第四章 立体几何初步 章末复习课导学案-2024-2025学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第四章　立体几何初步 章末复习课 考点一　空间中的平行关系 1．空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行． 2．通过线线平行、线面平行、面面平行之间相互转化的考查，提升学生的直观想象和逻辑推理素养． 例1　如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N、Q分别为BC、PA、PB的中点． (1)证明：平面MNQ∥平面PCD； (2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 跟踪训练1　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证： (1)直线SC∥平面A1BD； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 考点二　空间中的垂直关系 1．主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化． 2．通过线线垂直、线面垂直、面面垂直之间相互转化的考查，提升学生直观想象和逻辑推理素养． 例2　如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，若PA＝PD，平面PAD⊥平面ABCD. (1)求证：AD⊥PB； (2)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论． 跟踪训练2　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4. (1)求证：AC⊥平面BCE； (2)求证：AD⊥AE. 考点三　简单几何体的表面积与体积 1．主要考查多面体、旋转体的表面积，旋转体的侧面展开图，柱体、锥体、台体的体积，球的表面积和体积，不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解． 2．通过对空间几何体的表面积与体积的考查，提升学生的数学运算素养． 例3　如图所示，在四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1，设M，N分别为PD，AD的中点． (1)求证：平面CMN∥平面PAB； (2)求三棱锥ACMN的侧面积． 跟踪训练3　如图，已知三棱锥APBC，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝4，PA⊥PC，D为AB的中点，且△PDB为正三角形． (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)求三棱锥DPBC的体积． 第四章　立体几何初步 章末复习课 考点聚集·分类突破 例1　解析：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，M、N、Q分别为BC、PA、PB的中点， ∴NQ∥AB∥CD，MQ∥PC， 又NQ⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，MQ⊄平面PCD，PC⊂平面PCD， ∴NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD， ∵NQ∩MQ＝Q， 且NQ、MQ⊂平面MNQ， ∴平面MNQ∥平面PCD. (2)存在点E是线段PD的中点，使得MN∥平面ACE，且＝.证明如下： 取PD中点E，连接NE，CE， ∵N、E、M分别是AP，PD，BC的中点，∴NE∥AD，NE＝AD，且BC∥AD，BC＝AD，即MC∥AD，MC＝AD， ∴NE∥MC，NE＝MC，∴四边形MCEN是平行四边形， ∴MN∥CE， ∵MN⊄平面ACE，CE⊂平面ACE，∴MN∥平面ACE，且＝. 跟踪训练1　证明：(1)连接AC与BD交于点O，连接A1S，A1O，则A1S∥OC，且A1S＝OC，则四边形A1SCO为平行四边形，所以SC∥A1O， ∵SC⊄平面A1BD，A1O⊂平面A1BD， ∴SC∥平面A1BD. (2)连接SB，因为G，E分别是SC，BC中点，所以GE∥SB， 又因为SB⊂平面BDD1B1，GE⊄平面BDD1B1， 所以GE∥平面BDD1B1， 同理EF∥平面BDD1B1， 因为GE，EF⊂平面EFG，且GE∩EF＝E， 所以平面EFG∥平面BDD1B1. 例2　解析：(1)如图，取AD的中点O，连接PO，BO，BD， 因为PA＝PD，所以PO⊥AD. 因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°， 所以△ABD是等边三角形． 又O是AD的中点，所以AD⊥OB. 又OB∩OP＝O， 所以AD⊥平面POB. 因为PB⊂平面POB，所以AD⊥PB. (2)当F是棱PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD，连接OE，OC. 因为在菱形ABCD中，E为BC的中点，O是AD的中点， 所以DO∥CE，DO＝CE， 所以四边形DOEC是平行四边形． 设DE∩OC＝M，所以M是OC的中点． 连接FM. 又因为F是棱PC的中点， 所以FM∥PO. 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD， 所以PO⊥平面ABCD， 所以FM⊥平面ABCD. 又因为FM⊂平面DEF， 所以平面DEF⊥平面ABCD. 跟踪训练2　 证明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4， 所以AC＝BC＝2， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. 因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE， 所以BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以BE⊥AC. 又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. (2)因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以AF⊥AD. 又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD. 又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩=AB＝A， 所以AD⊥平面ABEF. 又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE. 例3　解析：(1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA， 又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB， 在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°， 又∠BAC＝60°，∴CN∥AB， ∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB， 又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB. (2)∵PA⊥平面ABCD，AN⊂平面ABCD，CN⊂平面ABCD， 由(1)可知MN∥PA，∴MN⊥AN，MN⊥CN， ∵∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA＝2，AB＝1， ∴AC＝2AB＝2，AD＝2AC＝4，MN＝PA＝1， 由(1)可知CN＝AN＝AD＝2， 在Rt△CMN中，AM＝CM＝＝＝， ∴S△ACN＝AN·CN·sin 60°＝×2×2×＝， 又S△AMN＝AN·MN＝×2×1＝1， 在△ACM中，AM＝CM， ∴AC边上的高h＝＝＝2， ∴S△ACM＝AC·h＝×2×2＝2， ∴三棱锥ACMN的侧面积S＝S△ACN＋S△AMN＋S△ACM＝3＋. 跟踪训练3　 解析：(1)∵D为AB的中点且△PDB为正三角形， ∴AP⊥PB， 又∵PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC， ∴AP⊥BC， 又AC⊥BC，且PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC. (2)由(1)得PB＝10且PC＝＝＝2， 所以S△PBC＝BC·PC＝×4×2＝4， 又AP⊥平面PBC，且AP＝＝＝10， VAPBC＝AP·S△PBC＝×10×4＝40， 由D为AB的中点，所以VDPBC＝VAPBC＝×40＝20. 学科网（北京）股份有限公司 $