精品解析：安徽卓越县中联盟2025-2026学年高一下学期5月教学质量检测数学试题（A卷）

安徽卓越县中联盟2025-2026学年高一下学期5月教学质量检测数学试题（A卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 直四棱柱是长方体 B. 五棱锥是六面体 C. 各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 D. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 5. 在正三角形中，分别为边的中点，将，分别沿折起，使三点重合于点，构成三棱锥如图所示，则异面直线所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中顺风为加，逆风为减．已知某飞行器顺风飞行，在某时刻测得风速对应的向量与空速对应的向量如图所示（单位：km/h），则飞行器在该时刻的地速大小为（ ） A. B. C. D. 7. 在正四棱台中，，若二面角的大小为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，是边上一点，且平分，若是的外心，且，则边的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 10. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若是异面直线，且，则 11. 在中，角所对的边分别为，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 角的最大值为 C. 若是锐角三角形，且，则是等边三角形 D. 若是钝角三角形，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为___________． 13. 若复数满足，则的取值范围是___________． 14. 在棱长为6的正方体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则平面截正方体所得截面的周长为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，复数，且为纯虚数． （1）求的值； （2）若，求． 16. 如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 17. 已知非零向量满足，且． （1）求的值； （2）证明：； （3）设与的夹角为，求及的值． 18. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求证：； （2）若 的面积为52，求； （3）若 是边（不含端点）上的动点，且，求的面积的最小值． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面 ，点分别是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）设与平面所成角为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽卓越县中联盟2025-2026学年高一下学期5月教学质量检测数学试题（A卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，，所以的共轭复数． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 直四棱柱是长方体 B. 五棱锥是六面体 C. 各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 D. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 【答案】B 【解析】 【详解】当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故A错误； 五棱锥是六面体，故B正确； 如图1所示的八面体满足每个面都是三角形，但它不是棱锥，故C不正确； 如图2所示，该几何体满足有两个面互相平行且其余各面都是平行四边形，但该几何体不是棱柱，故D错误． 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，因为，所以，解得． 4. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【详解】由及正弦定理，得， 因为，所以， 代入得，即， 因为，所以，故，因为，所以， 即的形状为直角三角形． 5. 在正三角形中，分别为边的中点，将，分别沿折起，使三点重合于点，构成三棱锥如图所示，则异面直线所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点为，连接，由题意知三棱锥的棱长都相等，可证明平面，进而求解即可. 【详解】如图，取的中点为，连接， 由题意知三棱锥的棱长都相等， 所以，， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，即异面直线所成的角的大小为． 6. 飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中顺风为加，逆风为减．已知某飞行器顺风飞行，在某时刻测得风速对应的向量与空速对应的向量如图所示（单位：km/h），则飞行器在该时刻的地速大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的概念、加法运算及平面向量的模求解即可. 【详解】设飞行器在该时刻的地速对应的向量为，相对于周围空气的空速和风速对应的向量分别为，， 由题意可得，且，，所以， 故，即飞行器在该时刻的地速大小为． 7. 在正四棱台中，，若二面角的大小为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图，在正四棱台中， ， 令分别是正方形 的中心， 分别是 的中点，连接， 显然四边形是直角梯形，且． 易知是正四棱台的高， ， 所以是二面角的平面角． 由题意得，过作 ，垂足为， 则， 所以正四棱台的体积为． 8. 在中，是边上一点，且平分，若是的外心，且，则边的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合平面向量的数量积，三角形的角平分线定理，三角形的外心求解． 【详解】因为是的角平分线，所以， 设边上的高为，则， 所以，令 ， 得， 过点作 ，垂足分别为， 由外心性质得分别为的中点，所以 ， 即，解得或， 又，所以，即 ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的加减、乘法运算及复数的几何意义求解判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，，， ，所以，故D正确． 10. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若是异面直线，且，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则或是异面直线，故C错误； 对于D，若，则存在平面，使得，所以， 若，则，又，则，与是异面直线矛盾， 所以，又，所以，又是异面直线，， 所以相交，又且，，所以，故D正确． 11. 在中，角所对的边分别为，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 角的最大值为 C. 若是锐角三角形，且，则是等边三角形 D. 若是钝角三角形，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正余弦定理判断A、B，根据基本不等式和三角形的边的关系判断C、D． 【详解】由及正弦定理， 得，所以，故A正确； 由，得 ， 由余弦定理，得 ， 当且仅当时等号成立，因为，所以， 即角的最大值为，故B正确； 由三角形的边的关系，得，即，解得， 在区间内的正整数只有1和2，当时， 是等边三角形，也是锐角三角形； 当时， ，则，为钝角，不符合题意， 综上所述，若是锐角三角形，且，则是等边三角形，故C正确； 当时，，所以， 由是钝角三角形知，所以， 即 ，解得， 当时，，不符合是钝角三角形； 当时，，所以， 由是钝角三角形知，所以，即，解得， 又由三角形的边的关系，得， 所以的取值范围是，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴截面的性质及圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】因为轴截面为直角三角形，所以圆锥的母线长为， 则该圆锥的侧面积为. 13. 若复数满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【详解】在复平面内，设对应的点为，由， 得的集合是以为圆心，以4为半径的圆，是点到点的距离， 因为，所以， 即的取值范围是． 14. 在棱长为6的正方体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则平面截正方体所得截面的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，作出平面截正方体所得截面，再求出其周长即可. 【详解】如图，取的中点为，在上取两点，使得， 在上取一点，使得，连接， 在正方体中，， 又分别是棱的中点，则， 四边形是平行四边形，， 而，则， 则四边形是平行四边形，， 因此，四边形是平行四边形，， 由分别是，的中点，得， 由，得四边形是平行四边形， ，因此平面与正方形的交线是线段； 取的中点为，连接，同理得， 则平面截正方体所得截面是五边形， 其中， 于是五边形的周长为， 所以平面截正方体所得截面的周长为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，复数，且为纯虚数． （1）求的值； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念求出实数的值； （2）运用复数的除法运算求出，再根据复数模的概念求． 【小问1详解】 因为复数为纯虚数，所以 解得． 【小问2详解】 由（1）得 ， 所以 ， 所以． 16. 如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【答案】（1）如图，连接，交于点，连接． 在长方体中，四边形是矩形， 因为对角线与交于点，所以为的中点， 又点是棱的中点，所以 ， 又平面 平面，所以平面． （2）连接． 在长方体中，四边形是矩形，所以 ， 因为点分别是棱的中点，， 所以 ，所以四边形是正方形，． 在长方体中，平面， 又平面，所以． 因为 平面， 所以平面． 【解析】 【分析】（1）根据中位线得到线线平行，再根据线线平行证明线面平行； （2）先证明线线垂直，然后得到线面垂直． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知非零向量满足，且． （1）求的值； （2）证明：； （3）设与的夹角为，求及的值． 【答案】（1）1 （2）证明：因为，所以，又，所以， 所以 ，所以 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据数量积与模的概念与公式求的值； （2）通过向量垂直的等价条件证明； （3）应用向量夹角的公式求． 【小问1详解】 因为 ， 所以 ，故 ． 又，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为 ， 所以． 因为，又 ， 所以． 18. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求证：； （2）若 的面积为52，求； （3）若 是边（不含端点）上的动点，且，求的面积的最小值． 【答案】（1）证明：由及正弦定理，得， 所以． 因为，所以， 所以或，解得或（舍）． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换证明； （2）先根据正弦定理和三角恒等变换求出 ，再根据三角形的面积公式求； （3）分别在与中运用正弦定理求出，再应用三角形的面积公式求最值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以 ， 又，所以，即． 因为，所以． 因为， 所以的面积 ，解得． 【小问3详解】 由，得，即， 又，所以． 不妨设在线段上，设，则． 在中， ，所以， 即． 在中， ， 所以， 即． 所以的面积． 令， 因为，所以， ， 所以当时，取到最大值， 所以， 即的面积的最小值为． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面 ，点分别是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）设与平面所成角为，求的取值范围． 【答案】（1）证明：因为底面是边长为2的菱形，且， 所以是等边三角形，， 因为点是的中点，所以 ． 因为平面平面，平面平面 平面 ， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质得到平面，再证平面平面； （2）先根据为直角三角形，平面平面判断几何体的外接球的球心位置，再运用表面积公式； （3）先根据直线与平面所成角的概念求出直线与平面所成角，再用函数求取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为直角三角形，平面平面，所以三棱锥的外接球球心一定在平面内，且为的外心． 因为底面是边长为2的菱形，且，所以是等边三角形，， 由正弦定理，得（为的外接圆半径）， 解得，即三棱锥的外接球半径为． 所以三棱锥外接球的表面积为． 【小问3详解】 取的中点，作，垂足为，连接 ． 因为平面平面，平面平面 平面 ， 所以平面，为与平面所成的角， ． ①若在线段（不含端点）上，如图1，设， 因为 为的中点，所以 ， 因为分别是的中点，所以 ， 又，所以，由余弦定理，得 所以． 令 ，由，得， 所以， 当且仅当，即时取“”． 又，所以的取值范围为． ②若在线段上（不含端点），如图2，设， 因为，所以 ， 又，所以， 由余弦定理，得 ， 所以． 令 ，由，得， 所以． 令，任取， 则， 因为，所以 ，故 ，即， 所以 在上单调递增，且，所以的取值范围为． ③若与重合，则 ． 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $