精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市新城区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年度新城区增值性评价数据采集八年级数学 （满分：100分时长：90分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】由题意得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 2. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的除法、乘法、加法、减法运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项正确，符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． 和不是同类二次根式，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法、乘法、加法、减法运算，掌握相关运算法则成为解答本题的关键． 3. 如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是( ) A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【详解】∵在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∴AO=CO，∠AFO=∠CEO， ∵在△AFO和△CEO中，∠AFO=∠CEO，∠ FOA=∠EOC，AO=CO， ∴△AFO≌△CEO（AAS）， ∴FO=EO， ∴四边形AECF平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AECF是菱形， 故选：C. 4. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形A，B，C，D，形成一个“方胜”图案，则点D与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．先求出，再根据平移性质得，然后由求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 由平移性质得， ∴点D，之间的距离为， 故选：D． 5. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴∠DFC＝∠FCB， 又∵CF平分∠BCD， ∴∠DCF＝∠FCB， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴DF＝DC＝3， 同理可证：AE＝AB＝3， ∵AD＝4， ∴AF＝4−3＝1，DE＝4−3＝1， ∴EF＝4−1−1＝2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题． 6. 对于任意的正数m，n，定义运算※：，计算的结果为（ ） A. B. C. 4 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算列出算式，然后利用二次根式的乘法和减法法则进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故选：C． 7. 如图，四边形中，对角线，垂足为点，点分别为边的中点，若，则四边形的面积为（ ） A. 12 B. 7 C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，熟练应用矩形的判定以及性质是解题的关键．利用中位线定理可得出四边形矩形，根据矩形的面积公式解答即可． 【详解】解：点、分别为四边形的边、的中点， ，且， 同理求得，且， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形， 四边形的面积，即四边形的面积是3． 故选：． 8. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， 同理可证，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一个长方形的长和宽分别为和，则这个长方形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】长方形的面积计算公式为长乘以宽，所以将和相乘，按照二次根式乘法的运算法则计算，并化简成最简单二次根式即可． 【详解】∵长方形的长和宽分别为和 ∴这个长方形的面积为： 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式在长方形面积计算中的应用，明确二次根式乘法运算法则及如何化为最简二次根式是解题的关键． 10. 已知，则代数式的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法和乘法运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 把代入计算即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故答案为：． 11. 如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且．若，则的长为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 由D，E分别为的中点，可得，由，D为的中点，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵D，E分别为的中点， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图所示的网格是正方形网格，网格中三条线段的端点均是格点，以这三条线段为边的三角形是___三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【答案】直角 【解析】 【分析】利用勾股定理求解可得线段的长度，根据勾股定理的逆定理可以判断以这三条线段为边能否组成一个直角三角形． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴以这三条线段为边的三角形是直角三角形， 故答案为：直角 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 13. 如图，矩形中，，，点P从B点沿向D点移动，若过点P作的垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．连接，依据，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解． 详解】解：如图，连接， ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∴四边形为矩形． ∴． ∴要求的最小值就是要求的最小值． ∵点P从B点沿着往D点移动， ∴当时，取最小值． 在中，∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的长度最小为：， 故答案为：． 14. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式的变形，熟练掌握知识点是解题的关键． 将平方求得，再将平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 15. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2（图中大正方形边长为5），图3（图中小正方形边长为1）所示的正方形，则图1中菱形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，可以先设图1中分成的直角三角形的长直角边为，短直角边为，然后根据图2和图3可以列出相应的方程组，从而可以求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得图1中菱形的面积． 【详解】解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为，短直角边为，根据题意得： ， 得， 图1中菱形的面积为：， 故答案为：12． 16. 在矩形中，M，N，P，Q分别为边，，，上的点（不与端点重合），对于任意矩形，有下面四个结论： ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是矩形； ③存在无数个四边形是菱形； ④存在无数个四边形是正方形； 所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：①如图，∵四边形是矩形，连接，交于O， ∴，，，，， ∴，，， 过点O的直线和，分别交，，，于M，N，P，Q， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 则四边形是平行四边形， 故存在无数个四边形是平行四边形，故①正确； ②如图，当时，四边形是矩形，故存在无数个四边形是矩形；故②正确； ③如图，当时，存在无数个四边形是菱形，故③正确； ④当四边形是正方形时，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， 当四边形为正方形时，四边形是正方形，故④错误； 故正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共7小题，满分52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先进行二次根式的乘除运算，然后化简后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，． （1）求证：≌； （2）连接，，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）菱形，见解析 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明≌即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直即可得到为菱形． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,∠ADB=∠CBD， 又∵∠ADB+∠ADE=180°，∠CBF+∠CBD=180°， ∴∠ADE=∠CBF △ADE和△CBF中 ∴△ADE≌△CBF； （2）四边形是菱形 理由如下： 如图，连接，， 由（1）得△ADE≌△CBF ∴CF=AE, ∠E=∠F ∴AE∥CF ∴四边形AFCE平行四边形 当BD平分∠ABC时，∠ABD=∠CBD 又∵AD∥CB， ∴∠ADB=∠DBC ∴∠ABD=∠ABD ∴AD=AB=BC ∴△ABC为等腰三角形 由等腰三角形性质三线合一可得AC⊥EF ∴平行四边形AFCE是菱形 【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知菱形的判定定理． 19. 勾股定理的证明： 如图1，在中，．求证：． 小丽同学课下探究勾股定理证明方法经历的思考过程： （1）看到要证明的结论，想到小学学习的正方形的面积计算方法是，受此启发，要证明，于是分别以的三边、、为边向的外面作正方形，如图2，只需证明_____+____即可； （2）如何将正方形分成两个长方形，使其面积分别等于其余两个正方形面积呢?此处遇到困难，于是查阅资料，发现欧几里得的《几何原本》中，在图2的基础上作了如图3中的辅助线，小丽尝试理解辅助线是如何想到的． ①首先过点C作边的垂线，垂足为点M，交于点N，就实现将正方形分成两个长方形的目的，只需证明， _______； ②要想建立正方形和长方形面积的关系，只能将其分别建立与和的面积关系，易得，_____，而（ ）（填推理依据），于是、同理将正方形的面积转化为另一长方形的面积，小丽通过体验勾股定理的探索过程，发现利用面积证法将未知问题逐步转化为已知问题． 【答案】（1）， （2）①；②，图形全等 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明方法，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据，，，得出只需证明即可证明； （2）①根据所作的辅助线进行解答即可； ②根据题目提供的辅助线，三角形面积公式，长方形面积公式，证明即可得出． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴当时，， ∴证明，即可得出． 【小问2详解】 解：①根据作图可知：只需证明：，， 即可证明． ②∵，， ∴； ∵四边形、为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的依据是图形全等． 20. 在下面数轴上作出表示的点．（利用直尺和圆规，不写作法，保留痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，尺规作垂线，实数与数轴，过点A作于点A，以点A为圆心3个单位长度为半径画弧，交的垂线于点C，则，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点P，则点P即为所求作的点． 【详解】解：如图，点P即为所求作的点， 根据作图可知：，，，， ∴， ∴， ∴点P表示的数为． 21. 如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB． (1)求证：PE＝PD； (2)求∠PED的度数． 【答案】（1）见解析；（2）45° 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质四条边都相等可得BC=CD，对角线平分一组对角，可得∠ACB=∠ACD，然后利用“边角边”证明△PBC和△PDC全等，根据全等三角形对应边相等可得PB=PD，然后等量代换即可得证； （2）根据全等三角形对应角相等可得∠PBC=∠PDC，根据等边对等角可得∠PBC=∠PEB，从而得到∠PDC=∠PEB，再根据∠PEB+∠PEC=180°，求出∠PDC+∠PEC=180°，然后根据四边形的内角和定理求出∠DPE=90°，判断出△PDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠ACB=∠ACD， 在△PBC和△PDC中， ∵ ∴△PBC≌△PDC（SAS）， ∴PB=PD， ∵PE=PB， ∴PE=PD； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°， ∵△PBC≌△PDC， ∴∠PBC=∠PDC， ∵PE=PB， ∴∠PBC=∠PEB， ∴∠PDC=∠PEB， ∵∠PEB+∠PEC=180°， ∴∠PDC+∠PEC=180°， 在四边形PECD中，∠EPD=360°−(∠PDC+∠PEC)−∠BCD=360°−180°−90°=90°， 又∵PE=PD， ∴△PDE是等腰直角三角形， ∴∠PED=45°． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质定理，四边形的内角和等于360°以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质定理，四边形的内角和等于360°以及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 22. 如图，在平行四边形中，点，分别是，上的点，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理得知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论； （2）过作于，由含角的直角三角形的性质得，，则，然后由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 即， 又∵， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，过作于， ， ， ，， ， ， ． 23. 在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF． （1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）； （2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）图见解析，，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得，，，再根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，然后利用勾股定理即可得； （2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，，然后根据垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理、等量代换即可得证． 【详解】（1）∵D是AB中点，E是线段AC的中点 ∴DE为的中位线，且 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴四边形DECF为矩形 ∴ ∴ 则在中，； （2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG ∵ ∴， ∵D是AB的中点 ∴ 在和中， ∴ ∴， 又∵ ∴DF是线段EG的垂直平分线 ∴ ∵， ∴ 在中，由勾股定理得： ∴． 【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度新城区增值性评价数据采集八年级数学 （满分：100分时长：90分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是( ) A B. C. D. 3. 如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是( ) A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 4. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形A，B，C，D，形成一个“方胜”图案，则点D与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 6. 对于任意的正数m，n，定义运算※：，计算的结果为（ ） A. B. C. 4 D. 32 7. 如图，四边形中，对角线，垂足为点，点分别为边中点，若，则四边形的面积为（ ） A. 12 B. 7 C. 6 D. 3 8. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一个长方形的长和宽分别为和，则这个长方形的面积为________． 10. 已知，则代数式的值为______． 11. 如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且．若，则的长为 __________________． 12. 如图所示的网格是正方形网格，网格中三条线段的端点均是格点，以这三条线段为边的三角形是___三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 13. 如图，矩形中，，，点P从B点沿向D点移动，若过点P作垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为______． 14. 已知，则的值为______． 15. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2（图中大正方形边长为5），图3（图中小正方形边长为1）所示的正方形，则图1中菱形的面积为_______． 16. 在矩形中，M，N，P，Q分别为边，，，上的点（不与端点重合），对于任意矩形，有下面四个结论： ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是矩形； ③存在无数个四边形是菱形； ④存在无数个四边形是正方形； 所有正确结论的序号是_______． 三、解答题（本大题共7小题，满分52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在和延长线上，且，连接，． （1）求证：≌； （2）连接，，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 19. 勾股定理的证明： 如图1，在中，．求证：． 小丽同学课下探究勾股定理证明方法经历的思考过程： （1）看到要证明的结论，想到小学学习的正方形的面积计算方法是，受此启发，要证明，于是分别以的三边、、为边向的外面作正方形，如图2，只需证明_____+____即可； （2）如何将正方形分成两个长方形，使其面积分别等于其余两个正方形的面积呢?此处遇到困难，于是查阅资料，发现欧几里得的《几何原本》中，在图2的基础上作了如图3中的辅助线，小丽尝试理解辅助线是如何想到的． ①首先过点C作边的垂线，垂足为点M，交于点N，就实现将正方形分成两个长方形的目的，只需证明， _______； ②要想建立正方形和长方形面积的关系，只能将其分别建立与和的面积关系，易得，_____，而（ ）（填推理依据），于是、同理将正方形的面积转化为另一长方形的面积，小丽通过体验勾股定理的探索过程，发现利用面积证法将未知问题逐步转化为已知问题． 20. 在下面数轴上作出表示的点．（利用直尺和圆规，不写作法，保留痕迹） 21. 如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB． (1)求证：PE＝PD； (2)求∠PED的度数． 22. 如图，在平行四边形中，点，分别是，上的点，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求的长． 23. 在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF． （1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）； （2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$