第4章 立体几何(高效培优单元测试·提升卷)高一数学湘教版必修第二册

**基本信息** 高一下学期立体几何单元提升卷，覆盖空间几何体结构、位置关系、空间角与球等核心知识，通过基础巩固到创新应用的梯度设计，适配单元复习，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|正方体结构、正棱锥性质、斜二测画法等|单选夯实基础（如第1题立方体涂色），多选综合辨析（如第9题正方体动点问题）| |填空题|3题15分|鳖臑外接球、线面角与二面角、球与正四面体交线|结合文化传承（如第12题《九章算术》），考查空间想象| |解答题|5题77分|四棱锥线面平行、折叠问题、二面角求解等|综合逻辑推理与运算（如第17题折叠问题），层次分明|

■■■■ 高一下学期第4章立体几何 (高效培优单元测试提升卷)答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 n 意事 体工整、笔迹清晰。 0 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域 1 1 内作答，超出区域书写的答案无 2 123 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 1234 23 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 4 123456789 5 破。 6 5.正确填涂 789 6789 6789 56789 6789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、 单选题（共8小题， 每小题5分，共40分) 1 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[A][BI[C][D] 艾廨 3 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 4[AJ[B][C][D] 8[A][BI[C][D] 多选题（共3小题，每小题6分， 共18分) 9[A][B[C][D] 10[A][BI[C][D 11[A][BI[C][D] 三、填空题（共3小题， 每小题5分，共15分) 12 13 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 15.(13分) p E ---=习D B也 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) A B.- E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 高一下学期 第4章 立体几何 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名_________ 班级________ 考号________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(24-25高一下·四川成都·期末)如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其分割成棱长为1cm的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为(   ) A．8 B．16 C．24 D．32 2.(24-25高一下·河南·期末)关于正九棱锥，下列判断错误的是(   ) A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 3.(25-26高一·全国·假期作业)如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是( ) A． B． C． D． 4.(2025高一·全国·专题练习)如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球(球与圆锥的底面和侧面均相切)的半径为1，则(    ) A． B． C． D． 5.(24-25高一下·江苏淮安·月考)如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=(   ) A． B． C． D． 6.（23-24高一下·河北保定·期末）在正三棱柱中，，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 7.（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，，点E是上的点，且．设异面直线与所成角为，直线与平面所成角为，二面角的大小为．若，则（    ） A． B．1 C． D．2 8.(2026高一·全国·专题练习)如图，长方体的长、宽、高分别，且分别为上底面、下底面(含边界)内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线长为(    ) A． B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（24-25高一下·重庆·期末）正方体的边长为2，O为底面的中心，是正方形内（不包含正方形的四边）的动点，则下列说法正确的是（   ） A．OP，BC一定是异面直线 B．当是正方形的中心时，与所成角为 C．当在线段上移动时，的最小值为 D．当与平面所成角为定值（非直角）时，的运动轨迹是一段圆弧 10.（24-25高一下·浙江杭州·期中）棱长为1的正方体，E是的中点，P是平面上的动点，平面与平面的交线为l，则（    ） A．EP的最小值为1 B．的最小值为 C．存在一点P，使得 D．在点P运动过程中，l不可能与AD平行 11.（25-26高一下·山东·期中）已知圆锥SO高为3，底面圆半径为1，点和点是底面圆上的两个定点，点是底面圆上的动点（不与A，C重合），且恒成立，则（    ） A．圆锥SO的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为3 C．圆锥SO外接球的表面积为 D．当三棱锥体积取到最大值时，若为线段AB上的动点，则的最小值为 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.（25-26高一下·贵州毕节·期中）《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 13.（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 14.(24-25高一下·四川成都·期末)以点O为球心，半径为的球的表面与以点O为顶点，棱长为6的正四面体表面的交线为P，则P的总长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)（25-26高一下·四川宜宾·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积． 16.(15分)（24-25高一下·北京·期末）在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，. (1)若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：； (2)①证明：；②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值. 17．(15分)（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正切值. 18．(17分)（25-26高一上·湖南邵阳·期末）如图，已知在四面体中，，. (1)求证：直线在平面上的射影平分； (2)记直线与平面所成的角为，求证：； (3)若，，二面角为直二面角，求棱的长度的取值范围. 19．(17分)(22-23高一下·江苏无锡·期末)已知是内一点，. (1)若是的外心，求的余弦值；(2)若是的垂心，是平面外一点，且平面，当四面体外接球体积最小时，求的值. 数学 第4页(共6页) 数学 第5页(共6页) 数学 第6页(共6页) 数学 第1页(共6页) 数学 第2页(共6页) 数学 第3页(共6页) 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高一下学期第4章立体几何 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1,本试卷分第1卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第〡卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1.(24-25高一下·四川成都期末)如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其分割成棱长为1cm 的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为) A.8 B.16 C.24 D.32 2.(24-25高一下·河南·期末)关于正九棱锥，下列判断错误的是() A.正九棱锥有18条棱 B.正九棱锥的侧棱都相等 C.正九棱锥有18个面 D.正九棱锥的底面是正九边形 3.(25-26高一·全国·假期作业)如图所示，一个水平放置的△ABC的斜二测直观图是△ABC',若0A'=V3, 0B'=0'C'=2,则△ABC的面积是() A.3 B.23 C.35 D.4V5 O C 4.(2025高一全国.专题练习)如图，圆锥的底面半径为r,高为3r,且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面 均相切)的半径为1，则r=() 第1页共6页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4v6 D.1+0 3 B.1 3 C.1+0 2 3 A 5.(24-25高一下·江苏准安·月考)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC 上一点，当PA/平面EBF时，是 A司 B. C. D. 6.（23-24高一下·河北保定·期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,则点A到平面A1BC的距离 为() A.V2 B.227 7 C. 2 D.1 7.(23-24高一下.湖北武汉，期末)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD1平面ABCD,SD=2a,AD= √2a,点E是SD上的点，且DE=1a(0<1≤2).设异面直线SC与AB所成角为a,直线BE与平面ABCD所成 角为B,二面角C-AE-D的大小为y.若tanatanBtany=√2，则)=() A号 B.1 C.v2 D.2 8.(2026高一·全国.专题练习)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别4V5,8,3,且E,F分别为上底 面、下底面（含边界）内的动点，当AE+EF+FC1最小时，以A为球心，AE的长为半径的球面与上底面A1B1C1D1 的交线长为) A.2 B.π C. D.2π B 4V5 第2页共6页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.(24-25高一下.重庆期末)正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，O为底面ABCD的中心，P是正方形BCC1B1 内（不包含正方形的四边）的动点，则下列说法正确的是() A.OP,BC一定是异面直线 B.当P是正方形BCCB1的中心时，OP与AB所成角为 C.当P在线段BC1上移动时，A1P+PC的最小值为V6+V2 D.当OP与平面BCC1B1所成角为定值（非直角）时，P的运动轨迹是一段圆弧 10.(24-25高一下.浙江杭州期中)棱长为1的正方体，E是CC1的中点，P是平面ADD1A1上的动点，平面EBP 与平面ABCD的交线为I,则() A.EP的最小值为1 B,EP+BP的最小值为四 2 C.存在一点P,使得EP 1 CD D.在点P运动过程中，I不可能与AD平行 D A D 11.(25-26高一下山东·期中)己知圆锥S0高为3，底面圆0半径为1，点A和点C是底面圆0上的两个定点， 点B是底面圆O上的动点（不与A,C重合），且BA·BC=0恒成立，则() A.圆锥SO的侧面积为V10π B.三棱锥S-ABC体积的最大值为3 C.圆锥S0外接球的表面积为m D.当三棱锥S-ABC体积取到最大值时，若E为线段AB上的动点，则SB+CE的最小值为V12+2V19 第川卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(25-26高一下·贵州毕节·期中)《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.现 有一个“鳖臑”，PA⊥底面ABC,AC1BC,且PA=3,AC=BC=2,则该“鳖臑”外接球的体积为 第3页共6页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ->B 13.(25-26高一下·浙江宁波·期中)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2,AC=2BC=2V2,平面PAC1 平面ABC.若Q为线段PC上的动点（不含端点），记QA与平面ABC所成角为a,锐二面角Q一AB一C的平面 角为B,则tan(B-a)的最大值为· 14.(24-25高一下四川成都期末)以点0为球心，半径为3V3的球的表面与以点0为顶点，棱长为6的正四 面体表面的交线为P,则P的总长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)(25-26高一下.四川宜宾期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，点P到平面 ABCD的距离为2，AD=2,E、F分别是PB和BD的中点. (1)证明：EF/平面PAD:(2)求三棱锥C-PBD的体积， D A D B 16.(15分)(24-25高一下·北京·期末)在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE,BC= 2,CD=2,AB=AC. (1)若点P是线段AD上任意一点，且平面BCP交棱AE于点Q,求证：PQ DE; (2)①证明：AD⊥CE;②设侧面ABC为等边三角形，求二面角C-AD-E的余弦值. 第4页共6页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 17.(15分)(25-26高一下.安徽阜阳·期中)如图，在平行四边形ABCD中，AD=BD=2,AD1BD,BF 为△BCD的中线，将△BCF沿BF折叠，使点C到点E的位置，连接AE,DE,CE,且CE=2. (1)求证：EF⊥平面ABCD;(2)求直线AE与平面BEF所成角的正切值. D B 18.(17分)(25-26高一上·湖南邵阳·期末)如图，己知在四面体A-BCD中，∠BAC=∠CAD=∠BAD=6, 9e(0,) (1)求证：直线AD在平面ABC上的射影平分∠BAC; (2)记直线AD与平面ABC所成的角为a,求证：cosa= (3)若AB=3,AD=4,二面角A-BC-D为直二面角，求棱AC的长度的取值范围. 第5页共6页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(17分)(22-23高一下江苏无锡期末)已知H是△ABC内一点，A=AB+AC. (1)若H是△ABC的外心，求∠BAC的余弦值：(2)若H是△ABC的垂心，P是△ABC平面外一点，且PH⊥平面ABC, 当四面体PABC外接球体积最小时，求器的值。 第6页共6页 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 高一下学期 第4章 立体几何 (高效培优单元测试·提升卷) 答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11[A] [B] [C] [D] 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高一下学期第4章立体几何 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1.本试卷分第「卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生 务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 目 2.回答第|卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。 典 写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的， 1.(24-25高一下·四川成都期末)如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm 的立方体，将其分割成棱长为1cm的小立体，则两面是红色的小立方体 N 的个数为) A.8 B.16 C.24 D.32 2.(24-25高一下河南·期末)关于正九棱锥，下列判断错误的是() A.正九棱锥有18条棱 B.正九棱锥的侧棱都相等 C.正九棱锥有18个面 D.正九棱锥的底面是正九边形 慰 潮 3.(25-26高一全国·假期作业)如图所示，一个水平放置的△ABC的斜二测 直观图是△AB'C',若0A'=V3,0B'=0C'=2,则△ABC的面积是 A.V3 B.2V3 C.3V3 D.4v3 烂 B C 4.(2025高一·全国.专题练习)如图，圆锥的底面半径为，高为3r,且该 圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则r=() 数学第1页（共6页） A.1+5 B.5-1 C.1+o D.1+0 3 3 2 3 E 5.(24-25高一下·江苏淮安·月考)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外 一点，B为线段AD的中点，F为PC上一点，当PA/平面EBF时，是) A B. C. D.月 6.（23-24高一下·河北保定·期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB= AA1=2,则点A到平面A1BC的距离为（) A.V2 B.227 7 c.号 D.1 7.（23-24高一下·湖北武汉·期末)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方 形，SDI平面ABCD,SD=2a,AD=V2a,点E是SD上的点，且DE= 1a(0<1≤2).设异面直线SC与AB所成角为a,直线BE与平面ABCD所 成角为B,二面角C-AE-D的大小为y.若tanatanBtany=V2,则入= () A.② B.1 C.v2 D.2 2 D 4v⑤ 8.(2026高一全国·专题练习)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、 高分别4V5,8,3,且E,F分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当AE+ EF+FC1最小时，以A为球心，AE的长为半径的球面与上底面A1B1C1D1 的交线长为() A.2 B.π C. D.2π 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分 9.(24-25高一下.重庆期末)正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，O为 底面ABCD的中心，P是正方形BCC1B1内（不包含正方形的四边）的动点， 数学第2页（共6页） 则下列说法正确的是() A.OP,BC一定是异面直线 B.当P是正方形BCC1B1的中心时，OP与AB所成角为 C.当P在线段BC1上移动时，A1P+PC的最小值为V6+V2 D.当OP与平面BCC1B1所成角为定值（非直角）时，P的运动轨迹是一 段圆弧 10.（24-25高一下浙江杭州期中)棱长为1的正方体，E是CC1的中点， P是平面ADD1A1上的动点，平面EBP与平面ABCD的交线为I,则() A.EP的最小值为1 B.EP+BP的最小值为 C.存在一点P,使得EP 1 CD D.在点P运动过程中，1不可能与AD平行 D 11.(25-26高一下山东·期中)己知圆锥S0高为3，底面圆0半径为1， 点A和点C是底面圆0上的两个定点，点B是底面圆0上的动点（不与A,C 重合)，且BA·BC=0恒成立，则() A.圆锥SO的侧面积为V10πB.三棱锥S-ABC体积的最大值为3 C.圆锥S0外接球的表面积为gm D.当三棱锥S一ABC体积取到最大值时，若E为线段AB上的动点，则SE+ CE的最小值为V12+2V19 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(25-26高一下·贵州毕节·期中)《九章算术》中记载，四个面都为直 角三角形的四面体称之为“鳖臑”.现有一个“鳖臑”，PA1底面ABC,AC1 BC,且PA=3,AC=BC=2,则该“鳖臑”外接球的体积为。 13.(25-26高一下浙江宁波期中)如图，在三棱锥P-ABC中， 数学第3页（共6页） PA=PB=PC=2,AC=2BC=2V2,平面PAC⊥平面ABC.若Q为线段PC 上的动点（不含端点），记QA与平面ABC所成角为a,锐二面角Q-AB-C 的平面角为B,则tan(B-a)的最大值为一， 14.(24-25高一下四川成都期末)以点0为球心，半径为3V3的球的表面 与以点O为顶点，棱长为6的正四面体表面的交线为P,则P的总长度 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。 15.(13分)(25-26高一下·四川宜宾期中)如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD为正方形，点P到平面ABCD的距离为2，AD=2,E、F 分别是PB和BD的中点， (1)证明：EF/平面PAD;(2)求三棱锥C-PBD的体积. D B 16.(15分)(24-25高一下.北京，期末)在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC1底面BCDE,BC=2,CD=V2,AB=AC (1)若点P是线段AD上任意一点，且平面BCP交棱AE于点Q,求证：PQ‖DE: (2)①证明：AD1CE;②设侧面ABC为等边三角形，求二面角C-AD-E 的余弦值. B. 数学第4页（共6页） 17.(15分)(25-26高一下.安徽阜阳期中)如图，在平行四边形ABCD 中，AD=BD=2,AD 1 BD,BF为△BCD的中线，将△BCF沿BF折叠， 使点C到点E的位置，连接AE,DE,CE,且CE=2. (1)求证：EF⊥平面ABCD:(2)求直线AE与平面BEF所成角的正切值 D B 18.(17分)(25-26高一上.湖南邵阳·期末)如图，己知在四面体A-BCD 中，∠BAC=∠CAD=∠BAD=8,0∈(O, (1)求证：直线AD在平面ABC上的射影平分LBAC: (2)记直线AD与平面ABC所成的角为a,求证：cosa=os: (3)若AB=3,AD=4,二面角A-BC-D为直二面角，求棱AC的长度的 取值范围. 数学第5页（共6页） 19.(17分)(22-23高一下·江苏无锡·期末)已知H是△ABC内一点，AH= AB+AC. (1)若H是△ABC的外心，求LBAC的余弦值；(2)若H是△ABC的垂心，P 是△ABC平面外一点，且PH⊥平面ABC,当四面体PABC外接球体积最小 时，求器的值。 数学第6页（共6页） 高一下学期 第4章 立体几何 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(24-25高一下·四川成都·期末)如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其分割成棱长为1cm的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为(   ) A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，其它的小正方体有2面涂有红色，问题得以解决. 【详解】位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外， 其它的小正方体有2面涂有红色，总共有个. 故选：C. 2.(24-25高一下·河南·期末)关于正九棱锥，下列判断错误的是(   ) A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】根据正棱锥的性质，即可判断选项. 【详解】正九棱锥有18条棱、10个面，正九棱锥的侧棱都相等，正九棱锥的底面是正九边形． 故选：C 3.(25-26高一·全国·假期作业)如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测直观图求出, 的长，求出的面积． 【详解】由斜二测直观图可知，且， 则的面积. 故选：D. 4.(2025高一·全国·专题练习)如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球(球与圆锥的底面和侧面均相切)的半径为1，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】作出辅助线，得到三角形相似，表达出各边，根据相似得到方程，求出答案. 【详解】由题意得⊥，⊥，故∽，故， 其中， 故，， 所以，即，解得. 故选：D 5.(24-25高一下·江苏淮安·月考)如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接交于点，连接，由线面平行的性质得，即有，结合已知得，即可得. 【详解】连接交于点，连接，显然平面平面， 又平面，平面，则，即， 由为平行四边形，且E为线段AD的中点，易知，所以. 故选：A 6.（23-24高一下·河北保定·期末）在正三棱柱中，，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离 【分析】利用三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】在正三棱柱中，，所以， 由勾股定理可得， 在等腰三角形中，底边上的高长为， 所以等腰三角形的面积为， 设点A到平面的距离为，. 故选：B. 7.（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，，点E是上的点，且．设异面直线与所成角为，直线与平面所成角为，二面角的大小为．若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求二面角、求线面角、证明线面垂直、求异面直线所成的角 【分析】根据空间角的相关定义分析可得，，，结合题意列式求解即可. 【详解】因为平面，平面，可得， 又因为为正方形，则，且，平面，可得平面. 因为∥，可知异面直线与所成角， 在中，可得； 因为平面，可知直线与平面所成角， 在中，可得； 过作，垂足为，连接， 因为，则，， 因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得，可知二面角的平面角， 在中，可得； 因为，即，解得. 故选：C. 8.(2026高一·全国·专题练习)如图，长方体的长、宽、高分别，且分别为上底面、下底面(含边界)内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线长为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】棱柱、判断正方体的截面形状、球的截面的性质及计算、立体几何中的轨迹问题 【分析】最小时，分别为的三等分点，得到以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，结合扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意得，要使得最小，则要在同一个平面内，即平面内， 如图(1)所示，可得， 所以， 当最小时为， 此时，即分别为的三等分点， 因为，所以， 分别在取点，使得，可得， 则以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，如图(2)所示， 所以轨迹的长度为. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（24-25高一下·重庆·期末）正方体的边长为2，O为底面的中心，是正方形内（不包含正方形的四边）的动点，则下列说法正确的是（   ） A．OP，BC一定是异面直线 B．当是正方形的中心时，与所成角为 C．当在线段上移动时，的最小值为 D．当与平面所成角为定值（非直角）时，的运动轨迹是一段圆弧 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角 【分析】利用正方体的性质，容易判断AB，对于C需要利用侧面展开图来求解，对于D则把线面角转化为边的关系，从而得到动点在圆上，但轨迹不一定是一段圆弧. 【详解】对于A选项，因为是正方形内（不包含正方形的四边）的动点，即， 所以由异面直线判定定理知，故A正确； 对于B选项，易知，所以与所成角为，故B错误； 对于C选项：将正三角形与等腰直角三角形展开到同一平面内， 得到四边形，则线段即为的最小值， 在中，由余弦定理知： 故，故C正确； 对于D选项：取BC中点，那么平面， 那么即为OP和平面所成角， 那么为定值，又为定值，故为定值， 所以点在以为圆心以为半径的圆上， 由于半径大小不定，点是正方形内（不包含正方形的四边）的动点可能是一段圆弧或二段圆弧，故D错误； 故选：AC 10.（24-25高一下·浙江杭州·期中）棱长为1的正方体，E是的中点，P是平面上的动点，平面与平面的交线为l，则（    ） A．EP的最小值为1 B．的最小值为 C．存在一点P，使得 D．在点P运动过程中，l不可能与AD平行 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】对于A，取的中点为，则得，证明平面，即得EP的最小值为1；对于B，作出点关于平面的对称点，连接，利用三点共线时，距离之和最短即可求得；对于C，运用反证法思想，假设，通过证明平面，推得引出矛盾，排除C项；对于D，利用平面，而平面平面，得到平面与平面的交线必与直线交于一点即可. 【详解】对于A，当点为的中点时，因E是的中点，易得， 因平面平面，平面平面， 而 平面，则平面，此时取得最小值1，故A正确； 对于B，如图，作出点关于平面的对称点，连接，交平面于点， 此时，，则取得最小值， 因平面，平面，故， 在中，， 则，即的最小值为，故B正确； 对于C，如图，连接，因平面，平面，故， 假设，因平面，故平面， 又平面，则，产生矛盾，故假设不成立， 即不存在一点P，使得，故C错误； 对于D，在点P运动过程中，因平面，而平面平面， 则平面与平面的交线必与直线交于一点，故l不可能与AD平行，故D正确. 故选：ABD. 11.（25-26高一下·山东·期中）已知圆锥SO高为3，底面圆半径为1，点和点是底面圆上的两个定点，点是底面圆上的动点（不与A，C重合），且恒成立，则（    ） A．圆锥SO的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为3 C．圆锥SO外接球的表面积为 D．当三棱锥体积取到最大值时，若为线段AB上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.32 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式可判断A；利用基本不等式结合锥体的体积公式可判断B；易知球心在直线上，球心到底面圆心的距离为，则得到半径，利用球体表面积公式可判断C；将展开为一个平面，利用余弦定理可判断D. 【详解】因为，所以， 由圆的性质可知，为底面圆的直径，故， A，母线长， 因此圆锥SO的侧面积为，故A正确； B，因为，故， 由基本不等式，即， 所以，当且仅当时，等号成立 三棱锥体积为， 所以三棱锥体积的最大值为，故B错误； C，设外接球的球心为，半径为 ，球心在圆锥的轴上， 设，则到底面圆心的距离为，故， 到顶点的距离为 ，故，则，得， 因此，外接球表面积：，故C正确； D，当时，易知，将展开为一个平面，如下图所示： 在中，， 由余弦定理可得， 所以，易得， 所以， 由余弦定理可得， 当三点共线时，的长取最小值，且其最小值为，故D正确. 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.（25-26高一下·贵州毕节·期中）《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 【答案】 【难度】0.68 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】确定“鳖臑”外接球的球心，求出球半径，再求出球的体积. 【详解】取中点，连接，由底面，平面， 得，而，平面， 则平面，又平面，因此，， 该“鳖臑”外接球的球心为，球半径， 所以该“鳖臑”外接球的体积为. 13.（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、求线面角、求二面角 【分析】先根据已知条件得出为等腰直角三角形，为一个角为的直角三角形，再通过作垂线构造出与平面所成角以及锐二面角的平面角，然后利用几何关系得到，从而将转为关于的表达式，最后利用基本不等式得出最大值. 【详解】因为，所以为等腰直角三角形，取中点， 则，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以， 故是直角三角形，为直角，又，可得， 作，垂足为，因为平面平面，平面平面， 所以平面， 则即为与平面所成角，再作，因为平面， 所以，又，故平面，于是有， 从而即为锐二面角的平面角，而由及 可得，所以，即， 得，因为为线段上的动点且不含端点， 可知，所以， 等号在即时取得，所以的最大值为. 14.(24-25高一下·四川成都·期末)以点O为球心，半径为的球的表面与以点O为顶点，棱长为6的正四面体表面的交线为P，则P的总长度为________． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】弧长的有关计算、球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先在正四面体中求出高，判断出底面与球相交，交线是一个圆，进而求出底面圆的半径为，即可求出球与底面相交的交线长；然后在侧面在三个侧面等边三角形中，求出到对边中点的距离都是，即可得知每个侧面与球的交线是以为圆心，以为半径，圆心角为的圆弧， 算出三个侧面与球相交的总弧长，即可求出交线P的总长度. 【详解】 如图所示的正四面体，棱长为6，设底面中心为， 在等边中，为边的中点，可知， 所以在中，求得正四面体的高， 所以正四面体的底面与球相交，交线是一个圆，圆心恰为， 设底面圆的半径为，则， 所以球与底面交线的周长为. 在三个侧面等边三角形中，到对边中点的距离都是，例如， 所以每个侧面与球的交线是以为圆心，以为半径， 圆心角为的圆弧，所以弧长为， 所以三个侧面的总弧长为. 所以交线P的总长度为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)（25-26高一下·四川宜宾·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【难度】0.84 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行 【分析】（1）由线面平行的判定结合中位线的条件即可求证； （2）使用等体积法结合条件中到平面的距离即可求解. 【详解】（1）在中，分别是和的中点，， 又平面平面平面． （2）由题意得点到平面的距离为2；即三棱锥的高为2， 四边形是正方形，， 三棱锥的体积为． 三棱锥的体积为． 16.(15分)（24-25高一下·北京·期末）在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，. (1)若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：； (2)①证明：；②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析．② 【难度】0.85 【知识点】求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）因为，得到，结合线面平行的性质定理得到，通过平行的传递性证得；（2）①作，垂足为连接利用三垂线定理，即可证得；②利用二面角的定义，得到即为所求二面角的平面角，在中，利用余弦定理，即可求解二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为底面为矩形，所以， 又平面,平面,所以. 平面，平面平面， 又因为，所以. （2） ①证明：取的中点，连接, 因为，所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面为矩形，且，，的中点， 所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以； ②在面内过点作的垂线，垂足为，连接， 因为底面为矩形，所以,由题意知平面， 由①知， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以即为所求二面角的平面角． 因为平面，平面，所以， 因为侧面为等边三角形，，所以， 因为，，所以，所以， 同理得， 所以, 在等腰中， ， 在中，由余弦定理． 二面角的余弦值为. 17．(15分)（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求线面角 【分析】（1）用勾股定理证明，再用等腰三角形中线得，进而再由折叠可得，再用线面垂直的判定定理可得； （2）先证平面，从而可得平面，进而可得与平面所成的角为，在直角三角形计算可得. 【详解】（1）因为，且，所以，. 又为的中线，所以.因为，所以，所以. 由题意知，为的中线，所以. 而是沿折叠到点的位置，所以 因为，，且，且平面， 所以平面. （2）因为，，，所以平面. 又，所以平面，所以与平面所成的角为. 在中，，，所以. 所以直线与平面所成角的正切值. 18．(17分)（25-26高一上·湖南邵阳·期末）如图，已知在四面体中，，. (1)求证：直线在平面上的射影平分； (2)记直线与平面所成的角为，求证：； (3)若，，二面角为直二面角，求棱的长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、由线面角的大小求值、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）过点作平面交平面于点，连接，则直线为直线在平面内的射影.在平面内，过点作交于点，过点作交于点，连接、，证明出，可得出，再证明出，可得出，即可证得结论成立； （2）由（1）得，结合锐角三角函数的定义可证得结论成立； （3）在平面中，作交于点，由面面垂直的性质定理得出平面，设，由得出，代入得出，结合可求得的取值范围，即为所求. 【详解】（1）如图，过点作平面交平面于点，连接， 则直线为直线在平面内的射影. 在平面内，过点作交于点， 过点作交于点，连接、. 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证. 又，，所以，所以. 又，所以，所以， 即为的角平分线，故直线在平面上的射影平分. （2）由（1）可知，，，. 所以，即. （3）如图所示，在平面中，作交于点， 因为二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面平面，，平面， 由面面垂直的性质定理得：平面，由（1）知平分. 设，在中，因为， 所以. 即，所以①， 又由（2）得：，所以②， 将②代入①得：，即，所以. 又，所以，故棱的长度的取值范围为. 19．(17分)(22-23高一下·江苏无锡·期末)已知是内一点，. (1)若是的外心，求的余弦值；(2)若是的垂心，是平面外一点，且平面，当四面体外接球体积最小时，求的值. 【答案】(1)；(2) 【难度】0.15 【知识点】垂直关系的向量表示、多面体与球体内切外接问题 【分析】(1)取中点，中点，分别连接，再根据，由向量垂直的数量积解出三边长度关系即可. (2)取中点，在上取，在上取，分别连接，延长交于点，先根据解出三边长度关系，再证明四边形是长方形得到长度，最后在四面体中找到外接球球心位置，且当外接球球心刚好与的外心重合时，外接球半径最小，体积也最小. 【详解】(1)解法一：取中点，中点，分别连接，如图： 是的外心，是三条边上垂直平分线的交点，， 则， , 设，，，则， 由余弦定理可得，即， 令，解得，，则. 故的余弦值为. 解法二：以点A为坐标原点建系，取为x轴正方向，且， 设，则， 由是的外心，所以H在线段的中垂线上，所以， 又，即， 结合是内一点，所以为锐角三角形，，所以，； (2)解法一：取各边中点，连接成，如图： 则 ，且相似比为. 设是的外心，则， 由中位线平行底边可得，， 即是的垂心，由相似可得，即. 在上取，在上取， 分别连接，延长交于点，如图：    是的垂心，， 又 ，四边形是平行四边形. 则， , 设，，，则， 由余弦定理可得，即， 令，解得，， 则，， 由正弦定理可得的外接圆半径， . ， 又，即， 所以，四边形是平行四边形，且为长方形， 在中，， 则. 在四面体中，设平面，且，分别连接，如图： 由平面，可得，设， 则，， 当时，是四面体的外接球球心，是四面体的外接球半径， 解可得， 当四面体的外接球体积最小时，半径也最小， 而半径取最小值时，， 此时，解得， 则. 故当四面体外接球体积最小时，的值为. 解法二：若是的垂心，且在内部，则， 所以，由得， 所以，所以的外接圆圆心， 所以,的外接圆半径， 当四面体外接球体积最小时，当且仅当球心与的外接圆圆心重合， 此时, 所以. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高一下学期第4章立体几何 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1.本试卷分第「卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第〡卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1.(24-25高一下·四川成都期末)如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其分割成棱长为1cm 的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为() A.8 B.16 C.24 D.32 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，其它的小正方体有2面涂有红 色，问题得以解决。 【详解】位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外， 其它的小正方体有2面涂有红色，总共有2×12=24个. 故选：C 2.(24-25高一下河南期末)关于正九棱锥，下列判断错误的是() A.正九棱锥有18条棱 B.正九棱锥的侧棱都相等 C.正九棱锥有18个面 D.正九棱锥的底面是正九边形 【答案】c 【难度】0.94 第1页共20页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】根据正棱锥的性质，即可判断选项， 【详解】正九棱锥有18条棱、10个面，正九棱锥的侧棱都相等，正九棱锥的底面是正九边形. 故选：C 3.(25-26高一·全国·假期作业)如图所示，一个水平放置的△ABC的斜二测直观图是△A'BC',若0A'=√5， 0B'=0'C'=2,则△ABC的面积是( ) B C A.V3 B.2W3 C.3v3 D.4v3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测直观图求出，BC,OA的长，求出△ABC的面积. 【详解】由斜二测直观图可知BC=4,0A=2V3,且0A1BC, 则△ABC的面积=×4×23=4W3, 故选：D. 4.(2025高一全国.专题练习)如图，圆锥的底面半径为r,高为3r,且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面 均相切)的半径为1，则r=() A.1+6 B.V5-1 C.1+o D.1+0 3 3 2 3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】作出辅助线，得到三角形相似，表达出各边，根据相似得到方程，求出答案 【详解】由盟意得PFLAB,ACBC,故△APF∽△ABC,故号-岩 其中BC=T,AC=3r,PC=PF=1, AB =VAC2 BC2 =v10r,PA=AC-PC 3r-1, 第2页共20页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以=3r二，即3r2-r=V0r,解得r=1+画 r√10r 故选：D 5.(24-25高一下·江苏淮安·月考)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC 上一点，当PAM/平面EB时，) A. C. 0. 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接4C交BE于G点，连接GR,由线面平行的性质得PA/GF,即有架=器结合已知得2瓷-能= 即可得. 【详解】连接AC交BE于G点，连接GF,显然平面ACP∩平面BEF=GF, 又PA/平面EBK,PAc平面ACP,则PA/GF,即竖-器 由ABCD为平行四边形，且B为线段AD的中点，易知瓷=能=克所以竖=器=手 故选：A D A 6.(23-24高一下河北保定·期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,则点A到平面A1BC的距离 为() A.V2 B.221 D.1 7 C. 【答案】B 【难度】0.65 第3页共20页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离 【分析】利用三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】在正三棱柱ABC-A1B:C中，AB=A:=2,所以5Bc=×2x2×号=V5, 2 由勾股定理可得A1B=A1C=√22+22=2V2, 在等腰三角形A:BC中，底边BC上的高长为(2②-) =7, 所以等腰三角形A1BC的面积为×2×√7=V7, 设点A到平面A1BC的距离为h,V4c=V4Ac→号hV万=×2×V5→h= 故选：B. B 7.(23-24高一下.湖北武汉，期末)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD1平面ABCD,SD=2a,AD= √2a,点E是SD上的点，且DE=λa(0<1≤2).设异面直线SC与AB所成角为a,直线BE与平面ABCD所成 角为B,二面角C-AE-D的大小为y.若tanatanBtany=V2,则=() D A号 B.1 C.v2 D.2 【答案】c 【难度】0.4 【知识点】求二面角、求线面角、证明线面垂直、求异面直线所成的角 【分析】根搭空间角的相关定义分折可得ama=V厄，a=子amy=受，结合题意列式求解即可。 【详解】因为SDI平面ABCD,AD,CD,BDC平面ABCD,可得SD⊥AD,SD 1 CD,SD 1 BD, 又因为ABCD为正方形，则AD 1 CD,且SD∩AD=D,SD,ADC平面SAD,可得CDI平面SAD. 因为AB∥CD,可知异面直线SC与AB所成角a=∠SCD, 在Rt△SCD中，可得tana=tan∠SCD=2-√2： CD 因为SDI平面ABCD,可知直线BE与平面ABCD所成角B=∠EBD, 第4页共20页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△BDE中，可得ang=tan∠BBD一器- 过D作DF L AE,垂足为F,连接CF, 因为AD=V2a,DE-a,则AE=V2+平a,DF=4DDE=2a AE √2+2 A 因为CD⊥平面SAD,DF,AEC平面SAD,则CD L DF,CD L AE, 且DF nCD=D,DF,CDC平面CDF,可得AE⊥平面CDF, 由CFC平面CDF可得AE L CF,可知二面角C-AE-D的平面角y=∠CFD, 在Rt△CDF中，可得tay=tanCFD=cP-2+严 DF 因为tanctanBtany=V反，即V2x2x2+E_ =√2，解得λ=√2. 故选：C 8.(2026高一全国.专题练习)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别4W5,8,3,且E,F分别为上底 面、下底面（含边界）内的动点，当AE+EF+FC1最小时，以A为球心，AE的长为半径的球面与上底面A1B1C1D1 的交线长为() 45 A.2 B. C. D.2π 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】棱柱、判断正方体的截面形状、球的截面的性质及计算、立体几何中的轨迹问题 【分析】AE+EF+FC1最小时，E,F分别为A1C1,AC的三等分点，得到以A为球心，AE的长为半径的球面与 上底面AB,CD1的交线对应的轨迹为以A1为圆心，以A1E为半径的损，结合扇形的弧长公式，即可求解。 【详解】由题意得，要使得AE+EF+FC1最小，则要A,E,F,C1在同一个平面内，即平面ACC1A1内， 如图(1)所示，可得AE+EF≥AE'+E'F, AE +EF FC1>AE'+EF'+FC1=AE'+EF'+F'C1>AE'+EF'+FC 第5页共20页 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当AE+EF+FC1最小时为AE'+EF'+FC1', 此时AE'=EF'=F'C1,即E,F分别为A1C1,AC的三等分点， 因为A1C1=AC=√AB2+BC=12,所以A1E=4,AE= AA+A1E2=5, 分别在A1D,A1B1取点M,N,使得A1M=A1N=4,可得AM AA?+A M2 5,AN= AA3+A1N2=5, 则以A为球心，AM的长为半径的球面与上底面A1BCD1的交线对应的轨迹为以A1为圆心，以A1M为半径的 圆，如图(2)所示， 所以轨迹的长度为×2π×4=2m D C E 图(1) 图(2) 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(24-25高一下·重庆期末)正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，O为底面ABCD的中心，P是正方形BCC1B1 内（不包含正方形的四边）的动点，则下列说法正确的是() A.OP,BC一定是异面直线 B.当P是正方形BCC1B1的中心时，OP与AB所成角为 C.当P在线段BC1上移动时，A1P+PC的最小值为V6+√2 D.当OP与平面BCC1B1所成角为定值（非直角）时，P的运动轨迹是一段圆弧 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角 【分析】利用正方体的性质，容易判断AB,对于C需要利用侧面展开图来求解，对于D则把线面角转化为 边的关系，从而得到动点在圆上，但轨迹不一定是一段圆弧 【详解】对于A选项，因为P是正方形BCC1B1内（不包含正方形的四边）的动点，即P度BC, 所以由异面直线判定定理知，故A正确： D D 第6页共20页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于B选项，易知OP/AB1,所以OP与AB所成角为∠B1AB=故B错误； D 对于C选项：将正三角形A1BC1与等腰直角三角形BCC1展开到同一平面内， 得到四边形A1BCC1,则线段A1C即为A1P+PC的最小值， 在△A1BC中，由余弦定理知：A1C2=A1B2+BC2-2A1B·BC·cos∠A1BC=8+4V3 故A1C=√6+√2，故C正确： D D: 对于D选项：取BC中点01，那么O01⊥平面BCC1B1, 那么∠0P01即为OP和平面BCC1B1所成角， 那么tam40P0-器为定值，又0，为定值，故P01为定值， 所以点P在以01为圆心以P01为半径的圆上， 由于半径大小不定，点P是正方形BCCB1内（不包含正方形的四边）的动点可能是一段圆弧或二段圆弧， 故D错误； 故选：AC 10.(24-25高一下.浙江杭州期中)棱长为1的正方体，E是CC1的中点，P是平面ADD1A1上的动点，平面EBP 与平面ABCD的交线为I,则() D A.EP的最小值为1 B.EP+BP的最小值为9 C.存在一点P,使得EP L CD D.在点P运动过程中，I不可能与AD平行 【答案】ABD 【难度】0.4 第7页共20页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】对于A,取DD1的中点为P,则得EP1DD1,证明EPI平面ADD1A1,即得EP的最小值为1：对于 B,作出点B关于平面xOz的对称点B,连接EB',利用三点共线时，距离之和最短即可求得：对于C,运用 反证法思想，假设EP L CD,通过证明CDI平面DEP,推得CD⊥DE引出矛盾，排除C项：对于D,利用P∈ 平面ADD1A1,而平面ADD1A1n平面ABCD=AD,得到平面EBP与平面ABCD的交线必与直线AD交于一点 即可 【详解】对于A,当点P为DD1的中点时，因E是CC1的中点，易得EP⊥DD1, 因平面CDD1C1⊥平面ADD1A1,平面CDD1C1∩平面ADD1A1=DD1, 而EPC平面CDD1C1,则EP1平面ADD1A1,此时EP取得最小值1，故A正确： D B E B 对于B,如图，作出点B关于平面xOz的对称点B',连接EB,交平面xOz于点P, 此时，BPI=|BPI,则EPI+IBP=|EPI+IBP=IBE取得最小值， 因AB⊥平面BCC1B1,BEC平面BCC1B1,故AB⊥BE, 在Rt△EBB中，1BE=、P+(-.1BB1=2, 则IBE=、 +2-，即EP+BP的最小值为受，故B正确： 2 D B 对于C,如图，连接DP,DE,因CDI平面ADD1A1,DPC平面ADD1A1,故CD 1 DP, 假设EP⊥CD,因DPOEP=P,DP,EPC平面DEP,故CDI平面DEP, 又DEc平面DEP,则CD L DE,产生矛盾，故假设不成立， 即不存在一点P,使得EP⊥CD,故C错误： 对于D,在点P运动过程中，因PE平面ADD1A1,而平面ADD1A1∩平面ABCD=AD 则平面EBP与平面ABCD的交线l必与直线AD交于一点，故I不可能与AD平行，故D正确. 故选：ABD 第8页共20页 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(25-26高一下山东·期中)己知圆锥S0高为3，底面圆0半径为1，点A和点C是底面圆0上的两个定点， 点B是底面圆O上的动点（不与A,C重合），且BA·BC=0恒成立，则() A.圆锥SO的侧面积为√10m B.三棱锥S一ABC体积的最大值为3 C.圆锥S0外接球的表面积为gπ D. 当三棱锥S-ABC体积取到最大值时，若E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为N12+2V19 【答案】ACD 【难度】0.32 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外 接问题 【分析】求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式可判断A;利用基本不等式结合锥体的体积公式可判断 B:易知球心在直线S0上，球心O到底面圆心O的距离为d,则R2=OA2+d得到半径R,利用球体表面积公 式可判断C;将△SAB,△SBC展开为一个平面，利用余弦定理可判断D. 【详解】因为BA·BC=0,所以BA⊥BC, 由圆的性质可知，AC为底面圆的直径，故AC=2, A,母线长l=SA=VS02+0A=V32+12=V10, 因此圆锥S0的侧面积为S=π×1×√10=√10m,故A正确： B,因为BA1BC,故AB2+BC2=AC2=4, 由基本不等式MB2BC≤（色a=4,即AB:BC52, 所以S△ABc=·AB·BC≤1，当且仅当AB=BC=V2时，等号成立 三棱锥S-ABC体积为V=S△4Bc·S0≤行X1×3=1, 所以三棱锥S一ABC体积的最大值为1，故B错误： C,设外接球的球心为0'，半径为R,球心在圆锥的轴S0上， 设00'=d,则0'到底面圆心0的距离为d,故R2=0A2+d2=1+d2, 0到顶点S的距离为R,故R=3-d,则(3-2=1+d2,得d= 因此R=号外接球表面积：S=4r×(们)=g,故C正确： D,当AB=BC时，易知AB=BC=√2，将△SAB,△SBC展开为一个平面，如下图所示： E 第9页共20页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△SAB中，SA=SB=√1O,AB=√2， 由余弦定理可得cOs∠SBA= 5B2+AB2-5A2 =10+2-10_5 2SB-AB 2×W10xV2 10 所以sinSBA=V1-cos2LSBA=,1- 10 10 易得LABC= 所以cos-SBC=cos(传+∠SBA) =-sin∠SBA=- √9s 10 由余弦定理可得SC2=SB2+BC2-2SB·BC·cos∠SBC=10+2-2W而×V2×(圈 ）=12+219, 当S、E、C三点共线时，SE+CE的长取最小值，且其最小值为W12+2W19,故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(25-26高一下·贵州毕节·期中)《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.现 有一个“鳖臑”，PA⊥底面ABC,AC1BC,且PA=3,AC=BC=2,则该“鳖臑"外接球的体积为 【答案】17v元 6 【难度】0.68 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】确定“鳖臑”外接球的球心，求出球半径，再求出球的体积 【详解】取PB中点O,连接OA,OC,由PA1底面ABC,AB,BCC平面ABC, 得PA⊥AB,PA⊥BC,而AC⊥BC,PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC, 则BC⊥平面PAC,又PCC平面PAC,因此BC L PC,OC=OB=OP=OA, 该“鳖臑”外接球的球心为0，球半径R=PB=VPA2+AB-VPA2+AC2+BC2=V32+22+2= 17, 所以该“鳖臑"外接球的体积为V=红R3= 3 6 第10页共20页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26高一下·浙江宁波，期中)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2,AC=2BC=2V2,平面PAC1 平面ABC.若Q为线段PC上的动点（不含端点），记QA与平面ABC所成角为a,锐二面角Q-AB-C的平面 角为B,则tan(B-)的最大值为： B 【答案】号 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、求线面角、求二面角 【分析】先根据已知条件得出△APC为等腰直角三角形，△ABC为一个角为30°的直角三角形，再通过作垂 线构造出QA与平面ABC所成角a以及锐二面角Q-AB-C的平面角B,然后利用几何关系得到tanB=2tana, 从而将tan(B-a)转为关于tana的表达式，最后利用基本不等式得出最大值 【详解】因为PA=PC=2,AC=2V2,所以△APC为等腰直角三角形，取AC中点O, 则P01AC,P0=A0=C0=√2， 又因为平面PACI平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,POc平面PAC, 所以P0⊥平面ABC,因为OBC平面ABC,所以P0⊥OB, 所以0B=VPB2-P02=√2=A0=C0, 故△ABC是直角三角形，∠ABC为直角，又AC=2BC,可得∠CAB=30°， 作QH L AC,垂足为H,因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC, 所以QHI平面ABC, 则∠QAH即为QA与平面ABC所成角，再作HK1AB,因为QH⊥平面ABC, 所以QH 1 AB,QH⊥HK,又HK⊥AB,故ABI平面QKH,于是有QK⊥AB, 从而∠QKH即为锐二面角Q-AB-C的平面角，而由HK⊥AB及∠CAB=30° 可得AH=2HK,所以tanzQKH=9=2g=2 tanzQAH,即tanB=2tana, HK AH 得tam(B-@)-二=4二。因为Q为线段PC上的动点且不含端点， 可知0<tana<tan/PAC=1,所以tan(B-网=一+2aa 1 1 1V2 2W2=4 tana 2 等号在高=2ac即tana=号时取得，所以tam(B-)的最大值为号 tana 第11页共20页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Aa--- 夕 14.(24-25高一下四川成都期末)以点O为球心，半径为3√3的球的表面与以点O为顶点，棱长为6的正四 面体表面的交线为P,则P的总长度为」 【答案】53π 【难度】0.15 【知识点】弧长的有关计算、球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先在正四面体0-ABC中求出高h=2V6<3V3=R,判断出底面ABC与球相交，交线是一个圆， 进而求出底面圆的半径为r=√3，即可求出球与底面ABC相交的交线长：然后在侧面在三个侧面等边三角形 中，求出O到对边中点的距离都是3V3=R,即可得知每个侧面与球的交线是以O为圆心，以R为半径，圆心 角为60°的圆弧，算出三个侧面与球相交的总弧长，即可求出交线P的总长度 【详解】如图所示的正四面体0-ABC,棱长为6，设底面ABC中心为O1, B 在等边△ABC中，D为AB边的中点，可知CD=号×6=33，C01-号CD=2V5 所以在△00C中，求得正四面体的高h=001=√62-(2W3)’-2V6<3V3=R, 所以正四面体的底面ABC与球相交，交线是一个圆，圆心恰为01， 设底面圆的半径为r,则r=√R2-h2= (3v32-(26=3. 所以球与底面ABC交线的周长为2πr=2V3m 在三个侧面等边三角形0AB,OBC,OCA中，O到对边中点的距离都是3V3=R,例如OD=3V3, 所以每个侧面与球的交线是以O为圆心，以为半径， 圆心角为60的圆道，所以弧长为需×2R=言×2×3V5=V3, 所以三个侧面的总弧长为3×√3π=3√3π 第12页共20页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以交线P的总长度为2W3π+3V3π=5V3π 故答案为：5√3m 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)(25-26高一下.四川宜宾，期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，点P到平面 ABCD的距离为2，AD=2,E、F分别是PB和BD的中点. D BE- (1)证明：EF/平面PAD:(2)求三棱锥C-PBD的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2片 【难度】0.84 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行 【分析】(1)由线面平行的判定结合中位线的条件即可求证： (2)使用等体积法结合条件中P到平面ABCD的距离即可求解 【详解】(1)在△PBD中，E、F分别是PB和BD的中点，EF/PD, 又EF丈平面PAD,PDC平面PAD,∴EF/平面PAD. (2)由题意得点P到平面ABCD的距离为2；即三棱锥P一BCD的高为2， 四边形ABCD是正方形，小5aBcD=ABcD=×2×2=2, 三棱锥P-BCD的体积为Vp-Bcp=×2×2=手 ÷三棱锥C-PBD的体积为Vc-PD=Vp-BCD=; 16.(15分)(24-25高一下.北京·期末)在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC1底面BCDE,BC= 2,CD=2,AB=AC. B. D (1)若点P是线段AD上任意一点，且平面BCP交棱AE于点Q,求证：PQ IDE; (2)①证明：AD⊥CE:②设侧面ABC为等边三角形，求二面角C-AD-E的余弦值. 第13页共20页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)证明见解析：(2)①证明见解析.②-四 10 【难度】0.85 【知识点】求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】(1)因为BC II DE,得到BCI平面ADE,结合线面平行的性质定理得到3C II PQ,通过平行的传递 性证得PQI‖DE;(2)①作AF1BC,垂足为F,连接FD,利用三垂线定理，即可证得；②利用二面角的定义， 得到∠CGE即为所求二面角C-AD一E的平面角，在△CGE中，利用余弦定理，即可求解二面角的余弦值. 【详解】(1)证明：因为底面BCDE为矩形，所以BC‖DE, 又~BC丈平面ADE,DEC平面ADE,所以BCI‖平面ADE BCC平面BCP,平面BCPO平面ADE=PQ, ·BC IPQ 又因为BC I DE,所以PQ II DE. (2) y G ①证明：取BC的中点F,连接FD,FDnCE=O, 因为AB=AC,所以AF⊥BC, 因为侧面ABC⊥底面BCDE,侧面ABCn底面BCDE=BC,AFC平面ABC, 所以AF⊥平面BCDE, 因为CEC平面BCDE,所以AF L CE, 因为底面BCDE为矩形，且BC=2,CD=√2，BC的中点F, 所以塔=是-号=六所以答=品 所以Rt△FCD~Rt△CDE,所以∠FDC=∠CED, 因为∠ECD+∠CED=90°，所以∠ECD+∠FDC=90°， 所以CE⊥FD, 因为AF∩FD=F,AF,FDC平面AFD,所以CE⊥平面AFD, 因为ADC平面AFD,所以AD L CE: ②在面ACD内过点C作AD的垂线，垂足为G,连接EG, 因为底面BCDE为矩形，所以CD L BC,BE⊥BC,由题意知CDI平面ABC, 由①知，AD⊥CE 第14页共20页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为CEnCG=C,CE,CGc平面CEG,所以ADI平面CEG, 因为EGC平面CEG,所以AD⊥EG, 所以LCGE即为所求二面角C-AD-E的平面角. 因为AF⊥平面BCDE,DFC平面BCDE,所以AF⊥DF, 因为侧面ABC为等边三角形，BC=2,所以AF=√22-12=V3, 因为CD=√2，CF=1,所以DF=V3,所以AD=V3+3=V6, 同理得AE=√6， 所以c6=需-普-9，c5=V2年4-v6 在等腰△ADE中， AD=AE=6,GE= ex0-三-@ AD 2 在△CGE中，由余弦定理cos∠CGE=CG2+EG2-cE 9子6 .1o 2CG-EG 2 10 二面角C-AD-E的余弦值为-画 10 17.(15分)(25-26高一下.安徽阜阳期中)如图，在平行四边形ABCD中，AD=BD=2,AD1BD,BF 为△BCD的中线，将△BCF沿BF折叠，使点C到点E的位置，连接AE,DE,CE,且CE=2. (1)求证：EFI平面ABCD;(2)求直线AE与平面BEF所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析：(2V2. 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求线面角 【分析】(1)用勾股定理证明EF⊥CF,再用等腰三角形中线得BF⊥CD,进而再由折叠可得BF⊥EF,再 用线面垂直的判定定理可得： (2)先证CF⊥平面BEF,从而可得AB⊥平面BEF,进而可得AE与平面BEF所成的角为∠AEB,在直角三角 形计算可得 【详解】(1)因为AD=BD=2,且AD1BD,所以AB=CD=2N2,∠DBC=90° 又BF为△BCD的中线，所以CF=BF=EF=√2.因为CE=2,所以CF2+EF2=CE2,所以EF L CF. 由题意知AD=BD=BC=2,BF为△BCD的中线，所以BF⊥CD. 而△EFB是△CFB沿BF折叠到点E的位置，所以BF⊥EF 因为EF⊥CF,BF⊥EF,且CF∩BF=F,且CF,BFC平面ABCD, 第15页共20页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以EFI平面ABCD. (2)因为EF L CF,BF⊥CF,EF∩BF=F,所以CF⊥平面BEF 又AB/CF,所以ABI平面BEF,所以AE与平面BEF所成的角为LAEB. 在Rt△AEB中，AB=2W2,BE=2,所以an-AEB=铝=V2 所以直线AE与平面BEF所成角的正切值V2 18.(17分)(25-26高一上湖南邵阳·期末)如图，已知在四面体A-BCD中，∠BAC=∠CAD=∠BAD=0, 0E(0.2) (1)求证：直线AD在平面ABC上的射影平分∠BAC: (2)记直线AD与平面ABC所成的角为a,求证：cosa-s日 (3)若AB=3,AD=4,二面角A-BC-D为直二面角，求棱AC的长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析：(2)证明见解析：(3)(0,6) 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、由线面角的大小求值、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】(1)过点D作DE⊥平面ABC交平面ABC于点E,连接AE,则直线AE为直线AD在平面ABC内的射影 在平面ABC内，过点E作EF L AC交AC于点F,过点E作EG⊥AB交AB于点G,连接DF、DG,证明出Rt△DAF≌ Rt△DAG,可得出AF=AG,再证明出Rt△AGE≌Rt△AFE,可得出∠GAE=∠FAE,即可证得结论成立： (2)由(1)得a=∠DAE,结合锐角三角函数的定义可证得结论成立： (3)在平面CBD中，作DQ1BC交BC于点Q,由面面垂直的性质定理得出DQ1平面ABC,设AC=m,由 ac=SABO士5A4a0出计片代入4Q得出cos9号结合0<cos0<1可求得m的 AQ 3 m 取值范围，即为所求， 【详解】(1)如图，过点D作DEI平面ABC交平面ABC于点E,连接AE, 则直线AE为直线AD在平面ABC内的射影. 第16页共20页 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在平面ABC内，过点E作EF⊥AC交AC于点F, 过点E作EG L AB交AB于点G,连接DF、DG. 因为DE⊥平面ABC,ACC平面ABC,所以DE⊥AC, 又因为EF L AC,DE∩EF=E,DE、EFC平面DEF,所以AC⊥平面DEF, 因为DFC平面DEF,所以AC⊥DF,同理可证AB⊥DG 又AD=AD,∠DAF=∠DAG=日，所以Rt△DAF兰Rt△DAG,所以AF=AG. 又AE=AE,所以Rt△AGE≌Rt△AFE,所以∠GAE=∠FAE, 即AE为LBAC的角平分线，故直线AD在平面ABC上的射影平分∠BAC. (2)由1)可知a=∠DAE,c0sa=号cos号=c0 3LFAE=-点c0s0=∠CAD-铝 cose 所以os8=5·a是cosa,即cosa=me 00s3 (3)如图所示，在平面CBD中，作DQ1BC交BC于点Q, 因为二面角A-BC-D为直二面角，即平面ABCI平面BCD, 又因为平面ABCn平面BCD=BC,DQ⊥BC,DQC平面BCD 由面面垂直的性质定理得：DQI平面ABC,由(1)知AQ平分∠BAC. 设AC=m,在△ABC中，因为S△ABC=S△ABQ+S△ACQ' 所以g×3msin0=×3 AQsin号+mAQsin号 即瑞学+三所以爱+0， 又由(2)得：cosa=sg=2,所以40=如②， 41 将@代入@得：-+片-片所以a0 m+12 又cos0∈(0,1)，所以m∈(0,6)，故棱AC的长度的取值范围为(0,6). 19.(17分)(2223高一下江苏无锡期末)已知H是△ABC内一点，A-AB+AC. (1)若H是△ABC的外心，求∠BAC的余弦值；(2)若H是△ABC的垂心，P是△ABC平面外一点，且PHI平面ABC, 当四面体PABC外接球体积最小时，求沿的值 【答案】唱(a吗 【难度】0.15 第17页共20页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】垂直关系的向量表示、多面体与球体内切外接问题 【分析】(1)取AB中点M,AC中点N,分别连接HM,HN,再根据HM1AB,HN L AC,由向量垂直的数量积 解出三边长度关系即可. 2)取AB中点M,在AB上取AD=AB,在AC上取AE=AC,分别连接DH,EH,0B,OH,延长CH交AB于点)， 先根据CIAB,AH1BC解出三边长度关系，再证明四边形OMJH是长方形得到OH长度，最后在四面体PABC 中找到外接球球心位置，且当外接球球心刚好与△ABC的外心重合时，外接球半径最小，体积也最小 【详解】(1)解法一：取AB中点M,AC中点N,分别连接HM,HN,如图： ~H是△ABC的外心，是三条边上垂直平分线的交点，·HM 1 AB,HN1AC, 则HM·AB=(AM-A间·AB=(（AB-AB-AC)AB=4AB2-AB:AC=0, Hm.AC=(A-A·AC=(AC-AB-AC）·AC=AC2-AE·AC=0, (c2-1bccosLBAC =0 设AB=c,AC=b,BC=a, 则 4 3 12 cosLBAC= 4 b2+c2-a2 2bc (2c2=b2+c2-a2 由余弦定理可得 c0S∠BAC= b2+c2-a2 信2=b2+c2-a2 2bc 令b=3t,解得a=V5t,c-2V2t,则cos∠BAC=b2+c2-a=三 2bc 2 故LBAC的余弦值为 解法二：以点A为坐标原点建系，取AB为x轴正方向，且AB=1, 设cm,,则A丽=AB+AC=(保0）+m,m=(+皆mn) 由H是△ABC的外心，所以H在线段AB的中垂线上，所以好+m=→m=子 又a丽AC=ad,即++号=（品+） 结合H是△ABC内-点，所以△ABC为锐角三角形，n>0,所以n=是∠BAC=cos∠BAC=号 (2)解法一：取△ABC各边中点，连接成△LNM,如图： 则△ABC∽△LNM,且相似比为2：1. 设0是△ABC的外心，则OL1BC,ON1AC,OM1AB, 由中位线平行底边可得，OL⊥MN,ON⊥LM,OM1LN, 第18页共20页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即0是△LNM的垂心，由相似可得HC:0M=2:1,即CH=OM. 在AB上取AD=AB,在AC上取AE=AC, 分别连接DH,EH,OB,OH,延长CH交AB于点J,如图： H是△ABC的垂心，·CIAB,AH L BC 又~A丽=是AB+AC=AD+A正，四边形ADHE是平行四边形， 则A,BC-(日AB+号AC)(-AB+AO=-AB2+AC2-AB·AC=0, CH·AB=(CE+Em·AB=(-AC+4AB)·AB=AB2-AB.AC=0, 设AB=c,AC=b,BC=a, 则 2+b2-吉bcos4BAC=0 12 -号bcos∠BAC=0 COS4BAC c 8b2-6c2=b2+c2-a2 由余弦定理可得 cos4BAC-￥=422 ，即 c2=b2+2-a2· sbc 2bc 令b=3vW3t,解得a=√35t,c=4V2t, 则cos∠BAC=2-右n<BAC=V-oBAG 1 2bc 由正弦定理可得△ABC的外接圆半径r=OB= a V42t 2sin∠BAC 2 OM=VoB-BM=VF-(自°- .OM 1 AB,CJ 1 AB,:.OM II HJ, 又EH IAB,,CE=AC:∴CH=C,即H=CH=OM, 所以OMIH,OM=H,四边形OMH是平行四边形，且为长方形， 在Rt△DJH中，DJ=√DH-HI=VAE2-OM -- 则0H=M=DM-DI=；-DI=受 在四面体PABC中，设OY⊥平面ABC,且OY=xt,分别连接YB,YP,如图： 由PHI平面ABC,可得OYI‖PH,设PH=h, 则YB=VO+oB=√2+()t,YP=or+(PH-0)2= )+h-, 第19页共20页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当YB=YP时，Y是四面体PABC的外接球球心，YB=YP是四面体PABC的外接球半径， 解x2+(偶)t=、（侣)+-x可得x=2 2ht B 当四面体PABC的外接球体积最小时，半径也最小， 而半径R=YB=√2+（傻） t取最小值时，x=0, 此时x=h2-102 =0,解得h=√10t, 2ht 器 故当四面体PABC外接球体积最小时，器的值为号 解法二：若H是△ABC的垂心，且H在△ABC内部，则n>0,+m=m→m,=音 所以C(6n）.H(后)由AH1Bc得A:BC=×(←)+号=0→n=S 8 所以c(信，，H(信，周，所以△ABC的外接圆圆心D(很， 所以DH=△ABC的外接圆半径AD=四 8 当四面体PABC外接球体积最小时，当且仅当球心与△ABC的外接圆圆心重合， 此时AD2=DI2+PH2→器六+P→PH-9 所以路-号 第20页共20页 高一下学期 第4章 立体几何 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(24-25高一下·四川成都·期末)如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其分割成棱长为1cm的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为(   ) A．8 B．16 C．24 D．32 2.(24-25高一下·河南·期末)关于正九棱锥，下列判断错误的是(   ) A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 3.(25-26高一·全国·假期作业)如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是( ) A． B． C． D． 4.(2025高一·全国·专题练习)如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球(球与圆锥的底面和侧面均相切)的半径为1，则(    ) A． B． C． D． 5.(24-25高一下·江苏淮安·月考)如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=(   ) A． B． C． D． 6.（23-24高一下·河北保定·期末）在正三棱柱中，，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 7.（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，，点E是上的点，且．设异面直线与所成角为，直线与平面所成角为，二面角的大小为．若，则（    ） A． B．1 C． D．2 8.(2026高一·全国·专题练习)如图，长方体的长、宽、高分别，且分别为上底面、下底面(含边界)内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线长为(    ) A． B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（24-25高一下·重庆·期末）正方体的边长为2，O为底面的中心，是正方形内（不包含正方形的四边）的动点，则下列说法正确的是（   ） A．OP，BC一定是异面直线 B．当是正方形的中心时，与所成角为 C．当在线段上移动时，的最小值为 D．当与平面所成角为定值（非直角）时，的运动轨迹是一段圆弧 10.（24-25高一下·浙江杭州·期中）棱长为1的正方体，E是的中点，P是平面上的动点，平面与平面的交线为l，则（    ） A．EP的最小值为1 B．的最小值为 C．存在一点P，使得 D．在点P运动过程中，l不可能与AD平行 11.（25-26高一下·山东·期中）已知圆锥SO高为3，底面圆半径为1，点和点是底面圆上的两个定点，点是底面圆上的动点（不与A，C重合），且恒成立，则（    ） A．圆锥SO的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为3 C．圆锥SO外接球的表面积为 D．当三棱锥体积取到最大值时，若为线段AB上的动点，则的最小值为 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.（25-26高一下·贵州毕节·期中）《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 13.（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 14.(24-25高一下·四川成都·期末)以点O为球心，半径为的球的表面与以点O为顶点，棱长为6的正四面体表面的交线为P，则P的总长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)（25-26高一下·四川宜宾·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积． 16.(15分)（24-25高一下·北京·期末）在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，. (1)若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：； (2)①证明：；②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值. 17．(15分)（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正切值. 18．(17分)（25-26高一上·湖南邵阳·期末）如图，已知在四面体中，，. (1)求证：直线在平面上的射影平分； (2)记直线与平面所成的角为，求证：； (3)若，，二面角为直二面角，求棱的长度的取值范围. 19．(17分)(22-23高一下·江苏无锡·期末)已知是内一点，. (1)若是的外心，求的余弦值；(2)若是的垂心，是平面外一点，且平面，当四面体外接球体积最小时，求的值. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $