7.4.1二项分布 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦二项分布核心知识点，通过掷硬币、产品检验等实例问题引导学生观察伯努利试验特征，搭建从具体试验到n重伯努利试验的抽象支架，衔接计数原理与概率分布的知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境抽象试验特征，用数学思维推导二项分布公式，借高尔顿板模型等数学语言解释应用。典例变式结合射击、猜题等生活实例，培养学生抽象能力与模型观念，助力学生理解概念本质，教师教学更具针对性与高效性。

7.4.1 二项分布 第六章 计数原理 作者编号：32100 1 新知学习 问题 1 下列一次随机试验的共同点是什么？ 试验 出现的结果 共同点 掷一枚硬币 检验一件产品 飞碟射击 医学检验 正面朝上、反面朝上 合格、不合格 中靶、脱靶 阴性、阳性 只包含两个结果 作者编号：32100 概念生成 伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 显然，n 重伯努利试验具有如下共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做 n 次； (2)各次试验的结果相互独立，实验结果互不影响. 将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验. “重复”意味着各次试验的概率相同 作者编号：32100 新知学习 问题 2 下面3个随机试验是否为 n 重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？重复试验的次数是多少？每个试验“成功”的概率是多大？ 1. 抛掷一枚质地均匀的硬币 10 次. 2. 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击 3 次. 3. 一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取 20 件. 作者编号：32100 新知学习 随机试验 伯努利试验 事件A P(A) 重复试验的次数n 各次试验是否独立 1 2 3 掷硬币 正面朝上 0.5 10 是 射击 中靶 0.8 3 是 有放回抽产品 抽到次品 0.05 20 是 1. 抛掷一枚质地均匀的硬币10次. 2. 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. 3. 一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件. 作者编号：32100 新知学习 思考1 伯努利试验与n重伯努利试验有何不同？ 伯努利试验做一次试验，n重伯努利试验做n次试验. 在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生； 在n重伯努利试验中，我们关注事件A发生的次数X. 思考2 在伯努利试验中，我们关注什么？在n重伯努利试验中呢？ 作者编号：32100 A. 一批产品的次品率为5％，有放回地随机抽取20件，其中次品的个数. B. 假设每名学生一年内发生意外伤害事故的概率为0.001，那么1000名学生一年内恰发生意外伤害事故的人数． C. 一个盒子中装有 5 个球(3个红球和2个黑球)，从中不放回的依次摸四个球，其中红球的个数. D. 实力相等的甲、乙两人进行 5 局乒乓球比赛. 例1 下列随机试验不是伯努利试验的是( ) C 典例剖析 练习1 下列试验中是 n 重伯努利试验的是(　　) A. 依次抛掷 4 枚质地不同的硬币，3 次正面向上 B. 某射击运动员击中目标的概率是0.9，他连续射击10次，击中 7 次 C. 口袋中装有质地、大小相同的5个白球和4个黑球，依次从中抽取 5个球，恰好取出 3 个红球 D. 甲、乙两个篮球运动员各罚球一次，甲进球而乙没有进球 B 变式训练 新知探究 探究 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为 0.8，连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？ 用 Ai 表示“第 i 次射击中靶”(i＝1，2，3)，则 X 的概率分布列为 P(X＝3)＝P(A1 A2 A3)＝0.83 P(X＝2)＝P(A1 A2 A3)＋P(A1 A2 A3)＋P(A1 A2 A3)＝3×0.82×0.2 P(X＝0)＝P(A1 A2 A3 )＝0.23 由于3次射击恰好1次中靶(2次中靶)的所有可能结果的概率相等，故为了简化表示，中靶次数X的分布列可表示为 P(X＝1)＝P(A1 A2 A3)＋P(A1 A2 A3)＋P(A1 A2 A3)＝3×0.8×0.22 P(X＝k)＝C3 ×0.8k×0.23-k，k＝0，1，2，3 k 作者编号：32100 概念生成 二项分布的定义 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为 p，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从二项分布， 记作X～B(n，p). P(X＝k)＝Cn pk(1－p)n-k，k＝0，1，2，…，n k 作者编号：32100 典例剖析 例2 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求: (1)恰好出现5次正面朝上的概率； (2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率. 设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5. 用X表示事件A发生的次数， 则X～B(10，0.5). 解析： (1)恰好出现5次正面朝上的概率为 (2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为 P(X＝5)＝C10×0.55×(1－0.5)5 5 P(4≤X≤6)＝C10×0.510＋C10×0.510＋C10×0.510 4 5 6 ►课本P74 典例剖析 ►课本P74 例3 如图是一块高尔顿板的示意图. 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部 的格子中. 格子从左到右分别编号为0，1，2，‧‧‧，10， 用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列. ►课本P74 设A＝“向右下落”，则＝“向左下落”，则P(A)＝P()＝0.5. X 的概率分布图如图所示： 因为小球最后落入格子的号码 X 等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B(10，0.5)，于是X的分布列为 解析： P(X＝k)＝C10×0.510，k＝0，1，2，…，10 k 典例剖析 方法归纳 确定二项分布模型的步骤： ①明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； ②明确重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； ③设 X 为 n 次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p). 作者编号：32100 典例剖析 ►课本P74 例4 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6， 乙获胜的概率为0.4，那么采用 3 局 2 胜制还是采用 5 局 3 胜制对甲更有利? 若采用 3 局 2 胜制，甲最终获胜有两种可能的比分，2∶0 或2∶1. 因为每局比赛的结果是相互独立的，甲最终获胜的概率为： 解析： 同理，采用 5 局 3 胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0 或 3∶1 或 3∶2，因为每局比赛的结果是相互独立的，甲最终获胜的概率为： p1＝0.62＋C2×0.62×0.4＝0.648 1 p2＝0.63＋C3×0.63×0.4＋C4×0.63×0.42＝0.68256 2 2 变式训练 练习2 鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒. 如果 5 只鸡接种了疫苗，求： (1)没有鸡感染病毒的概率； (2)恰好有1只鸡感染病毒的概率. 解析： 设5只接种疫苗的鸡中感染病毒的只数为X，则X～B(5，0.2). (1)没有鸡感染病毒的概率为 P(X＝0)＝0.85＝0.32768 (2)恰好有1只鸡感染病毒的概率为 P(X＝1)＝C5×0.2×0.84＝0.4096 1 ►课本P77 二项分布和两点分布有什么联系？ 两点分布是一种特殊的二项分布，即是n＝1的二项分布； 二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布. 二项分布应注意的问题： (1)对于公式 必须在满足“独立重复 试验”时才能运用，否则不能应用该公式. (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点： 一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一； 二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次. 作者编号：32100 变式训练 ►课本P77 练习3 判断下列表述正确与否，并说明理由: (1)12 道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X～B(12，0.25)； (2)100件产品中包含 10 件次品，不放回地随机抽取 6 件，其中的次品数Y～B(6，0.1). (1)正确. 理由如下：每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案 (2)错误. 理由如下：每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件. 解析： 的概率为0.25，故猜对答案的题目数 X 服从二项分布，即X～B(12，0.25). 新知探究 思考 假设随机变量 X 服从二项分布X～B(n，p)，则X的均值和方差各是什么? (1)当n＝1时，X 服从X～B(1，p)，分布列为P(X＝0)＝1－p，P(X＝1) ＝p，因此，E(X)＝p，D(X)＝p(1－p) (2)当n＝2时，X 服从X～B(2，p)，分布列为 P(X＝0)＝(1－p)2，P(X＝ 1)＝2p(1－p)，P(X＝2)＝p2. E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2 ＝2p. D(X)＝ 02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p). 作者编号：32100 概念生成 二项分布的均值与方差 若 X～B (n，p)，那么 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p) 二项分布的应用非常广泛．例如，生产过程中的质量控制和抽样方案，都是以二项分布为基础的；参加某保险的人群中发生保险事故的人数，试制药品治愈某种疾病的人数，感染某种病毒的家禽数等，都可以用二项分布来描述. 作者编号：32100 典例剖析 ►课本P74 例5 抛掷一枚骰子，当出现 5 点或 6 点时，就说这次试验成功，求在 30 次试验中成功次数 X 的均值和方差． 解析： 由题试验成功的次数 X 服从二项分布，且X～B(30， ) 所以E(X)＝30× ＝10，D(X)＝30× 变式训练 ►课本P76 练习4 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 4 次，X表示“正面朝上”出现的次数. (1)求X的分布列； (2)E(X)＝_______，D(X)＝_________. 2 1 解析： 由题意知，X服从二项分布，即X～B(4，0.5). (1)X的分布列为 P(X＝k)＝C4 ×0.54，k＝0，1，2，3，4 k (2)E(X)＝4×0.5＝2， D(X)＝4×0.5×(1－0.5)＝1 变式训练 练习5 已知X～B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝1.6，则n，p的值分别为(　　) A．100，0.8 B．20，0.4 C．10，0.2 D．10，0.8 C 变式训练 练习6 一出租车司机从某饭店到火车站途中有 6 个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是 . (1)求这位司机遇到红灯数 X 的期望与方差． (2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差. (1)易知司机遇上红灯次数X 服从二项分布，且 ， 解析： X～B(6， ) 所以E(X)＝6× ＝2， D(X)＝6× (2)由已知η＝30X，所以E(η)＝30E(X)＝60， D(η)＝900D(X)＝1200. 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： 1. 伯努利试验和 n重伯努利试验特征是什么？ 2. 随机变量 X 满足什么条件称其服从二项分布，如何表示？ 作者编号：32100 $