精品解析：吉林长春市吉林大学附属中学2025-2026学年九年级下学期5月中考模拟数学试题

九年综合模拟大练习数学学科试题 本试卷包括三道大题，共24道小题．共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2026年是乘风启岁，马到皆成功的一年，2026的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2026 2. 据统计，截至目前中国现存且处于存续状态的人工智能相关企业已超过4243000000家，4243000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点E恰好落在的延长线上，，则的大小为（　　） A. B. C. D. 6. 二次函数的图像上有两点和，则的值等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 7. 白塔是中国现存最早木塔之一．小明想测量白塔的高度，在离白塔底端正前方米的处，用高为米的测角仪测得白塔顶部处的仰角为，则白塔的高度为（ ）米． A. B. C. D. 8. 如图，已知反比例函数（，）的图像与线段有公共点，其中点B在y轴上，轴，点A是x轴上一点，连接、，若的面积为3，则k的值可能为（ ） A. 8 B. 7 C. 6.5 D. 5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：______． 10. 因式分解：__________． 11. 刀削面是山西传统特色小吃，制作臊子时，若每份羊肉臊子面需要用颗羊肉粒，每份牛肉臊子面需要用颗牛肉粒，则制作份羊肉臊子面和份牛肉臊子面需要的肉粒总数为______个．（用含，的代数式表示） 12. 小宇阅读了一篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图所示的图片，图中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美．如图是从图图案中提取的由六条线段组成的图形，若，则的度数是____． 13. 如图，A为上一点，按以下步骤作图：①连接，②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点B；③在射线上截取；④连接．若，则的长为______． 14. 如图，四边形是正方形，点E是的中点，连接，作点B关于的对称点，连接，，连接并延长交于点F，交于点G，连接并延长交于点H，给出下面四个结论：①F为的中点；②；③连接，则；④连接并延长交于点P，则． 上述结论中，正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率． 17. 在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．请按下列要求画出格点三角形． （1）在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点全等； （2）在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点的一条边重合，且与相似． 18. 为了做好春季诺如病毒的预防工作，中学后勤部门购进了甲、乙两种包装的消毒液．已知甲种消毒液每瓶的价格比乙种消毒液每瓶的价格多元，若用元购进甲种消毒液的数量和用元购进乙种消毒液的数量相同，求乙种消毒液每瓶的价格是多少元． 19. 如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 20. 为了解七年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，现从七年级全体男生中随机抽取了50名男生进行这两项运动的测试，对数据整理后给出了下面部分信息． 信息一：排球垫球成绩分为6组，做成如下不完整的统计图．其中：A组，B组，C组，D组，E组，F组，（x表示垫球数）． 信息二：掷实心球成绩的人数（频数）分布表：（y表示掷实心球的距离，单位：米） 分组 人数 2 b 16 20 4 a 若排球垫球成绩F组的男生有m人，回答下列问题： （1）______； （2）下列结论不正确的是______（填序号）； ①在排球垫球成绩中，这50名男生的垫球数的众数一定在C组内； ②在排球垫球成绩中，这50名男生的垫球平均数可以这样计算：； ③在排球垫球成绩中，这50名男生的垫球数的中位数是在C组内； （3）若掷实心球测试中有不少于m人的成绩大于或等于米，且，求a的值． 21. 甲、乙两个工程组同时挖掘高铁某段山岭隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示． （1）甲组每天挖______m，乙组每天挖______m； （2）当时，求y与x的函数关系式； （3）当甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多时，甲组挖掘了______天． 22. 【概念提出】我们知道，任意三角形都有外接圆和内切圆．类似地，如果一个四边形既有外接圆又有内切圆，我们称这样的四边形为双心四边形． 【性质探究】根据双心四边形的定义，对其性质研究如下： 对角：双心四边形的对角互补； 对边：双心四边形两组对边之和相等． 对边性质证明如下： 如图1，四边形是双心四边形，其中是四边形的外接圆，是四边形的内切圆，切点分别为E，F，G，H．连结，，． 与，分别相切于点E，F， ， ， 同理可得：，，， ， ， 双心四边形两组对边之和相等； 【问题解决】 （1）请将材料中关于对边性质的证明过程补充完整； （2）下列四边形中，一定是双心四边形的是______（填序号）； ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （3）如图2，在四边形中，连结，，，，四边形是否为双心四边形？若是，直接写出其外接圆半径与内切圆半径之差；若不是，请说明理由． 23. 在矩形中，，，点E是上一点，且，点P是线段上的一个动点，将四边形沿所在直线翻折，点A、B的对应点分别为，，设的长为x． （1）当四边形为矩形时，长为______； （2）连结，当点B、、D共线时，______ （3）当点恰好落在矩形的某一条边上时，求x的值； （4）当时，直接写出x的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点是抛物线上一动点（点不与点和点重合），过点作轴的垂线交直线于点，过点作的垂线交直线于点，设点的横坐标为． （1）点的坐标为______，顶点坐标为______； （2）连结，当时，求的值； （3）当时， ①当时，则的取值范围为______； ②作点关于点的对称点，连结，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年综合模拟大练习数学学科试题 本试卷包括三道大题，共24道小题．共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2026年是乘风启岁，马到皆成功的一年，2026的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】根据正数的绝对值等于其本身即可得出结果． 【详解】解：2026的绝对值是． 2. 据统计，截至目前中国现存且处于存续状态的人工智能相关企业已超过4243000000家，4243000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数； 【详解】解：． 3. 如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用旋转的性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵， ∴． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对选项A：，故A错误； 对选项B：，故B错误； 对选项C：，故C正确； 对选项D：∵与不是同类项，不能合并， ∴，故D错误． 5. 把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点E恰好落在的延长线上，，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，三角板中的角度计算， 首先得到，求出，然后利用角的和差求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 6. 二次函数的图像上有两点和，则的值等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】A，B两点纵坐标均为0，说明，是方程的两个根，解方程得到两个根后，即可计算的值． 【详解】解：∵点和在二次函数的图像上， ∴，是方程的两个根， 对方程变形得， 解得，， ∴． 7. 白塔是中国现存最早木塔之一．小明想测量白塔的高度，在离白塔底端正前方米的处，用高为米的测角仪测得白塔顶部处的仰角为，则白塔的高度为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作于点，根据题意得，然后证明四边形是矩形，所以米，米，在中，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴白塔的高度为米． 8. 如图，已知反比例函数（，）的图像与线段有公共点，其中点B在y轴上，轴，点A是x轴上一点，连接、，若的面积为3，则k的值可能为（ ） A. 8 B. 7 C. 6.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设（，），根据轴，和的面积为3，得出，再根据反比例函数与线段有交点即可解答； 【详解】解：设（，）， ∵轴， 则点， 则线段长度为， 在中， ，整理得：， 设反比例函数与线段交于点 ， 则， ， ∵x最大是a，所以k最大是，也就是， ∴四个选项里只有D选项5满足， ∴k的值可能为5． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算，再根据有理数减法法则计算最终结果. 【详解】解：． 10. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查提公因式法分解因式，找准公因式是解题的关键． 直接利用提公因式法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 刀削面是山西传统特色小吃，制作臊子时，若每份羊肉臊子面需要用颗羊肉粒，每份牛肉臊子面需要用颗牛肉粒，则制作份羊肉臊子面和份牛肉臊子面需要的肉粒总数为______个．（用含，的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】根据需要的肉粒总数由份羊肉臊子面的肉粒数和份牛肉臊子面的肉粒数组成，分别计算后相加即可． 【详解】解：制作份羊肉臊子面需要的肉粒数为，制作份牛肉臊子面需要的肉粒数为， 故制作份羊肉臊子面和份牛肉臊子面需要的肉粒总数为个． 12. 小宇阅读了一篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图所示的图片，图中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美．如图是从图图案中提取的由六条线段组成的图形，若，则的度数是____． 【答案】##300度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角，根据外角和为即可求解． 【详解】多边形的外角和等于 故答案为：． 13. 如图，A为上一点，按以下步骤作图：①连接，②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点B；③在射线上截取；④连接．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明，再利用勾股定理求解． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∴为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 14. 如图，四边形是正方形，点E是的中点，连接，作点B关于的对称点，连接，，连接并延长交于点F，交于点G，连接并延长交于点H，给出下面四个结论：①F为的中点；②；③连接，则；④连接并延长交于点P，则． 上述结论中，正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】设正方形边长为，结合为中点，得出，．根据轴对称可得，即，则，证明，得出，结合，得出，即为中点，则①正确．由轴对称可得，是中点，结合是中点，得出是的中位线，则，结合，得出，则②正确．证明四点共圆，结合，得出，因此③错误．证明，得出，求出，​，即可得④正确． 【详解】解：设正方形边长为， ∵为中点， ∴，． ∵关于对称， ∴，即， ∴， ∴， 在正方形中，， ∴， 在和中： ​， ∴， ∴， 又， ∴，即为中点，①正确． 由轴对称可得，是中点， 又是中点， ∴是的中位线， ∴． ∵在上， ∴， 又， ∴，②正确． ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴，因此③错误． ∵， ，， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，​， ∴，④正确． 综上，正确结论为①②④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的四则运算，原式利用单项式乘以多项式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率． 【答案】图见解析， 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 总共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的有2种， ∴随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为． 17. 在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．请按下列要求画出格点三角形． （1）在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点全等； （2）在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点的一条边重合，且与相似． 【答案】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 【解析】 【分析】（1）根据三边相等的三角形是全等三角形作图即可； （2）根据三边对应成比例的三角形是相似三角形作图即可； 【小问1详解】 解：如图， 则， ∴； 【小问2详解】 解：如图， 则， ∴， ∴． 18. 为了做好春季诺如病毒的预防工作，中学后勤部门购进了甲、乙两种包装的消毒液．已知甲种消毒液每瓶的价格比乙种消毒液每瓶的价格多元，若用元购进甲种消毒液的数量和用元购进乙种消毒液的数量相同，求乙种消毒液每瓶的价格是多少元． 【答案】． 【解析】 【分析】设乙种消毒液每瓶的价格是元，则甲种消毒液每瓶的价格是元，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】解：设乙种消毒液每瓶的价格是元，则甲种消毒液每瓶的价格是元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙种消毒液每瓶的价格是元． 19. 如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，接着根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，据此可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 20. 为了解七年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，现从七年级全体男生中随机抽取了50名男生进行这两项运动的测试，对数据整理后给出了下面部分信息． 信息一：排球垫球成绩分为6组，做成如下不完整的统计图．其中：A组，B组，C组，D组，E组，F组，（x表示垫球数）． 信息二：掷实心球成绩的人数（频数）分布表：（y表示掷实心球的距离，单位：米） 分组 人数 2 b 16 20 4 a 若排球垫球成绩F组的男生有m人，回答下列问题： （1）______； （2）下列结论不正确的是______（填序号）； ①在排球垫球成绩中，这50名男生的垫球数的众数一定在C组内； ②在排球垫球成绩中，这50名男生的垫球平均数可以这样计算：； ③在排球垫球成绩中，这50名男生的垫球数的中位数是在C组内； （3）若掷实心球测试中有不少于m人的成绩大于或等于米，且，求a的值． 【答案】（1） （2）①② （3） 【解析】 【分析】（1）用总人数50人减去其余几组人数即可解答； （2）根据众数，中位数及平均数可进行求解； （3）根据（1）可知：，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由题意得：①在排球垫球成绩中，这 50 名男生的垫球数的众数不一定在C组内，虽然C组人数最多，但不能保证众数一定是这里面的，故原说法错误； ②在排球垫球成绩中，这 50 名男生的垫球平均数无法计算，因为不知道具体垫球的个数，故原说法错误； ③在排球垫球成绩中，这 50 名男生的垫球数的中位数是在C组内，所以原说法正确； 故不正确的是①②； 【小问3详解】 解：根据（1）可知：， 则有：， 解得：， 又 ∵， ，且a是整数， ∴的值是4． 21. 甲、乙两个工程组同时挖掘高铁某段山岭隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示． （1）甲组每天挖______m，乙组每天挖______m； （2）当时，求y与x的函数关系式； （3）当甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多时，甲组挖掘了______天． 【答案】（1）3，4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象可得甲组每天挖，前30天甲乙合作共挖掘，求出甲乙每天共挖，据此求解即可； （2）根据待定系数法求解即可； （3）分段列方程求解即可； 【小问1详解】 解：由图可知：天仅甲组单独施工，共挖掘 ，用时天， ∴甲组每天挖 ， 前30天甲乙合作共挖掘，甲乙每天共挖 ， ∴乙组每天挖 ． 【小问2详解】 解：设函数关系式为 ， 将点  、 代入得：， 解得，， ∴当时，y与x的函数关系式为： ． 【小问3详解】 解：乙组仅在前30天施工，总挖掘长度为 ，甲组总挖掘长度为， 当时，乙挖掘长度为，则， 解得，不符合题意，舍去； 当时，列方程： ，解得， 故当甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多时，甲组挖掘了天． 22. 【概念提出】我们知道，任意三角形都有外接圆和内切圆．类似地，如果一个四边形既有外接圆又有内切圆，我们称这样的四边形为双心四边形． 【性质探究】根据双心四边形的定义，对其性质研究如下： 对角：双心四边形的对角互补； 对边：双心四边形两组对边之和相等． 对边性质证明如下： 如图1，四边形是双心四边形，其中是四边形的外接圆，是四边形的内切圆，切点分别为E，F，G，H．连结，，． 与，分别相切于点E，F， ， ， 同理可得：，，， ， ， 双心四边形两组对边之和相等； 【问题解决】 （1）请将材料中关于对边性质的证明过程补充完整； （2）下列四边形中，一定是双心四边形的是______（填序号）； ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （3）如图2，在四边形中，连结，，，，四边形是否为双心四边形？若是，直接写出其外接圆半径与内切圆半径之差；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明：， ． 在和中， ． （2）④ （3）是，外接圆半径与内切圆半径之差为 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得出，得出，再列出的条件解答即可； （2）根据“双心四边形”的定义解答即可； （3）先确定点分别为四边形的外接圆圆心和内切圆圆心，即可确定四边形是否为双心四边形；再求出外接圆半径与内切圆半径即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①平行四边形：一般平行四边形对角不互补，没有外接圆，不是双心四边形； ②矩形：矩形都有外接圆，但只有邻边相等的矩形（正方形）才有内切圆，一般矩形没有内切圆，不是双心四边形； ③菱形：菱形都有内切圆，但只有内角为的菱形（正方形）才有外接圆，一般菱形没有外接圆，不是双心四边形； ④正方形：既有外接圆又有内切圆，一定是双心四边形． 【小问3详解】 解：如图所示，作的角平分线交于点，以为直径作，连接 ，过点作于点，以为半径作，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵，点Q是的中点， ∴ ， ∴为四边形的外接圆圆心， 由勾股定理得， 因此外接圆半径​． ∵平分，，， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴点为四边形的内切圆圆心， 因此是双心四边形． 设， 则， 又 ∵是的角平分线， ， ， ， 又， ， 解得， ， ∴内接圆半径​， 因此半径差为：． 23. 在矩形中，，，点E是上一点，且，点P是线段上的一个动点，将四边形沿所在直线翻折，点A、B的对应点分别为，，设的长为x． （1）当四边形为矩形时，长为______； （2）连结，当点B、、D共线时，______ （3）当点恰好落在矩形的某一条边上时，求x的值； （4）当时，直接写出x的值． 【答案】（1）12 （2） （3）3或 （4）或 【解析】 【分析】（1）当四边形为矩形时，，再结合即可求解． （2）连接，由折叠性质得：，，，当点、、共线时，，则，过作于，则四边形是矩形，得出，，求出，结合，列方程求出​，由勾股定理求出​​，，即可求解​． （3）分两种情况：情况1：落在边上时，情况2：当落在边上时，根据折叠的性质和矩形的性质即可求解． （4）过作于，在 中，，，设，，由勾股定理求出，则​，​．连接，分两种情况：情况1：在上方时，情况2：在下方时，分别画图后求解即可​． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， 当四边形为矩形时，， ∴． 【小问2详解】 解：连接， 在矩形中，，，，， 由折叠性质得：，，， ∵点、、共线， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， 过作于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴ ，得​， 由勾股定理得：​​， ， ∴​． 【小问3详解】 解：情况1：落在边上时， 根据折叠的性质可得，垂直平分，在上，故， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即． 情况2：当落在边上时， ∵， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 【小问4详解】 解：过作于， 在 中，，， 设，， 由勾股定理得， 解得， 故​，​． 连接， 分两种成立情况： 情况1：在上方时，如图，此时， 根据折叠可得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ， 由（2）可知， ∴ ， 解得：​，符合范围． 情况2：在下方时，此时， 根据折叠可得， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴， ∴ ， 故 ，解得​． 综上，​或​． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点是抛物线上一动点（点不与点和点重合），过点作轴的垂线交直线于点，过点作的垂线交直线于点，设点的横坐标为． （1）点的坐标为______，顶点坐标为______； （2）连结，当时，求的值； （3）当时， ①当时，则的取值范围为______； ②作点关于点的对称点，连结，当时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）或 （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）把代入即可计算出坐标，把变成顶点式即可得到顶点； （2）设，，根据两点间距离公式列式计算即可； （3）①：求出直线的解析式，由点的纵坐标和点的纵坐标相等，结合直线的解析式求出的坐标表达式，求出和的长度表达式，再进行比较计算即可； ②：分类讨论的位置，结合两直线平行，线段成比例列式计算即可． 【小问1详解】 解：把代入可得：， 整理得：， 解得：或， ∴， ∵， ∴顶点坐标为：； 【小问2详解】 ∵点在上，点在上， ∴设，， ∵， ∴，， ∵时，则， 整理可得：， ∴， 当时，整理得：， 解得：或； 当时，整理得：，此方程无解； ∴的值为：或； 【小问3详解】 解：①：设直线的解析式为， 把，分别代入可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为 ， ∵， ∴点的纵坐标与点相同， ∴把代入 可得： ， 解得：， ∴， ∴， ∵ ， ∴当时，则， ∵， ∴两边同时除可得：，即， 解得：； ②：设， ∵与关于点对称， ∴为与的中点， ∵，， ∴， ， 解得：， ， ∴， 当点在线段上时，过点作于点，如图所示： ∴ ， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ， ， ∴， 整理可得： ， ∴， ∵， ∴； 当点在的延长线上时，过点作的延长线于点，如图所示： ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 整理可得： ， ∴， ∵， ∴； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $