第03章 圆的基本性质 章节测试练习卷 - 2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第03章 圆的基本性质 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 2．已知⊙O的半径为,弦AB长为,则圆心到这条弦的距离为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，是的外接圆，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，，点、、、都在上，，，则等于（　　） A． B． C． D． 5．在 中，，，已知 是 的外接圆，且 的半径为5，则 AB 的长为（    ） A． B． C．或 D．或 6．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（　　） A．45° B．60° C．70° D．90° 7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为（　　） A．8cm B．4cm C．4cm D．5cm 8．如图，一个等边三角形及其外接圆，随机往圆内投一粒米，落在等边三角形内的概率为（    ） A． B． C． D． 9．如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为45°，则“蘑菇罐头”字样的长度为【 】 A．cm B．cm C．cm D．7πcm 10．如图，在坐标系中放置一菱形 OABC，已知∠ABC=60°，点 B 在 y 轴上，OA=1，先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60°，连续翻转2019次，点 B 的落点依次为 B1，B2，B3，…，则 B2 019的坐标为(   ) A．(1010，0) B．(1310．5， ) C．(1345， ) D．(1346，0) 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．如图，为，则弦所对的圆心角度数为 ． 12．如图，正五边形内接于，连接，，则 .    13．如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，若， ，则 ． 14．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数为 ． 15．如图，正方形ABCD的边长为，E是CD边上一点，DE＝3CE，连接BE与AC相交于点M，过点M作MN⊥BE，交AD于点N，连接BN，则点E到BN的距离为 ． 16．将边长为1的正六边形折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕，且，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的，则的值为 ，的值为 ．    三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）    18．看一看，想一想，画一画．      (1)用数对表示上图中点A的位置，A（________，________）； (2)将三角形先向右平移8格，再向上平移3格得到三角形，画出平移后的三角形，并写出（________，________）； (3)将三角形绕点B顺时针旋转得到三角形，画出旋转后的三角形，并写出（________，________）． 19．如图，是一个隧道的截面，如果路面宽为8米，净高为8米，那么这个隧道所在圆的半径的长． 20．图形计算. 如图，平行四边形的面积是28平方米，求图中阴影部分的面积是多少？ 21．如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC交AC的延长线于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若AD=BC，⊙O半径为6，求∠CAD与围成的阴影部分的面积. 22．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A、B两点在上，直线过点O，且于点D，交于点C．若，，求这个紫砂壶的壶口半径． 23．【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，是的中点，F是上一动点（足够长），将沿折叠，得到，点B的对应点为P，连接，求的最小值； 【问题解决】 （2）如图2，某景区有一块五边形的场地为场地出入口，为吸引更多游客，计划在该场地内部修建一个观景亭M欣赏周围美景，在边上修建一个喷水池N（大小忽略不计），其中，点F在上，且，观景亭M恰好在以为直径的上，并在观景亭M和喷水池N以及喷水池N与出入口E之间沿等距离的挂上灯笼进行装饰，为了节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值． 24．有关阿基米德折弦定理的探讨与应用 【问题呈现】 （1）阿基米德折弦定理：如图①，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从点M向作垂线，垂足D是折弦的中点，即． 下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图②，在上截取，连接、、和． ∵M是的中点，． …… 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． 【理解运用】 （2）如图③，内接于，过点O作于点D，延长交于点E，过点E作于点F．若，，则的长为______． 【实践应用】 （3）如图④，等边内接于，点D是上一点，且，连接．若，则的周长为______．          ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03章 圆的基本性质 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：S=πrl=π×4×5=20π． 考点：圆锥的侧面积 2．已知⊙O的半径为,弦AB长为,则圆心到这条弦的距离为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】试题分析：根据题意得：AB=2cm，OC⊥AB，OB=2cm， ∴BC=AB=cm， 在Rt△BOC中，OC==1cm． ∴圆心到这条弦的距离为1cm． 故选A． 考点：1.垂径定理；2.勾股定理． 3．如图，是的外接圆，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理 【分析】由证明再利用三角形的内角和定理求解 再利用圆周角定理可得答案. 【详解】解： 故选C 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，掌握“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键. 4．如图，，点、、、都在上，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、圆周角定理 【分析】先根据垂径定理由得到，然后根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理． 5．在 中，，，已知 是 的外接圆，且 的半径为5，则 AB 的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】根据题意，画出图形，连接OB，根据垂径定理，构建直角三角形进行求解． 【详解】 解：如图1：当∠BAC为锐角时，过点A作AD⊥BC于点D，连接OB， ∵AD⊥BC，BC=6， ∴BD==3， ∵半径为5， ∴OB=OA=5， ∴， ∴AD=OA+OD=4+5=9， ∴， 如图2：当∠BAC为钝角时，过点A作AD⊥BC于点D，连接OB， ∵AD⊥BC，BC=6， ∴BD==3， ∵半径为5， ∴OB=OA=5， ∴， ∴AD=OA-OD=5-4=1， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，垂径定理以及勾股定理，熟练掌握相关内容，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 6．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（　　） A．45° B．60° C．70° D．90° 【答案】D 【知识点】根据旋转的性质求解、旋转的性质 【详解】已知△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，根据旋转的性质可得∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠AB′B=（180°-120°）=30°，再由AC′∥BB′，可得∠C′AB′=∠AB′B=30°，所以∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°．故选D． 7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为（　　） A．8cm B．4cm C．4cm D．5cm 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE=DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径． 【详解】解：连接OC，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴ ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA=22.5°， ∵∠COE为△AOC的外角， ∴∠COE=45°， ∴△COE为等腰直角三角形， ∴ 故选C． 【点睛】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 8．如图，一个等边三角形及其外接圆，随机往圆内投一粒米，落在等边三角形内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何概率、圆周角定理、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质 【分析】设半径长度为，结合等边三角形的性质，勾股定理，先计算出，从而得到，再表示出圆的面积，然后求比值即可． 【详解】如图，连接，，作，垂足为， 设半径长度为，那么 三角形是等边三角形 ， ， ， ， 同理可得 ， 则落在等边三角形内的概率． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率，三角形的面积计算，圆面积计算，等边三角形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9．如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为45°，则“蘑菇罐头”字样的长度为【 】 A．cm B．cm C．cm D．7πcm 【答案】B 【知识点】求弧长 【详解】∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为45°， ∴此弧所对的圆心角为90°． 由题意可得，R=cm， ∴“蘑菇罐头”字样的长． 故选：B． 10．如图，在坐标系中放置一菱形 OABC，已知∠ABC=60°，点 B 在 y 轴上，OA=1，先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60°，连续翻转2019次，点 B 的落点依次为 B1，B2，B3，…，则 B2 019的坐标为(   ) A．(1010，0) B．(1310．5， ) C．(1345， ) D．(1346，0) 【答案】D 【知识点】坐标与旋转规律问题、利用菱形的性质证明、等边三角形的判定和性质、点坐标规律探索 【分析】连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2019=336×6+3，因此点向右平移（即）即可到达点，根据点的坐标就可求出点的坐标． 【详解】连接AC，如图所示． ∵四边形OABC是菱形， ∴OA=AB=BC=OC． ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形． ∴AC=AB． ∴AC=OA． ∵OA=1， ∴AC=1． 由图可知：每翻转6次，图形向右平移4． ∵2019=336×6+3， ∴点B3向右平移1344(即336×4)到点B2019． ∵B3的坐标为(2，0)， ∴B2019的坐标为(1346，0)， 故选：D 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．如图，为，则弦所对的圆心角度数为 ． 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，连接，由为可得，据此即可求解，掌握弧、弦、圆心角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为， ∴， ∴弦所对的圆心角度数为， 故答案为：． 12．如图，正五边形内接于，连接，，则 .    【答案】/度 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题考查的是正多边形和圆；根据正五边形的性质可得，即可求解． 【详解】∵五边形为正五边形， ∴， 故答案为：． 13．如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，若， ，则 ． 【答案】 【知识点】已知圆内接四边形求角度、同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形 【分析】连接，根据角平分线的定义得到，根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理得到，进而证明，根据等腰三角形的判定定理得出，根据勾股定理计算，进而得到答案． 【详解】解：如图，连接． 平分， ， 四边形为圆内接四边形， ， 由圆周角定理得：， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形对角互补是解题的关键． 14．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数为 ． 【答案】/80度 【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 15．如图，正方形ABCD的边长为，E是CD边上一点，DE＝3CE，连接BE与AC相交于点M，过点M作MN⊥BE，交AD于点N，连接BN，则点E到BN的距离为 ． 【答案】 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】如图，设BN与AC交于点F，连接EF，根据正方形的性质可得∠DAC=∠BAC=∠ACD=∠ACB=45°，∠BAD=90°，根据MN⊥BE可得A、B、M、N四点共圆，可得∠MBN=∠DAC=∠ACD=45°，即可证明B、C、E、F四点共圆，可得∠BEF=∠ACB=45°，可得△BEF是等腰直角三角形，可得EF即为点E到BN的距离，由DE＝3CE可得CE的长，利用勾股定理可得BE的长，进而求出EF的长即可的答案． 【详解】如图，设BN与AC交于点F，连接EF， ∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线， ∴∠DAC=∠BAC=∠ACD=∠ACB=45°，∠BAD=90°， ∵MN⊥BE， ∴A、B、M、N四点共圆， ∴∠MBN=∠DAC=∠ACD=45°， ∴B、C、E、F四点共圆， ∴∠BEF=∠ACB=45°， ∴∠MBN=∠BEF=45°， ∴△BEF是等腰直角三角形，EF即为点E到BN的距离， ∵DE＝3CE，CD=BC=， ∴CE=， ∴BE=， ∴EF==． 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的性质、四点共圆的证明、圆周角定理、勾股定理及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 16．将边长为1的正六边形折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕，且，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的，则的值为 ，的值为 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查的是正多边形和圆、翻折变换、勾股定理，由折叠的性质知，6个小三角形均为完全相同的三角形，阴影面积与正六边形面积的，则每个小三角形（如）面积占一个小正三角形（如）的，过点G作于点R，过点O作于点T，然后根据三角形面积公式及勾股定理可得方程，通过解方程可得答案． 【详解】解：由折叠的性质知，6个小三角形均为完全相同的三角形，阴影面积与正六边形面积的，则每个小三角形（如）面积占一个小正三角形（如）的． 过点G作于点R，过点O作于点T，    ∵ ∴ ∴ 由勾股定理得， 又正六边形的边长为1， ∴ ∴ ∴， ∴， ， ∴， 解得或（舍）， ∵， ∴； ∴，， ∴，， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：；． 三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）    【答案】 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，连接，根据垂径定理可得，再在中，根据勾股定理解得的值，进而获得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    ∴，， ∵， ∴， ∵直径为， ∴， 在中，根据勾股定理， 可得， ∴， ∴水的最大深度为． 18．看一看，想一想，画一画．      (1)用数对表示上图中点A的位置，A（________，________）； (2)将三角形先向右平移8格，再向上平移3格得到三角形，画出平移后的三角形，并写出（________，________）； (3)将三角形绕点B顺时针旋转得到三角形，画出旋转后的三角形，并写出（________，________）． 【答案】(1)2，2 (2)，5 (3)8，2 【知识点】画旋转图形、平移(作图)、用有序数对表示位置 【分析】（1）由图可得答案； （2）根据平移的性质作图，即可得出答案； （3）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得，. （2）解：如图，三角形即为所求：    由图可得，． （3）解：如上图，三角形即为所求： 由图可得，． 【点睛】本题考查作图−平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． 19．如图，是一个隧道的截面，如果路面宽为8米，净高为8米，那么这个隧道所在圆的半径的长． 【答案】5米 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．先根据垂径定理可得经过圆心点，，再设这个隧道所在圆的半径的长为米，则米，米，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：经过圆心点，， 米， 设这个隧道所在圆的半径的长为米，则米， 米， 米， 在中，，即， 解得， 答：这个隧道所在圆的半径的长为5米． 20．图形计算. 如图，平行四边形的面积是28平方米，求图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】解：平行四边形的高为：28÷7=4（米）； 图中阴影部分的面积是： 平方米.   【知识点】求扇形面积 【详解】试题分析：根据平行四边形的面积公式求得平行四边形的高，阴影部分是以平行四边形的高为半径的圆面积的，由此即可求得结论. 试题解析： 平行四边形的高为：28÷4=7（米）； 图中阴影部分的面积是：平方米. 21．如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC交AC的延长线于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若AD=BC，⊙O半径为6，求∠CAD与围成的阴影部分的面积. 【答案】（1）直线DE与⊙O相切，理由见解析；（2）6 【知识点】根据等边对等角证明、利用弧、弦、圆心角的关系求解、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OA=OD，得到一对角相等，通过等量代换得到一对内错角相等；根据上步结论可推理得到平行线，再结合AE⊥ED即可证得结论； （2）先判断△COD是等边三角形，根据等底同高的三角形的面积相等可知S△ACD=S△COD，从而∠CAD与弧CD围成的阴影部分的面积=扇形COD的面积. 【详解】解：（1）直线DE与⊙O相切， 理由如下：连接OD，如图所示：     ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD=∠OAD， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠EAD， ∴EA∥OD， ∵DE⊥EA， ∴DE⊥OD， 又∵点D在⊙O上， ∴直线DE与⊙O相切； （2）连接CD，OC. ∵AD=BC， ∴ 弧AD =弧BC ， ∴ 弧AC = 弧BD ， ∵ 弧CD = 弧BD ， ∴ 弧AC = 弧CD =弧BD， ∴∠COD=∠BOD=60°， ∵OC=OD， ∴△COD是等边三角形， ∴∠CDO=∠DOB=60°， ∴CD∥AB， ∴S△ACD=S△COD， ∴∠CAD与弧CD围成的阴影部分的面积=扇形COD的面积=. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的判定，弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定及扇形面积的计算等知识点.证明EA∥OD是解（1）的关键，证明∠CAD与弧CD围成的阴影部分的面积=扇形COD的面积是解（2）的关键. 22．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A、B两点在上，直线过点O，且于点D，交于点C．若，，求这个紫砂壶的壶口半径． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是理解垂径定理构建关于半径r的等式．根据可得，再根据勾股定理构建关于半径r的等式求解即可． 【详解】解：设这个紫砂壶的壶口半径为r， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， 这个紫砂壶的壶口半径为， 23．【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，是的中点，F是上一动点（足够长），将沿折叠，得到，点B的对应点为P，连接，求的最小值； 【问题解决】 （2）如图2，某景区有一块五边形的场地为场地出入口，为吸引更多游客，计划在该场地内部修建一个观景亭M欣赏周围美景，在边上修建一个喷水池N（大小忽略不计），其中，点F在上，且，观景亭M恰好在以为直径的上，并在观景亭M和喷水池N以及喷水池N与出入口E之间沿等距离的挂上灯笼进行装饰，为了节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、折叠问题、求一点到圆上点距离的最值、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由点E是的中点及折叠的性质可知，进而可得以E为圆心、以为半径的经过点A、P．用勾股定理解求出，当E、P、D三点共线时，可取最小值，，由此可解； （2）作点E关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，在四边形中，，当O、M、N、四点共线时，此时最小，最小值为的长度． 【详解】解：（1）由点E是的中点及折叠的性质可知：，且点F是的角平分线与的交点． ∴以E为圆心、以为半径的经过点A、P．                     ∵点E是中点，， ．                     在中，由勾股定理得，即， ．                     由图可知：当E、P、D三点共线时，可取最小值， ， 长的最小值为．                         （2）作点E关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，在四边形中，，当O、M、N、四点共线时，此时最小，最小值为的长度．                     ，由对称可知，， ．                     由题意可得， ．                 在中，由勾股定理得：，即， ， ， 的最小值为．                     【点睛】本题考查折叠的性质，圆的基本性质，线段的最值问题，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 24．有关阿基米德折弦定理的探讨与应用 【问题呈现】 （1）阿基米德折弦定理：如图①，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从点M向作垂线，垂足D是折弦的中点，即． 下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图②，在上截取，连接、、和． ∵M是的中点，． …… 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． 【理解运用】 （2）如图③，内接于，过点O作于点D，延长交于点E，过点E作于点F．若，，则的长为______． 【实践应用】 （3）如图④，等边内接于，点D是上一点，且，连接．若，则的周长为______．          【答案】（1）见解析；（2）3；（3） 【知识点】利用垂径定理求值、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）先证明，得出，根据三线合一性质得到，进而得到；（2）利用垂径定理得到，根据阿基米德折弦定理求出，利用求出结果；（3）根据等边三角形性质，基米德折弦定理，结合题意得出是等腰直角三角形，求出，进而求出，从而求出结果． 【详解】解：（1）问题呈现：在和中， ， ， ， ， ， 即； （2）， ， 是的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：3； （3）是等边三角形， ， ， 是的中点， ， 如图：作于点， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，理解题中给出的阿基米德折弦定理是解答本题的关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$