三角形时取等号， 此时三棱锥A-BCD的体积最大.此时，看底面BCD,如下图： D(F)M 过E作EM L CD,交CD延长线于M. 因为BD=1,BD1DE,∠DBE=名所以EM=DE=×9.BD=号 3 设=面角A-CD-B为0，则an0=品-者-2，所以cos0=应号 故答案为：号 四、解答题 15.(24-25高一下山西·月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA1平面ABCD,点M,N 分别为线段PC,BD上的一点，且PM=2MC,DN=2NB. (1)求证：PC⊥BD;(2)求证：MN/平面PAD. 【答案】(1)证明见详解：(2)证明见详解. 【难度】0.85 【知识点】证明面面平行、面面平行证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】(1)根据题意，连接AC,可证得BD⊥平面PAC,进而可证明PC L BD: (2)在PB,AB上各取一点E,F,使PE=2EB,AF=2FB,根据题意可证明平面PAD//平面MNFE,又MNC 平面MNFE,所以MN/平面PAD. 第83页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)连接AC,如图所示，因为底面ABCD是菱形，所以AC L BD, 又PAI平面ABCD,BDC平面ABCD,所以PA⊥BD, 又ACC平面PAC,PAC平面PAC,且PA与AC相交于点A, 所以BD⊥平面PAC,又PCc平面PAC,所以PC⊥BD (2)如图所示，在PB,AB上各取一点E,F,使PE=2EB,AF=2FB,所以EF/PA, 又点M,N分别为线段PC,BD上的一点，且PM=2MC,DN=2NB,所以ME/IBC,NF/AD, 又底面ABCD是棱形，所以AD/BC,所以ME/AD,NF/IBC, 所以ME/NF,所以点M,N,F,E四点共面， 又ADC平面PAD,PAC平面PAD,且PA与AD相交于点A, 又EF￠平面PAD,ME4平面PAD,所以EF//平面PAD,ME//平面PAD, EFC平面MNFE,MEC平面MNFE,且ME与EF相交于点E,所以平面PAD/平面MNFE, 又MNc平面MNFE,所以MN/平面PAD. 16.(25-26高一下.陕西西安·期中)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA1底面ABCD,M,N分别为CD, PD的中点，AC与BM交于点E,AB=6V2,AD=6,K为PA上一点，PK=PA. (1)证明：KE/MN:(2)求证：平面PAC1平面BMNK;(3)若PA=求BK与平面PAC所成角的正弦值. 【答案】(a证明见解析：2证明见解析：《(32 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求线面角、证明面面垂直 【分析】(1)利用平行关系得出三角形相似，利用相似比相等得出线线平行，进而证明结论： (2)利用勾股定理得出线线垂直，进而利用线面垂直判定定理，由线面垂直证明面面垂直： (3)利用垂直关系得出线面角，计算相关边长进而求解。 【详解】(1)已知底面ABCD是矩形，PAI底面ABCD,M,N分别为CD,PD的中点， 则CM=1CD=AB=3V2, 第84页共90页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABE和△CME中，AB/CM,则三个内角均对应相等，故△ABE~△CME, 相似比为品-等=2.一号=2，即AB=AC, 己知PK=PA,则AK=PA, 由平行线分线段成比例定理可得KE/PC, 又~M,N分别为CD,PD的中点， ∴.MNI/PC,.KE/MN. (2)在矩形ABCD中，AB=6V2,AD=6CM=3V2, ·AC=VAB2+BCZ= 、(6②+36=6N3,则AE=子AC=4W3 BM=VBC2 CM2= 36+(3V2)-36,则BE-BM=2V6, AE2+BE2=48+24=72=AB2=(6N22,AE1BE,即AC1BM, PAI底面ABCD,BMC底面ABCD,故PA⊥BM, PAn AC=A,且PA,ACC平面PAC,÷BM⊥平面PAC, 又，BMc平面BMNK,∴平面PACI平面BMNK. (3)~BMI平面PAC,即BEI平面PAC,∴∠BKE即为BK与平面PAC所成的角， 由(2)知，BE=二BM=2V6, PA=3 PK=3PA=3 AK=PA=3,BK =VAB2+AKZ=(6V2)+32=9, 在Rt△BEK中，sin-BKE=股=号 17.(24-25高一下.安徽宣城期末)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=4,点M为A1B1 的中点 M (1)求点A到平面MBC1的距离： 2)在棱BB上是否存在点O,使得AQ1平面BC1M?若存在，求出器的值：若不存在，请说明理由。 第85页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)AD 17 17:(2存在，9=7 =8 QB 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求点面距离 【分析】(1)过点A作AD 1 BM交BM于点D,交BB1于点E,说明点A到平面MBC1的距离为AD的长度，结 合几何性质求出AD的长度即可：(2)根据给定条件，证明平面BC1M⊥平面AA1B1B,过点A作AQ1BM交BB1 于点Q,利用面面垂直的性质推理作答 【详解】(1)如图所示，过点A作AD 1 BM交BM于点D,交BB1于点E, 因为∠EBD与∠BED互余，∠B1BM与∠B1MB互余，所以∠BED=∠B1MB, 又因为LABE=∠BBM,所以△ABE△B,M,所以器-票 因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=4,点M为A1B1的中点， 所以品=器号-华解得8E=支所以A5=+4=罗 由等面积法有AB·BE=A6,BD,即时·2受：BD,解得BD=,所以4D= 4817 17 17 17 由正棱柱性质可知，BB11平面A1B,C1,而C1Mc平面A1B1C1,从而BB1⊥C1M, 因为三角形A1B1C1是正三角形且点M为A1B1的中点，所以C1M1A1B1: 又因为BB1⊥C1M,A1B1∩BB1=B1,A1B1,BB1C平面ABB1A1,所以C1M⊥平面ABB1A1, 又因为ADC平面ABB1A1,所以C1MIAD 又因为AD⊥BM,BMnC1M=M,BM,C1MC平面BMC1,所以AD⊥平面BMC1, 所以点A到平面MBC1的距离为AD=8v亚 17 M B B (2)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，因为点M为A1B1的中点，则C1M1A1B1, 又A1A1平面A1B1C1,C1MC平面A1B1C1,则有AA11C1M, 而AA1nA1B1=A1,AA1,A1B1C平面AA1B1B,于是C1M1平面AA1B1B, C1MC平面BC1M,则平面BC1M1平面AA1B1B,在平面AA1B1B内过点A作AQ1BM交BB1于点Q, 平面BC1Mn平面AA1B1B=BM,因此AQ1平面BC1M,于是点Q即为所要找的点，所以=7. OB 18.(24-25高一下河南安阳·期末)阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离 散曲率为1-左(2Q1P02+2Q2PQ3+∠Q3PQ4++∠Q-PQk+∠QPQ),其中Q,=1,2,kk≥3) 第86页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2,平面Q2PQ3,·,平面Qk-1PQk和平面QkPQ1为多面体M 的所有以P为公共点的面."已知在直四棱柱ABCD一A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1=AB.（角的运 算均采用孤弧度制) (1)若AC=BD,求四棱柱ABCD-A1B1C1D1在任意三个顶点处的离散曲率的和； 2)若BC与平面ACC1所成角的正弦值为，求四棱柱ABCD-A1B1C1D,在顶点A处的离散曲率； (3)截取四面体A1-ABD,若该四面体在点A:处的离散曲率为品，AC与平面A1BD交于点C,求怨 【答案】(1层：(2片3明 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、求线面角、立体几何新定义 【分析】(1)由题可推导直四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，根据概念即可求离散曲率： (2)由题可证BD1平面AC1,即∠BC10即为8C:与平面AC1所成的角，利用其正弦值为源，可得OB=号BC, 根据余弦定理的推论可求∠DAB-否，即可得到在点A处的离散曲率； (3)由点A1处的离散曲率为品可得∠BA1D=于继而可得四棱柱ABCD-A1B1C1D为正方体，然后可推 导AG是三棱锥A-A:BD的高，即可求总的值 【详解】(1)若AC=BD,则菱形ABCD为正方形，即AB 1 AD 因为AA11平面ABCD,AA1=AB,所以直四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体， 故在任意顶点处的离散曲率均为1-（传++）= 所以四棱柱ABCD-A1B,CD1在任意三个顶点处的离散曲率的和为 (2)因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD 又直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,所以CC1I平面ABCD, 因为BDC平面ABCD,所以CC1⊥BD. 又AC,CC1C平面ACC1,ACnCC1=C,所以BD1平面ACC1 设AC∩BD=O,则LBC1O即为BC1与平面ACC1所成的角， 在ABC,0吨，SnBC,0=器=9 所以0B=孕8C=号×V2BC=98C,所以0CB=5则DAB=号 4 4 因为AA11平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,所以AA11AB,AA11AD 所以直四棱柱ABCD-A1B:C1D1在顶点A处的离敬曲率为1-（侣++∠DAB）=君 (3)如图，在四面体A1-ABD中，AA11AB,AA11AD,AA1=AB=AD, 所以LAA1B=∠AAD=FA1B=A1D=V2AB, 所以四面体A:-ABD在点4处的离散曲率为1-（任++∠BA:D）品所以LBA,D=青 所以△BA1D为等边三角形，所以BD=A1D=√2AB. 又在△ABD中，AB=AD,所以AB 1 AD, 第87页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以直四棱柱ABCD一A1B1C1D1为正方体 因为C1D11平面ADD1A1,A1DC平面ADD1A1,所以C1D1⊥A1D 又A1D⊥AD1:AD1∩C1D1=D1,AD1,C1D1C平面AC1D1,所以A1D⊥平面AC1D1: 又AC1C平面AC1D1,所以AC1⊥A1D. 因为CC1⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以CC1⊥BD 又AC,CC1C平面ACC1,ACnCC1=C,所以BD⊥平面ACC1. 又AC1C平面ACC1,所以AC1⊥BD. 又A1D∩BD=D,A1D,BDC平面A1BD,所以AC11平面A1BD, 所以AG是三棱锥A-A1BD的高. 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则BD=√2a,AC1=V3a, 因为A-ABD=VA-ABD:所以SBDAG=言SAABD·AA, 所以2aV2asin60AG=专aaa,所以MG-号a 所以46 D A 19.(23-24高一下·安徽期末)如图①，己知△AB'C是边长为2的等边三角形，D是AB的中点，DH1BC, 如图②，将△BDH沿边DH翻折至△BDH B D H 图① 图② (1在线段BC上是否存在点F,使得AF/平面BDH?若存在，求的值：若不存在，请说明理由： FC (2)若平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为2V2,求点B到直线CH的距离. 【答案】a作在，影-克a9 【难度】0.4 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、证明线面 垂直、面面平行证明线面平行 【分析】(1)在图①中，取BM的中点M,连接AM,证明AMI/DH,则AM/平面BDH,在线段BC上取 第88页共90页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点F使器-克连接R,1,证明平面AMF/平面BDH,再根据面面平行的性质即可得解， (2)连接BB',取BB的中点T,连接TH,TD,DH⊥平面BCH,易得TH 1 BB,DT 1 BB',则∠DTH即为平面 BHC与平面BDA所成的二面角的平面角，求出TH,再利用等面积法求解即可. 【详解】(1)在图①中，取BM的中点M,连接AM,如图所示， D B H M 因为△AB'C是等边三角形，BC的中点为M,所以AML B'C, 因为DH1BC,所以AMI/DH, 在图②中，AM/IDH,AM￠平面BDH,DHC平面BDH, 所以AM/平面sDA,且器-克 在线段BC上取点F使二-京连接MD,4,如图所示， B M 因为器-器=克所以MF/BH 又因为BHC平面BDH,MFt平面BDH,所以MF/平面BDH, 又因为ME n AM=M,MF,AMc平面AMF,所以平面AMF/平面BDH, 又因为AFc平面AMF,所以AF//平面BDH, 所以存在点P满足题意，且器- (2)如图所示，连接BB,取BB的中点T,连接TH,TD, 由折叠性质可得BD=BD,BH=BH,B∈平面ABD,B∈平面BCH, 因为DH 1 BH,DH L CH,BHnCH=H,BH,CHC平面BCH,所以DH⊥平面BCH, 又THc平面BCH,所以DH⊥TH, 因为T为BB的中点，所以TH 1 BB,DT 1 BB, 所以∠DTH即为平面BHC与平面BDA所成的二面角的平面角， 由(1)可得DH=9,BH=BH=BD=BD=1, 因为平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为2√2， 所以tan-DTH=器=2W2,所以TH=号，所以BT=VBP-T=-,所以BB-四 第89页共90页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设点B到直线CH的距离为h,则SaHB=BB,TH=BH:九，明吲×四x普-×九，解得h=四 82 8 即点B到直线CH的距离为酒 B 第90页共90页