第4章 立体几何初步 单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

**基本信息** 高一数学第二学期第四单元测试卷，聚焦立体几何核心知识，融合数学文化与空间想象、逻辑推理等素养考查，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|棱台体积、正方体动点轨迹、异面直线性质|第2题结合动点轨迹考查空间想象，第9题多角度判断异面直线体现逻辑推理| |填空题|3/15|刍童外接球、四面体外接球、祖暅原理|12题引用《九章算术》“刍童”，14题结合祖暅原理渗透文化传承| |解答题|5/77|正三棱锥侧棱与斜高、直三棱柱线面证明、圆台最短路径|18题蚂蚁爬行问题考查空间展开与转化思想，17题线面平行垂直证明强化逻辑推理|

2025—2026学年高一数学第二学期第四单元测试卷 （满分：150 分，考试时间：120 分钟） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.棱台上下底面均为有一个内角为 的菱形,且上下底边长分别为 2 和 3,该棱台的高为 ,则该棱台体积为( ) A． B． C． D． 2.如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则下列错误的是( ) A． 三棱锥体积的最大值为 B． 若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C． 当直线与所成的角为时，点P的轨迹长度为 D． 当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 3.在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为( ) A． B． C． D． 4.已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中不正确的个数是( ) ①若，，则； ②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行； ③若，，，则平面、内必定分别存在一条直线与直线垂直； ④若、为异面直线且点，，则一定存在经过点的平面与、都平行． A． B． C． D． 5.已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为( ) A． B． C． D． 6.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则下列各选项正确的是( ) A．该圆锥的体积为 B．过圆锥任意两条母线的截面中面积最大值为 C． D．该圆锥的侧面积为 7.在四棱锥中，已知平面，，底面是菱形，，E，F，G分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( ) A． B． C． D． 8.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M为棱BC的中点，则直线D1M与平面ABCD所成角的正切值为(　　) A． B． C． D． 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.对于给定的异面直线、，以下判断正确的是( ) A． 存在平面，使得， B． 存在直线，使得同时与、垂直且相交 C． 存在平面、，使得，，且 D． 对于任意点，总存在过且与、都相交的直线 10. 设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则( ) A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上) 12．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD－EFGH有外接球，且AB＝4，AD＝4，EH＝2，EF＝6，点E到平面ABCD距离为4，则该刍童外接球的表面积为_______． 13.已知四面体A—BCD中，AB＝CD＝，AC＝BD＝，BC＝AD＝，则其外接球的体积为 ． 14.中国南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅通过对几何体体积的研究，早于西方1100多年，得出一个原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是面积，“势”是高．也就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，上述原理被称为祖暅原理．现有水平放置的三棱锥和圆锥各一个，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，所截得的两个截面面积都相等，若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，根据祖暅原理可知这个三棱锥的体积为________． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分13分)平面内有一个正六边形，它的中心是，边长是2，. 求点到这个正六边形的顶点和边的距离. 16．(本小题满分15分) 如图所示，正三棱锥P−ABC的底面边长为a，高PO为h，求它的侧棱PA的长和斜高PD的长． 17．(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC． 求证： (1)A1B1∥平面DEC1； (2)BE⊥C1E． 18. (本小题满分17分) 某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 19．(本小题满分17分) .已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． (1)求圆锥的表面积； (2)如图，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积． 2025—2026学年高一数学第二学期第四单元测试卷 答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 【1题答案】D【2题答案】D【3题答案】D【4题答案】C【5题答案】C【6题答案】B【7题答案】D【8题答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9.BC　　　10，ACD 11.BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．100π 13，π 14π 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15【解析】如图所示，作的中点，连接，因为，所以为直角三角形， 因为正六边形的边长是2，，所以 在直角中，由勾股定理得 ，. 16．【解析】如图，连接AD，则点O在AD上． ∵正三棱锥P−ABC的底面边长为a，O为的中心，∴OA=a，OD=a． 在中，根据勾股定理，得PA=． 在中，根据勾股定理，得PD=， 所以此正三棱锥的侧棱PA的长为，斜高PD的长为． 17．【解析】证明： (1)因为D，E分别为BC，AC的中点， 所以ED∥AB． 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED． 又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1， 所以A1B1∥平面DEC1． (2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC． 因为三棱柱ABC−A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC． 又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE． 因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C， 所以BE⊥平面A1ACC1． 因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E． 18．【解析】（1）如图1，作交于， 易得，则，则圆台的高为． （2）圆台的轴截面面积为：． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为，设的中点为，连接（如图2）， 可得，则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 19．【解析】（1）设圆锥的底面半径为r，高为h，由题意，得：，∴，∴，∴圆锥的侧面积，圆锥的底面积，∴圆锥的表面积 （2）由（1）可得：圆锥的体积为又圆柱的底面半径为，高为 ∴圆柱的体积为∴剩下几何体的体积为 学科网（北京）股份有限公司 $