精品解析：重庆市川外基础教育集团2025-2026学年度下期半期七年级数学定时作业

川外基础教育集团2025—2026学年度下期半期 初一数学定时作业 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中，最适合采用普查方式的是（ ）． A. 调查嘉陵江水质污染情况 B. 调查一批灯泡的使用寿命 C. 调查全国中学生对“十五五规划”的了解情况 D. 为保证“神舟二十二号”载人航天飞船的成功发射，对其零部件进行检查 3. 若，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则整数的值（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 三角形的三条高线的交点一定在三角形内部 B. 同旁内角相等，两直线平行 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补 7. 某班有名学生，分成个学习小组，若每组人，则还差人；若每组人，还余下人．若求该班学生的人数，所列的方程组为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个点，按图中“→”所示方向依次排列，即点→→→→，…按照此规律排列下去，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点、分别在、边上，连接、，将分别沿和折叠，点落在点处，连接，点恰好落在线段上，记为点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知一组代数式： ， ， … （为正整数，，，…为整数，且 … ） 规定：将中时的值记为．例如： ，则 ； ，则 ． ①当时，若中项的系数比项的系数小1，且项的系数与项的系数相等，则所有符合条件的值的和为17； ②若规定的最大值为20，则的最小值为4； ③当时，若 ，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上． 11. 计算：_______________． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为____________． 13. 关于的方程组的解满足，则的值为__________． 14. 现规定一种运算：，当时，的算术平方根为__________． 15. 已知、、分别为的三边长，化简：_________． 16. 在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则________． 17. 如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则_________度． 18. 如图，在中，是边上的高，点是上一点，且，连接并延长交于点，已知，，则__________． 19. 若关于的不等式组有解且至多有个整数解，同时关于的一元一次方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 20. 材料一：若一个四位自然数，满足千位上的数字与个位上的数字之和为10，百位上的数字与十位上的数字之和也为10，则称这个四位自然数为“巧十”数，那么最小的“巧十”数为________； 材料二：“五一”期间，小语一家自驾出游，出发时汽车里程表上显示的数刚好为一个“巧十”数，到达目的地时里程表上显示的数为，行驶时间刚好为一个整数，经计算发现汽车行驶全程的平均时速为77千米，则满足条件的“巧十”数的最大值与最小值的差为__________． 三、解答题（本大题8个小题，第21题6分，第22题8分，第23题6分，其余每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上． 21. 解不等式组：，在数轴上画出解集，并写出它的所有整数解． 22. 先化简，再求值： ，其中． 23. 请将下面的解答过程补充完整． 在中，已知，垂足为，是的角平分线，，试判断与的位置关系，并说明理由． 解：与的位置关系为： ① ，理由如下： （已知） （垂直的定义） 是的角平分线（已知） ② ， ③ （同位角相等，两直线平行） ④ （ ⑤ ） ⑥ 24. 月日是“国际劳动节”，某校学生会发起了“劳动最光荣”的家务劳动主题活动，鼓励学生利用小长假主动参与家务劳动．返校之后，为了解学生假期家务劳动时间的情况，校学生会随机调查了部分学生的劳动时间（单位：分钟），将劳动时间分为四组，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题． 学生劳动时间统计表 组别 时间 人数 组 组 组 组 （1）本次抽样调查共抽取了_______名学生； _______；扇形统计图中组对应的圆心角度数为_______； （2）补全频数分布直方图： （3）若将劳动时间在分钟以上（包括分钟）的学生评为“劳动小模范”，且该校共有名学生，请估计该校“劳动小模范”有多少人？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到．请在图中画出，并写出对应的坐标（_______），（_______），（_______）． （2）若为第三象限内的一点，且的面积小于，求的取值范围． 26. 5月4日“快乐读书吧”开业大酬宾，店家计划从商场购进笔筒和马克杯共50个，用于赠送到店消费的顾客．已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元，购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． （1）求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ （2）店家计划购进笔筒个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有几种采购方案？ （3）店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个马克杯； 方式二：全场商品享受九折优惠． 在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进笔筒最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 27. 阅读材料：在平面直角坐标系中，点关于轴对称后得到点． 现在我们规定一种型复合对称：先把点关于轴对称，再将对称后的点横坐标加，得到对应点，我们把这种变换叫做点的“型对称变换”．对于平面直角坐标系中的图形，将图形上的所有点进行“型对称变换”称为图形的“型对称图形” 例如：将点作“3型对称变换”：，，对应点为． 在平面直角坐标系中，已知点和点． （1）将点进行“2型对称变换”后的对应点的坐标为_________； （2）将线段进行“型对称变换”后与轴有公共点，则的取值范围为__________； （3）已知同一平面内两点，，将线段进行“1型对称变换”后得到的对应线段为，在坐标轴上是否存在一点，使得，若存在请求出所有符合条件的点的坐标，若不存在请说明理由． 28. 在中，和的平分线交于点，过点作分别交、于点、， （1）如图1，若，，求； （2）如图2，延长至点，延长至点，同一平面内有一点位于下方，连接、，满足， ，平分交于点，平分交于点，过点作于点，若，求的度数； （3）如图3，在（1）问的条件下，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得，同时绕点以每秒的速度逆时针旋转得，为的角平分线，设运动时间为秒，在运动过程中，当直线与中任意一边平行时，请直接写出符合条件的时间的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川外基础教育集团2025—2026学年度下期半期 初一数学定时作业 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：是无限循环小数，属于有理数，A错误； 是无限不循环小数，属于无理数，B正确； 是分数，属于有理数，C错误； 是有限小数，属于有理数，D错误． 2. 下列选项中，最适合采用普查方式的是（ ）． A. 调查嘉陵江水质污染情况 B. 调查一批灯泡的使用寿命 C. 调查全国中学生对“十五五规划”的了解情况 D. 为保证“神舟二十二号”载人航天飞船的成功发射，对其零部件进行检查 【答案】D 【解析】 【分析】当调查事关重大、要求精度高，且无破坏性时适合普查，若调查范围大，或调查具有破坏性，适合抽样调查，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．∵嘉陵江流域范围大，普查工作量大不符合实际， ∴适合抽样调查，此选项不符合题意； B．∵调查灯泡使用寿命具有破坏性， ∴适合抽样调查，此选项不符合题意； C．∵全国中学生数量多，调查范围过大， ∴适合抽样调查，此选项不符合题意； D．∵载人航天飞船发射事关安全，每个零部件的检测要求准确，不能出错， ∴适合采用普查，此选项符合题意． 3. 若，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质逐一判断即可得到正确结果． 【详解】对于选项A，的符号不确定，无法确定不等号方向，故A错误； 对于选项B，∵ ，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，∴ ，故B正确； 对于选项C，∵ ，∴ ，故C错误； 对于选项D，不等式两边同时减得，该结论无法由推出，故D错误． 4. 已知，则整数的值（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先找到与相邻的两个完全平方数，即可确定的范围，进而得到整数的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 ， 又∵ ，且为整数， ∴ ． 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质以及补角的定义，根据，计算出的大小，再利用三角形外角的性质可知，最后计算出结果． 【详解】如图： ，， ， 在中，， ， 故选． 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 三角形的三条高线的交点一定在三角形内部 B. 同旁内角相等，两直线平行 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补 【答案】D 【解析】 【详解】解：A ．钝角三角形三条高线所在直线的交点在三角形外部 直角三角形三条高线的交点在三角形的直角顶点上，只有锐角三角形高线交点在三角形内部，错误． B．两直线平行的判定定理是同旁内角互补，两直线平行，并非同旁内角相等，错误． C．只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项缺少前提条件，错误． D．如图， 的两边与的两边分别平行，即，， ∴，， ∴； 的两边与的两边分别平行，即，， ∴，， 故． ∴若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，正确． 7. 某班有名学生，分成个学习小组，若每组人，则还差人；若每组人，还余下人．若求该班学生的人数，所列的方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 【详解】解：由题意得， 故选：． 8. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个点，按图中“→”所示方向依次排列，即点→→→→，…按照此规律排列下去，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是点的坐标变化规律，根据点的下标规律，确定当为奇数时，，当为偶数时，，再寻找最接近的完全平方数，，确定，通过观察发现，当为偶数时，从开始，点沿水平方向向左移动，纵坐标不变，横坐标依次减，由此找到点的坐标． 【详解】根据，下标， ，下标， ，下标 ， ，下标， 所以对于的坐标规律有： 当为奇数时，，当为偶数时，， 则最接近的完全平方数有： ，， ，且为偶数， ， →→→→， →→→→→→→→， 当为偶数时，从开始，点沿水平方向向左移动，纵坐标不变，横坐标依次减， 到，下标， 点沿水平方向向左移动， 移到，的横坐标向左减少，纵坐标不变， ， ． 9. 如图，在中，，点、分别在、边上，连接、，将分别沿和折叠，点落在点处，连接，点恰好落在线段上，记为点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用折叠性质确定出等相关角的关系，通过角和差的互补关系，推导出，进而表示出以及，在中，利用两锐角互余列出关于的方程，由此求解即可． 【详解】设， 由折叠可知：，， ，， ，， ， ， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ． 10. 已知一组代数式： ， ， … （为正整数，，，…为整数，且 … ） 规定：将中时的值记为．例如： ，则 ； ，则 ． ①当时，若中项的系数比项的系数小1，且项的系数与项的系数相等，则所有符合条件的值的和为17； ②若规定的最大值为20，则的最小值为4； ③当时，若 ，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】分别判断①②③三个说法是否正确，根据题意列出条件，结合枚举法验证，统计正确说法的个数得到答案． 【详解】由题意得 ， ，且满足 ，为整数； 判断①：当时，条件为，，结合，代入得 ，得或，对应两组： ， ； ， ；所有 的和为，①正确； 判断②：将中时的值记为，即 ， 当时，最大由得； 当时，最大 ； 最小值为4，②正确； 判断③：当， ，得 ，满足 ，枚举所有符合条件的序列为： ， ， ， ，共4组，③正确； 综上，三个说法均正确，正确个数为3． 二、填空题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上． 11. 计算： _______________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为____________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，解题的关键是对等腰三角形的腰长进行分类讨论，并结合三边关系验证能否构成三角形． 先根据等腰三角形“两腰相等”的性质，分“腰长为3、底边长为7”和“腰长为7、底边长为3”两种情况；再分别用“三角形任意两边之和大于第三边”验证每种情况是否成立；排除不成立的情况后，计算成立情况的三边之和，即为等腰三角形的周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：假设等腰三角形的腰长为3，底边长为7． 此时三边长度为3、3、7，验证三边关系：，，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”，故此情况不成立． 情况2：假设等腰三角形的腰长为7，底边长为3． 此时三边长度为7、7、3，验证三边关系：，，满足三角形三边关系，故此情况成立． 计算周长：. 故答案为：17． 13. 关于的方程组的解满足，则的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】把得到，结合已知，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， 解得：． 14. 现规定一种运算：，当时，的算术平方根为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义的运算规则，代入得到关于b的一元一次方程，解方程求出b，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：根据规定的运算，当时，， 整理得， 解得， 则的算术平方根为． 15. 已知、、分别为的三边长，化简：_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系判断出相关式子的正负，再利用二次根式和立方根的性质化简，去括号后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵a、b、c分别为的三边长， ，， ， ． 16. 在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则________． 【答案】或3##3或 【解析】 【分析】平行于轴的直线上点的纵坐标相等，两点间距离等于横坐标差的绝对值，根据轴求出的值，再根据求出的所有可能值，最后计算即可． 【详解】解：轴，点，点 点与点的纵坐标相等 解得 整理得 或 解得或 当，时， 当，时， 综上可知，或3 17. 如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分， ，则_________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，根据两直线平行，内错角相等即可得到，结合平分，则，最后在中利用三角形内角和为求解即可． 【详解】解： ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 18. 如图，在中，是边上的高，点是上一点，且，连接并延长交于点，已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交于点，连接，根据平行线分线段成比例可知，，即，，进而可知，根据同高三角形面积比等于底之比计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 过点作，交于点，连接， 根据平行线分线段成比例可知，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，在上，与面积比等于， ∴， ∵在上，与同高，面积比等于底之比， ∴． 19. 若关于的不等式组有解且至多有个整数解，同时关于的一元一次方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过解出不等式组的解集，再根据题意不等式组的解至多有个整数解，可确认这个整数解至多可以为、、、，以此确认，根据一元一次方程的解为非负整数，可得，其中是整数的有个，依据一元一次方程的解是非负整数，由此判断出所有符合条件的． 【详解】解：， ， ， ； ， ， ， ， ； 不等式组的解集是， 不等式组至多有个整数解， 不等式组的整数解至多可以为、、、， ， 解得：， 解一元一次方程， ， 解得：， 该一元一次方程的解为非负整数，且要求为整数， ， ， 综上可得解集为， 能取到的整数为、、、、、、、， 时，，不是整数，不符合题意； 时，，是整数，符合题意； 时，，不是整数，不符合题意；， 时，，是整数，符合题意； 时，，不是整数，不符合题意； 时，，是整数，符合题意； 时，，不是整数，不符合题意； 时，，是整数，符合题意， 符合条件的所有整数有、、、， 则符合条件的所有整数和为． 20. 材料一：若一个四位自然数，满足千位上的数字与个位上的数字之和为10，百位上的数字与十位上的数字之和也为10，则称这个四位自然数为“巧十”数，那么最小的“巧十”数为________； 材料二：“五一”期间，小语一家自驾出游，出发时汽车里程表上显示的数刚好为一个“巧十”数，到达目的地时里程表上显示的数为，行驶时间刚好为一个整数，经计算发现汽车行驶全程的平均时速为77千米，则满足条件的“巧十”数的最大值与最小值的差为__________． 【答案】 ①. 1199 ②. 909 【解析】 【分析】根据定义，千位最小取1，则个位；百位最小取1，则十位，继而求解． 根据已知条件分别表示出出发和到达的里程数，进而求出行驶的里程数，然后结合平均时速和行驶时间为整数求解即可． 【详解】解： 根据“巧十”数定义可知，要使“巧十”数最小，则千位最小取 ，，百位数最小也取1，则 ，因此，最小的“巧十”数为1199； 因为出发时的里程数为，到达时的里程数为，则行驶的路程为． 因为平均时速为77，行驶时间为整数，所以为正整数，则必须是7的正整数倍数． 因为取值为1到9之间的数，显然满足条件的的值为． 当时，由，得，即． 满足条件的结果有： ，，对应数为1289， ，，对应数为2198， 综上可知，满足条件的数有1289、2198，则最大值与最小值的差为 ． 三、解答题（本大题8个小题，第21题6分，第22题8分，第23题6分，其余每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上． 21. 解不等式组：，在数轴上画出解集，并写出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，其整数解为，，，数轴见解析 【解析】 【分析】分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，在数轴上画出解集，得到整数解，即可求解． 【详解】解： 解不等式①： ， 解不等式②： ， 不等式组的解集为，其整数解为，，， 在数轴上画出解集如下： 22. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先去括号，合并同类项，再根据绝对值和算术平方根的非负性计算出a和b的值，最后代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ，， ，， 原式 ． 23. 请将下面的解答过程补充完整． 在中，已知，垂足为，是的角平分线，，试判断与的位置关系，并说明理由． 解：与的位置关系为： ① ，理由如下： （已知） （垂直的定义） 是的角平分线（已知） ② ， ③ （同位角相等，两直线平行） ④ （ ⑤ ） ⑥ 【答案】；；；；两直线平行，同位角相等；． 【解析】 【分析】根据垂直的定义得到，由角平分线的定义以及推出，得到，推出，即可求解． 【详解】解：与的位置关系为：，理由如下： （已知） （垂直的定义） 是的角平分线（已知） ， ， ， （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） ． 故答案为：；；；；两直线平行，同位角相等；． 24. 月日是“国际劳动节”，某校学生会发起了“劳动最光荣”的家务劳动主题活动，鼓励学生利用小长假主动参与家务劳动．返校之后，为了解学生假期家务劳动时间的情况，校学生会随机调查了部分学生的劳动时间（单位：分钟），将劳动时间分为四组，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题． 学生劳动时间统计表 组别 时间 人数 组 组 组 组 （1）本次抽样调查共抽取了_______名学生； _______；扇形统计图中组对应的圆心角度数为_______； （2）补全频数分布直方图： （3）若将劳动时间在分钟以上（包括分钟）的学生评为“劳动小模范”，且该校共有名学生，请估计该校“劳动小模范”有多少人？ 【答案】（1），， （2）见解析 （3）该校“劳动小模范”有人 【解析】 【分析】（1）由组人数及其所占百分比可得抽取的总人数，用抽取的总人数减去其他各组的人数可得的值，用乘以组所占百分比得到组对应的圆心角度数； （2）根据的值补全频数分布直方图即可； （3）总人数乘以样本中“劳动小模范”人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查共抽取学生（名）， ， 扇形统计图中组对应的圆心角度数为； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：（人）， 该校“劳动小模范”有人． 25. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到．请在图中画出，并写出对应的坐标（_______），（_______），（_______）． （2）若为第三象限内的一点，且的面积小于，求的取值范围． 【答案】（1），，，图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角坐标系中点平移的性质得到、、的对应点、、，再依次连接即可； （2）设中边上的高为，求出的底为，根据题意列不等式求出的范围，结合图形即可求解． 【小问1详解】 解：，，，将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到， ，，， 如图，即为所求； 【小问2详解】 设中边上的高为， ，， ， 的面积小于， ， 解得， 又为第三象限内的一点， ，即． 26. 5月4日“快乐读书吧”开业大酬宾，店家计划从商场购进笔筒和马克杯共50个，用于赠送到店消费的顾客．已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元，购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． （1）求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ （2）店家计划购进笔筒个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有几种采购方案？ （3）店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个马克杯； 方式二：全场商品享受九折优惠． 在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进笔筒最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 【答案】（1）笔筒单价为17元，马克杯单价为15元，见详解 （2）店家共有4种采购方案，见详解 （3）选择方式二采购总价更低 【解析】 【分析】（1）根据“2个笔筒+3个马克杯=79元、3个笔筒+2个马克杯=81元”列二元一次方程组求解即可； （2）根据“马克杯数量笔筒数量的、总费用元”列一元一次不等式组，求整数解即可确定采购方案数； （3）分别计算方式一、方式二的总价，比较大小即可． 【小问1详解】 解：设笔筒的单价为元，马克杯的单价为元，根据题意，得 解得 笔筒单价为17元，马克杯单价为15元； 【小问2详解】 解：根据由题意，得 解得． 为正整数， ，，，， 店家共有4种采购方案； 【小问3详解】 解：由（2）可知店家想要购进笔筒最多的方案为：笔筒30个，马克杯20个． 方式一：设实际需购买马克杯个，则购买商品总数为件． 当时，总购买数为45件，可获赠（个）马克杯，共获得（个），不满足要求； 当时，总购买数为46件，可获赠（个）马克杯，共获得（个），满足要求； 所以采购总价为（元）； 方式二： 采购总价为（元）． ， 选择方式二采购总价更低． 27. 阅读材料：在平面直角坐标系中，点关于轴对称后得到点． 现在我们规定一种型复合对称：先把点关于轴对称，再将对称后的点横坐标加，得到对应点，我们把这种变换叫做点的“型对称变换”．对于平面直角坐标系中的图形，将图形上的所有点进行“型对称变换”称为图形的“型对称图形” 例如：将点作“3型对称变换”：，，对应点为． 在平面直角坐标系中，已知点和点． （1）将点进行“2型对称变换”后的对应点的坐标为_________； （2）将线段进行“型对称变换”后与轴有公共点，则的取值范围为__________； （3）已知同一平面内两点，，将线段进行“1型对称变换”后得到的对应线段为，在坐标轴上是否存在一点，使得，若存在请求出所有符合条件的点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据规定即可求解； （2）先求得，，再根据与轴有公共点，可得，即可求解； （3）先求得，，，再分点在轴上、在轴上进行讨论即可求解． 【小问1详解】 解：将点作“2型对称变换”：，，对应点为． 【小问2详解】 解：将点作“型对称变换”：，，对应点为， 将点作“型对称变换”：，，对应点为， ∵将线段进行“型对称变换”后与轴有公共点， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：将点作“1型对称变换”：，，对应点为， 将点作“1型对称变换”：，，对应点为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点在轴上时，设， ∵，， ∴， 解得，， ∴或； 当点在轴上时，设， ∵，， 当时，如图，， 解得，不符合，舍去； 当时， 如图，在的上方时， ， 解得， ∴； 如图，在的下方时， ， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 28. 在中，和的平分线交于点，过点作分别交、于点、， （1）如图1，若，，求； （2）如图2，延长至点，延长至点，同一平面内有一点位于下方，连接、，满足， ，平分交于点，平分交于点，过点作于点，若，求的度数； （3）如图3，在（1）问的条件下，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得，同时绕点以每秒的速度逆时针旋转得，为的角平分线，设运动时间为秒，在运动过程中，当直线与中任意一边平行时，请直接写出符合条件的时间的值． 【答案】（1） （2） （3）或或或或 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质计算即可得出结果； （2）先求出，从而可得，再求出，结合，计算得出，最后再由角平分线的定义以及三角形外角的定义及性质计算即可得出结果； （3）分五种情况：当时，延长交的延长线于点，则；当时，延长交于点，则；当时，延长交于点，交于点，则；当时，延长交于点，则；当时，延长交于点，则 ；分别结合平行线的性质，列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵在中，平分， ∴， ∵， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵ ， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ， ∵平分交于点， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵平分交于点， ∴ ， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图，当时，延长交的延长线于点，则， ∵， ∴ ， ∵将绕点以每秒的速度顺时针旋转得，同时绕点以每秒的速度逆时针旋转得，设运动时间为秒， ∴，， 由（1）可得： ，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 解得：； 如图，当时，延长交于点，则， ∵ ， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴ ， 解得； 如图，当时，延长交于点，交于点，则， ∵ ， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， 由旋转的性质可得 ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 解得：； 如图，当时，延长交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 解得：； 如图，当时，延长交于点，则 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 解得：； 综上所述，符合条件的时间的值为或或或或． 【点睛】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；旋转的性质：旋转前后对应角相等；采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $