精品解析：安徽省涡阳第四中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题

涡阳四中2024级高一（下）第二次质量检测 数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的运算可求答案. 【详解】因为， 所以. 故选：D 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由根式的被开方数大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组即可求解. 【详解】要使函数的有意义， 的取值满足， 解得，且； 所以函数的定义域是． 故选：C． 【点睛】本题考查给定函数求定义域，此类题型要求满足函数各部分有意义，一般有以下几种情况：（1）整式定义域为；（2）分式的分母不为0；（3）偶次根式的被开方数大于等于0；（4）若，则；（5）对数的真数大于0. 3. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的真假，只需即可求解. 【详解】命题“”是真命题， 则， 又因为， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B 4. 中，是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：在三角形中，由正弦定理，得，若可得，即是的充要条件，故选C． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据正弦定理是解决本题的关键． 5. 给出如下三个等式：①；②；③.则下列函数中，不满足其中任何一个等式的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A中，若f（x）=x2， ∵f（ab）=（ab）2，f（a）•f（b）=a2•b2，f（ab）=f（a）•f（b），故③成立， B中，若f（x）=3x， ∵f（a+b）=3（a+b），f（a）+f（b）=3a+3b，f（a+b）=f（a）+f（b），故①成立， D中，若f（x）=lnx，f（ab）=lnab=lna+lnb=f（a）+f（b），故②成立． C中，若f（x）=2x，∵f（a+b）=2a+b，f（a）+f（b）=2a+2b，f（a+b）=f（a）+f（b）不一定成立，故①不成立， ∵f（ab）=2ab，f（a）+f（b）=2a+2b，f（ab）=2a•2b，f（ab）=f（a）+f（b）不一定成立，故②不成立， f（ab）=f（a）•f（b）不一定成立，故③不成立， 故答案选C． 点睛：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，我们根据幂函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质，对四个结论逐一进行判断，易得答案，建议大家记忆三个结论及f（x）=2x满足f（a+b）=f（a）•f（b）将其做为抽象函数选择题时特值法的特例使用． 6. 如图，在三棱锥中，，分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 【答案】D 【解析】 【分析】 利用线面平行的判定和性质对选项进行排除得解. 【详解】对于，，分别为，的中点，，EF与平面BCD平行 过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面， ，，故AB正确； 对于，，平面，平面，平面，故正确； 对于，的位置不确定，与平面有可能相交，故错误. 故选:D. 【点睛】熟练运用线面平行的判定和性质是解题的关键. 7. 在中，，则的最大角与最小角的和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，，则，由余弦定理求角，再结合三角形内角和求，即得的最大角与最小角之和. 【详解】结合，不妨设，，，根据大边对大角可知：， 由余弦定理可得：， 又因为，所以，所以， 所以的最大角与最小角之和为. 故选：C 8. 邢台一中数学探索馆中“圆与非圆—搬运”的教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的运算可得，结合数量积的几何意义分析求解. 【详解】因为为弧上的一点，则，且， 可知， 由图形可知：当点与点重合时，向量在方向上的投影取到最小值， 此时， 所以的最小值为. 故选：C. 二、多选题 9. 下列各式中值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A利用二倍角的正弦求值；选项B利用二倍角的余弦求值；选项C逆用两角差的正弦公式求值；选项D利用两角和的正切公式求值. 【详解】因，故选项A正确； 因为，故选项B错误； 因为，故选项C正确； 因为， 整理得，，故选项D错误； 故选：AC. 10. 已知复数，，则（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 复数对应的点位于第二象限 D. 复数为纯虚数 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数的乘法以及复数的几何意义可判断C选项；利用复数的除法以及复数的概念可判断D选项. 【详解】因为，，则，，故A正确； 的共轭复数为，故B错误； ，复数对应的点位于第四象限，故C错误； 为纯虚数，故D正确． 故选：AD. 11. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 在方向上的投影向量为 C. 存在，使得在方向上投影向量的模为1 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由平行向量的坐标表示可判断A；由投影向量的计算公式可判断B，C；由向量的模长公式结合三角函数的性质可判断D. 【详解】对于A，若，则，则，所以A错误； 对于B，在方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，，所以在方向上投影向量的模为： ， 当时，，所以存在，使得在方向上投影向量的模为1，故C正确； 对于D，向量 ， 所以，则，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 如图，平行四边形ABCD中，，，M是的中点，以为基底表示向量________ 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理即可求得结果. 【详解】易知，显然； 可得； 故答案为： 13. 已知复数z满足，则的最大值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】设，则且.结合复数几何意义可得，即可求解. 【详解】设复数，则，且. ， 当时，取到最大值16， 所以. 故答案为：4. 14. 平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别表示出原来圆锥与截后的小圆锥的体积，根据被截成的两部分体积相等可以得到，即可求出上下两部分的面积之比. 【详解】设原来的圆锥体积为V，底面半径为R，高为H，侧面积为S，母线长为L， 被截面分截后，上面小圆锥的体积为，底面半径为r，高为h，侧面积为 ，母线长为l， 因为 ，即有， 又因为，所以，即有，且， 而， 故圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知，， （1）设，，，求的最大值与最小值； （2）求的最大值与最小值. 【答案】（1）最大值为9，最小值为1；（2）最大值为67，最小值3. 【解析】 【分析】 （1）对于，，，直接利用为增函数求出的最大值与最小值； （2）把函数转化为，利用二次函数求最值即可. 【详解】（1）设，，，则，即， 即t的最大值为9，最小值为1； （2）设，，，则， 函数转化为， ，在上单调递增， 当时，最小， 当时，最大为， 即的最大值为67，最小值3. 【点睛】求值域的常用方法： （1）直接法；（2）单调性法；（3）图像法；（4）复合函数法. 16. 已知向量. （1）求； （2）设的夹角为，求的值； （3）若向量，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用坐标计算即可； （2）直接利用向量的夹角公式计算即可； （3）先求出的坐标，再由，得列方程求解即可. 【小问1详解】 因为向量， 所以， 【小问2详解】 因为向量，的夹角为， 所以， 【小问3详解】 因为向量， 所以， 因为， 所以，解得 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上(包括端点)任取一点P，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)利用平行四边形证明，即可根据线面平行的判定定理证明； (2)根据知P到平面的距离为定值，取P与B重合时即可计算三棱锥的体积． 【小问1详解】 证明：由正方体的性质可知，且， ∴四边形是平行四边形， ∴． 又平面，平面， ∴平面． 【小问2详解】 ∵平面， ∴直线上的点到平面的距离相等． ∴点P的位置变化，三棱锥的体积不变， 不妨让P点与B点重合，则． 18. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，的面积为，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求，进而可求； （2）由已知结合三角形的面积公式可求，然后结合余弦定理即可求解． 【小问1详解】 由得，由正弦定理得． 由余弦定理得． ，． 【小问2详解】 由于的面积为， ， ， 由余弦定理得：． ． 19. 是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记．在中，角的对边分别是，点在射线上． （1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； （2）若，由点对施以视角运算，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）依题意可得，从而得到，即可得解； （2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求出，即可求出，从而求出三角形的周长； 【小问1详解】 因为是角的平分线，所以且在线段上， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为点在射线上，，且，所以在线段外，且， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 即，解得（负值已舍去）， 所以， 所以的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 涡阳四中2024级高一（下）第二次质量检测 数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 中，是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 给出如下三个等式：①；②；③.则下列函数中，不满足其中任何一个等式的函数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱锥中，，分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C 平面 D. 平面 7. 在中，，则的最大角与最小角的和是（ ） A. B. C. D. 8. 邢台一中数学探索馆中“圆与非圆—搬运”教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 二、多选题 9. 下列各式中值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，，则（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 复数对应的点位于第二象限 D. 复数为纯虚数 11. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 在方向上的投影向量为 C. 存在，使得在方向上投影向量模为1 D. 的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 如图，平行四边形ABCD中，，，M是的中点，以为基底表示向量________ 13. 已知复数z满足，则的最大值为________． 14. 平行于圆锥底面截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为________． 四、解答题 15. 已知，， （1）设，，，求的最大值与最小值； （2）求的最大值与最小值. 16. 已知向量. （1）求； （2）设的夹角为，求的值； （3）若向量，求实数的值. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上(包括端点)任取一点P，求三棱锥的体积． 18. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，面积为，求a的值． 19. 是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记．在中，角的对边分别是，点在射线上． （1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； （2）若，由点对施以视角运算，，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$