精品解析：内蒙古自治区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年第二学期 初二数学阶段性检查 满分100分 限时90分钟 一、选择题：本题共8小题，共24分．在每小题的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 的三条边长分别为a，b，c，下列条件能判断是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. ，， 4. 下列命题正确的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 5. 如图，在中，，且为垂足．如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若实数满足，化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 7. 如图，线段为等腰的底边，矩形的对角线与相交于点O，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 下列关于两个变量关系的四种表达式中，正确的是（ ） ①正方形边长为5，若边长增加，则面积增加，是的函数； ②表达式中，是的函数； ③下表中，是的函数； 1 2 3 8 9 2 ④如图中，曲线表示是的函数． A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题：本题共4小题，共12分． 9. 与最简二次根式能合并，则__________． 10. 如图，在，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，P是上一点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则四边形的面积等于__________． 11. 如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120º，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是___________. 12. 如图，正方形的边长为12，点E，F分别在边，上，且，连接，和，与相交于点O，点H为的中点，连接，则的长为_______． 三、解答题：（共6小题，共64分） 13. 计算 （1）； （2）． 14. 如图，王师傅家的院子里有一块矩形空地，他准备在空地中间修建一个矩形水池，其余地方种植蔬菜．已知矩形空地的长为，宽为，矩形水池的长为，宽为． （1）求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植蔬菜的面积． 15. 如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，试判断四边形的形状，并证明． 16. 某实验小组在进行项目式学习时，根据沙漏模型（如图①）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，精密电子秤上放置盛沙容器，沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的盛沙容器内，可以通过读取精密电子秤的读数计算时间（假设沙子足够多）．实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表． 漏沙时间 0 2 4 6 8 … 精密电子秤读数 6 18 30 42 54 … （1）漏沙时间为0h时，电子秤读数为________． （2）请求出精密电子秤读数关于漏沙时间的函数解析式，并在图②中根据表格中的数值描点、连线，画出函数图象． （3）当漏沙时间为时，精密电子秤的读数为多少？ （4）若本次实验开始记录的时间是上午 ，当精密电子秤的读数为时是几点钟？ 17. 综合与实践：某小区临街的拐角处有一块绿化地，形状如图阴影部分所示．小区管理人员测量绿化地的尺寸得出：．经过一段时间后发现当时建设绿化地时没有考虑灌溉问题，从水源点处提水灌溉绿化地太辛苦，于是想在两处设计浇灌点．小区管理人员请的管道设计师提供了如下两个设计方案：方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点处；方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从H处分别向浇灌点铺设管道． （1）小区管理人员利用卷尺测量了的长为，便判断出绿化地拐角处为直角（），为什么？ （2）在（）的条件下，若绿化地建造每平方米的费用为元，求当时建造绿化地的费用； （3）经测量．已知管道铺设费用为每米元，请你计算两种方案的费用，帮助社区管理人员选择比较省钱的管道铺设方案． 18. 综合与探究 在菱形中，过点A作射线交于点E，作，交射线于点G，在射线上截取，连接． 特例探究： （1）如图1，当时，请直接写出的度数； 操作探究： （2）如图2，当是等边三角形时，求的度数； 拓展探究： （3）如图3，当时，请直接写出，和之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年第二学期 初二数学阶段性检查 满分100分 限时90分钟 一、选择题：本题共8小题，共24分．在每小题的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据题意可知在实数范围内有意义要使即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式须同时满足两个条件：一是被开方数中不含分母，二是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，据此逐项判断即得答案． 【详解】解：A．，故A选项不符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．是最简二次根式，故C选项符合题意； D．，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，属于基础题型，熟知概念是关键． 3. 的三条边长分别为a，b，c，下列条件能判断是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形，也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A．去括号后是 ，不符合勾股定理逆定理，故本选项不符合题意； B． 设，，， ，解得， ，，， 此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； C． ，， 此三角形是直角三角形，故本选项符合题意； D．，不符合勾股定理逆定理，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 下列命题正确的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，正方形的判定定理，菱形的判定定理，矩形的判定定理，熟知正方形，矩形和菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，不一定是正方形，原命题不正确，不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题不正确，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题不正确，不符合题意； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，在中，，且为垂足．如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识，根据平行四边形的性质得到，进一步由直角三角形两锐角互余求出的度数． 【详解】在中，， ∴， ∵，且为垂足． ∴ ∴， 故选：C． 6. 若实数满足，化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质确定的取值范围，再根据绝对值的化简规则去掉绝对值符号，合并得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质得 ， ， ， 由绝对值的性质可得，即， ， ，， ， ， ． 7. 如图，线段为等腰的底边，矩形的对角线与相交于点O，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形对角线相等且互相平分求出的长，再根据等腰三角形底边的定义得出即可求解． 【详解】解：矩形的对角线与相交于点O，， ， 线段为等腰的底边， ． 8. 下列关于两个变量关系的四种表达式中，正确的是（ ） ①正方形边长为5，若边长增加，则面积增加，是的函数； ②表达式中，是的函数； ③下表中，是的函数； 1 2 3 8 9 2 ④如图中，曲线表示是的函数． A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义判定即可． 【详解】解：正方形边长为5，若边长增加，则正方形的边长为， ∴面积 ，任取一个数，都有唯一的一个y值与之对应，是的函数，①正确，符合题意； 在中，当时，任取一个数，都有唯一的一个y值与之对应，则是的函数，②正确，符合题意； 任取一个数，都有唯一的一个n值与之对应，则是的函数，③正确，符合题意； 任取一个数，都有唯一的一个y值与之对应，则是的函数，④正确，符合题意 ． 二、填空题：本题共4小题，共12分． 9. 与最简二次根式能合并，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】 能合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，据此化简后列方程求解即可． 【详解】解：化简得， 与最简二次根式能合并， ， 解得：， 10. 如图，在，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，P是上一点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则四边形的面积等于__________． 【答案】18.5 【解析】 【分析】先求出的边长，再利用进四边形的面积解题即可得到答案． 本题考查了勾股定理，正确掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】正方形和正方形的面积分别为，，且，， 正方形的面积 ，，， 四边形的面积． 故答案为：． 11. 如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120º，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是___________. 【答案】2 【解析】 【分析】连接BD，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BDA=∠ADC=60°，然后判断出△ABD是等边三角形，连接DE，根据轴对称确定最短路线问题，DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，然后根据等边三角形的性质求出DE即可得解． 【详解】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BDA=∠ADC=×120°=60°， ∵AB=AD（菱形的邻边相等）， ∴△ABD是等边三角形， 连接DE，∵B、D关于对角线AC对称， ∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE， ∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB， ∵菱形ABCD周长为16， ∴AD=16÷4=4， ∴DE=． 故答案为：2． 【点睛】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键． 12. 如图，正方形的边长为12，点E，F分别在边，上，且，连接，和，与相交于点O，点H为的中点，连接，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考点涉及正方形的性质、三角形全等的证明、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识点，难度适中，熟练掌握相关性质定理是解题关键．利用正方形的性质证出，所以，进而证得是直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（共6小题，共64分） 13. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）． （2）． 14. 如图，王师傅家的院子里有一块矩形空地，他准备在空地中间修建一个矩形水池，其余地方种植蔬菜．已知矩形空地的长为，宽为，矩形水池的长为，宽为． （1）求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植蔬菜的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解题意，正确列式是解答的关键． （1）根据矩形的周长公式，结合二次根式的性质化简求解即可； （2）先由矩形空地的面积减去矩形水池的面积得到种植蔬菜的面积即可求解． 【小问1详解】 解∶ ， 答：矩形空地的周长为； 【小问2详解】 解∶ ， 答：种植蔬菜的面积为． 15. 如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，可得，结合可得结论； （2）由，点是边上的中点，可得即，结合由（1）得四边形是平行四边形，从而可得结论. 【小问1详解】 证明：∵点为的中点 ∴， ∵ ∴，， 在和中 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：当时，四边形是矩形， 理由如下： ∵ ，点是边上的中点， ∴ 即， ∵ 由（1）得四边形是平行四边形， ∴ 四边形是矩形. 16. 某实验小组在进行项目式学习时，根据沙漏模型（如图①）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，精密电子秤上放置盛沙容器，沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的盛沙容器内，可以通过读取精密电子秤的读数计算时间（假设沙子足够多）．实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表． 漏沙时间 0 2 4 6 8 … 精密电子秤读数 6 18 30 42 54 … （1）漏沙时间为0h时，电子秤读数为________． （2）请求出精密电子秤读数关于漏沙时间的函数解析式，并在图②中根据表格中的数值描点、连线，画出函数图象． （3）当漏沙时间为时，精密电子秤的读数为多少？ （4）若本次实验开始记录的时间是上午 ，当精密电子秤的读数为时是几点钟？ 【答案】（1）6 （2） （3）当漏沙时间为时，精密电子秤的读数为 （4）当精密电子秤的读数为时是下午（或） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）根据表格数据作答即可； （2）先用待定系数法求出解析式，再描点、连线作图即可； （3）将代入所求解析式计算即可； （4）将代入所求解析式计算即可． 【小问1详解】 解：根据表格数据可知：漏沙时间为0h时，电子秤读数为6． 【小问2详解】 常识：沙漏计时装置是利用沙漏的漏砂量与时间成线性关系的原理进行计时． 故设读数关于漏沙时间的函数解析式为：， 代入表格数据有：，解得：， 即读数关于漏沙时间的函数解析式为：． 根据表格数据描点、连线， 画函数图象略． 【小问3详解】 当时，（g） 当漏沙时间为时，精密电子秤的读数为． 【小问4详解】 把代入，得： ， 解得， 即：当精密电子秤的读数为时是下午（或）． 17. 综合与实践：某小区临街的拐角处有一块绿化地，形状如图阴影部分所示．小区管理人员测量绿化地的尺寸得出：．经过一段时间后发现当时建设绿化地时没有考虑灌溉问题，从水源点处提水灌溉绿化地太辛苦，于是想在两处设计浇灌点．小区管理人员请的管道设计师提供了如下两个设计方案：方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点处；方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从H处分别向浇灌点铺设管道． （1）小区管理人员利用卷尺测量了的长为，便判断出绿化地拐角处为直角（），为什么？ （2）在（）的条件下，若绿化地建造每平方米的费用为元，求当时建造绿化地的费用； （3）经测量．已知管道铺设费用为每米元，请你计算两种方案的费用，帮助社区管理人员选择比较省钱的管道铺设方案． 【答案】（1）见解析 （2）元 （3）见解析 【解析】 【分析】（）先算并与比较，依据勾股定理逆定理证为直角三角形，得； （）先用勾股定理逆定理证为直角三角形，再把阴影面积拆为与的面积和计算，最后乘单位造价得总费用； （）方案一直接算边长和求费用；方案二设未知数，借勾股定理求线段长，算得费用后对比，选择费用更低的方案． 【小问1详解】 解：∵， 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴费用为（元）． 【小问3详解】 解：方案一：， （元）， 方案二：设，则， ∴， 解得， ∴， ∴费用为（元）， ， ∴选择方案二． 18. 综合与探究 在菱形中，过点A作射线交于点E，作，交射线于点G，在射线上截取，连接． 特例探究： （1）如图1，当时，请直接写出的度数； 操作探究： （2）如图2，当是等边三角形时，求的度数； 拓展探究： （3）如图3，当时，请直接写出，和之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，证明，推出，再根据时，菱形是正方形，可得，推出，易求，进而求出；即可得出结果； （2）同理（1）得，由是等边三角形，可得，再根据菱形的性质可得； （3）过点B作于点H，同理（1）得，则，同理（2）得，求出，易得，利用勾股定理求出，进而得到，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴菱形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）同理（1）得， ∵是等边三角形， ∴， ∵菱形， ∴； （3），理由如下： 如图，过点B作于点H， 同理（1）得， ∴是等腰三角形， ∴， 同理（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $