精品解析：吉林延边朝鲜族自治州2025-2026学年度第二学期九年级5月中考模拟数学试题

数学试题 数学试题共8页，包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 如图，点、点在一条不完整的数轴上，点在点的左边，且点与点到原点的距离相等，若点表示的数是，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 2. 国家级非物质文化遗产之一的东北大鼓是中国北方曲种，流行于辽宁、吉林、黑龙江3省，一度盛行于沈阳，故又称奉天大鼓、奉派大鼓、奉调大鼓、辽宁大鼓．如图是表演情景及乐器之一鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由作图可证，进而得到，说明的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 长白山某温泉广场用温泉水煮鸡蛋、玉米被游客们津津乐道．已知一个鸡蛋售价为元，一根玉米售价为元，则购买3个鸡蛋和4根玉米共需（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：______． 8. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，那么的长为_______cm． 9. 据统计延边州2023年国内游客数量为2646万人次，2025年国内游客数量7813万人次．设这两年延边州国内游客数量的平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 10. 如图，是苏州园林中一处花窗月洞的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，点、点、点在圆上，，垂足为点，月洞底部长为，已知此圆的半径为，则花窗月洞的最大高度________． 11. 把一块含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中斜边在轴上，，点恰好落在反比例函数的图象上，则三角板的面积为________． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 2025年3月14日（国际圆周率日）发行了名称为《数学之美》的邮票．如图，A：“圆周率”、B：“勾股定理”、C：“欧拉公式”、D：“莫比乌斯环带”（邮票背面完全相同）．将这四张邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上．从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法求抽到的两张邮票恰好是A和B的概率． 14. 图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1个单位长度，在图中已画出线段，其中点、点均为格点．仅用无刻度直尺按照以下要求作图： （1）在图①中，以为边作直角三角形，使其面积为6，且点在格点上； （2）在图②中，以为对角线作平行四边形，使其面积为6，且点、点在格点上． 15. 围棋是中国的传统棋种，古代称为“弈”，距今已有四千多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，基本规则简明易懂．某学校为丰富学生课余生活，计划到甲超市购买一批象棋和围棋．已知购买2副象棋和3副围棋共需140元，购买4副象棋和1副围棋共需130元． （1）求每副象棋和围棋的单价； （2）若学校准备购买象棋和围棋共80副，总费用不超过2250元，则最多能购买多少副围棋？ 16. 已知：如图，点A、B、C、D是上四点，且．求证：． 17. 人参是吉林省特色药材，人参皂苷含量是衡量人参品质的核心指标．某科研小组从吉林省抚松产区采摘的1000株人参中，随机抽取20株作为样本，测定其皂苷含量（单位：%），数据整理如表： 人参组别 皂苷含量 频数/株 A 2 B 5 C 9 D 4 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的20株人参皂苷含量的中位数落在________组（填组别字母）； （2）吉林省人参品质标准规定：皂苷含量不低于6%为优质人参．根据样本数据，估计科研小组采摘的1000株人参中符合优质人参标准的数量； （3）科研小组复查时发现，样本中A组的2株人参因生长环境异常导致皂苷含量异常偏低，属于数据异常值，若剔除这2个数据，则剩余18株人参的统计量与原数据相比： ①平均数将________（填“增大”“减小”或“不变”）； ②中位数所在的组别将________（填“改变”或“不变”）． 18. 某同学在数学实践活动中做了如下探究： （1）探究一：利用悬挂重物的细线（铅垂线）和量角器自制了一个三角函数仪． 操作过程：如图①，将量角器底边水平放置，在量角器圆心处设计了和半径等长的旋转杆，使的外端点始终在量角器的圆周上，在点处设计铅垂线，静止时的铅垂线与底边的交点（垂足）为点． 经测量可知，，则_____，______； （2）探究二：该同学在楼下观察工人师傅用定滑轮提升装修材料． 操作过程： 如图②，工人师傅将定滑轮固定在高处，已知绳子总长为，该绳自然下垂时两端恰好落在地面； 如图③，在（1）的条件下，定滑轮固定点为点（定滑轮半径忽略不计），在绳子的一端点处挂上装修材料，工人师傅在地面拉绳子的另一端点，走到距离定滑轮正下方水平距离的位置，即，拉起的绳子与水平线的夹角与图①中相等，求工人师傅将装修材料从地面点处提升到点处上升了多少米． 19. 如图①，在等腰直角三角形中，，．动点从点出发向终点运动（不与点、重合），速度为每秒个单位长度．过点作于点，以为边向右侧作矩形，且．设点运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长________； （2）当点落在边上时，求的值； （3）当点在线段上时（不与点重合），设矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式． 20. 为保障城市居民夏季用电稳定，甲、乙两个电力工程队同时对某段老旧输电线路进行改造升级，两队每天改造的线路长度均保持不变，合作一段时间后，乙队因设备检修停工，由甲队单独完成了剩余任务，甲、乙两队改造的线路总长度（）与甲队施工时间（天）之间的关系如图所示． （1）甲队比乙队多施工了________天； （2）求乙队停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当甲队改造的总长度比乙队改造总长度多时，求乙队已经停工的天数． 21. 在一次数学活动中，某学习小组探究如下：作线段，取其中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点、点旋转后的对应点分别为点、点），如图①，设旋转角度为，且，． （1）当时，求点旋转到点所经过的路径长度（结果保留）； （2）小组同学又进行了如下探究：如图②，连接，取中点，连接、交于点，在旋转过程中，小组同学猜想出如下三个结论：①且线段与线段互相平分；②；③．正确的结论是______（填序号）；选择一个正确结论说明理由； （3）小组同学又进行如下操作：如图③，连接，取中点，连接，若线段与线段关于直线成轴对称，连接、，直接写出当四边形为正方形时的值． 22. 如图①，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点．点是抛物线上的动点，其横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求线段的长度； （3）当点在轴下方时，抛物线在点、点之间的部分（包括端点）记为图象，图象上最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求点的坐标； （4）以为对角线构造矩形，边平行于轴．当直线将矩形的面积分成两部分的比为时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 数学试题共8页，包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 如图，点、点在一条不完整的数轴上，点在点的左边，且点与点到原点的距离相等，若点表示的数是，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由于点在点的左边，且点与点到原点的距离相等， 故可知，点与点对应的数互为相反数， ∵表示的数是3， ∴表示的数是． 2. 国家级非物质文化遗产之一的东北大鼓是中国北方曲种，流行于辽宁、吉林、黑龙江3省，一度盛行于沈阳，故又称奉天大鼓、奉派大鼓、奉调大鼓、辽宁大鼓．如图是表演情景及乐器之一鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，通过观察立体图形即可． 【详解】解：鼓的立体图形的主视图是： ， 故选：B． 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘除法法则逐项判断，即可得出答案． 【详解】解：与不是同类项，不能合并，，故A选项计算错误，不合题意； ，故B选项计算正确，符合题意； ，故C选项计算错误，不合题意； ，故D选项计算错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握各项运算法则是解题的关键． 4. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质求出的度数，邻补角求出的度数，三角形的外角求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 5. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由作图可证，进而得到，说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据尺规作图的痕迹，判断对应的判定定理即可． 【详解】解：由作图可知：，， 在和中 ， ， 6. 长白山某温泉广场用温泉水煮鸡蛋、玉米被游客们津津乐道．已知一个鸡蛋售价为元，一根玉米售价为元，则购买3个鸡蛋和4根玉米共需（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意可知：购买3个鸡蛋和4根玉米的总费用为元． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算算术平方根与绝对值，再根据有理数减法法则计算最终结果． 【详解】解： ． 8. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，那么的长为_______cm． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，灵活运用平行线分线段成比例求线段的长度是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到，代入数值可求得，再运用线段的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，解得： ∴． 故答案为：72． 9. 据统计延边州2023年国内游客数量为2646万人次，2025年国内游客数量7813万人次．设这两年延边州国内游客数量的平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均增长率的增长规律，结合已知两年的游客数量，列出对应方程即可． 【详解】解：设这两年延边州国内游客数量的平均增长率为， 由于2023年国内游客数量为万人次， 则2024年国内游客数量为万人次， 2025年国内游客数量为万人次， 因此，可列方程为：． 10. 如图，是苏州园林中一处花窗月洞的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，点、点、点在圆上，，垂足为点，月洞底部长为，已知此圆的半径为，则花窗月洞的最大高度________． 【答案】9 【解析】 【分析】连接，则，由垂径定理求出，利用勾股定理求出长，最后利用求解即可． 【详解】解：连接， 是的半径、， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即花窗月洞的最大高度． 11. 把一块含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中斜边在轴上，，点恰好落在反比例函数的图象上，则三角板的面积为________． 【答案】2 【解析】 【分析】过点B作轴于点M，利用特殊角锐角三角函数的定义求出与、与的关系，设，、，利用点B在反比例函数图象的上求出，利用求解即可． 【详解】解：过点B作轴于点M， ， 设， 、， 在中，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 将代入函数得：， ， ，即， ． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【解析】 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 13. 2025年3月14日（国际圆周率日）发行了名称为《数学之美》的邮票．如图，A：“圆周率”、B：“勾股定理”、C：“欧拉公式”、D：“莫比乌斯环带”（邮票背面完全相同）．将这四张邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上．从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法求抽到的两张邮票恰好是A和B的概率． 【答案】 【解析】 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中两张邮票恰好是A和B有2种结果， 抽到的两张邮票恰好是A和B的概率为． 14. 图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1个单位长度，在图中已画出线段，其中点、点均为格点．仅用无刻度直尺按照以下要求作图： （1）在图①中，以为边作直角三角形，使其面积为6，且点在格点上； （2）在图②中，以为对角线作平行四边形，使其面积为6，且点、点在格点上． 【答案】（1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据格点特性画图即可； （2）分别在网格中取点E、F，分别连接即可． 【小问1详解】 如图所示； 由网格可知，面积为：； 【小问2详解】 如图所示． 如图可知，， ∴四边形是平行四边形， 四边形的面积为：． 15. 围棋是中国的传统棋种，古代称为“弈”，距今已有四千多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，基本规则简明易懂．某学校为丰富学生课余生活，计划到甲超市购买一批象棋和围棋．已知购买2副象棋和3副围棋共需140元，购买4副象棋和1副围棋共需130元． （1）求每副象棋和围棋的单价； （2）若学校准备购买象棋和围棋共80副，总费用不超过2250元，则最多能购买多少副围棋？ 【答案】（1）每副象棋的单价是25元，每副围棋的单价是30元； （2）最多能购买50副围棋． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式是解答的关键． （1）设每副象棋的单价是元，每副围棋的单价是元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买副围棋，则购买副象棋，根据题意列出不等式，然后解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设每副象棋的单价是元，每副围棋的单价是元，根据题意得， ， 解得， 答：每副象棋的单价是25元，每副围棋的单价是30元； 【小问2详解】 解：设购买副围棋，则购买副象棋， 根据题意得：， 解得：． 最大整数解为50， 答：最多能购买50副围棋． 16. 已知：如图，点A、B、C、D是上四点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了弦、弧形的关系，圆周角定理与全等三角形的判定与性质． 由，则，根据圆周角定理，可求得，然后由，可判定：． 【详解】证明：∵， ∴ ∵ ∴， ， 在与中， ， ． 17. 人参是吉林省特色药材，人参皂苷含量是衡量人参品质的核心指标．某科研小组从吉林省抚松产区采摘的1000株人参中，随机抽取20株作为样本，测定其皂苷含量（单位：%），数据整理如表： 人参组别 皂苷含量 频数/株 A 2 B 5 C 9 D 4 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的20株人参皂苷含量的中位数落在________组（填组别字母）； （2）吉林省人参品质标准规定：皂苷含量不低于6%为优质人参．根据样本数据，估计科研小组采摘的1000株人参中符合优质人参标准的数量； （3）科研小组复查时发现，样本中A组的2株人参因生长环境异常导致皂苷含量异常偏低，属于数据异常值，若剔除这2个数据，则剩余18株人参的统计量与原数据相比： ①平均数将________（填“增大”“减小”或“不变”）； ②中位数所在的组别将________（填“改变”或“不变”）． 【答案】（1）C； （2）科研小组采摘的1000株人参中符合优质人参标准的数量为650株； （3）①增大；②不变． 【解析】 【分析】（1）中位数是指将数列从小到大依次排列最中间的数，偶数个数时取最中间两位数的平均值； （2）总体符合条件的数量总体数量样本中符合条件的频率，利用该式子即可解出答案； （3）平均数所有数之和数的个数，剔除掉数据组较小的数，平均数会增大． 【小问1详解】 解：中位数是指将数列从小到大依次排列最中间的数， 共20株人参， ∴最中间的数是第10个和第11个， 从小到大，A组频数为2，B组频数为5， ∵， ∴中位数在C组； 【小问2详解】 解：C，D两组人参皂苷含量不小于，共（株）， ∴小组采摘的1000株人参中符合优质人参标准的数量为： （株）； 【小问3详解】 解：A组的人参皂苷含量较少，剔除较小的数据后，整体数据的平均值会增大， 剔除A组后剩余18株人参，中位数是第9个和第10个数据， 此时B组有5株， ∵， ∴中位数仍落在C组，组别不变． 18. 某同学在数学实践活动中做了如下探究： （1）探究一：利用悬挂重物的细线（铅垂线）和量角器自制了一个三角函数仪． 操作过程：如图①，将量角器底边水平放置，在量角器圆心处设计了和半径等长的旋转杆，使的外端点始终在量角器的圆周上，在点处设计铅垂线，静止时的铅垂线与底边的交点（垂足）为点． 经测量可知，，则_____，______； （2）探究二：该同学在楼下观察工人师傅用定滑轮提升装修材料． 操作过程： 如图②，工人师傅将定滑轮固定在高处，已知绳子总长为，该绳自然下垂时两端恰好落在地面； 如图③，在（1）的条件下，定滑轮固定点为点（定滑轮半径忽略不计），在绳子的一端点处挂上装修材料，工人师傅在地面拉绳子的另一端点，走到距离定滑轮正下方水平距离的位置，即，拉起的绳子与水平线的夹角与图①中相等，求工人师傅将装修材料从地面点处提升到点处上升了多少米． 【答案】（1），； （2）工人师傅将装修材料从点C处提升到点D处上升了3米． 【解析】 【分析】（1）通过构造直角三角形，直接利用三角函数定义求解； （2）利用等角的三角函数值相等，结合定滑轮绳子长度不变的特点，通过三角函数求出拉动后的绳长，再与原绳长作差，得到材料上升的高度． 【小问1详解】 解：∴ ． 在中，，， 由勾股定理，得 根据三角函数的定义： 【小问2详解】 解：如图 由题意得，，， ， 四边形是矩形， 由题意得，， ， 在中，，， ， ， ． 19. 如图①，在等腰直角三角形中，，．动点从点出发向终点运动（不与点、重合），速度为每秒个单位长度．过点作于点，以为边向右侧作矩形，且．设点运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长________； （2）当点落在边上时，求的值； （3）当点在线段上时（不与点重合），设矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】（1）； （2）点落在边上时，的值为2； （3）． 【解析】 【分析】（）先得出，又四边形是矩形，则， ，从而有 ，所以，然后通过勾股定理得，再代入即可求解； （）可得、、都是等腰直角三角形，又四边形是矩形，则 ， ，，所以 ，即，然后求出的值即可； （）分当时，当时，两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当点落在边上时，如图， 同（）理可得、、都是等腰直角三角形， ∵四边形是矩形， ∴ ， ， ∵，， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴点落在边上时，的值为； 【小问3详解】 解：当点与点重合时，，， 当时， 重叠部分的面积就是矩形的面积，此时，； 当时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， ∴、、都是等腰直角三角形， ∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上所述：． 20. 为保障城市居民夏季用电稳定，甲、乙两个电力工程队同时对某段老旧输电线路进行改造升级，两队每天改造的线路长度均保持不变，合作一段时间后，乙队因设备检修停工，由甲队单独完成了剩余任务，甲、乙两队改造的线路总长度（）与甲队施工时间（天）之间的关系如图所示． （1）甲队比乙队多施工了________天； （2）求乙队停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当甲队改造的总长度比乙队改造总长度多时，求乙队已经停工的天数． 【答案】（1）30； （2）； （3）乙队已停工的天数是天． 【解析】 【分析】（1）根据图象获取信息即可找到甲乙工作时间的关系； （2）由题意得到已知点坐标：，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意分析得到甲队每天的改造长度，得到在乙队停工时，甲乙各自完成长度，得到甲队比乙队改造总长度多时实际的改造长度，则可知乙队停工的时间． 【小问1详解】 解：根据函数图象，甲队工作55天，乙队工作25天， 甲队比乙队多施工了天； 【小问2详解】 解：设乙队停工后关于的函数解析式为：， 点在图象上， ， 解得， ∴函数解析式为． 【小问3详解】 解：由（1）可知，甲队单独改造30天，改造的长度是，甲队每天改造． 前25天是甲乙合作改造完成， 则乙单独改造的长度是， 当甲改造的长度是时， 工作天数是（天）， 所以乙队已停工的天数是（天）． 21. 在一次数学活动中，某学习小组探究如下：作线段，取其中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点、点旋转后的对应点分别为点、点），如图①，设旋转角度为，且，． （1）当时，求点旋转到点所经过的路径长度（结果保留）； （2）小组同学又进行了如下探究：如图②，连接，取中点，连接、交于点，在旋转过程中，小组同学猜想出如下三个结论：①且线段与线段互相平分；②；③．正确的结论是______（填序号）；选择一个正确结论说明理由； （3）小组同学又进行如下操作：如图③，连接，取中点，连接，若线段与线段关于直线成轴对称，连接、，直接写出当四边形为正方形时的值． 【答案】（1）； （2）①②，证明见解析； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质，得到点是以点为圆心，长为半径的圆弧，利用弧长公式求解； （2）根据旋转的性质得到是等腰三角形，再利用三角形的中位线性质与等腰三角形“三线合一”证得最终结果； （3）根据三角形的中位线的性质与“在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半”得到对应的线段相等，最后通过等量代换解得答案． 【小问1详解】 解：∵点旋转到点， ∴点是以点为圆心，长为半径的圆弧， ∵，点是线段的中点， ∴， 又， ∴点旋转到点所经过的路径长度为； 【小问2详解】 解：正确的为①②，证明如下： ①∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵点为的中点， ∴是线段的垂直平分线，， 由题意知，分别是线段的中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线，， 即，与互相平分； ②∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵点为的中点， ∴是线段的垂直平分线，， 由题意知，分别是线段的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：当或时，四边形是正方形，理由如下： 由题意知：， ∵分别是的中点， ∴， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ①如图1所示：当时 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴矩形是正方形； ， ②当时，如图2所示：延长交于点， ， ∵， ∴， 在中，， ∴，则， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 22. 如图①，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点．点是抛物线上的动点，其横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求线段的长度； （3）当点在轴下方时，抛物线在点、点之间的部分（包括端点）记为图象，图象上最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求点的坐标； （4）以为对角线构造矩形，边平行于轴．当直线将矩形的面积分成两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）4； （3）点的坐标为或者； （4）或． 【解析】 【分析】（1）先由直线解析式求出点、点坐标，再用待定系数法求抛物线解析式． （2）由知点与点纵坐标相同，代入抛物线求出点坐标，即可求长． （3）抛物线开口向下，顶点为，点，分点在点左侧和右侧两种情况讨论图象的最高点与最低点，根据纵坐标之差为列方程求解． （4）由矩形构造可知其四个顶点为、、、，直线经过点，分与讨论它与矩形边的交点位置，利用面积比为1:3列方程求． 【小问1详解】 解：对于直线， 令，得， 令，得， ，． 抛物线经过、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：在轴上，， 点与点的纵坐标相同，均为． 令，得， 即， 解得：，． ． ． 【小问3详解】 解：令，得， 即， ． ， 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线． 点在轴下方， 或． ①当时，图象对应自变量取值范围是， 抛物线在上y随x增大而增大， 最高点为，最低点为． 由题意：， 即， 解得：． ， ． 此时． ②当时，图象对应自变量取值范围是，包含顶点， 最高点为顶点，纵坐标为． 点在轴下方，点在轴上， 最低点为，纵坐标为． 由题意：， 即， 解得：． ， ． 此时． 综上，点的坐标为或． 【小问4详解】 解：四边形为矩形，为对角线，且轴， ，． 矩形面积． 当时，直线与边交于点， ． 由，得， 解得：． 当时，直线与边交于点， ，， ． 由，得， 解得：． 当时，直线不经过矩形内部，不符合题意． 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $