精品解析：重庆市外国语学校2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷

重庆市外国语学校2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分） 1. 某校为了对该校九年级1500名学生的身体素质情况进行调查，随机抽取200名学生进行检测，其中有60名学生身体素质不达标，据此估计该校九年级学生身体不达标人数约有（ ） A. 400名 B. 450名 C. 475名 D. 500名 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各图中的与，是同位角的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列叙述正确的个数为（　　）． ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 7. 《算法统筹》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，两家之数相当（一样多)．设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出的二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，在同一直线上，，且沿折叠后与重合．连接，．则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，，其中，，…，，，，…，为自然数，m，n，，为正整数，．且满足，，下列说法： ①若，时，则满足条件的整式M共有3个； ②若时，则满足条件的整式M共有20个； ③若，，，则符合条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共10个小题，每题4分，共40分） 11. 比较大小： ______ ．（用“”或“”填空） 12. 在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，到两坐标轴的距离相等，则的值为___________． 13. 如图，已知中，点是上且离点较近的一个点，连接，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，若面积等于4，则阴影部分的面积为_____． 14. 已知实数在数轴上对应的点如图所示，化简______． 15. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 16. 已知关于、的二元一次方程组，解均为正整数，且为整数，则______． 17. 如图，正方形在平面直角坐标系中，已知点，若以为原点重新建立平面直角坐标系．则点在新坐标系中对应的坐标为_______（用含的代数式表示）． 18. 折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 19. 若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的和为______． 20. 对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，且它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个数为“精益数”，则最大的“精益数”是___________；若“精益数”，规定将的十位数字与百位数字之差记为． 若正整数，都是“精益数”，其中，，（，，，，且是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数和的和为__________． 三、解答题 21. 计算 （1）； （2）． 22. 解方程组与不等式组 （1）解方程组； （2）解不等式组：． 23. 如图，四点在同一平面上，根据下列语句作图（只保留作图痕迹不写作法）． （1）画射线； （2）作直线相交于点E； （3）连接交于点F； （4）连接并延长至M，使． 24. 有这样一道题：求的值，其中，；有位同学把错抄成，但他的计算结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 25. 端午至，粽香起，承千年习俗；艾叶悬，龙舟竞，续华夏文明．学校食堂的张师傅为了解全校学生对A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对全校学生进行抽样调查（每名学生只选一种最喜爱的粽子），并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中，B种粽子所在扇形的圆心角是______； （2）补全条形统计图，扇形统计图中C种粽子所占百分比是______； （3）已知全校有2800名学生，请估计全校喜爱A种粽子的学生的人数． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的位置在网格点上，将点A向下平移6个单位到点C，点B的坐标为． （1）在平面直角坐标系中画出，求的面积； （2）若点D在y轴上，且的面积等于面积的一半，求点D的坐标． 27. 云南特色农产品直播带货成为乡村振兴新路径，某主播直播间销售普洱茶和鲜花饼两种特产．已知销售盒普洱茶和盒鲜花饼，共可获利元；销售盒普洱茶和盒鲜花饼，共可获利元． （1）求每盒普洱茶和每盒鲜花饼的利润； （2）若该直播间计划购进两种特产共盒，其中普洱茶的数量不少于盒，且不超过鲜花饼数量的，该直播间如何进货，才能使销售完后获得的总利润最大？并求出最大利润． 28. 如图，已知，且，点在的延长线上，且平分． （1）求证：； （2）写出之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，求的度数． 29. 阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： （1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______；（填序号） （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程，都是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 30. 已知：，E，G是上的点，F，H是上的点． （1）如图①，，求证：； （2）如图②，点M在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点E逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点E顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为t．当时，求的度数； （3）如图③，作，的角平分线交于点N，交于点P，作的角平分线交于点Q，当，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市外国语学校2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分） 1. 某校为了对该校九年级1500名学生的身体素质情况进行调查，随机抽取200名学生进行检测，其中有60名学生身体素质不达标，据此估计该校九年级学生身体不达标人数约有（ ） A. 400名 B. 450名 C. 475名 D. 500名 【答案】B 【解析】 【分析】先计算样本中不达标率，再用总人数乘该频率得到总体不达标人数的估计值． 【详解】解：抽取的样本容量为200，样本中不达标人数为60， 样本中身体素质不达标率为 ， 该校九年级总人数为1500名， 估计总体不达标人数为 名． 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义逐个计算即可得到结果． 【详解】解：A、因为，所以选项计算正确； B、因为，所以选项计算错误； C、因为，所以选项计算错误； D、因为，所以选项计算错误． 3. 下列各图中的与，是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同位角位置相同即“同旁和同侧”，进行解答即可． 【详解】解：A．与不是同位角，不符合题意； B．与不是同位角，不符合题意； C．与是同位角，符合题意； D．与不是同位角，不符合题意． 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】只需判断点横纵坐标的正负性，结合象限坐标特征即可求解． 【详解】解：∵点的横坐标为，， 又∵对任意实数，都有， ∴， 即点横坐标为正，纵坐标为负， 根据象限坐标特征，横坐标正纵坐标负的点在第四象限， ∴点在第四象限． 5. 下列叙述正确的个数为（　　）． ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的面积、角平分线、中线和高分别对各个结论进行判断即可． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，故①不正确； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，故②正确； ③三角形的三条高是线段，不一定交于一点，故③不正确； ④三角形的三条角平分线交于一点，故④正确． 6. 如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先求解第一个一元一次方程得到x的值，再利用解相同的条件，将x代入第二个方程即可求出k的值． 【详解】解：解方程， 移项得：， 即， ∴， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程，得， 解得． 7. 《算法统筹》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，两家之数相当（一样多)．设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出的二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据题意提取两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组. 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊， ∵甲得到乙的9只羊后，甲的羊数是乙的2倍，此时甲的羊数为，乙剩余羊数为， ∴可得方程 ； ∵乙得到甲的9只羊后，两家羊数相等，此时乙的羊数为，甲剩余羊数为， ∴可得方程 ； 因此列出的二元一次方程组为 ． 8. 如图，在中，，在同一直线上，，且沿折叠后与重合．连接，．则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，则，由折叠性质得，则，再根据得 ，由此解得，则 ，然后在中，根据即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 由折叠性质得：， ∴， 在中，， ∵， ∴ ， 解得：， ∴ ， 在中，， ∴ ． 9. 如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，解答此题的关键是找出点的分布规律，然后就可以进一步求得点的坐标．根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，点的点在第二象限，再根据第二项象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：， 点在第二象限， ，，，， ， 当时，解得， ， 故选：． 10. 已知整式，，其中，，…，，，，…，为自然数，m，n，，为正整数，．且满足，，下列说法： ①若，时，则满足条件的整式M共有3个； ②若时，则满足条件的整式M共有20个； ③若，，，则符合条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】需分类讨论计数，根据题目给出的系数条件，逐一验证三个说法，计数得到正确说法的个数即可． 【详解】解：验证①：当时，，且满足，，为自然数，为正整数， ∵， ∴，，， ∴，得， 当时，，且，得或，共2组解． 当时，，且，得，，共1组解． 时，和最小为，无解． ∴总共有组解，即满足条件的整式M共3个，故①正确． 验证②：当时，，， 设，，则，，为自然数，和为s的自然数解个数为， ∴总解数为，故②错误． 验证③：当，时，，，系数和分别为，， ∵， ∴，，，， 由，代入b的系数和得：，满足N的系数和要求，只需满足系数要求：，，（自然数），，，（正整数）． 由得或： 当时，，所有自然数解都满足条件，共5个解； 当时，，所有自然数解都满足条件，共4个解， ∴总共有个，并非13个，故③错误． 综上，只有1个正确说法． 二、填空题（本大题共10个小题，每题4分，共40分） 11. 比较大小： ______ ．（用“”或“”填空） 【答案】 【解析】 【分析】先根据绝对值和相反数的定义化简两个数，再根据有理数的大小比较法则，判断结果即可． 【详解】解：∵，， 又， ∴． 12. 在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，到两坐标轴的距离相等，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点到两坐标轴的距离相等列出方程，再结合第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负，求解即可． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， 解得． 13. 如图，已知中，点是上且离点较近的一个点，连接，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，若面积等于4，则阴影部分的面积为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】由点E是的中点，判断出，即可得出的面积，由，可得，故通过等量关系可证出． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 已知实数在数轴上对应的点如图所示，化简______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据数轴确定的大小关系，然后根据绝对值的性质：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，即可去掉绝对值符号，从而进行化简． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 15. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】因为是的平分线，且，所以可求出的度数．因为是的平分线，且，所以可求出的度数，进而得到的度数和的度数，即可计算． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，． ∵是的平分线，， ∴，． 对，， ∴． 对，， ∴． ∴ ． 16. 已知关于、的二元一次方程组，解均为正整数，且为整数，则______． 【答案】或4 【解析】 【详解】解：解方程组，得，， 因为x、y均为正整数，且k为整数，所以必须是22和33的正公因数， 22 的正因数：1，2，11，22， 33 的正因数：1，3，11，33， 两者的正公因数是：1，11， 当时，解得，此时，，均为正整数； 当时，解得，此时，，均为正整数； 综上，或4． 17. 如图，正方形在平面直角坐标系中，已知点，若以为原点重新建立平面直角坐标系．则点在新坐标系中对应的坐标为_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的坐标，再由平移求解即可． 【详解】解：∵正方形在平面直角坐标系中， ∴轴，轴， ∵点， ∴， ∴，即 ∵，， ∴根据平移可得，点在新坐标系中对应的坐标为． 18. 折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 【答案】31 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，再由平行线的性质得到，设，则，根据平角的定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 19. 若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据二元次一次方程组的解及一元一次不等式组的解集情况求参数．先解不等式组，根据至少有4个整数解，得出a的取值范围，再解二元一次方程组，根据解为整数，得出a的值，求和即可． 【详解】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组至少有4个整数解， , , 解关于x、y的方程组，得， 这个方程组的解为整数， 为整数， 又, 或或， 或或， 将a的值代入，对应的y的值分别为：5，6，8，满足y为正整数， 满足条件的整数a的和为：， 故答案为：． 20. 对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，且它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个数为“精益数”，则最大的“精益数”是___________；若“精益数”，规定将的十位数字与百位数字之差记为． 若正整数，都是“精益数”，其中，，（，，，，且是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数和的和为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“精益数”意义得到最大的“精益数”，然后根据题意可得的千位为，百位为，十位为，个位为，t的千位为，百位为，十位为，个位为，则有，，进而问题可求解． 【详解】解：求最大的“精益数”，需使高位数字尽可能大，且各数位数字互不相同，满足千位数字加个位数字等于百位数字加十位数字． 千位最大取，百位最大取，十位最大取，则个位数字为 ，各数位 互不相同，因此最大的“精益数”是． 由 得： ，因此的千位为，百位为，十位为，个位为． 由 定义得 ． 因为是“精益数”，所以 ，整理得． 由 得： ，因此的千位为，百位为，十位为，个位为． 由 定义得 ． 因为是“精益数”，所以 ，整理得． 由条件能被整除，结合，为整数，分情况讨论： ①当时，时， ，则，可得能被整除，即为整数． 结合，为整数，得 ，即或． 当时，，，符合条件． 当时，，，符合条件． ②当时，，t的各位数字为3， 4， 3， 4，不满足各数位上的数字互不相同，故t不是“精益数”，舍去． ③当时，，，可得能被整除，不存在符合条件的整数，舍去． ④当时，时， ，则，可得能被整除，即为整数，得 ，即或． 同理可求：或． 所有满足条件的不同正整数为， ，不同正整数为 ， ，计算总和得： ． 故答案为； ． 三、解答题 21. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 解方程组与不等式组 （1）解方程组； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 由①得，③， 得，， 将代入②得，，解得， 所以方程组的解为； 【小问2详解】 解：解不等式得，， 解不等式 得，， 所以不等式组的解集为． 23. 如图，四点在同一平面上，根据下列语句作图（只保留作图痕迹不写作法）． （1）画射线； （2）作直线相交于点E； （3）连接交于点F； （4）连接并延长至M，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图——复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质逐步操作． （1）根据射线的定义画图集合， （2）根据直线的定义画图即可． （3）根据线段的定义画图即可． （4）作线段并延长至M，截取即可． 【小问1详解】 解：如图，射线为求作的； 【小问2详解】 解：如图，直线相交于点E； 【小问3详解】 解：如图，作线段交于点F； 【小问4详解】 解：如图，作线段并延长至M，截取． 24. 有这样一道题：求的值，其中，；有位同学把错抄成，但他的计算结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【答案】见解析，12 【解析】 【分析】先把原式去括号，然后合并同类项化简，再代值计算出最后的结果，根据化简的结果可知原式的值只与x的绝对值有关，而时和时的x的绝对值相同，故这位同学的结果正确． 【详解】解： ， 当时，原式， 当时，原式， ∵原式化简的结果为， ∴计算的结果与x的符号无关，只与x的绝对值有关，而时和时的x的绝对值相同， ∴这位同学的计算结果也正确． 25. 端午至，粽香起，承千年习俗；艾叶悬，龙舟竞，续华夏文明．学校食堂的张师傅为了解全校学生对A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对全校学生进行抽样调查（每名学生只选一种最喜爱的粽子），并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中，B种粽子所在扇形的圆心角是______； （2）补全条形统计图，扇形统计图中C种粽子所占百分比是______； （3）已知全校有2800名学生，请估计全校喜爱A种粽子的学生的人数． 【答案】（1） （2），补全图见详解 （3）估计名 【解析】 【分析】本题考查了从统计图中获取信息，扇形统计图圆心角，画条形统计图，样本估计总体等； （1）由B种粽子所占百分比，即可求解； （2）抽样调查的学生为（名），C种粽子所占百分比为人数除以总人数，求出喜爱A种粽子的学生的人数名； （3）喜爱A种粽子所占百分比，即可求解； 能从统计图中获取正确的信息，会利用样本估计总体是解题的关键． 【小问1详解】 解：B种粽子所在扇形的圆心角为： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：抽样调查的学生为：（名）， C种粽子所占百分比：， 故答案为：； 喜爱A种粽子的学生的人数为：（名）， 补全图，如下， 【小问3详解】 解：由题意得 （名）， 答：估计全校喜爱A种粽子的学生的人数名． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的位置在网格点上，将点A向下平移6个单位到点C，点B的坐标为． （1）在平面直角坐标系中画出，求的面积； （2）若点D在y轴上，且的面积等于面积的一半，求点D的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）点D的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把点A向下平移6个单位得出点C，描出点B，顺次连接A、B、C即可画出；用三角形面积公式求出的面积即可； （2）先求出的面积，分点D在上方和下方两种情况，利用三角形面积公式求出点D的坐标即可． 【小问1详解】 解：把点A向下平移6个单位得出点C，描出点B，顺次连接A、B、C即可画出；如图，即为所求． 由坐标系可知，， ∵将点A向下平移6个单位到点C，， ∴，，， ∴ ． 【小问2详解】 ∵的面积等于面积的一半，， ∴ ， ∵点D在y轴上， ∴设， 如图所示： 当点D在上方时， ， 解得：， ∴； 当点D在下方时， ， 解得：， ∴； 综上所述：点D的坐标为或． 27. 云南特色农产品直播带货成为乡村振兴新路径，某主播直播间销售普洱茶和鲜花饼两种特产．已知销售盒普洱茶和盒鲜花饼，共可获利元；销售盒普洱茶和盒鲜花饼，共可获利元． （1）求每盒普洱茶和每盒鲜花饼的利润； （2）若该直播间计划购进两种特产共盒，其中普洱茶的数量不少于盒，且不超过鲜花饼数量的，该直播间如何进货，才能使销售完后获得的总利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元 （2）购进普洱茶盒，鲜花饼盒时，销售完后获得的总利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）通过列二元一次方程组求出两种产品的单位利润； （2）先列出总利润关于进货量的一次函数，再根据题目限制条件求出自变量的取值范围，最后根据一次函数的增减性求出最大利润． 【小问1详解】 解：设每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元， 由题意得， 解得， 故每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元． 【小问2详解】 解：设购进普洱茶盒，则购进鲜花饼盒，销售总利润为元， 由题意得， ∵普洱茶的数量不少于盒，且不超过鲜花饼数量的， ， 解得， ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时，鲜花饼的数量为（盒）， 故购进普洱茶盒，鲜花饼盒时，销售完后获得的总利润最大，最大利润为元． 28. 如图，已知，且，点在的延长线上，且平分． （1）求证：； （2）写出之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，得出，即可得到结论； （2）过点作，得到，根据平行线的性质即可得到结论； （3）先求出，过点作，得到，，进而求出，再根据平分，得到，再求出，根据平行线的性质即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由： 如图，过点作， ∴， ∴，， ∴，即； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 如图，过点作， 由（2）知，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 29. 阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： （1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______；（填序号） （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程，都是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再根据“子方程”的定义进行判断即可； （2）解不等式组求得其解集，解方程求出，根据“子方程”的定义列出关于的不等式组，解之即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案． 【小问1详解】 解：解方程，得：， 解方程，得：， 解方程，得：， 解不等式组，得：， ∵和不在范围内，而在范围内， ∴不等式组的“子方程”是③， 故答案为：③； 【小问2详解】 ， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为， 解关于的方程，得， ∵关于的方程是不等式组的“子方程”， ∴， 解得， ∴的取值范围是； 【小问3详解】 解方程，得：， 解方程，得：， 当时，即，不等式组为， 此时不等式组的解集为， 此时和均不在范围内，不符合题意，舍去； 当时，解关于x的不等式组，得：， ∵方程，都是关于的不等式组的“子方程”， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解“子方程”的定义是解题的关键． 30. 已知：，E，G是上的点，F，H是上的点． （1）如图①，，求证：； （2）如图②，点M在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点E逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点E顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为t．当时，求的度数； （3）如图③，作，的角平分线交于点N，交于点P，作的角平分线交于点Q，当，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）由题意得： ，当时，运动停止．由得，然后分两种情况，根据角的和差列方程求解即可； （3）由题意设，则，根据角平分线和平行线的性质得到，则，则，过点作，则，由平行线的传递性可得，则，则，即可求解比值． 【小问1详解】 证明：如图①， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由题意得： ，当时，运动停止． 由得， ①当时，， 解得， ， ， ②当时，， 解得， ， ， 综上所述，的度数为或； 【小问3详解】 解：， 设，则， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， 过点作， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $