第11章 不等式与不等式组—— 一元一次不等式（组）的应用 专项训练 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 以实际问题为载体，构建"方程组+不等式（组）"的递进式应用体系，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方程组+一元一次不等式|5题（例1+练4）|审题找等量关系列方程组，根据不等关系建立不等式求解|从二元一次方程组到一元一次不等式，实现从等量到不等量的思维过渡| |方程组+不等式组（方案设计）|4题（例6+练3）|通过不等式组确定取值范围，结合整数解设计可行方案|在不等式基础上增加约束条件，培养多方案优化意识| |微项目式学习|3题（例10+练2）|整合多信息构建数学模型，分任务逐步解决复杂问题|融合几何、经济等跨领域知识，提升综合应用与创新意识|

一元一次不等式（组）的应用 说明：题目背景的选择尽量新且贴合实际. 类型一：方程组＋一元一次不等式的应用 例题：1．人工智能的发展为我们的生活增添了许多便利．某快递中转站为提升分拣效率，引进了A、B两种型号的自动分拣机器人．同时使用一台A型机器人和一台B型机器人每小时可以分拣共2000个快递；同时使用一台A型机器人和两台B型机器人每小时可以分拣共2800个快递． （1）求一台A型和一台B型机器人每小时可以分拣多少个快递？ （2）为扩大规模，若另一快递中转站准备同时购买相同型号的A、B两种机器人共5个，该中转站送来一批快递，要求4个小时分拣快递数量不少于20000个，至少需要购买多少个A型机器人？ 配套练习： 2．晋剧的文化魅力不仅体现在剧情上，演员的服饰也备受大家喜爱．近期，以晋剧戏盔“状元帽”为原型的文创产品发热桌垫、立体拼图十分畅销．学校计划用不超过6000元的经费购买这两种文创产品共80件作为奖品，奖励在“晋剧进校园”活动中表现优秀的同学．已知两种文创产品的价格如图所示． （1）若学校计划购买30件立体拼图，请问总费用是否会超过6000元的预算？请通过计算说明； （2）请求出学校最多可购买多少件立体拼图． 3．乡村全面振兴有序推进．某村开展了主题为“善读书•兴业富民”的读书活动，用书香涵养乡村新貌．为配合活动的开展，村委会决定增加村图书馆的藏书数量，准备购进一批农业类书籍和科技类书籍，其中购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元． （1）求农业类书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ （2）若准备用9200元购买农业类书籍和科技类书籍共200本，问至多购买农业类书籍多少本？ 4．下面是一道残缺的试题及其部分解析． 排球是2026年河南体育中考的一个选考项目．某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500元，已知A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价____？30元，求A、B两种品牌排球的单价． 解：设A种品牌排球的单价为x元， 则列出一元一次方程：25x+50（x﹣30）＝4500… （1）横线处的内容为　 　 ；（填“高”或“低”） （2）本题也可用二元一次方程组来求解，设A，B两种品牌排球的单价分别为m，n元，请你据此列出方程组并求A，B两种品牌排球的单价； （3）根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，若排球的单价保持不变，学校共有哪几种购买方案？ 5．为了庆祝中共二十大胜利召开，雅礼某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分． （1）若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该参赛同学一共答对了多少道题？ （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“二十大知识小达人”？ 类型二：方程组＋一元一次不等式组的应用（方案设计） 例题：6．随着“绿色重庆，低碳出行”理念的推广，新能源汽车在重庆越来越受到市民的喜爱，某新能源汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，2辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计84万元；3辆A型新能源汽车和2辆B型新能源汽车的进价共计96万元． （1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价各是多少万元？ （2）该销售公司计划购进这两种型号的新能源汽车共20辆，用于在重庆主城各区开展推广活动．公司投入的购车资金不超过340万元．假设每辆A型汽车的售价为32万元，每辆B型汽车的售价为15万元．若要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元，该经销商共有哪几种购车方案？ 配套练习： 7．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元，购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进50个这两种型号的头盔，总费用不超过2550元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 8．“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购《西游记》和《骆驼祥子》两本书．经了解20本《西游记》和40本《骆驼祥子》共需1600元，20本《西游记》比20本《骆驼祥子》多400元． （1）求每本《西游记》和每本《骆驼祥子》各多少元？ （2）若学校要求购买《骆驼祥子》比《西游记》多20本，而且《西游记》不低于25本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 9．某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 类型三：微项目式学习（方案设计、选择） 例题：10．根据以下素材，探索完成任务． 【材料准备】 素材1 端午将至，某中学手工社团制作国风纸质礼盒开展公益义卖，助力非遗文化推广．同学们以每张12元的价格买了100张长方形硬质卡纸，每张卡纸长100cm，宽80cm． 素材2 1．制作盒身 现将部分卡纸按图①虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个长方形拼制成无盖长方体盒身，盒身底面长60cm，宽40cm． 2．制作盒盖 其余每块卡纸按图②虚线裁剪出2个盒盖（阴影是余料）． 素材3 配套与售价：1个盒身+1个盒盖＝1套礼盒，售价28元一套；多余未配套的盒身可做成简易收纳盒，售价10元一个． 【问题解决】 任务（1） 计算盒子高度 求出盒身的高度． 任务（2） 设计分配方案 若简易收纳盒数量少于10个，卡纸该如何分配？请给出分配方案． 任务（3） 优化分配方案 在方案1的基础上，为了提高利润，同学们打算把图②裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张长方形余料可以制成一个书签，并以3元/个的价格销售．请确定卡纸分配方案，使销售后获得最大利润． 配套练习： 11． 在生活中寻找数学 某集团学校组织七、八两个年级学生参加课外研学活动，由学生处通过调研获取信息供集团学校参考制定出行方案，以下为活动前的调查情况． 信息1 汽车出租公司有60座汽车14辆，45座客车22辆可供租用 45座 60座 载客量/（人/车） 45 60 租金（元/车） 500 600 信息2 七年级若每位教师带40名同学，则余下10名同学没有教师带；若每位教师带41位同学，则恰好可以带完． 信息3 八年级师生若租用45座的客车m辆，那么还会有30人无座位；若租用60座的客车可少租2辆，其他车正好坐满． 任务1 （1）参加此次活动的七年级师生共有多少人？ 任务2 （2）参加此次活动的八年级师生共有　 　 人； 任务3 （3）学校计划此次研学活动由两个年级师生共同租用两种型号的客车，要求每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过9600元，你能得出哪几种不同的租车方案？ 12．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共3500元． 素材2 已知加工A，B两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种仙桃礼盒共1000盒，且A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54020元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求A，B两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 一元一次不等式（组）的应用参考答案与试题解析 1．人工智能的发展为我们的生活增添了许多便利．某快递中转站为提升分拣效率，引进了A、B两种型号的自动分拣机器人．同时使用一台A型机器人和一台B型机器人每小时可以分拣共2000个快递；同时使用一台A型机器人和两台B型机器人每小时可以分拣共2800个快递． （1）求一台A型和一台B型机器人每小时可以分拣多少个快递？ （2）为扩大规模，若另一快递中转站准备同时购买相同型号的A、B两种机器人共5个，该中转站送来一批快递，要求4个小时分拣快递数量不少于20000个，至少需要购买多少个A型机器人？ 【分析】（1）设一台A型机器人每小时可以分拣x个快递，一台B型机器人每小时可以分拣y个快递，根据“同时使用一台A型机器人和一台B型机器人每小时可以分拣共2000个快递；同时使用一台A型机器人和两台B型机器人每小时可以分拣共2800个快递”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需要购买m个A型机器人，则购买（5﹣m）个B型机器人，利用工作总量＝工作总量×工作时间，结合要求4个小时分拣快递数量不少于20000个，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设一台A型机器人每小时可以分拣x个快递，一台B型机器人每小时可以分拣y个快递， 根据题意得：， 解得：． 答：一台A型机器人每小时可以分拣1200个快递，一台B型机器人每小时可以分拣800个快递； （2）设需要购买m个A型机器人，则购买（5﹣m）个B型机器人， 根据题意得：4[1200m+800（5﹣m）]≥20000， 解得：m， 又∵m为正整数， ∴m的最小值为3． 答：至少需要购买3个A型机器人． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 2．晋剧的文化魅力不仅体现在剧情上，演员的服饰也备受大家喜爱．近期，以晋剧戏盔“状元帽”为原型的文创产品发热桌垫、立体拼图十分畅销．学校计划用不超过6000元的经费购买这两种文创产品共80件作为奖品，奖励在“晋剧进校园”活动中表现优秀的同学．已知两种文创产品的价格如图所示． （1）若学校计划购买30件立体拼图，请问总费用是否会超过6000元的预算？请通过计算说明； （2）请求出学校最多可购买多少件立体拼图． 【分析】（1）根据购买立体拼图的件数，求出对应的发热桌垫的件数，再根据“总价＝单价×数量”计算总费用，与预算比较即可； （2）设购买x件立体拼图，则购买（80﹣x）件发热桌垫，根据总费用不超过6000元列出一元一次不等式，求解并结合实际意义确定x的最大值． 【解答】解：（1）不会超过，理由： 学校计划购买30件立体拼图，则购买发热桌垫80﹣30＝50件， 总费用为30×88+50×38＝4540（元）＜6000（元）， 答：总费用不会超过6000元的预算； （2）设购买x件立体拼图，则购买80﹣x件发热桌垫， 由题意可得，88x+38（80﹣x）≤6000， 解得：x≤59.2， 答：学校最多可购买59件立体拼图． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 3．乡村全面振兴有序推进．某村开展了主题为“善读书•兴业富民”的读书活动，用书香涵养乡村新貌．为配合活动的开展，村委会决定增加村图书馆的藏书数量，准备购进一批农业类书籍和科技类书籍，其中购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元． （1）求农业类书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ （2）若准备用9200元购买农业类书籍和科技类书籍共200本，问至多购买农业类书籍多少本？ 【分析】（1）设农业类书籍单价为x元，科技类书籍单价为y元，根据：购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元，即可得出方程组，解方程组即可； （2）设购买农业类书籍m本，则购买科技类书籍（200﹣m）本，再根据题意列不等式求解即可． 【解答】解：（1）设农业类书籍单价为x元，科技类书籍单价为y元， ∴， 解得， 答：农业类书籍单价为50元，科技类书籍单价为40元； （2）设购买农业类书籍m本， 根据题意得：50m+40（200﹣m）≤9200， 10m+8000≤9200； 解得：m≤120， 答：至多购买农业类书籍120本． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意、列出方程组和一元一次不等式是解决本题的关键． 4．下面是一道残缺的试题及其部分解析． 排球是2026年河南体育中考的一个选考项目．某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500元，已知A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价____？30元，求A、B两种品牌排球的单价． 解：设A种品牌排球的单价为x元， 则列出一元一次方程：25x+50（x﹣30）＝4500… （1）横线处的内容为　高　 ；（填“高”或“低”） （2）本题也可用二元一次方程组来求解，设A，B两种品牌排球的单价分别为m，n元，请你据此列出方程组并求A，B两种品牌排球的单价； （3）根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，若排球的单价保持不变，学校共有哪几种购买方案？ 【分析】（1）根据所列的方程求解； （2）根据学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500元，A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设购买A种品牌的排球a个，则购买B种品牌的排球（50﹣a）个，根据总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，列出一元一次不等式组，解之求出正整数解，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据所列方程得：x﹣30是B排球的单价， ∴A种品牌排球的单价比B种品牌排球的高30元， 故答案为：高； （2）根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌排球的单价为80元，B种品牌排球的单价为50元； （3）设购买A种品牌的排球a个，则购买B种品牌的排球（50﹣a）个， 依题意得：， 解得：23≤a≤25， 又∵a为正整数， ∴a＝23或24或25， ∴共有3种购买方案： ①购买A种品牌的排球23个，B种品牌的排球27个； ②购买A种品牌的排球24个，B种品牌的排球26个； ③购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球25个． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确理解一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准数量关系关系，正确列出一元一次不等式组． 5．为了庆祝中共二十大胜利召开，雅礼某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分． （1）若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该参赛同学一共答对了多少道题？ （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“二十大知识小达人”？ 【分析】（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣2﹣x）道题，根据该同学的总得分为82分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设参赛者需答对y道题才能被评为“二十大知识小达人”，则答错了（25﹣y）道题，根据参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评为“二十大知识小达人”，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【解答】解：（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣2﹣x）道题， 依题意得：4x﹣（25﹣2﹣x）＝82， 解得：x＝21． 答：该参赛同学一共答对了21道题． （2）设参赛者需答对y道题才能被评为“二十大知识小达人”，则答错了（25﹣y）道题， 依题意得：4y﹣（25﹣y）≥92， 解得：y， 又∵y为正整数， ∴y的最小值为24． 答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“二十大知识小达人”． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 6．随着“绿色重庆，低碳出行”理念的推广，新能源汽车在重庆越来越受到市民的喜爱，某新能源汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，2辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计84万元；3辆A型新能源汽车和2辆B型新能源汽车的进价共计96万元． （1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价各是多少万元？ （2）该销售公司计划购进这两种型号的新能源汽车共20辆，用于在重庆主城各区开展推广活动．公司投入的购车资金不超过340万元．假设每辆A型汽车的售价为32万元，每辆B型汽车的售价为15万元．若要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元，该经销商共有哪几种购车方案？ 【分析】（1）设每辆A型新能源汽车的进价是x万元，每辆B型新能源汽车的进价是y万元，根据“2辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计84万元；3辆A型新能源汽车和2辆B型新能源汽车的进价共计96万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型新能源汽车，则购进（20﹣m）辆B型新能源汽车，根据“公司投入的购车资金不超过340万元，且销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购车方案． 【解答】解：（1）设每辆A型新能源汽车的进价是x万元，每辆B型新能源汽车的进价是y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型新能源汽车的进价是24万元，每辆B型新能源汽车的进价是12万元； （2）设购进m辆A型新能源汽车，则购进（20﹣m）辆B型新能源汽车， 根据题意得：， 解得：6≤m， 又∵m为正整数， ∴m可以为6，7，8， ∴该经销商共有3种购车方案， 方案1：购进6辆A型新能源汽车，14辆B型新能源汽车； 方案2：购进7辆A型新能源汽车，13辆B型新能源汽车； 方案3：购进8辆A型新能源汽车，12辆B型新能源汽车． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 7．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元，购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进50个这两种型号的头盔，总费用不超过2550元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元，根据“购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元，购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进乙型头盔m个，则购进甲型头盔（50﹣m）个，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合进货总价不超过2550元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）利用总利润＝每个的销售利润×销售数量（购进数量），结合总利润不少于1540元，可列出关于m的一元一次不等式，结合（2）中m的取值范围及m为正整数，即可得出各采购方案． 【解答】解：（1）设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进1个甲型头盔需要30元，1个乙型头盔需要65元； （2）设购进乙型头盔m个，则购进甲型头盔（50﹣m）个， 根据题意得：30（50﹣m）+65m≤2550， 解得：m≤30， ∴m的最大值为30． 答：最多可购进乙型头盔30个； （3）根据题意得：（98﹣65）m+（58﹣30）（50﹣m）≥1540， 解得：m≥28， 又∵m≤30，且m为正整数， ∴m可取28，29，30， ∴能实现利润不少于1540元的目标，该商场共有3种采购方案： 方案1：购进甲型头盔22个，乙型头盔28个； 方案2：购进甲型头盔21个，乙型头盔29个； 方案3：购进甲型头盔20个，乙型头盔30个． 【点评】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 8．“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购《西游记》和《骆驼祥子》两本书．经了解20本《西游记》和40本《骆驼祥子》共需1600元，20本《西游记》比20本《骆驼祥子》多400元． （1）求每本《西游记》和每本《骆驼祥子》各多少元？ （2）若学校要求购买《骆驼祥子》比《西游记》多20本，而且《西游记》不低于25本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【分析】（1）设每本《西游记》x元，每本《骆驼祥子》y元，根据“20本《西游记》和40本《骆驼祥子》共需1600元，20本《西游记》比20本《骆驼祥子》多400元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校购买m本《西游记》，则购买（m+20）本《骆驼祥子》，根据“购买《西游记》不低于25本，总费用不超过2000元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案． 【解答】解：（1）设每本《西游记》x元，每本《骆驼祥子》y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每本《西游记》40元，每本《骆驼祥子》20元； （2）设学校购买m本《西游记》，则购买（m+20）本《骆驼祥子》， 根据题意得：， 解得：25≤m， 又∵m为正整数， ∴m可以为25，26， ∴该学校共有2种购买方案， 方案1：购买25本《西游记》，45本《骆驼祥子》； 方案2：购买26本《西游记》，46本《骆驼祥子》． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 9．某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 【分析】（1）设甲款服装x件，则乙款服装（300﹣x）件，然后根据题意可得方程700x+800（300﹣x）＝230000，进而求解即可； （2）设甲款服装m件，则乙款服装（500﹣m）件，由题意可列出不等式组，进而求解即可． 【解答】解：（1）设甲款服装x件，则乙款服装（300﹣x）件， 由题意列一元一次方程得：700x+800（300﹣x）＝230000， 整理得，100x＝10000， 解得x＝100， ∴300﹣x＝300﹣100＝200； 答：可以生产甲款服装100件，乙款服装200件； （2）设甲款服装m件， 根据题意列一元一次不等式组得： ， 解得， ∵m是正整数， ∴m的取值为334或335； 答：共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 10．根据以下素材，探索完成任务． 【材料准备】 素材1 端午将至，某中学手工社团制作国风纸质礼盒开展公益义卖，助力非遗文化推广．同学们以每张12元的价格买了100张长方形硬质卡纸，每张卡纸长100cm，宽80cm． 素材2 1．制作盒身 现将部分卡纸按图①虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个长方形拼制成无盖长方体盒身，盒身底面长60cm，宽40cm． 2．制作盒盖 其余每块卡纸按图②虚线裁剪出2个盒盖（阴影是余料）． 素材3 配套与售价：1个盒身+1个盒盖＝1套礼盒，售价28元一套；多余未配套的盒身可做成简易收纳盒，售价10元一个． 【问题解决】 任务（1） 计算盒子高度 求出盒身的高度． 任务（2） 设计分配方案 若简易收纳盒数量少于10个，卡纸该如何分配？请给出分配方案． 任务（3） 优化分配方案 在方案1的基础上，为了提高利润，同学们打算把图②裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张长方形余料可以制成一个书签，并以3元/个的价格销售．请确定卡纸分配方案，使销售后获得最大利润． 【分析】（任务1）设盒身的高度为xcm，根据制成的无盖长方体盒身的底面长60cm，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （任务2）设将y张卡纸按图①虚线裁剪，则将（100﹣y）张卡纸按图②虚线裁剪，根据简易收纳盒数量少于10个，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各分配方案； （任务3）求出选择各方案销售后获得的利润，比较后，即可得出结论． 【解答】解：（任务1）设盒身的高度为xcm， 根据题意得：100﹣2x＝60， 解得：x＝20． 答：盒身的高度为20cm； （任务2）设将y张卡纸按图①虚线裁剪，则将（100﹣y）张卡纸按图②虚线裁剪， 根据题意得：， 解得：y＜70， 又∵y为正整数， ∴y可以为67，68，69， ∴共有3种分配方案， 方案1：将67张卡纸按图①虚线裁剪，33张卡纸按图②虚线裁剪； 方案2：将68张卡纸按图①虚线裁剪，32张卡纸按图②虚线裁剪； 方案3：将69张卡纸按图①虚线裁剪，31张卡纸按图②虚线裁剪； （任务3）选择方案1销售后获得的利润为28×33×2+10×（67﹣33×2）+3×33﹣12×100＝757（元）； 选择方案2销售后获得的利润为28×32×2+10×（68﹣32×2）+3×32﹣12×100＝728（元）； 选择方案3销售后获得的利润为28×31×2+10×（69﹣31×2）+3×31﹣12×100＝699（元）， ∵757＞728＞699， ∴将67张卡纸按图①虚线裁剪，33张卡纸按图②虚线裁剪时，销售后获得的利润最大． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（任务1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（任务2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（任务3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案销售后获得的利润． 11． 在生活中寻找数学 某集团学校组织七、八两个年级学生参加课外研学活动，由学生处通过调研获取信息供集团学校参考制定出行方案，以下为活动前的调查情况． 信息1 汽车出租公司有60座汽车14辆，45座客车22辆可供租用 45座 60座 载客量/（人/车） 45 60 租金（元/车） 500 600 信息2 七年级若每位教师带40名同学，则余下10名同学没有教师带；若每位教师带41位同学，则恰好可以带完． 信息3 八年级师生若租用45座的客车m辆，那么还会有30人无座位；若租用60座的客车可少租2辆，其他车正好坐满． 任务1 （1）参加此次活动的七年级师生共有多少人？ 任务2 （2）参加此次活动的八年级师生共有　480　 人； 任务3 （3）学校计划此次研学活动由两个年级师生共同租用两种型号的客车，要求每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过9600元，你能得出哪几种不同的租车方案？ 【分析】（1）根据七年级师生的两种分配情况设未知数，列一元一次方程求解得到总人数； （2）根据八年级租车的两种情况列方程求解得到总人数； （3）先计算两个年级总人数，设两种客车的租用数量，根据恰好坐满得到等量关系，再结合车辆数量限制和总费用限制，求解得到所有符合条件的整数租车方案． 【解答】解：（1）设七年级共有x名教师， 根据题意列一元一次方程得，40x+10＝41x， 解得x＝10， 故七年级学生总人数为41×10＝410人，七年级师生总人数为10+410＝420人， 答：参加此次活动的七年级师生共有420人． （2）根据题意列一元一次方程得，45m+30＝60（m﹣2）， 整理得，15m＝150， 解得m＝10， 八年级师生总人数为45×10+30＝480人． 故答案为：480； （3）两个年级师生总人数为420+480＝900人， 设租用60座客车a辆，45座客车b辆， 根据题意列二元一次方程得，60a+45b＝900， 整理得， 总费用满足600a+500b≤9600， 将代入不等式得：， 解得a≥6， 由题意得，60座客车最多14辆，因此a≤14，且a，b均为非负整数， 因此a必须是3的倍数，同时恒成立， 符合条件的a取值为6，9，12， 当a＝6时，b＝12，符合条件， 当a＝9时，b＝8，符合条件， 当a＝12时，b＝4，符合条件， 答：共有三种不同的租车方案，分别为租用60座客车6辆、45座客车12辆；租用60座客车9辆、45座客车8辆；租用60座客车12辆、45座客车4辆． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 12．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共3500元． 素材2 已知加工A，B两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种仙桃礼盒共1000盒，且A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54020元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求A，B两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【分析】（任务1）设A种仙桃盒每件的售价为a元，则B种仙桃礼盒每件的售价为b元，根据“每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共3500元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务2）设销售A种仙桃礼盒m盒，则销售B种仙桃礼盒（1000﹣m）盒，根据“A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54020元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各销售方案； （任务3）求出选择各销售方案可获得的收益，比较后，即可得出结论． 【解答】解：（任务1）设A种仙桃盒每件的售价为a元，则B种仙桃礼盒每件的售价为b元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种仙桃礼盒每件的售价为80元，B种仙桃礼盒每件的售价为100元； （任务2）设销售A种仙桃礼盒m盒，则销售B种仙桃礼盒（1000﹣m）盒， 根据题意得：， 解得：598≤m≤600， 又∵m为正整数， ∴m可以为598，599，600， ∴共有3种销售方案， 方案1：销售A种仙桃礼盒598件，B种仙桃礼盒402件； 方案2：销售A种仙桃礼盒599件，B种仙桃礼盒401件； 方案3：销售A种仙桃礼盒600件，B种仙桃礼盒400件； （任务3）选择方案1可获得的收益为（80﹣50）×598+（100﹣60）×402＝34020（元）； 选择方案1可获得的收益为（80﹣50）×599+（100﹣60）×401＝34010（元）； 选择方案1可获得的收益为（80﹣50）×600+（100﹣60）×400＝34000（元）， ∵34020＞34010＞34000， ∴销售A种仙桃礼盒598件，B种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为34020元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（任务1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（任务2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（任务3）根据各数量之间的关系，求出选择各销售方案可获得的收益． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/1 10:23:46；用户：但雪莲；邮箱：dgdh242@xyh.com；学号：31013524 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $