培优专题04 整式的混合运算18大题型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 以“运算能力为核心，分层突破整式混合运算，整合18类题型构建‘概念-运算-应用-拓展’逻辑链，强化推理意识与模型意识。**专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂的运算|5题型（1-5）|幂的逆用、比较大小（化同底/同指数）、新定义转化|从正向运算到逆用，结合新定义培养抽象能力| |整式乘除|4题型（6-9）|参数求解（不含某项）、遮挡问题（方程思想）|运算规则应用到含参问题，提升推理能力| |乘法公式|4题型（10-13）|公式变形、几何意义、规律探究|从代数运算到数形结合，强化模型意识| |综合拓展|5题型（14-18）|配方法（最值）、错误辨析、材料阅读|整合知识解决复杂问题，发展创新意识|

专题04 整式的混合运算 题型1幂的混合运算（常考点） 题型10多项式乘法中的规律探究问题（难点） 题型2用科学记数法表示数的乘法 题型11通过对完全平方式变形求解（常考点） 题型3幂运算法则的逆用（重点） 题型12利用乘法公式进行简便计算（重点） 题型4比较幂的大小（重点） 题型13乘法公式与几何图形综合 题型5与幂的运算有关的新定义问题（难点） 题型14化简问题（常考点） 题型6根据整式运算结果求参数的值（常考点） 题型15识别整式混合运算的错误步骤 题型7已知多项式乘积不含某项求字母的值（常考点） 题型16与整式混合运算有关的新定义问题（难点） 题型8与整式乘除运算有关的遮挡/污染问题 题型17与整式混合运算有关的材料阅读类问题（难点） 题型9整式的混合运算（常考点） 题型18代数式最值问题（重点） 题型一 幂的混合运算（共3小题） 1．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2）先算幂的乘方，再合并同类项； （3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（22-23七年级下·重庆大渡口·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方运算法则进行计算； （2）根据积的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了乘方混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 3．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 题型二 用科学记数法表示数的乘法（共3小题） 4．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）光在真空中的传播速度约为．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要年．一年以计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？ 【答案】米 【分析】本题主要考查了与科学记数法有关的乘法计算，用光的传播速度乘以每一年的秒数，再乘以即可得到答案． 【详解】解： ． 答：比邻星与地球之间的距离大约是米． 5．（23-24七年级下·河南周口·阶段检测）某银行去年新增居民存款3亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚，如果将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有多高？（结果用科学记数法表示） (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍总额为3亿元的这种纸币，点钞机大约要点多少天？ 【答案】(1) (2)10天 【分析】本题考查了同底数幂的除法与乘法运算、科学记数法， （1）先算出3亿元人民币的张数，然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可得到答案； （2）用3亿元人民币的张数除以速度，再根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算． 【详解】（1）解：， 答：将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有； （2）解：天， 答：点钞机大约要点10天． 6．（22-23六年级下·山东烟台·期中）将如图所示的长为，宽为，高为的大理石运往某地用以建设革命历史博物馆．          (1)求每块大理石的体积；（结果用科学记数法表示） (2)如果一列火车总共运送了块大理石，共约重千克，求每块大理石约重多少千克？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1)每块大理石的体积为 (2)每块大理石约重千克 【分析】（1）根据长方体的体积公式列式计算即可； （2）用总质量除以块数求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，得： ， 答：每块大理石的体积为； （2）解： （千克）． 答：每块大理石约重千克． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法和同底数幂除法的应用、科学记数法，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法和除法法则准确计算． 题型三 幂运算法则的逆用（共4小题） 7．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知； (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)若，则的值． 【答案】(1)250 (2)2 (3) (4) 【分析】（1）根据计算求解即可； （2）先求出的值，再根据计算求解即可； （3）可求出，则可得到，再根据可得答案； （4）根据题意可推出，则， 可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用幂的运算法则解答下列问题： (1)已知，求和的值； (2)已知，求和的值； (3)已知的值为729，求的值． 【答案】(1)，． (2)，． (3)2 【分析】本题考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）利用幂的乘方和同底数幂的除法解答即可； （2）根据同底数幂的除法逆运算解答即可； （3）根据同底数幂的乘除法混和运算解答即可． 【详解】（1）解：， ， ． ， ， ． （2）解：， ， ． （3）解：， 即， 所以， 所以，解得． 9．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）按要求解答下列各小题： (1)已知，，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则得到，再将已知条件代入求值即可； （2）先化成同底数幂，然后根据幂的乘方法则化简，再让指数相同，据此列方程求解即可； （3）先化成同底数幂，然后根据幂的乘方和同底数幂的乘除法法则化简，再让指数相同，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 10．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，（）． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)4 (2)1 (3)0 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法及幂的乘方逆运算，零指数幂等知识点，能灵活运用知识点进行变形是解此题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方逆运算法则进行变形，再代入求出即可； （2）先根据同底数幂的除法，幂的乘方逆运算法则进行变形，再代入求出即可； （3）由（2）知，根据任何数（除外）的零次幂等于，即可求解． 【详解】（1）解：，，， ∴ ； （2）解：，，， ∴ ； （3）解：由（2）知， ∵， ∴． 题型四 比较幂的大小（共2小题） 11．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 12．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【详解】（1）解：， 又∵， ； （2）解：， 又∵， （3）解：， 又∵， ． 题型五 与幂的运算有关的新定义问题（共3小题） 13．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）对于实数，定义一种幂的新运算：，，是正整数． 例如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)的值为___________； (2)若，求的值； (3)这种运算是否满足结合律，即成立吗？说明理由． 【答案】(1)9 (2) (3)成立，理由见解析 【分析】（1）根据定义的幂的新运算求解即可； （2）根据定义的幂的新运算求解即可； （3）根据定义的幂的新运算求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 解得：； （3）解：成立，理由如下： ∵ ， ∴， 即这种运算满足结合律，成立． 14．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段检测）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，，，求的值； (3)若运算的结果为810，则t的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义进行计算，得出，将已知式子的值代入进行计算即可求解； （3）根据新定义，列出方程，根据同底数幂的以及幂的乘方运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：当，，时， ； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：． 【点睛】本题考查了幂的乘法与同底数幂的乘法，理解新定义，掌握幂的乘法与同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 15．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么；例如；记作． (1)根据以上规定求出：______；______； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ，． 根据以上证明，请计算：______； (3)猜想______，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据，求解即可； （2）设，可得，进而求出即可； （3）设，，可得，进而求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． （2）解：设， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 设，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 题型六 根据整式运算结果求参数的值（共4小题） 16．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知等式成立，求的值． 【答案】2 【分析】先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：， ∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴ ． 17．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知时，关于x的多项式能被整除，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，根据题意设，然后展开后比较求解即可． 【详解】解：∵时，关于x的多项式能被整除， ∴设 ∴ ∴， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）已知整式，整式． (1)若是完全平方式，求的值． (2)若可以因式分解为，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键． （1）先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得值即可； （2）先化简，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出值即可解答． 【详解】（1）解： ， ∵为完全平方式， ∴， ∴或． （2）解： ∵可以因式分解为，， ∴， ∴． 19．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（为常数）写成（为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______； （2）配方：______﹔ 【知识运用】： （3）求多项式的最小值． 【答案】（）；（）；（）多项式的最小值为． 【分析】本题考查完全平方式、配方法、平方式的非负性，理解题意，掌握配方法并灵活运用是解题的关键． （）根据完全平方式的形式求解即可； （）利用配方法的步骤求解即可； （）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解即可． 【详解】解：（）∵是一个完全平方式， ∴， 故答案为：； （）由题意得：， 故答案为：； （） ， ∵，， ∴， ∴多项式的最小值为． 题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值（共3小题） 20．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）先化简，得到，根据的乘积中不含项和项，得到，求出，即可解答； （2）先根据同底数幂的乘法的逆运算与积的乘方的逆运算化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的乘积中不含项和项， ∴， 解得， ∴的值为，的值为2． （2）解：∵， ∴． 21．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）定义，如． (1)若，求x的值； (2)若的值与x无关，求m，n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据新定义得到，求解即可； （2）根据新定义计算，进而根据的值与x无关得到，，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵的值与x无关， ∴，， ∴， ∴． 22．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将乘式展开，以为主元进行合并同类项，不含的一次项，即一次项系数为零，结合常数项是，求出，的值； （2）先利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∵展开式中不含的一次项，常数项是， ∴，， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， 当，时， 原式， ， ． 题型八 与整式乘除运算有关的遮挡/污染问题（共3小题） 23．（25-26七年级下·河北张家口·期中）琪琪准备完成题目：计算时，她发现第二个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的结果中一次项的系数是3．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）设，利用多项式乘多项式的法则展开，利用结果中一次项的系数是3得出，求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 则 ， ∵结果中一次项的系数是3， ∴， 解得：， 即原题中被遮住的一次项系数是． 24．（24-25八年级上·云南昆明·期中）小红准备计算题目：▅，发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了，已知这个题目的正确答案是不含三次项的，请计算求出原题中被遮住的一次项系数． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式中不含某项的条件；设一次项系数为，由多项式乘以多项式得，由多项式中不含某项的条件，即可求解；理解“多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零．”是解题的关键． 【详解】解：设一次项系数为， 正确答案是不含三次项， ， ， 故原题中被遮住的一次项系数为． 25．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母和表示），污染后的习题如下：． (1)请你帮小伟复原被污染的和处的代数式，并写出练习题的正确答案； (2)爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)能， 【分析】（1）根据多项式与单项式的除法法则计算即可 （2）先求正确答案与的和，再因式分解即可． 【详解】（1）， ， ∴原题为. 则答案为： （2）， 能因式分解： 【点睛】本题考查多项式除以单项式及因式分解，掌握相应法则时解题关键． 题型九 整式的混合运算（共4小题） 26．（25-26八年级上·天津和平·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的混合运算，包括完全平方公式、平方差公式、幂的运算和整式的乘除．解题时需熟练掌握相关运算法则，逐步计算． （1）先根据完全平方公式计算，再去括号即可； （2）先算积的乘方，再算单项式的乘法和除法，然后合并同类项即可； （3）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项； （4）先算括号里，再算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 27．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了整式的混合运算和乘法公式，熟练掌握运算法则和乘法公式是关键． （1）利用单项式乘以多项式法则计算即可； （2）利用多项式乘以多项式法则计算即可； （3）利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 28．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）根据完全平方公式和乘法分配律计算即可求解； （）根据积的乘方、同底数幂的乘法及单项式除以单项式的运算法则计算即可； （）根据多项式乘以多项式和平方差公式计算即可； 本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 29．（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握乘法公式，整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项，完全平方和公式展开，再运用整式的加减运算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项，多项式除以单项式的计算方法展开，再运用整式的加减运算法则计算即可； （3）根据完全平方和公式，平方差公式展开，再运用整式的加减运算法则计算即可； （4）根据平方差公式，去括号展开，再运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十 多项式乘法中的规律探究问题（共4小题） 30．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式： ． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式写成第个等式即可； （2）观察可知第n个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母a的指数降序排列的，且每一项只含有a、b两个字母，每一项的系数都为1，字母的指数之和为n，等式右边是，据此可得答案； （3）将原式变形为，利用，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ……， 以此类推可知，； （3）解：原式 ． 31．（25-26八年级上·北京·阶段检测）数学活动课上，学习小组发现：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．为了探究这一结论所蕴含的数学规律，计算了下列三组乘法算式的结果（每组算式中两个因数的和为定值）． 第一组 第二组 第三组 ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． (1)发现如下规律：两正数和一定时，这两正数差的绝对值越小则这两正数的积___________（填“越大”或“越小”或“不变”）； (2)若两个正数的和为，设这两正数分别为和．请你利用整式乘法的知识解释上述规律； (3)请用上述规律解决问题：的最大值是___________． 【答案】(1) 越大 (2) 见解析 (3) 【分析】本题考查数字类规律探索，多项式乘法中的规律性问题． （1）比较每组中两个数的和、差、积，即可求解； （2），，当越小时，越小，越大，即可求解； （3），，由（1）可得当时，取得最大值，把代入计算即可． 【详解】（1）解：第一组：， ，，，， ， ， 第二组：， ，，，， ， ， 第三组：， ，，，， ， ， ∴两正数和一定时，这两正数差的绝对值越小则这两正数的积越大． 故答案为：越大． （2）解：∵两正数分别为和， ∴这两正数差的绝对值为， ∵为定值，，， ∴ 当越小时，越小，越大， ∴当越小时，和的积越大， 当时，和的积最大为． ∴两正数和一定时，这两正数差的绝对值越小则这两正数的积越大． （3）解：，， 由（1）可得，越小，越大， ∵， ∴当时，取得最大值，此时取得最大值， 由可得， 解得， 当时，． ∴的最大值是． 故答案为：． 32．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数．                                                      1      1  1                                        1  2  1                               1  3  3  1                      1  4  6  4  1         1  5  10  10  5  1 (1)观察的展开式，各项系数和是______；猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和______（结果用含字母n的代数式表示）； (2)利用材料中的规律计算： ①写出的展开式 ② 【答案】(1)64， (2)①，②1 【分析】本题考查了数字的变化类、列代数式、多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）由已知式子列出的展开式，再计算出各项系数和即可；根据规律发现可知，（n取正整数）的展开式的各项系数之和为； （2）①根据前面发现的规律，将所求式子变形，即可运用发现的规律解答本题即可； ②利用的展开式，将式子转化为，计算得1． 【详解】（1）解：， ∴各项系数和为：， ∵的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， ……， ∴（n取正整数）的展开式的各项系数之和为， 故答案为：64，． （2）解：① ； ②观察式子， 将原式与进行比较，可发现当，时，两者形式完全相同， ∴原式． 33．（24-25七年级下·河南郑州·阶段检测）某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，那么这两个两位数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：；… (1)探索以上算式规律，请计算________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是，个位上的数字都是5，请用等式表示这两个两位数的积的规律________； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是，其中一个数的个位上的数字是，请用等式表示这两个两位数的积的规律，并证明这个规律． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究，理解规律的运算方法是解答本题的关键． （1）根据规律计算即可； （2）根据所给算式总结规律即可； （3）观察算式③④总结规律，然后利用多项式与多项式的乘法法则计算即可证明这个规律． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：； （3）解：规律为：， 证明： ， ， ∴． 题型十一 通过对完全平方式变形求解（共4小题） 34．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知．，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式变形，即可求解． （2）根据，进而根据平方根的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 35．（21-22七年级下·浙江金华·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将因式分解为，然后代入计算即可； （2）根据，，得，再代入计算，最后根据平方根的定义可得答案； （3）根据求得，计算得，继而得到，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， 当时，； 当时，； ∴的值为． 36．（20-21八年级上·河南商丘·期末），，求下列各式的值： (1)和； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）把所给的式子利用完全平方公式分解后，再把两式进行相加和相减即可求解； （2）先化简原式，再将（1）所求的和的值代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 由得：， ∴， 将代入①得：． （2）解：原式， 将，代入原式得，． 37．（25-26八年级上·吉林·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 【答案】(1) 12 (2) 4 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值． （1）将，代入完全平方公式，即可得的值； （2）由，，可得，结合完全平方公式，即可得的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴的值为． 题型十二 利用乘法公式进行简便计算（共3小题） 38．（21-22八年级上·河北保定·期末）计算： 利用平方差公式可以进行简便计算： 例如： 请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，把第一个括号内提，然后利用平方差公式计算． 【详解】解： ． 39．（25-26八年级上·天津宝坻·阶段检测）用简便方法计算 (1) (2) 【答案】(1)9996 (2)1 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 40．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式计算，利用提取公因式法简化运算，逆用积的乘方，解题关键是掌握上述运算技巧进行计算． （1）利用平方差公式分解因式计算； （2）利用多次提取公因式法简化运算； （3）逆用积的乘方计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） 题型十三 乘法公式与几何图形综合（共4小题） 41．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、 (2)若，，求的值； (3)若图1中的，图3中，则的值为 ．（用含x，y的代数式表示） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示、； （2）根据，再变形为：，将，代入进行计算即可； （3）由图1中的，图3中，可得，，再把的右边分解因式，最后代入即可． 【详解】（1）解：由图1可得， ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵图1中的，图3中， ∴，， ∴． 42．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，两张边长分别为的正方形纸片． (1)如图2，将两张纸片放置于一个大正方形的纸片中（无重叠），若大正方形的纸片边长为10，阴影部分面积为35． ①求两张纸片的面积和； ②求两张纸片的边长差； (2)如图3，将两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知两张纸片的边长差为2，两张纸片的面积和为20，求阴影部分的面积． 【答案】(1)①65；②； (2)8 【分析】（1）①由题意得，根据进行计算即可； ②由题意得，由即可求出答案； （2）由题意得，根据求出的值，结合图象利用三角形面积公式即可求解． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【详解】（1）①由图可知， ，即， ∴两张纸片的面积和； ② ， ； （2）由题意得，， 如图： 43．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放在长方形内（），每个正方形都有一组邻边与长方形的边重合．两种放置均有部分重叠，阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分，记图1阴影部分的周长和面积分别为和，图2阴影部分的面积为． (1)若，，，直接写出的值． (2)若，，求的值． (3)已知长方形的周长为36，面积为80，，求的值． 【答案】(1)40 (2)10 (3)8 【分析】题目主要考查整式的加减运算及求值，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）图1中的阴影部分周长可以转化为长方形的周长，它的长与宽都很容易找到，只要套用长方形的周长公式计算即可； （2）两个图形中的阴影部分的面积都可以转化为两个不同的矩形面积之和，再分别用相应的代数式表示出来，通过运算化简得到，而，，整体代入就能得出答案． （3）同样设长方形的宽为x，长为y，由（2）可知，结合这一问给出的条件可以变形得到，同时利用可以求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：作辅助线如图所示 ∵ ∴， ∴； （2）解：作辅助线如下图 设， ∴，， ∴， 由题意得：，， ∴ （3）解：设，且（） 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）得． 44．（20-21七年级下·浙江湖州·期末）我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则：若，则：若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． （1）如图1是边长为的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为． ①用含的代数式分别表示和（结果需要化简）； ②请用作差法比较与大小． （2）若，，且，求的值． 【答案】（1）①；；②；（2） 【分析】（1）①根据图形，按照长方形及正方形的面积公式进一步计算即可得出相应的S1与S2的值；②然后进一步将二者相减并化简，最后根据化简结果的正负性比较大小即可； （2）根据M=N得出M−N=0，由此将式子代入，化简得出的值，据此在将所求式子化简后进一步代入计算即可. 【详解】解：（1）①， ， ②∵ ∴； （2）由，得到，∴， 整理得：，即， 则． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键. 题型十四 化简问题（共4小题） 45．（22-23七年级下·四川·期末）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），1；（2），5 【分析】（1）先根据整式的混合运算法则，进行化简，再代值计算即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项进行化简，再代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； 当，时，原式 （2）解：原式 ； 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值．熟练掌握整式的混合运算法则，正确的进行计算，是解题的关键． 46．（21-22七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式 ． 47．（24-25七年级下·广东河源·期末）以下是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式： 化简：（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）． (1)多项式A为________，多项式B为________，计算结果为________； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)化简结果为，求值结果为． 【分析】本题考查了多项式的乘法运算、合并同类项、化简求值以及代数式的对应推理．解题的关键是通过等式两边的项对应关系确定未知多项式，再运用整式的运算法则准确化简和计算． （1）对等式右边进行适当变形，对比等式两边结构，求出，并将多项式进行合并得到计算结果． （2）代入的表达式，展开多项式乘法，并合并同类项化简式子；代入x、y的值计算结果． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴计算结果为． 故答案为：；；． （2）解：∵， ∴， 将代入上式得：． 故化简结果为，求值结果为． 48．（25-26七年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号里多项式乘以多项式、完全平方公式、平方差公式，再由去括号法则化简，然后合并同类项化简括号内的运算，再由多项式除以单项式得到化简结果，然后由非负数和为零的条件求出，再将代入化简后的结果由有理数乘法及减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， ，且， ， 解得， 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值，涉及多项式乘以多项式、完全平方公式、平方差公式、去括号法则、合并同类项、多项式除以单项式、有理数乘法运算及有理数减法运算等知识，熟练掌握整式加减乘除等运算法则是解决问题的关键． 题型十五 识别整式混合运算的错误步骤（共3小题） 49．（24-25七年级下·河南郑州·期末）阅读下面这位同学的解答过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 第三步 当，时，原式第四步 任务： (1)第一步运用到了乘法公式：______； (2)以上步骤从第_______步开始出现了错误，错误的原因是_______； (3)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)完全平方公式 (2)一；去小括号时b的前面没有变号； (3)见解析 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，单项式乘以多项式，多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据题意可得第一步运用了完全平方公式； （2）第一步去小括号时b的前面没有变号； （3）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式去小括号，然后合并同类项，接着计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，第一步运用了完全平方公式； （2）解：观察解题过程可知，第一步开始出现错误，错误原式是去小括号时b的前面没有变号； （3）解； ， 当，时，原式． 50．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小诚在计算时，解答过程如下： …………第一步 ………………………………第二步． 任务一：请你帮助小诚分析一下，他是从第______步开始出错的，错误的原因是______，并写出你的正确解答过程； 任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就整式的计算需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条） 【答案】任务一：一，公式用错；任务二：见解析 【分析】本题考查整式的运算，掌握相关公式和运算法则，是解题的关键． 任务一：第一步出现错误，公式计算错误，去括号，符号错误，根据； 任务二：公式要记对，括号前面是负号，去括号每一项都要变号（合理即可） 【详解】解：任务一：他是从第一步开始出错的， 公式用错或应该，， 括号前面是负号，去括号没有变号（也可以说应该等于，只要有道理都正确）， 任务二：公式要记对，， 括号前面是负号，去括号每一项都要变号； 合并同类项把系数相加减，字母及指数不变．（合理即可） 51．（22-23七年级下·山西运城·期末）已知 ，求代数式的值． 解：                 （第一步）                          （第二步）                           （第三步） 由，得                   （第四步） 所以，原式       （第五步） 任务： (1)该解法运用的主要数学思想是___________． A．转化思想        B．数形结合思想        C．公理化思想        D．整体思想 (2)该解答过程在第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． (3)请你借鉴该解题方法，写出此题的正确解答过程． 【答案】(1)D (2)二，去括号时，括号里的没有 (3)见解析 【分析】（1）直接根据解答过程进行判断即可； （2）直接利用整式的混合运算法则判断即可； （3）直接利用整式的混合运算法则计算，进而将已知代入求出答案． 【详解】（1）解：解题过程中运用到整体思想 故选：D． （2）解答过程在第二步上开始出现了错误， 错误的原因中：去括号时没有， 故答案为：二；去括号时，括号里的没有． （3）                                                                       由，得                   所以，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 题型十六 与整式混合运算有关的新定义问题（共3小题） 52．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：． 例如：． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，求的值． 【答案】(1)20 (2)6 (3)3或 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，读懂题意，理解新定义运算的运算规定，掌握完全平方公式、平方差公式及变形是解决本题的关键． （1）先按给出的新定义运算，再整体代入求值； （2）先按给出的新定义运算，再整体代入求值； （3）先按给出的新定义运算，再根据已知，利用完全平方公式及变形求出的值，最后代入计算． 【详解】（1）解： ． 当时， 原式； （2） ． ， 即． 原式 ； （3） ． ，， ，即． ． ． ． 或． 当，时， 原式； 当，时， 原式． 53．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． (1)若，，求a，b的“和积数”c； (2)若，，求a，b的“和积数”c； (3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 【答案】(1)； (2)或； (3)，有最小值为． 【分析】（1）把，代入c中求值即可； （2）利用完全平方公式求出，得到的值，进而得到c的值； （3）把a，c的值代入，化简得，分和两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴a，b的“和积数”； （2）解：∵，且，， ∴, ∴． ∴或； 即或； （3）解：由题意，， ∵， ， ∴． ①若，式子变为． ∴b为任何数，不存在最小值； ②若，又， ∴， ∴， ∴ ． ∴当时，有最小值为． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用． 54．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 题型十七 与整式混合运算有关的材料阅读类问题（共4小题） 55．（23-24七年级下·浙江金华·期末）材料阅读：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： (1)请直接写出一个不大于5的“完美数”，这个“完美数”是______． (2)试判断（是整数）是否为“完美数”，并说明理由． (3)已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由． 【答案】(1)2（答案不唯一） (2)是完美数，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据新定义，判断，并写出一个小于10的“完美数”即可求解； （2）根据新定义根据多项式乘以单项式进行计算，然后因式分解成两个平方和的形式即可求解； （3）先运用完全平方公式将进行化简，再根据“完美数”的定义计算即可． 【详解】（1）解：， 是“完美数”， 故答案为：2（答案不唯一）． （2）解： ， 是“完美数”． （3）解： ， 为“完美数”， ， ． 56．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）阅读：一个三位数，百位数字是x，十位数字是y，个位数字是z，我们不能用表示，而要表示为，有时为书写方便还可以表示为，即有：． (1)类比：______________ (2)观察下列等式              猜想：①___________； ②______________； (3)验证：利用所学知识证明猜想②． 【答案】(1) (2)①；② (3)证明见解析 【分析】（1）参照阅读材料中的表示方法即可得； （2）①观察等式的规律：100与十位上的数字、十位上的数字加1的和相乘，再加上25，由此即可得； ②表示的一个两位数，这个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为5，再根据已知等式的规律即可得； （3）根据，先利用完全平方公式进行计算，再利用单项式乘以多项式法则计算等式的右边，由此即可得证． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：①观察等式的规律：100与十位上的数字、十位上的数字加1的和相乘，再加上25， ， 故答案为：； ②表示的一个两位数，这个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为5， 则， 故答案为：． （3）证明：， ， ，即猜想②正确． 【点睛】本题考查了列代数式、完全平方公式、单项式乘以多项式，理解题意，熟练掌握整式的运算法则和完全平方公式是解题关键． 57．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）阅读下列材料：我们把形如的式子称为“行列式”，其运算法则为：．例如：．请你运用材料回答： (1)计算：___________． (2)已知，求的值． (3)若的三边长为，满足，，求的周长． 【答案】(1)6 (2)29 (3) 【分析】本题考查定义新运算，整式的混合运算，解题的关键是读清楚新运算的法则． （1）根据运算法则直接运算即可得到答案； （2）根据运算法则得到，再整体代入即可得到答案； （3）根据运算法则得到，根据非负性得到，，，再利用三角形的周长公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ； 故答案为：6； （2）解：由题意可得， ， ∵， ∴原式； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得，，， ∴的周长． 58．（20-21七年级下·浙江湖州·期末）先阅读下面材料，再解决问题：在求多项式的值时，有时可以通过“降次”的方法，把字母的次数从“高次”降为“低次”．一般有“逐步降次法”和“整体代入法”两种做法．例如：已知，求多项式的值． 方法一：∵，∴，∴原式． 方法二：∵，∴，∴原式． (1)应用：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）； (2)拓展：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）用整体代入法进行计算； （2）用逐步降次法进行计算． 【详解】（1）∵， ∴， ∴原式 ； （2）∵， ∴， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了求代数式的值，关键是正确应用“逐步降次法”和“整体代入法”两种方法进行解答． 题型十八 代数式最值问题（共4小题） 59．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：∵， 又∵； ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：_______． (2)已知实数，满足，求的值； (3)当______、______时，多项式的最大值______． 【答案】(1) (2)16 (3)，，9 【分析】（1）根据阅读材料，先将配方后，再利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质求出a，b的值，代入计算即可； （3）把所给的多项式配方后根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； （3） ，； ， 当，时， 即，时，取得最大值为9． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式，非负数的性质，解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 60．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式的最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法： 解：． 因为是非负数，所以当时，的值最小，最小值为1，所以的最小值是1． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最小值． (3)求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)7 (3)6 【分析】本题考查配方法的应用，熟悉完全平方公式的结构特征和平方式的非负性是解答的关键． （1）仿照题干例题求解过程解答即可； （2）将原式配方得，根据的非负性求解即可； （3）将代数式经过两次配方可得，再根据的非负性即可求得答案． 【详解】（1）解：， 因为是非负数， 所以当时，取最小值； （2）解：， 因为是非负数， 所以当，即时，取最小值7； （3）解： ， 观察出当或时，，此时取最小值6． 61．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式．再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究，合作，交流，最后得到如下的解法： 解：， 是非负数 当时，的值最小，最小值为1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最小值； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3)5 【分析】此题考查了运用完全平方公式进行计算，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可； （3）由，可得，代入中利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最大值即可． 【详解】（1）解：， ∵是非负数， ∴当时，的值最小，最小值为2， ∴的最小值为2； （2）解： ， ， ． 的最小值是． （3）解：， ， ∴ ， ， ． 的最大值． 62．（21-22七年级下·浙江舟山·期末）在学习了乘法公式“”的应用后，李老师提出问题： 求代数式的最大值.同学们经过探索、合作交流，最后得到如下的解法： 解： ∵，∴ 当时，的值最大，最大值为3 ∴的最大值是3． 请你根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式的最大值. (2)求代数式的最大值． (3)若，求的最大值． 【答案】(1)的最大值为11 (2)的最大值为5 (3)的最大值为11 【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可； （3）由，可得，再将等式右边利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）， ， ． 的最大值是11． （2）， ， ． 的最大值是5． （3）， ， ， ． 的最大值是11． 【点睛】此题考查了运用完全平方公式进行计算，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的混合运算 题型1幂的混合运算（常考点） 题型10多项式乘法中的规律探究问题（难点） 题型2用科学记数法表示数的乘法 题型11通过对完全平方式变形求解（常考点） 题型3幂运算法则的逆用（重点） 题型12利用乘法公式进行简便计算（重点） 题型4比较幂的大小（重点） 题型13乘法公式与几何图形综合 题型5与幂的运算有关的新定义问题（难点） 题型14化简问题（常考点） 题型6根据整式运算结果求参数的值（常考点） 题型15识别整式混合运算的错误步骤 题型7已知多项式乘积不含某项求字母的值（常考点） 题型16与整式混合运算有关的新定义问题（难点） 题型8与整式乘除运算有关的遮挡/污染问题 题型17与整式混合运算有关的材料阅读类问题（难点） 题型9整式的混合运算（常考点） 题型18代数式最值问题（重点） 题型一 幂的混合运算（共3小题） 1．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（22-23七年级下·重庆大渡口·期中）计算： (1) (2) 3．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）计算： (1) (2) 题型二 用科学记数法表示数的乘法（共3小题） 4．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）光在真空中的传播速度约为．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要年．一年以计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？ 5．（23-24七年级下·河南周口·阶段检测）某银行去年新增居民存款3亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚，如果将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有多高？（结果用科学记数法表示） (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍总额为3亿元的这种纸币，点钞机大约要点多少天？ 6．（22-23六年级下·山东烟台·期中）将如图所示的长为，宽为，高为的大理石运往某地用以建设革命历史博物馆．          (1)求每块大理石的体积；（结果用科学记数法表示） (2)如果一列火车总共运送了块大理石，共约重千克，求每块大理石约重多少千克？（结果用科学记数法表示） 题型三 幂运算法则的逆用（共4小题） 7．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知； (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)若，则的值． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用幂的运算法则解答下列问题： (1)已知，求和的值； (2)已知，求和的值； (3)已知的值为729，求的值． 9．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）按要求解答下列各小题： (1)已知，，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知，求的值． 10．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，（）． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 题型四 比较幂的大小（共2小题） 11．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 12．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 题型五 与幂的运算有关的新定义问题（共3小题） 13．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）对于实数，定义一种幂的新运算：，，是正整数． 例如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)的值为___________； (2)若，求的值； (3)这种运算是否满足结合律，即成立吗？说明理由． 14．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段检测）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，，，求的值； (3)若运算的结果为810，则t的值是多少？ 15．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么；例如；记作． (1)根据以上规定求出：______；______； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ，． 根据以上证明，请计算：______； (3)猜想______，并说明理由． 题型六 根据整式运算结果求参数的值（共4小题） 16．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知等式成立，求的值． 17．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知时，关于x的多项式能被整除，求m的值． 18．（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）已知整式，整式． (1)若是完全平方式，求的值． (2)若可以因式分解为，求的值． 19．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（为常数）写成（为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______； （2）配方：______﹔ 【知识运用】： （3）求多项式的最小值． 题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值（共3小题） 20．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 21．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）定义，如． (1)若，求x的值； (2)若的值与x无关，求m，n的值． 22．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值； (2)先化简，再求值：． 题型八 与整式乘除运算有关的遮挡/污染问题（共3小题） 23．（25-26七年级下·河北张家口·期中）琪琪准备完成题目：计算时，她发现第二个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的结果中一次项的系数是3．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 24．（24-25八年级上·云南昆明·期中）小红准备计算题目：▅，发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了，已知这个题目的正确答案是不含三次项的，请计算求出原题中被遮住的一次项系数． 25．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母和表示），污染后的习题如下：． (1)请你帮小伟复原被污染的和处的代数式，并写出练习题的正确答案； (2)爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由． 题型九 整式的混合运算（共4小题） 26．（25-26八年级上·天津和平·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 28．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 题型十 多项式乘法中的规律探究问题（共4小题） 30．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式： ． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论，计算：． 31．（25-26八年级上·北京·阶段检测）数学活动课上，学习小组发现：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．为了探究这一结论所蕴含的数学规律，计算了下列三组乘法算式的结果（每组算式中两个因数的和为定值）． 第一组 第二组 第三组 ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． (1)发现如下规律：两正数和一定时，这两正数差的绝对值越小则这两正数的积___________（填“越大”或“越小”或“不变”）； (2)若两个正数的和为，设这两正数分别为和．请你利用整式乘法的知识解释上述规律； (3)请用上述规律解决问题：的最大值是___________． 32．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数．                                                      1      1  1                                        1  2  1                               1  3  3  1                      1  4  6  4  1         1  5  10  10  5  1 (1)观察的展开式，各项系数和是______；猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和______（结果用含字母n的代数式表示）； (2)利用材料中的规律计算： ①写出的展开式 ② 33．（24-25七年级下·河南郑州·阶段检测）某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，那么这两个两位数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：；… (1)探索以上算式规律，请计算________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是，个位上的数字都是5，请用等式表示这两个两位数的积的规律________； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是，其中一个数的个位上的数字是，请用等式表示这两个两位数的积的规律，并证明这个规律． 题型十一 通过对完全平方式变形求解（共4小题） 34．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知．，． (1)求的值； (2)求的值． 35．（21-22七年级下·浙江金华·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 36．（20-21八年级上·河南商丘·期末），，求下列各式的值： (1)和； (2)． 37．（25-26八年级上·吉林·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 题型十二 利用乘法公式进行简便计算（共3小题） 38．（21-22八年级上·河北保定·期末）计算： 利用平方差公式可以进行简便计算： 例如： 请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算： 39．（25-26八年级上·天津宝坻·阶段检测）用简便方法计算 (1) (2) 40．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 题型十三 乘法公式与几何图形综合（共4小题） 41．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、 (2)若，，求的值； (3)若图1中的，图3中，则的值为 ．（用含x，y的代数式表示） 42．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，两张边长分别为的正方形纸片． (1)如图2，将两张纸片放置于一个大正方形的纸片中（无重叠），若大正方形的纸片边长为10，阴影部分面积为35． ①求两张纸片的面积和； ②求两张纸片的边长差； (2)如图3，将两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知两张纸片的边长差为2，两张纸片的面积和为20，求阴影部分的面积． 43．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放在长方形内（），每个正方形都有一组邻边与长方形的边重合．两种放置均有部分重叠，阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分，记图1阴影部分的周长和面积分别为和，图2阴影部分的面积为． (1)若，，，直接写出的值． (2)若，，求的值． (3)已知长方形的周长为36，面积为80，，求的值． 44．（20-21七年级下·浙江湖州·期末）我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则：若，则：若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． （1）如图1是边长为的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为． ①用含的代数式分别表示和（结果需要化简）； ②请用作差法比较与大小． （2）若，，且，求的值． 题型十四 化简问题（共4小题） 45．（22-23七年级下·四川·期末）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）先化简，再求值：，其中，． 46．（21-22七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中． 47．（24-25七年级下·广东河源·期末）以下是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式： 化简：（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）． (1)多项式A为________，多项式B为________，计算结果为________； (2)先化简，再求值：，其中，． 48．（25-26七年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 题型十五 识别整式混合运算的错误步骤（共3小题） 49．（24-25七年级下·河南郑州·期末）阅读下面这位同学的解答过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 第三步 当，时，原式第四步 任务： (1)第一步运用到了乘法公式：______； (2)以上步骤从第_______步开始出现了错误，错误的原因是_______； (3)请你写出正确的解答过程． 50．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小诚在计算时，解答过程如下： …………第一步 ………………………………第二步． 任务一：请你帮助小诚分析一下，他是从第______步开始出错的，错误的原因是______，并写出你的正确解答过程； 任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就整式的计算需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条） 51．（22-23七年级下·山西运城·期末）已知 ，求代数式的值． 解：                 （第一步）                          （第二步）                           （第三步） 由，得                   （第四步） 所以，原式       （第五步） 任务： (1)该解法运用的主要数学思想是___________． A．转化思想        B．数形结合思想        C．公理化思想        D．整体思想 (2)该解答过程在第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． (3)请你借鉴该解题方法，写出此题的正确解答过程． 题型十六 与整式混合运算有关的新定义问题（共3小题） 52．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：． 例如：． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，求的值． 53．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． (1)若，，求a，b的“和积数”c； (2)若，，求a，b的“和积数”c； (3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 54．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    题型十七 与整式混合运算有关的材料阅读类问题（共4小题） 55．（23-24七年级下·浙江金华·期末）材料阅读：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： (1)请直接写出一个不大于5的“完美数”，这个“完美数”是______． (2)试判断（是整数）是否为“完美数”，并说明理由． (3)已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由． 56．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）阅读：一个三位数，百位数字是x，十位数字是y，个位数字是z，我们不能用表示，而要表示为，有时为书写方便还可以表示为，即有：． (1)类比：______________ (2)观察下列等式              猜想：①___________； ②______________； (3)验证：利用所学知识证明猜想②． 57．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）阅读下列材料：我们把形如的式子称为“行列式”，其运算法则为：．例如：．请你运用材料回答： (1)计算：___________． (2)已知，求的值． (3)若的三边长为，满足，，求的周长． 58．（20-21七年级下·浙江湖州·期末）先阅读下面材料，再解决问题：在求多项式的值时，有时可以通过“降次”的方法，把字母的次数从“高次”降为“低次”．一般有“逐步降次法”和“整体代入法”两种做法．例如：已知，求多项式的值． 方法一：∵，∴，∴原式． 方法二：∵，∴，∴原式． (1)应用：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）； (2)拓展：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）． 题型十八 代数式最值问题（共4小题） 59．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：∵， 又∵； ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：_______． (2)已知实数，满足，求的值； (3)当______、______时，多项式的最大值______． 60．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式的最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法： 解：． 因为是非负数，所以当时，的值最小，最小值为1，所以的最小值是1． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最小值． (3)求代数式的最小值． 61．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式．再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究，合作，交流，最后得到如下的解法： 解：， 是非负数 当时，的值最小，最小值为1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最小值； (3)若，求的最大值． 62．（21-22七年级下·浙江舟山·期末）在学习了乘法公式“”的应用后，李老师提出问题： 求代数式的最大值.同学们经过探索、合作交流，最后得到如下的解法： 解： ∵，∴ 当时，的值最大，最大值为3 ∴的最大值是3． 请你根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式的最大值. (2)求代数式的最大值． (3)若，求的最大值． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $