第13章 立体几何初步（高效培优单元自测·提升卷）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 本卷为高中数学第13章立体几何初步单元提升卷，以空间观念与推理能力为核心，融合文化情境（如“葛藤缠木”古算题）与动态几何问题，适配单元复习中基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|空间点线面关系、几何体表面积体积|基础概念辨析（如第1题）与古算情境应用（第2题）| |多选|3/18|圆锥性质、正方体动态问题|多选项分层考查（如第9题圆锥多性质判断）| |填空|3/15|斜二测画法、异面直线所成角|空间几何量计算（如第13题四面体棱长）| |解答题|5/77|线面平行垂直证明、空间角计算|综合应用（如第16题三问递进，第18题翻折问题）|

第13章 立体几何初步（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列命题正确的是（ ） A. 如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内 B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C. 过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D. 如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 【答案】C 【分析】利用基本事实以及线面平行的性质即可判别。 【解析】对于A，一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线一定在这个平面内，故A错； 对于B，若三条直线两两相交交于一点时，例如三棱锥的侧棱，则三条直线可以不共面，B错； 对于C，过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，且过一条直线可作无数个平面与已知直线平行，故C正确； 对于D，一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行或在平面内，故D错. 故选：C 2.《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（ ） A．21尺 B．25尺 C．29尺 D．33尺 【答案】C 【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形得到答案. 【解析】如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF， 由题意得：2丈=20尺，圆周长BE=3尺， 则葛藤绕圆柱7周后长为尺， 故选：C 3.已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B.若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【分析】ABD可举出反例；C选项，利用线面平行的性质及线面垂直的性质得到答案. 【解析】A选项，若，，则或相交或异面，A错误； B选项，若，不妨设，则， 又，，则，所以，B正确； C选项，若，，则或，C错误； D选项，若，，则，或相交，D错误. 故选：B 4.在正四棱台中，分别为的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【分析】根据正四棱台的结构特征及异面直线的定义判断各项两条直线是否为异面直线. 【解析】由正四棱台的结构特征有，A不符； 由棱台的性质知，四条侧棱延长线交于一点，记为， 又分别为的中点，则也交于点，B不符； 由棱台结构易知平面， 由平面，平面平面，则，C不符； 由平面，又且都在平面内，，则和为异面直线，D符合. 故选：D 5.已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据正四棱台的体积求出高，再求出侧棱长，最后由锐角三角函数计算可得. 【解析】在正四棱台中，，，令上下底面中心分别为、，连接，如图， 则棱台的高为，由，解得， 在直角梯形中，， 取中点，连接，有，则平面，平面，所以， 所以，， 又平面，则是与平面所成的角， 所以，即四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为. 故选：B 6.在直三棱柱中，，，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】易得平面，得到，作交于点，得到平面，通过计算确定的位置即可得到答案. 【解析】∵，，∴平面，故， 作交于点， 此时平面，在矩形中，， 所以四边形是正方形，所以，所以， 又为的中点， 所以为的中点，即，所以， 则实数的值为1， 故选：D. 7.已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点M，的中点N，连接，由已知，可得平面平面，平面，则直线到平面的距离为点N到平面的距离，则利用余弦定理求得，进而得，则直线到平面的距离为，可得答案. 【解析】 根据题意，如图， 因为，，则，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 因为底面为边长为2的正方形， 则，平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离为点N到平面的距离， 即点N到直线的距离， 又， ，， 在中，， 则， 所以点N到直线的距离为. 故选：A． 8.已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，平面，，分别是，上的点，且，平面平面，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【分析】先通过线面垂直、面面垂直的判定定理找出相关垂直关系，进而得到在直角三角形中的线段关系；再根据三棱锥与四棱锥体积比推出相关三角形面积比，从而得到线段比例关系，求出关键线段长度，最后利用三棱锥体积公式计算体积． 【解析】如图，取的中点，连接，，， 连接，是正三角形，， 又平面，平面，， 又，平面，平面， 平面，， ，． 平面平面，且平面平面， 平面，平面， 平面，， 在中，（※）． 三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为， ，，， 设，，代入（※）式得，，，， 三棱锥的体积， 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（　　） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C. 圆锥截面的面积的最大值为 D. 从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：直接求出圆锥的体积即可判断；对于B：直接求出圆锥的侧面展开图的圆心角即可判断；对于C：先判断出圆锥截面为轴截面时，其面积最大，然后可判断；对于D：利用圆锥的侧面展开图可求解判断. 【解析】对于A：因为圆锥的底面半径为1，高为，所以体积，故A正确； 对于B：设圆锥的母线为l，则， 设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得：，即，解得：，故B错误； 对于C：显然当圆锥截面为轴截面时，其面积最大，此时，故C正确； 对于D：由B可得该圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆， 所以从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为4，故D正确； 故选：ACD 10. 已知正方体的棱长为，点在线段上运动，则（ ） A. B. 直线一定与共面 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【分析】推导出平面，结合线面垂直的性质可判断A选项；取与点重合，结合异面直线的定义可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；将和延展为一个平面，分析可知当、、三点共线时，取最小值，可判断D选项. 【解析】对于A选项，如下图所示： 因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可得， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，因此，A对； 对于B选项，当点与点重合时，与既不平行也不相交，此时与异面，B错； 对于C选项，因为平面，设平面， 因为，，故三棱锥为正三棱锥， 所以为等边的中心， 因平面，故，如下图所示： 当时，的长取最小值， 因为为等边的中心，所以，， 此时为的中点，且， 由，故， 所以，即的最小值为，C错； 对于D选项，将和延展为一个平面，如下图所示： 当、、三点共线时，取最小值， 此时，在和中，，，， 所以，所以，所以， 此时，，则为的中点， 所以，， ，故的最小值为，D对. 故选：AD. 11.如图（1），在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE，分别交BD于点M，N，将沿直线BD折起到的位置，如图（2），则下列说法正确的是（ ） A. 在翻折的过程中，恒有平面PEN B. 若G为直线PN上一点，则点G到直线AM的最短距离为 C. 当二面角的大小为时， D. 当平面平面ABD时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】结合相似三角形及勾股定理可得，，对于A，结合翻折的知识可得，结合可得平面PEN，进而判断即可；对于B，与A同理可得平面AMF，进而得到，，可得MN为AM，PN的公垂线段，所以点G到直线AM的最短距离为MN，进而求解判断即可；对于C，结合空间向量的线性运算可得，根据二面角的大小为可得，进而利用空间向量的数量积的运算律求解判断即可；对于D，分析可得BD的中点为三棱锥外接球的球心，进而求解判断即可. 【解析】在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点， 计算可得，，易知， 又，所以，则，， 所以，所以，同理可得． 对于A，由上述过程可知在翻折的过程中，，而， 因为，PN，平面PEN，所以平面PEN，故A正确； 对于B，与A同理可得平面AMF，因为平面AMF，所以， 由平面PEN，平面PEN，可得， 所以MN为AM，PN的公垂线段，所以点G到直线AM的最短距离为MN， 而，故B正确； 对于C，因为，二面角的大小为， 则， 所以 ， 所以，故C错误； 对于D，因为和都是直角三角形，且BD为公共边， 所以BD的中点为其所在三角形的外心，同时也是三棱锥外接球的球心， 所以外接球半径， 所以三棱锥外接球表面积，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则___________ 【答案】 【分析】由斜二测画法和余弦定理计算可得. 【解析】由写二次画法可知，， 在中，由余弦定理， 所以. 故答案为： 13.如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为_____________    【答案】或 【分析】取的中点为，连接，，分析可知或， ，利用余弦定理可得的长. 【解析】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故答案为：或 14.如图，正方体的棱长为2， E是棱的中点，平面截正方体所得截面图形的周长为________，若F是侧面上的动点，且满足平面，则点F的轨迹长度为________. 【答案】 ①. ## ②. 【分析】由平行线确定一个平面，利用中位线找到截面并求周长；构造面面平行，找到点F的轨迹并求长度. 【解析】取CD中点G，连接BG、EG， 正方体中，，，四边形为平行四边形，则， E是中点，G是CD中点，，则等腰梯形为截面， 而，， 故梯形的周长为； 取中点M，中点N，连接， 则，故四边形为平行四边形， 则得，而平面，平面， 故平面，同理平面， 而，平面，故平面平面， ∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.．    (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）设是的中点，连接. 因为是边长为6的正三角形， 所以，且， 所以该几何体的表面积.    （2）连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高， 则，所以.    又正方体的体积为， 所以该几何体的体积. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是正三角形，E为线段的中点，F为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)若平面平面，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析; (3) 【分析】（1）连接，交于点，连接，证明，由线线平行证明线面平行即可； （2）利用等腰三角形的三线合一可证，，由线线垂直即可证得线面垂直； （3）取的中点，连接，得到即与所成角或其补角，利用余弦定理求得，通过证明平面得到，求出，在中，结合，，利用余弦定理即可求得答案. 【解析】（1） 连接，交于点，连接， 因底面是边长为2的菱形，则点是的中点， 又因F为线段的中点，则有， 平面，平面，可得平面. （2）因是正三角形，E为线段的中点，则有， 又，，即为正三角形，且， 因平面，则平面， 又因，故得平面. （3） 如图，取的中点，连接，则，且， 故即与所成角或其补角. 因，由余弦定理，， 又因平面平面，平面平面，，平面， 故平面，又平面，则，又,故， 由（2）已得平面，因平面，故，则， 又，则在中，由余弦定理，， 即异面直线与所成角的余弦值为. 17.在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点， 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）取的中点，的中点，连接，，利用面面平行的判定定理得平面平面，进而由面面平行的性质定理得平面，即可求解. 【解析】（1）在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）当点为的中点时，符合题意. 证明如下： 取的中点，的中点，连接，，， 因为为的中点，所以，， 平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 故存在点，使得平面，. 18.如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出平面，可得出直线与平面所成角，求出、的长，即可求解； （2）取的中点，连接、，则，证明出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立； （3）过点在平面内，作垂直于直线，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，由二面角的定义可知二面角的平面角为，计算出三边边长，即可求得的余弦值. 【解析】（1）连接交于点，连接， 不妨设， 因为、分别为边、上靠近、的四等分点，则， 因为为的中点，且， 因为，所以，即点为的中点， 翻折前，，翻折后，则有，则，即， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面，故直线与平面所成角， 易知，，， 故，即， 所以，故. （2）取的中点，连接、，则， 因为，则， 因为平面，则平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故. （3）过点在平面内作垂直于直线，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，故， 因为，，、平面，故平面， 因为平面，故，故二面角的平面角为， 因为，为的中点，故， 在平面内，，，则， 所以，故，所以， 故， ， 由勾股定理可得， 故， 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦直线为. 19.如图，在直三棱柱中，点在上，. （1）证明：平面； （2）若，，二面角的大小为. ①求与平面所成角的大小； ②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹长度. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【分析】（1）应用线面垂直性质得出，再应用线面垂直得出平面； （2）①先由面面垂直性质定理得出平面，进而得出线面角结合边长计算求解；②先证明平面，进而平面平面，再结合点到平面再结合体积计算边长即可. 【解析】（1）在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以. 又因为，，，平面， 所以平面. （2）①作于，作于，连接. 由（1）知平面 因为平面，所以平面平面 因为平面平面，平面，，所以平面. 所以与平面所成角正弦值为. 因为平面，所以. 因为，，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 所以平面与平面所成二面角即 设为. 因为，，所以为等腰直角三角形. 因为，所以. 因为，所以. 同理. 在中，，解得，所以. 设与平面所成角为.在中，. 因为，所以 ②设到平面距离为. 因为，所以 取中点，连接，，. 因为，平行且相等，所以四边形为平行四边形 因为，不在平面内，平面，所以平面. 同理平面. 因为，、平面，所以平面平面. 所以平面与平面间距离为到平面距离. 因为为正方形，所以.因为，所以 因为平面，平面，所以. 因为，，平面，所以平面. 因为为中点，所以到平面距离为. 所以点轨迹长度即线段长度. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 立体几何初步（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列命题正确的是（ ） A. 如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内 B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C. 过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D. 如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 2.《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（ ） A．21尺 B．25尺 C．29尺 D．33尺 3.已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B.若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4.在正四棱台中，分别为的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5.已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6.在直三棱柱中，，，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（  ） A． B． C． D．1 7.已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 8.已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，平面，，分别是，上的点，且，平面平面，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. 3 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（　　） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C. 圆锥截面的面积的最大值为 D. 从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为4 10. 已知正方体的棱长为，点在线段上运动，则（ ） A. B. 直线一定与共面 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11.如图（1），在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE，分别交BD于点M，N，将沿直线BD折起到的位置，如图（2），则下列说法正确的是（ ） A. 在翻折的过程中，恒有平面PEN B. 若G为直线PN上一点，则点G到直线AM的最短距离为 C. 当二面角的大小为时， D. 当平面平面ABD时，三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则___________ 13.如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为_____________    14.如图，正方体的棱长为2， E是棱的中点，平面截正方体所得截面图形的周长为________，若F是侧面上的动点，且满足平面，则点F的轨迹长度为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.．    (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是正三角形，E为线段的中点，F为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)若平面平面，求异面直线与所成角的余弦值． 17.在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 18.如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值． 19.如图，在直三棱柱中，点在上，. （1）证明：平面； （2）若，，二面角的大小为. ①求与平面所成角的大小； ②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹长度. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $