精品解析：2026年江苏淮安市清河开明中学等校中考二模数学试题

2026年江苏淮安市清河开明中学等校中考二模数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期， 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一辆小车沿长斜坡向上行驶20米，小车上升的高度为10米，则斜坡的坡度是（ ） A. B. C. D. 30° 5. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A. B. C. D. 6. 如图，BD是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ） A. 50° B. 45° C. 40° D. 35° 7. 如图，四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 8. 已知实数，满足，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 10. 分解因式：______． 11. 若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形． 12. 已知方程的一个根是10，则它的另一个根是______． 13. 用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为________． 14. 我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，嘉淇在两条横线上画出，且边，与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接交于点H，若，则的长为______． 15. 如图，3个大小完全相同且边长为1的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，点、、、是正六边形的顶点，连接并延长交线段于点，则线段的长是______． 16. 如图，是正方形内部一点，且，为延长线与的交点，连接，若为直角三角形时，则的值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程组： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：． 20. 为培养学生的科技创新能力，合肥市某中学利用本地科创资源，举办了“机器人迷宫编程挑战赛”．为评估不同年级学生的编程与逻辑思维水平，从七、八年级各随机抽取10个小组参赛，记录其机器人完成迷宫任务的时间（单位：秒，用时越短成绩越好）．时间用t表示，并分为三组：A．（优秀），B．（良好），C．（合格）．下面给出了部分信息： 七年级10个小组的完成时间：36，38，40，42，47，47，47，48，50，50． 八年级10个小组的完成时间在B组中的数据是：41，43，44，44． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 44.5 47 b 八年级 44.5 a 44 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生在此次比赛中表现更好？请说明理由； （3）若该校七年级有50个小组，八年级有40个小组，请估计两个年级的完成时间为“优秀”的小组总共有多少个？ 21. 初中学业水平考试中理化科目更重视对学生独立思考、创新能力、分析和解决问题能力的考查．某校为培养学生动手和解决问题的能力，在期末考试中增设实验考试，规定每位学生必须在“A．测量物体运动的速度，B．测量小灯泡的电功率，C．粗盐中难溶性杂质的去除，D．溶液酸碱性的检验”四个实验中抽取两个实验完成，假设小明抽到每个实验的可能性相同． （1）若小明从中任意抽取一个实验，则小明抽到实验D的概率是_________； （2）若小明从中任意抽取两个实验，请用列表或画树状图中的一种方法，求小明抽到的两个实验恰好1个物理实验、1个化学实验的概率．（A、B为物理实验，C、D为化学实验） 22. 图1是江阴市兴国寺塔，它始建于北宋太平兴国年间．塔底外形是一个如图2所示的正八边形．某数学兴趣小组对兴国寺塔进行了一定的实地测量活动，具体过程如下： 【数据收集】通过实地测量，正八边形的边长． 【问题解决】 （1）求图2中塔底半径． （2）如图3，在延长线上确定一点B，使A、B两点的距离为，在B处竖一根的竹竿，从杆顶P测得塔顶E的仰角为，求出兴国寺塔的高度． （结果取整数．参考数据：，，） 23. 2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 24. 如图，中，，以为直径的⊙分别交，于点、，延长到，连接，使． （1）试说明是的切线； （2）若的半径为，，求的面积． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为． （1）当，求抛物线的对称轴及抛物线与坐标轴交点坐标； （2）若该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； （3）已知点，，，，在抛物线上，其中，若存在使，请直接写出的取值范围并直接比较，，的大小关系（用“＜”连接）． 26. 【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（7）班分三个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心有一喷水管，从点向外喷水，喷出的水柱形状为拋物线，这些抛物线的开口方向和大小都与相同．以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点（喷水口）在轴上，轴上的点为水流的最外落水点． 素材二：乙小组了解到需要给蔬菜大棚里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 素材三：丙小组了解到，农户大棚内分区域种植不同的蔬菜，需要利用喷灌机喷洒药剂．截面如图4，与区域种植不同蔬菜，测得米． 【项目任务】 （1）任务一：甲小组测量得喷头的高米，喷水口中心点到水柱的最外落水点水平距离为5.5米．求出水柱所在抛物线的函数解析式． （2）任务二：乙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（结果精确到0.1米，参考数据：） （3）任务三：现需要对区域的蔬菜喷洒药剂，但不能洒落到区域的蔬菜上，丙小组准备在处设立挡板，为了挡板使用材料最少，请直接写出的最小值． 27. 在中，，，，是边上一点，且（为正整数），将一块矩形绕着点按顺时针方向旋转，旋转过程中矩形边、始终分别与的边、相交于点、． （1）【初步感知】 如图1，在矩形的旋转过程中，若，则______： （2）【深入探究】 ①如图2，在矩形的旋转过程中，若，试探究线段与之间有怎样的数量关系，请写出结论并证明． ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明） （3）【迁移运用】 如图3，在中，，，点是上一定点，请你借助已学知识或探索过程中得到的结论，用无刻度直尺或圆规在上找一点，在上找一点，使． （4）【拓展提升】 如图4，在等边三角形中，，是边上一点，且，（为正整数），是一点，是射线上一点，，连接，过点作垂直于，垂足为．点从点运动到点过程中，点运动的路径长为______．（用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年江苏淮安市清河开明中学等校中考二模数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期， 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据只有符号不同的两个数叫互为相反数直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 的相反数是， 故选：C． 2. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，一辆小车沿长斜坡向上行驶20米，小车上升的高度为10米，则斜坡的坡度是（ ） A. B. C. D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】直接用勾股定理求出水平距离为，再根据坡度等于竖直距离：水平距离求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，水平距离， 斜坡的坡度． 5. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，原计划每天生产个零件，实际每天生产个零件．总零件数为300个，原计划天数减去实际天数等于提前的2天． 【详解】解：设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个零件． ∵原计划天数为，实际天数为，且提前2天完成任务， ∴． 故选：A． 6. 如图，BD是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ） A. 50° B. 45° C. 40° D. 35° 【答案】C 【解析】 【分析】由BD是圆O的直径，可求得∠BCD = 90°又由圆周角定理可得∠D=∠A= 50°，继而求得答案． 【详解】解：∵BD是的直径， ∴∠BCD=90°， ∴∠D=∠A= 50°， ∴∠DBC= 90°-∠D = 40°， 故选： C． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，此题难度不大，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用． 7. 如图，四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，核心知识点为：位似图形的对应边成比例，且该比例等于位似比．先根据对应点、的坐标求出相似比，再利用位似比结合的长度计算出的长度． 【详解】解：∵四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为， ∴相似比为． 又∵，已知， ∴； 故选：C． 8. 已知实数，满足，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质以及最值，根据已知条件用含的代数式表示，代入所求式子得到关于的二次函数，利用二次函数性质求出最大值，对比选项得到正确结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 将代入得： 二次项系数， ∴ 该二次函数开口向下，存在最大值， 最大值为， 即， 对比选项，只有，符合要求． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：若式子在实数范围内有意义，则二次根式的被开方数需满足非负条件，即． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解即可． 【详解】解：． 11. 若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数． 【详解】解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下： ∵半径与边长相等， ∴这个三角形是等边三角形， ∴正多边形的边数：360°÷60°＝6， ∴这个正多边形是正六边形 故答案为：六． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键． 12. 已知方程的一个根是10，则它的另一个根是______． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根是t，由根与系数的关系可得：，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根是t， 由根与系数的关系可得：， 解得：， ∴方程的另一个根是2.5． 故答案为：2.5． 13. 用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：，就可以求出圆锥的底面圆的半径． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，， 由扇形的面积：， 得： 故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线． 14. 我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，嘉淇在两条横线上画出，且边，与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接交于点H，若，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】由题意可得，，，从而得出，，再由相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，． 15. 如图，3个大小完全相同且边长为1的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，点、、、是正六边形的顶点，连接并延长交线段于点，则线段的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】取正六边形的端点F、G，连接、，二者交于点O，连接，过点C作于点K，过点B作于点H，根据正六边形的特点以及摆放位置可知点A、D、F、G共线，以点D为原点，AD所在直线为x轴，先确定A、C、B三个点的坐标，再求出直线、解析式，进而求出交点坐标，问题得解． 【详解】如图，取正六边形的端点F、G，连接、，二者交于点O，连接，过点C作于点K，过点B作于点H， 根据正六边形的特点以及摆放位置可知点A、D、F、G共线， 以点D为原点，AD所在直线为x轴，如上图所示， ∵上述均为边长为1的正六边形， ∴，，、是等腰三角形， 即， ∵，， ∴， ∴， 同理，即，， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 同理求出的解析式为：， 联立：，解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，解直角三角形，一次函数以及勾股定理等知识，构造直角坐标系是快速解答本题的关键． 16. 如图，是正方形内部一点，且，为延长线与的交点，连接，若为直角三角形时，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形性质和可得，从而为等腰三角形．由为直角三角形，结合图形位置排除和，确定．设，利用等腰三角形和直角三角形的边角关系推导出．过点作的垂线，利用勾股定理求出点相对于正方形边长的位置坐标，进而求出 的值． 【详解】解：四边形是正方形 ， 是等腰三角形若，则点在上或上，与矛盾 若，则，即在上，此时与重合，不存在 设 在中， 过点作于点，延长交于点则，，四边形为矩形，过点作于点M，则 在中， 在等腰中， ， 在中，， ， ， ， 设 ，则 在中，， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 在中， 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将括号内式子通分，变分式除法为乘法，约分化简，再将代入求值． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式的运算法则． 19. 如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，由菱形得到，利用“”即可证明，进而得到，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】证明：四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ． 20. 为培养学生的科技创新能力，合肥市某中学利用本地科创资源，举办了“机器人迷宫编程挑战赛”．为评估不同年级学生的编程与逻辑思维水平，从七、八年级各随机抽取10个小组参赛，记录其机器人完成迷宫任务的时间（单位：秒，用时越短成绩越好）．时间用t表示，并分为三组：A．（优秀），B．（良好），C．（合格）．下面给出了部分信息： 七年级10个小组的完成时间：36，38，40，42，47，47，47，48，50，50． 八年级10个小组的完成时间在B组中的数据是：41，43，44，44． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 44.5 47 b 八年级 44.5 a 44 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生在此次比赛中表现更好？请说明理由； （3）若该校七年级有50个小组，八年级有40个小组，请估计两个年级的完成时间为“优秀”的小组总共有多少个？ 【答案】（1）42，47，40 （2）八年级学生在此次比赛中的表现更好，理由见解析 （3）估计两个年级的完成时间为“优秀”（）的小组总共有31个 【解析】 【分析】（1）需分别计算八年级的中位数、七年级的众数和八年级组的百分比．众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据排序后中间位置的数；扇形统计图中百分比由对应组人数除以总人数得到． （2）通过比较中位数、众数等统计量的大小，分析哪个年级成绩更优． （3）利用样本中“优秀”的比例，分别估计七、八年级的优秀小组数再求和． 【小问1详解】 解：由题意可知，八年级C组有：（人），把八年级被抽取的10个小组的完成时间按从小到大（或从大到小）的顺序排列，排在中间的两个数分别为41，43，故中位数，在七年级被抽取的10个小组的完成时间中，47出现的次数最多，故众数，，故． 【小问2详解】 解：八年级学生在此次比赛中的表现更好，理由如下： 八年级学生完成任务时间的中位数42小于七年级的中位数47，说明八年级成绩在中间水平的小组用时更短 【小问3详解】 （个）． 答：估计两个年级的完成时间为“优秀”（）的小组总共有31个． 21. 初中学业水平考试中理化科目更重视对学生独立思考、创新能力、分析和解决问题能力的考查．某校为培养学生动手和解决问题的能力，在期末考试中增设实验考试，规定每位学生必须在“A．测量物体运动的速度，B．测量小灯泡的电功率，C．粗盐中难溶性杂质的去除，D．溶液酸碱性的检验”四个实验中抽取两个实验完成，假设小明抽到每个实验的可能性相同． （1）若小明从中任意抽取一个实验，则小明抽到实验D的概率是_________； （2）若小明从中任意抽取两个实验，请用列表或画树状图中的一种方法，求小明抽到的两个实验恰好1个物理实验、1个化学实验的概率．（A、B为物理实验，C、D为化学实验） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率公式直接计算即可； （2）根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：从中任意抽取一个实验，共有4种等可能的结果，抽到实验D的情况有1种， 小明抽到实验D的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可得，共有12种等可能的结果，抽到的两个实验恰好1个物理实验、1个化学实验的情况有8种， 小明抽到的两个实验恰好1个物理实验、1个化学实验的概率． 22. 图1是江阴市兴国寺塔，它始建于北宋太平兴国年间．塔底外形是一个如图2所示的正八边形．某数学兴趣小组对兴国寺塔进行了一定的实地测量活动，具体过程如下： 【数据收集】通过实地测量，正八边形的边长． 【问题解决】 （1）求图2中塔底半径． （2）如图3，在延长线上确定一点B，使A、B两点的距离为，在B处竖一根的竹竿，从杆顶P测得塔顶E的仰角为，求出兴国寺塔的高度． （结果取整数．参考数据：，，） 【答案】（1）图2中塔底半径的长约为； （2）兴国寺塔的高度约为． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由题意得，根据等腰三角形三线合一求出，，解直角三角形即可解答； （2）过点作于点，易证四边形是矩形，得到，解直角三角形求出，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作于点， 由题意得， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：图2中塔底半径的长约为； 【小问2详解】 解：过点作于点， 由题意得， 由（1）知， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴ 答：兴国寺塔的高度约为． 23. 2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 【答案】过道的宽应该设计米． 【解析】 【分析】设过道的宽为米，根据题意得出，解方程，根据实际取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：设过道的宽为米，根据题意得， 整理得，， 解得：（舍去）， 答：过道的宽应该设计米． 24. 如图，中，，以为直径的⊙分别交，于点、，延长到，连接，使． （1）试说明是的切线； （2）若的半径为，，求的面积． 【答案】（1）证明：， ， ， 即， ， ， ， ， 为的直径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）在等腰中，通过三角形内角和定理推出，结合，得出，进而证明是的切线． （2）过点作，由⊙半径为3得出直径为6，结合及求出，进而得出的长，再通过勾股定理和正弦函数分别求出的长，即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点， 的半径为3， ， 由（1）得， ， ，解得， ，， 在中，， 在中，， ， 的面积：． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为． （1）当，求抛物线的对称轴及抛物线与坐标轴交点坐标； （2）若该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； （3）已知点，，，，在抛物线上，其中，若存在使，请直接写出的取值范围并直接比较，，的大小关系（用“＜”连接）． 【答案】（1）对称轴为直线，与轴交点坐标为，与轴交点坐标为和 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式求出对称轴，分别令，，求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可； （2）求出对称轴，根据增减性，判断对称轴的位置，列出不等式组进行求解即可； （3）分情况讨论对称轴的位置，结合二次函数的性质，即可求得的范围，进而根据对称轴在直线的左侧，当时，随的增大而增大，即可判断，，的大小关系，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 当时，解得， ∴抛物线与轴交点坐标为，与轴交点坐标为和 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧，随着的增大而增大， ∵时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ∴，解得； 【小问3详解】 解：∵，在抛物线上，且抛物线的开口向上，对称轴为直线 ∵ ∵ ①当时，则 ②当时，即， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 综上所述， ∴对称轴在直线的左侧， 当时，随的增大而增大， 又∵，故横坐标的大小关系为 ∴ 26. 【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（7）班分三个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心有一喷水管，从点向外喷水，喷出的水柱形状为拋物线，这些抛物线的开口方向和大小都与相同．以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点（喷水口）在轴上，轴上的点为水流的最外落水点． 素材二：乙小组了解到需要给蔬菜大棚里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 素材三：丙小组了解到，农户大棚内分区域种植不同的蔬菜，需要利用喷灌机喷洒药剂．截面如图4，与区域种植不同蔬菜，测得米． 【项目任务】 （1）任务一：甲小组测量得喷头的高米，喷水口中心点到水柱的最外落水点水平距离为5.5米．求出水柱所在抛物线的函数解析式． （2）任务二：乙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（结果精确到0.1米，参考数据：） （3）任务三：现需要对区域的蔬菜喷洒药剂，但不能洒落到区域的蔬菜上，丙小组准备在处设立挡板，为了挡板使用材料最少，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约7.6米 （3）的最小值约米 【解析】 【分析】任务一：因为抛物线开口方向和大小与相同，所以可设抛物线解析式为，再将点和点的坐标代入，求解未知系数即可得到解析式． 任务二：先设薄膜所在直线的解析式，根据薄膜与地面夹角为确定直线斜率；再根据“水与薄膜距离至少10厘米”的条件，结合点到直线的距离公式，建立抛物线点到直线的距离不等式，求解对应横坐标即可得到水平距离． 任务三：因为要使挡板材料最少即长度最小，所以是点到抛物线的最短距离，设抛物线上点的坐标，用两点距离公式表示的长度，结合抛物线解析式求表达式的最小值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线开口大小和方向与相同， ∴设解析式为． 由题意得喷水口， 代入，得​； 再将落水点代入，得， 解得． ∴抛物线解析式为：． 【小问2详解】 解：设薄膜与x轴交点为， ∵薄膜与地面夹角为， ∴薄膜所在直线与y轴交点为， 设薄膜所在直线解析式为， 则， 解得， ∴薄膜所在直线解析式为． 设抛物线上一点到直线的距离为，要求水到薄膜的垂直距离至少为，即， 过点E作轴，过点F作轴， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得， ∵x值唯一， ∴， 解得．​ 即薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约为7.6米时满足要求． 【小问3详解】 解：设抛物线上点， ∵， ∴， ∵抛物线解析式， ∴整理得， 代入得：， ∵抛物线的范围为， ∴当时，最小为， 得（米）． ∴最小值约米． 27. 在中，，，，是边上一点，且（为正整数），将一块矩形绕着点按顺时针方向旋转，旋转过程中矩形边、始终分别与的边、相交于点、． （1）【初步感知】 如图1，在矩形的旋转过程中，若，则______： （2）【深入探究】 ①如图2，在矩形的旋转过程中，若，试探究线段与之间有怎样的数量关系，请写出结论并证明． ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明） （3）【迁移运用】 如图3，在中，，，点是上一定点，请你借助已学知识或探索过程中得到的结论，用无刻度直尺或圆规在上找一点，在上找一点，使． （4）【拓展提升】 如图4，在等边三角形中，，是边上一点，且，（为正整数），是一点，是射线上一点，，连接，过点作垂直于，垂足为．点从点运动到点过程中，点运动的路径长为______．（用含的代数式表示） 【答案】（1） （2）①，证明如下： 如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点， 当时，，即， 是的中点， ，， ， ，， ， ，即， ， 是等腰直角三角形，且， ， 根据（1）中结论可得， 即； ② （3） （4） 【解析】 【分析】（1）连接，证，根据全等三角形的性质可得，则，据此即可解答； （2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，证，，利用相似三角形的性质即可解答；②在上取一点，使得，过点作的平行线，交于点，交于点，根据，，，，同①利用相似三角形的性质即可解答； （3）过点分别作、的垂线，构造相似三角形，通过相似三角形的性质可推出，先通过尺规作图作出线段的中点，再作出线段的中点，最后过点作出线段的垂线，交线段于点即可解答； （4）多次利用相似三角形的判定和性质分析出，点的运动轨迹为线段，再证明，结合三角函数及相似三角形的性质即可求出点运动的路径长． 【小问1详解】 解：如图，连接， 当时，，即， ，，， ， ，，， 四边形为矩形， ， , ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①略 ②如图，在上取一点，使得，过点作的平行线，交于点，交于点， 同①可得 ，， ，， 同①可得，， 即； 【小问3详解】 如图所示，①分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，在上下方各得到一个交点，用直尺连接这两个交点，交于点； ②再分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，在上下方各得到一个交点，用直尺连接这两个交点，交于点； ③连接直线，以点为圆心，以的长为半径画圆交直线于点，分别以点、点为圆心，以大于的长为半径画弧，在上下方各得到一个交点，用直尺连接这两个交点，交于点； 点、点即为所求； 【小问4详解】 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作，连接， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ，、、均为定点， 点为定点， 当点在点处时，点的位置如图所示，当点在点处时，点的位置如图所示， 点的运动轨迹为线段， ， 、、、四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $