精品解析：2026年吉林省中考数学试题

吉林省2026年初中学业水平考试 数学试题 数学试卷共6页，包括三道大题，共22道小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共18分） 1. 如图，将一双筷子想象成两条直线，就得到一个相交线的模型．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴ ∵， ∴ ． 2. 吉林省光电信息“一号工程”目标是：“十五五”末光电产业产值达160000000000元，将长春市建设成为“中国光电城”．数据160000000000用科学记数法表示为（ 　　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：数据160000000000用科学记数法表示为． 3. 近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（ 　 ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵原票价为元， ∴优惠后的票价为元． 4. 由两个正方体组成的几何体如图所示，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：它的俯视图为  ． 5. 如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 6. 十三世纪的《计算之书》中记载了一个数学问题：将10写成两个数的和，10除以第一个数，所得的商乘第二个数，得，这两个数分别为多少？若设第一个数为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两数和为10，用表示出第二个数，再按照题目描述的运算顺序列出方程，对比选项即可得到结果． 【详解】解：∵设第一个数为，两数和为， ∴第二个数为， ∴可列方程． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 移项，得， 合并同类项，得， 故解集为． 8. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9. 已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． 10. 如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，车轮半径，圆心角  ∴劣弧的长 ． 11. 如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 原式化简结果为，值为 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式 ． 13. 第33届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办．组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组．请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图得到所有等可能的结果，再得出小冰和小雪被分配到同一项目组的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：短道速滑、冰壶、冰球这三个项目分别用A、B、C表示，画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪被分配到同一项目组的结果有3种， ∴小冰和小雪被分配到同一项目组的概率为 ． 14. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，连接、．求证：． 【答案】证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴． 【解析】 【分析】根据正方形的性质，结合 “”证明全等即可． 【详解】略 15. 吉林玉米黄金带是世界三大玉米黄金带之一，吉林玉米享誉全国．购买7箱“吉林一号”玉米和9箱“吉林二号”玉米共花费580元；购买2箱“吉林一号”玉米比1箱“吉林二号”玉米多花费5元．求每箱“吉林一号”玉米和每箱“吉林二号”玉米的售价． 【答案】每箱“吉林一号”玉米售价为25元，每箱“吉林二号”玉米售价为45元． 【解析】 【分析】设出两种玉米的单价，根据题干给出的两个等量关系列出方程组，解方程组即可得到结果． 【详解】解：设每箱“吉林一号”玉米售价为元，每箱“吉林二号”玉米售价为元． 根据题意列方程组得， 解得， 答：每箱“吉林一号”玉米售价为25元，每箱“吉林二号”玉米售价为45元． 16. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中，找一个格点，画一个以点，，为顶点的等腰三角形． （2）在图②中，找一个格点，画一个以点，，，为顶点的平行四边形． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的定义解答即可； （2）根据平行四边形的定义作图即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 某小区为了解居民生活用水情况，通过简单随机抽样，调查获得若干个家庭的月均用水量（单位：）．把收集到的数据分成，，，，，，，八组，并绘制了如下频数分布直方图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）此次一共调查了多少个家庭？ （2）请直接写出这些家庭月均用水量的中位数位于哪一组． （3）若该小区有550个家庭，根据以上调查结果，估计该小区有多少个家庭的月均用水量小于． 【答案】（1）此次一共调查了55个家庭； （2）组 （3）估计该小区有210个家庭的月均用水量小于． 【解析】 【分析】（1）根据频数分布直方图将八组家庭数量相加求解即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用小区总家庭数乘以样本中月均用水量小于的家庭占比求解即可． 【小问1详解】 解：（个）， 答：此次一共调查了55个家庭； 【小问2详解】 解：55个家庭中，中位数为第28名家庭月均用水量， A、B、C三组的家庭数为（个），A、B、C、D四组的家庭数为（个）， 这些家庭月均用水量的中位数位于组； 【小问3详解】 解：（个）， 答：估计该小区有210个家庭的月均用水量小于． 18. 如图，为了测量某条河的宽度，小明站在点，到河岸的距离为，刚好正对河对岸的一棵大树，此时点，，在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了，到达点，此时测得．求这条河的宽度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角函数求出的长度，减去的长度，即可求出的长度． 【详解】解：由题意知，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：这条河的宽度为． 19. 如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为，扫过的图形面积为． （1）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （2）当扫过的图形面积由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况建立函数关系式即可； （2）分别求出矩形面积的和矩形面积的，然后分别代入和求出对应的时间，再求解时间差即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 当时，； 当时，扫过的图形为四边形，此时 ∴ ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， 当时，则，解得； 当时，则，解得 ∴点运动了． 20. 一位记者乘坐汽车赴外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）求汽车在高速公路上行驶的速度． （2）求所在直线对应的函数解析式． （3）记者出发后多长时间到达采访地？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据路程除以时间即可求解； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入即可求解． 【小问1详解】 解：， 答：汽车在高速公路上行驶的速度为； 【小问2详解】 解：设所在直线对应的函数解析式为， 代入和 则 解得 ∴所在直线对应的函数解析式为； 【小问3详解】 解：把代入，则， 解得 答：记者出发后到达采访地． 21. 如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． （1）如图②，当直线经过点时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使是等边三角形，不需要说明理由． （2）如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 【答案】（1）添加条件：； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 连接． ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠可得，，当时，可得到，即可得出是等边三角形； （2）连接．由矩形的性质得到，由折叠得到，，，根据等角的余角相等得到，从而有，再证明，可得四边形是平行四边形，结合得出是菱形； （3）设，则，，在中根据勾股定理构造方程，求得，．设，则，在中根据勾股定理构造方程，求得，由即可解答． 【小问1详解】 解：由折叠可得，， 当时，， ∴， ∴是等边三角形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 设，则， ∵由翻折有， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 22. 如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． （1）填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标 （__________，__________） __________ （__________，__________） （2）观察图象，解答下列问题： ①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围． （3）如图②，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，点关于直线的对称点为点，过点作轴的平行线．图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，． ①请你判断点，是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1），， （2）①或；② （3）①是；②或或 【解析】 【分析】（1）根据顶点式写出点的坐标，根据抛物线的平移规律写出的解析式，进而根据顶点式写出顶点的坐标，即可求解； （2）①根据函数图象，即可求解． ②令：，求得的值，结合函数图象即可求解； （3）①根据横坐标，代入函数解析式，分别求得点的坐标，根据点的平移，得出平移后的坐标，即可求解； ②根据的图象，分三段讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，根据函数图象，找到最高点和最低点，进而求得，结合，列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②令：， 解得：（舍去）， 如图， 又∵ 根据函数图象可得：当时， 【小问3详解】 ①∵，：， 点为上一点，横坐标为，则， 点向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到， 点为上一点，横坐标为，，即 ∴点，是平移前后的一组对应点； ②解：∵点为上一点，横坐标为3． ∴时，，则， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， 即 ∴， 情形一：当时，点在轴及其上方部分，如图 最高点为， （i）当时，最低点为 ∴ 当时，， 此方程无解，不存在此情形； （ii）如图，当时，最低点为 ∴ 当时， 解得：（舍去）或 情形二：当时，此时如图， 最高点为点，则 最低点为，则 当时，， 解得：或（舍去） 图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，． 情形三：当时， 最高点为点，则 最低点为，则 当时，， 解得：（舍去）或， 综上所述，当时，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省2026年初中学业水平考试 数学试题 数学试卷共6页，包括三道大题，共22道小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共18分） 1. 如图，将一双筷子想象成两条直线，就得到一个相交线的模型．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 吉林省光电信息“一号工程”目标是：“十五五”末光电产业产值达160000000000元，将长春市建设成为“中国光电城”．数据160000000000用科学记数法表示为（ 　　 ） A. B. C. D. 3. 近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（ 　 ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4. 由两个正方体组成的几何体如图所示，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（ ） A. B. C. D. 6. 十三世纪的《计算之书》中记载了一个数学问题：将10写成两个数的和，10除以第一个数，所得的商乘第二个数，得，这两个数分别为多少？若设第一个数为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 不等式的解集为__________． 8. 因式分解：__________． 9. 已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 10. 如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 11. 如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 第33届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办．组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组．请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率． 14. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，连接、．求证：． 15. 吉林玉米黄金带是世界三大玉米黄金带之一，吉林玉米享誉全国．购买7箱“吉林一号”玉米和9箱“吉林二号”玉米共花费580元；购买2箱“吉林一号”玉米比1箱“吉林二号”玉米多花费5元．求每箱“吉林一号”玉米和每箱“吉林二号”玉米的售价． 16. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中，找一个格点，画一个以点，，为顶点的等腰三角形． （2）在图②中，找一个格点，画一个以点，，，为顶点的平行四边形． 17. 某小区为了解居民生活用水情况，通过简单随机抽样，调查获得若干个家庭的月均用水量（单位：）．把收集到的数据分成，，，，，，，八组，并绘制了如下频数分布直方图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）此次一共调查了多少个家庭？ （2）请直接写出这些家庭月均用水量的中位数位于哪一组． （3）若该小区有550个家庭，根据以上调查结果，估计该小区有多少个家庭的月均用水量小于． 18. 如图，为了测量某条河的宽度，小明站在点，到河岸的距离为，刚好正对河对岸的一棵大树，此时点，，在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了，到达点，此时测得．求这条河的宽度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 19. 如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为，扫过的图形面积为． （1）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （2）当扫过的图形面积由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？ 20. 一位记者乘坐汽车赴外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）求汽车在高速公路上行驶的速度． （2）求所在直线对应的函数解析式． （3）记者出发后多长时间到达采访地？ 21. 如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． （1）如图②，当直线经过点时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使是等边三角形，不需要说明理由． （2）如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 22. 如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． （1）填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标 （__________，__________） __________ （__________，__________） （2）观察图象，解答下列问题： ①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围． （3）如图②，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，点关于直线的对称点为点，过点作轴的平行线．图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，． ①请你判断点，是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由； ②当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $