精品解析：吉林长春市德惠市2025-2026学年下学期九年级阶段性练习(二) 数学

九年级阶段性练习（二）数学 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走40m，那么表示（ ） A. 向东走 B. 向西走 C. 向东走 D. 向西走 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 满足不等式组的解是（　　） A. B. C. 1 D. 3 5. 如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为米，则气球顶部离地面的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 已知函数（为常数）是正比例函数，且点，是该函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 光敏电阻的阻值随着光照强度的改变而改变，光敏电阻R的阻值（单位：）与光照强度（单位：，光越强，光照强度越大）之间的关系如图所示．已知当光照强度为时，光敏电阻的阻值为5Ω．若要使光敏电阻的阻值增大到10Ω，则下列关于光照强度的说法正确的是（ ） A. 增大至12.5 B. 减小至12.5 C. 增大至2 D. 减小至2 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 函数中，自变量的取值范围是______． 10. 把多项式因式分解的结果是_________． 11. 已知一条弧所对的圆心角是，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为_________． 12. 将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则的度数为______． 13. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置．若，则_______°． 14. 如图，菱形的对角线与相交于点，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交于点，与相交于点，若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 先化简再求值：，其中． 16. 在某校七年级（1）班组织的“六·一儿童节”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． （1）求小丽获胜的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？若不公平，如何使这个游戏变得公平？请说明理由． 17. 图①，图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点和点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找一格点，连接，使； （2）在图②中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形对角互补； （3）在图③中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形被对角线分得的两个三角形均是等腰三角形． 18. 甲、乙两人分别从距目的地和的两地同时出发，甲、乙的平均速度比是，结果甲比乙提前到达同一目的地．求甲的平均速度． 19. 如图，是正方形的对角线上一点，且，过点且与垂直的直线交于点，连接，求证：． 20. 根据《学校食品安全与营养健康管理规定》，进一步加强和规范中小学食堂供餐管理，保障学生在校集中用餐的食品安全与营养健康，助力守护校园“舌尖上的安全”．某学校为了解学生对学校餐厅的满意程度．随机抽取了名学生进行满意程度评价．根据这名学生的评价结果（百分制），绘制如下不完整的统计图表： 评价等级分数段 评价等级 分数（x分） 非常满意（A） 满意（B） 一般（C） 不满意（D） 非常不满意（E） C等级统计表 得分 70 72 75 76 78 频数 1 3 5 3 分析C等级统计表的数据，得到下表： 平均分 众数 中位数 75 c 请你根据图表中的信息完成下列问题： （1）表中的_____，_____，_____； （2）补全频数分布直方图； （3）请估计该校名学生中对学校餐厅的评价不低于分的人数． 21. 新能源车已经普及到千家万户，充电站也应运而生．某充电站施行峰谷电价收费制度（高峰时段：，低谷时段：—次日），已知峰时充电单价是谷时充电单价的2倍，且充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间成一次函数关系，下图为一辆新能源汽车从充电开始直至充电结束的收费情况． （1）当这辆汽车充电结束时，总费用是_____元． （2）当时，求充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间的函数表达式． （3）若充电站每小时能充千瓦时的电，直接写出这辆汽车充电结束的时间． 22. 阅读与思考 下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． “三点共线模型”及其应用 背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短．根据这个事实，我们证明了：三角形两边的和大于第三边．根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边． 知识拓展：如图，在同一平面内，已知点和为定点，点为动点，且为定长（令），可得线段的长度为定值．我们探究和两条定长线段，的数量关系及其最大值和最小值：当动点不在直线上时，如图，由背景知识，可得结论，． 当动点在直线上时，出现图和图两种情况．在图中，线段取最小值为；在图中，线段取最大值为． 模型建立：在同一平面内，点和为定点，点为动点，且，为定长（），则有结论≥，．当且仅当点运动至，，三点共线时等成立． 我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题． 任务： （1）上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有 　　；（填选项） A．方程思想 B．统计思想 C．分类讨论 D．函数思想 （2）已知线段，点为任意一点，那么线段和的长度的和的最小是　　； （3）已知的直径为，点为上一点，点为平面内任意一点，且，则的最大值是　　； （4）如图4，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变．其中，．运动过程中，求点到点的最大距离． 23. 如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点从点出发，沿对角线向点以每秒的速度移动；同时点从点出发，沿线段向点以每秒的速度移动．、两点有一点到达终点时全部停止移动．连接，设点移动时间为秒，回答下列问题： （1）当时，求的值； （2）点到的距离是_____．（用含的代数式表示）； （3）当为何值时，以、、、为顶点的四边形的面积等于？ （4）以点为圆心，长为半径作．在运动过程中，是否存在与矩形的对角线有三个公共点，若存在，请直接写出的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点A在抛物线上，且点A的横坐标为，点B的坐标为． （1）求该抛物线对应的函数解析式及顶点坐标； （2）过点A作轴于点，以、为邻边作． ①当时，求的面积； ②当的面积被轴平分时，求的值； ③若，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性练习（二）数学 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走40m，那么表示（ ） A. 向东走 B. 向西走 C. 向东走 D. 向西走 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相反意义的量，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意及相反意义的量可进行求解． 【详解】解：表示向西走； 故选D． 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，负整数指数幂的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D 4. 满足不等式组的解是（　　） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，然后逐项分析即可． 本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法． 【详解】原不等式组为：， 联立两个不等式，解集为 ． A. ：不满足 ，排除． B. ：不满足 ，排除． C. 1：满足 ，符合条件． D. 3：不满足 ，排除． 故选： C． 5. 如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为米，则气球顶部离地面的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】先解直角三角形得，后根据解答即可． 本题考查了矩形的判定和性质，仰角的计算，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得到四边形是矩形， 故， 由 得， 故, 故选：C． 6. 已知函数（为常数）是正比例函数，且点，是该函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义、性质以及利用函数解析式求函数上点的坐标，解题关键是熟练掌握正比例函数定义和性质． 根据正比例函数定义求解得到，计算，确定函数表达式为，将，代入，分别求出， ，比较得出 ． 【详解】函数是正比例函数， ，， 解得， ， 正比例函数的表达式为， 将，分别代入，得 ，， ． 故选：C． 7. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出的长度，再根据圆的半径相等得到的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴； ∵于点，， ∴是直角三角形，， 由勾股定理得：； ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 8. 光敏电阻的阻值随着光照强度的改变而改变，光敏电阻R的阻值（单位：）与光照强度（单位：，光越强，光照强度越大）之间的关系如图所示．已知当光照强度为时，光敏电阻的阻值为5Ω．若要使光敏电阻的阻值增大到10Ω，则下列关于光照强度的说法正确的是（ ） A. 增大至12.5 B. 减小至12.5 C. 增大至2 D. 减小至2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．根据图象和已知条件确定光敏电阻R的阻值与光照强度成反比例关系，进而利用反比例函数的关系解答即可． 【详解】解：∵由图知，光敏电阻R的阻值与光照强度成反比例关系， 设这个函数关系式为， ∵当光照强度为时，光敏电阻的阻值为5Ω， ∴， ∴这个函数关系式为， 当时，， ∴光照强度减小至2， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得； 解得， ∴函数中，自变量的取值范围是． 故答案为：． 10. 把多项式因式分解的结果是_________． 【答案】 【解析】 【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式=， 故答案为：. 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11. 已知一条弧所对的圆心角是，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求弧长，根据弧长的计算公式，得到弧长与这条弧所在圆的周长之比为弧所对的圆心角的度数与周角的比，进行计算即可． 【详解】解：由题意，可知：这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为； 故答案为：． 12. 将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解答本题的关键． 根据正多边形的内角和定理求得正五边形和正六边形的内角，再作差即可解答． 【详解】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置．若，则_______°． 【答案】40 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形两底角相等列式求出，然后求出，从而得解．本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记各性质并求出是解题的关键． 【详解】解：， ， 绕点逆时针旋转到， ，， ， ， ， ． 故答案为：40． 14. 如图，菱形的对角线与相交于点，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交于点，与相交于点，若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角函数的运算、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．利用菱形的性质得到菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边都相等，即可得到，通过三角形全等的判定条件得到，即可求得，再利用三角函数的运算，可得出，根据，可求得，即可求解． 【详解】解：菱形， ， 故①正确； 菱形， ，， ，菱形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故②错误； ，， ， 菱形， ，， ， 在和中， ， ， ，， 设，由②知， ，， ，， ， 由②， ， ， ， 菱形，， ， ，， ， ， ， ， 故③正确； 在和中， ， 由菱形的性质可知， ， ； 故④正确； 综上：①③④正确． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，二次根式的乘法．根据完全平方公式进行计算，然后合并同类项即可化简，然后将字母的值代入即可求解． 【详解】解： ． 当时，原式． 16. 在某校七年级（1）班组织的“六·一儿童节”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． （1）求小丽获胜的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？若不公平，如何使这个游戏变得公平？请说明理由． 【答案】（1）小丽获胜的概率是 （2）不公平．将其中一个奇数改为偶数就公平了，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）比较两人获胜概率可知不公平，将其中一个奇数改为偶数即可． 【小问1详解】 解：P（偶数）， 即小丽获胜的概率是； 【小问2详解】 解：∵若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去， ∴小芳获胜的概率是， 可知这个游戏不公平； 措施：将其中一个奇数改为偶数就公平了． 理由：此时P（偶数）， ∵若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去， ∴小芳获胜的概率是， 可知此时这个游戏公平． 17. 图①，图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点和点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找一格点，连接，使； （2）在图②中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形对角互补； （3）在图③中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形被对角线分得的两个三角形均是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了无刻度的直尺作图，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，网格与勾股定理等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题关键． （1）如图，取格点，连接，根据等腰三角形的性质结合网格线的特征即可得到； （）根据网格特征得出，从而求解； （）根据网格特征得出，，从而可判断，是等腰三角形． 【小问1详解】 解：如图，点为所求， 【小问2详解】 解：如图， 根据网格可知，， ∴， ∴四边形即为所求； 【小问3详解】 解：如图， 根据网格可知，，， ∴，是等腰三角形， ∴四边形即为所求． 18. 甲、乙两人分别从距目的地和的两地同时出发，甲、乙的平均速度比是，结果甲比乙提前到达同一目的地．求甲的平均速度． 【答案】 【解析】 【分析】设甲的平均速度为，则乙的平均速度为，根据时间关系建立分式方程求解即可. 【详解】解：设甲的平均速度为，则乙的平均速度为． 由题意得：， 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意 ， 答：甲的平均速度为． 19. 如图，是正方形的对角线上一点，且，过点且与垂直的直线交于点，连接，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据正方形的性质可知，可得出是等腰直角三角形，再利用可得出，即可求证． 【详解】证明：在正方形中，，， ． ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 20. 根据《学校食品安全与营养健康管理规定》，进一步加强和规范中小学食堂供餐管理，保障学生在校集中用餐的食品安全与营养健康，助力守护校园“舌尖上的安全”．某学校为了解学生对学校餐厅的满意程度．随机抽取了名学生进行满意程度评价．根据这名学生的评价结果（百分制），绘制如下不完整的统计图表： 评价等级分数段 评价等级 分数（x分） 非常满意（A） 满意（B） 一般（C） 不满意（D） 非常不满意（E） C等级统计表 得分 70 72 75 76 78 频数 1 3 5 3 分析C等级统计表的数据，得到下表： 平均分 众数 中位数 75 c 请你根据图表中的信息完成下列问题： （1）表中的_____，_____，_____； （2）补全频数分布直方图； （3）请估计该校名学生中对学校餐厅的评价不低于分的人数． 【答案】（1）3，76，76 （2）补全频数分布直方图如图，； （3）估计该校名学生中对学校餐厅的评价不低于分的人数为人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的定义结合题目中的图表求解即可； （2）分别算出B、C的频数，然后补全即可； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：∵等级C的平均数为， ∴ ， 解得， ∴等级为C的人数为（人），其中得分为分的人数最多， ∴众数，中位数为按从小到大（或从大到小）排列第名学生的成绩为分 ， 则中位数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由（1）得等级为C的人数为人， ∴等级为的人数为（人）， 图略； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校名学生中对学校餐厅的评价不低于分的人数为人． 21. 新能源车已经普及到千家万户，充电站也应运而生．某充电站施行峰谷电价收费制度（高峰时段：，低谷时段：—次日），已知峰时充电单价是谷时充电单价的2倍，且充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间成一次函数关系，下图为一辆新能源汽车从充电开始直至充电结束的收费情况． （1）当这辆汽车充电结束时，总费用是_____元． （2）当时，求充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间的函数表达式． （3）若充电站每小时能充千瓦时的电，直接写出这辆汽车充电结束的时间． 【答案】（1）9 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出谷时候的充电单价，再求出低谷用电费用，加上6即可求解； （2）令y等于高峰充电费用6加上低谷充电费用即可求解； （3）求出低谷充电的时间即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知，充电到5千瓦时开始低谷时段的充电模式， 由于峰时充电单价是谷时充电单价的2倍， ∴谷时充电单价为（元）， ∴低谷用电费用为 （元）， ∵（元）， ∴这辆汽车充电结束时，总费用是9元； 【小问2详解】 由小问1可知，低谷时候的充电单价为（元）， 当时， ， 【小问3详解】 由图象可知，低谷时充电（千瓦时）， 若充电站每小时能充千瓦时的电， 则低谷时充电（小时）（分钟）， ∵低谷时段：—次日， ∴这辆汽车充电结束的时间是． 22. 阅读与思考 下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． “三点共线模型”及其应用 背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短．根据这个事实，我们证明了：三角形两边的和大于第三边．根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边． 知识拓展：如图，在同一平面内，已知点和为定点，点为动点，且为定长（令），可得线段的长度为定值．我们探究和两条定长线段，的数量关系及其最大值和最小值：当动点不在直线上时，如图，由背景知识，可得结论，． 当动点在直线上时，出现图和图两种情况．在图中，线段取最小值为；在图中，线段取最大值为． 模型建立：在同一平面内，点和为定点，点为动点，且，为定长（），则有结论≥，．当且仅当点运动至，，三点共线时等成立． 我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题． 任务： （1）上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有 　　；（填选项） A．方程思想 B．统计思想 C．分类讨论 D．函数思想 （2）已知线段，点为任意一点，那么线段和的长度的和的最小是　　； （3）已知的直径为，点为上一点，点为平面内任意一点，且，则的最大值是　　； （4）如图4，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变．其中，．运动过程中，求点到点的最大距离． 【答案】（1）C （2）10 （3）2 （4） 【解析】 【分析】（1）根据上面小论文中的分析过程，体现了分类讨论思想； （2）根据两点之间线段最短可得出答案； （3）由点和圆的位置关系可知点在圆上，由直径的定义可得出答案； （4）取的中点，连接、、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得过点时最大． 【小问1详解】 解：上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有分类讨论思想， 故答案为：C； 【小问2详解】 解：如图所示：线段与的和最小是． 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵的直径为，， ∴点在圆上， ∵点为上一点， ∴直径时，有最大值，即， 故答案为：2； 【小问4详解】 解：如图，取的中点，连接、、， ∵，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系，， ∴当过点时，等号成立，的值最大，最大值为． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，点和圆的位置关系，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点从点出发，沿对角线向点以每秒的速度移动；同时点从点出发，沿线段向点以每秒的速度移动．、两点有一点到达终点时全部停止移动．连接，设点移动时间为秒，回答下列问题： （1）当时，求的值； （2）点到的距离是_____．（用含的代数式表示）； （3）当为何值时，以、、、为顶点的四边形的面积等于？ （4）以点为圆心，长为半径作．在运动过程中，是否存在与矩形的对角线有三个公共点，若存在，请直接写出的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）或； （4）存在，或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆与直线的位置关系以及动点和面积问题． （1）利用勾股定理求,再利用相似三角形的判定建立比例关系； （2）通过作，得到，再利用三角形相似的性质，求得； （3）根据矩形的性质以及三角形的面积比关系得到关于的一元二次方程和一元一次方程进行求解； （4）分析与矩形对角线的位置关系，再利用相似三角形建立比例关系，求得的取值范围． 【小问1详解】 ， ， ，，， ， 解得：； 【小问2详解】 如图：过点作于点，则， ， ， 即， ； 【小问3详解】 当点在线段上时，如图，连接， ， 根据矩形的性质可得：， ， ， ，则 解得：（舍去），， 还当点在线段上时，如图： 作，，四边形的面积 ， 解得：， 综上所述，以、、、为顶点的四边形的面积等于时，或； 【小问4详解】 存在，理由如下： 如图，作，为垂足， 当时，与相切，与矩形的对角线有三个公共点； 当时，与矩形的对角线有四个公共点； 当时，与矩形的对角线有三个公共点； 当时，经过点，与矩形的对角线有二个公共点； 当时，与矩形的对角线有三个公共点； 故存在与矩形的对角线有三个公共点， ，， ， ，即， 解得：， 如图：作，为垂足， 同理可得，， 点的运动速度为每秒， 当时，与相切，与矩形的对角线有三个公共点； 当时，与矩形的对角线有三个公共点； 当时，与矩形的对角线有三个公共点； 或或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点A在抛物线上，且点A的横坐标为，点B的坐标为． （1）求该抛物线对应的函数解析式及顶点坐标； （2）过点A作轴于点，以、为邻边作． ①当时，求的面积； ②当的面积被轴平分时，求的值； ③若，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）①6；②；③或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可，将求得的解析式化成顶点式，即可得顶点坐标； （2）①当时，先求出A、B、C三点的坐标，再求，由即可求得的面积； ②由的面积被轴平分可得A点与B点位于x轴两侧，且距x轴的距离相等． 即A点与B点的纵坐标互为相反数，由此可得，求出m的值即可； ③点B的坐标为，则，解得：，因此B在直线上运动.再分情况讨论，当时，当时，当时，当时，当时，当时,当时，分别作出图像即可得解． 【小问1详解】 将点代入中， 得， 解得， ∴该抛物线对应的函数解析式为， ， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 ①当时，，， ∵轴， ， ， ， ． ②∵的面积被轴平分， ∴A点与B点位于x轴两侧，且距x轴的距离相等， ∴A点与B点的纵坐标互为相反数， ∵A点的横坐标为m， ∴A点的纵坐标为， ， 解得． ③∵点B的坐标为， ，解得：， ∴B在直线上运动． ∵， ∴， 当时，， 如图 ∴此时抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，符合题意； 当时，点A与点C重合，不存在； 当时，如图， 此时，， 不符合题意，舍去； 当时， ，如图， 此时不符合题意，舍去； 当时，，如图， 此时D为顶点，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意； 当时，如图， 抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意， 当时，如图， 此时不符合题意，舍去， 综上，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时， 的取值范围为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，点的轨迹问题，平行四边形的性质，难度很大，清晰的分类讨论与数形结合的方法是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $