精品解析：2026年浙江省嘉兴市嘉善县初中教学质量调研九年级二模数学

嘉善县初中教学质量调研 数学试题卷（2026.5） 温馨提示： 1．全卷共6页，24小题．满分120分．考试时间120分钟． 2．答题前请仔细阅读答题纸上的注意事项． 3．所有试题答案均写在答题纸上，写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年1月17日，我国首台串列型高能氢离子注入机成功出束，它能产生7500000电子伏特高能束流．那么，数字“7500000”用科学记数法可写作（ ） A. B. C. D. 3. 下图所示的三视图所对应的正三棱柱是（注：箭头方向为主视方向）（ ） A. B. C. D. 4. 已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于M，N两点，若点M的坐标是（2，-1），则点N的坐标是（ ）． A. N（-1，-2） B. N（1，-2） C. N（-2，1） D. N（-2，-1） 5. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线交边于点E．若，，，则的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 如下图，和是以点为位似中心的位似图形．已知，，若的面积为4，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 25 7. 振华中学开设了五门校本课程，分别是“围棋”、“足球”、“篮球”、“书法”、“茶艺”，要求每位同学都参与选课报名，并且每人限报一门课程．学校学生会为及时了解同学们的报名情况，随机抽取了部分同学进行调查，最后绘制了两幅调查统计图，但是由于工作人员的疏忽，其中的条形统计图不慎被墨水污染（如图所示）．在扇形统计图中，“茶艺”课程对应扇形的圆心角（ ） A. B. C. D. 8. 我国在太空通讯领域成就斐然，2026年初，中国向国际电信联盟（ ）提交了总数超过20万颗卫星的轨道资源申请．卫星绕地运行的周期与其轨道半径之间存在如下关系：（为常数）．现有两颗人造卫星，其绕地运行周期之比，则其轨道半径之比（） A. B. C. D. 9. 如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”．下图中的“完美矩形”，其周长为26，则正方形的边长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 已知平面直角坐标系内的三点，，，其中，两点的坐标分别为，，点满足（为坐标原点），则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算： _____． 12. 关于的不等式组的解如下图所示，则的值为_____． 13. 连续掷一枚质地均匀的骰子（一种正方体形状玩具，各面分别标有数字1～6）两次，那么两次所得点数之和为5的概率为_____． 14. 某山区城市所辖的，两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在，两城间建造一座特大型跨江大桥．如图，观测点与小城在江的同一侧，从小城释放的一架无人机以千米/分钟的速度径直飞往观测点，分钟后到达点，同时测得，．则，两座小城相距_____千米． 15. 如图1，在盛有某种液体的烧杯上方有一弹簧测力计，该测力计下方悬挂着一个质地均匀的圆柱体金属块，一开始金属块的下底面恰与烧杯口齐平．随着金属块匀速下降，弹簧测力计的示数（单位：）与金属块下降的高度（单位：）之间的关系如图2所示．已知当该金属块刚好被液体完全浸没时，金属块下底面距烧杯底部的高度恰好是烧杯高度的一半（烧杯底部厚度不计），则该烧杯的高度_____．（知识小贴士：①金属块所受浮力与其排开液体的体积成正比；②当金属块在液面上方时，；③当金属块浸入液体后，．） 16. 如下图，在中，平分交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接，若，则_____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 解方程组：． 19. 每年的5月12日是“全国防灾减灾日”，为提高同学们的防灾减灾意识、普及防灾救助知识，振华中学在七、八年级开展了一次知识测试问卷调查活动．为快速了解测试情况，学校团委从这两个年级各随机抽取了15名同学的测试成绩，并对收集到的成绩（单位：分）进行了整理分析．部分信息如下： ■数据收集 所抽取的七年级学生的测试成绩： 72，75，88，95，68，88，72，62，94，96，78，68，63，93，88 ■数据整理 所抽取的七年级学生成绩的频数分布统计表（成绩用表示）： 分组 频数 4 3 4 所抽取的七年级、八年级学生成绩的统计量，如下表： 众数 平均数 中位数 七年级 88 80 八年级 86 82 85 ■数据分析 请你依据以上信息，解决下列问题． （1）请你写出： ， ； （2）已知学生小魏发现自己的测试成绩进不了本年级的前，为了解另外一个年级的情况，小魏与另一年级的学生小唐进行了交流，小唐说：“你的成绩在我们年级能妥妥地排进前”．据此，请你判断小魏所在的年级，并说明理由； （3）此次知识测试成绩不低于90分为优秀等第，已知振华中学八年级共有300名学生参加此次测试，且八年级学生的优秀率是七年级的1.5倍，请你估算在本次测试中，该校八年级获得优秀等第的学生人数． 20. 观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： （1）求的值； （2）比较与2026的大小，并说明理由． 21. 如图，在中，交于点，为的中点，连结，，． （1）作，垂足为，求的长； （2）求的值． 22. 如图，四边形是边长为4的正方形，点是边上异于端点的任意一点，交于点，点是点关于直线的对称点，交于点，连接，． （1）求证：； （2）若四边形是平行四边形，连接，求的长度． 23. 已知抛物线经过，，这三点中的两个点． （1）求的值； （2）已知（其中）， ①若此时函数的最小值为，求实数的最大值； ②设是一条平行于轴的直线，此时，我们把函数图象上到直线距离为的点的个数记作．当，时，，求直线与的交点坐标． 24. 如图，已知内接于，，，连结并延长交于点．点是线段上异于端点的动点，过点作分别交，边，边于点，，，且点在左侧． （1）求证：； （2）求证：； （3）设，当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉善县初中教学质量调研 数学试题卷（2026.5） 温馨提示： 1．全卷共6页，24小题．满分120分．考试时间120分钟． 2．答题前请仔细阅读答题纸上的注意事项． 3．所有试题答案均写在答题纸上，写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的倒数是． 2. 2026年1月17日，我国首台串列型高能氢离子注入机成功出束，它能产生7500000电子伏特高能束流．那么，数字“7500000”用科学记数法可写作（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 3. 下图所示的三视图所对应的正三棱柱是（注：箭头方向为主视方向）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：从三视图可知，主视图是长方形，左视图是正三角形，俯视图是中间有横线的长方形，故只有选项C符合题意． 4. 已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于M，N两点，若点M的坐标是（2，-1），则点N的坐标是（ ）． A. N（-1，-2） B. N（1，-2） C. N（-2，1） D. N（-2，-1） 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点M的坐标求出正比例函数和反比例函数解析式，然后联立两个解析式求得点N的坐标． 【详解】∵正比例函数y＝x(k1≠0)与反比例函数y＝（k2≠0）的图象都经过点M(2，-1) ∴－1=2，－1= 解得：， ∴正比例函数为：，反比例函数为：y＝ 联立这两个函数得： 解得：或 ∴点N的横坐标为－2，代入正比例函数得，y=1 ∴N(－2，1) 故选：C 【点睛】本题考查求函数解析式和交点坐标，解题关键是求解出2个函数的解析式． 5. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线交边于点E．若，，，则的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由作图得：垂直平分，进而得出，推出，根据勾股定理得出，进而可得出答案． 【详解】解：连接， 由作图得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等． 6. 如下图，和是以点为位似中心的位似图形．已知，，若的面积为4，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似变换的概念得到，，从而得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于4， ∴的面积为 ． 7. 振华中学开设了五门校本课程，分别是“围棋”、“足球”、“篮球”、“书法”、“茶艺”，要求每位同学都参与选课报名，并且每人限报一门课程．学校学生会为及时了解同学们的报名情况，随机抽取了部分同学进行调查，最后绘制了两幅调查统计图，但是由于工作人员的疏忽，其中的条形统计图不慎被墨水污染（如图所示）．在扇形统计图中，“茶艺”课程对应扇形的圆心角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据足球的人数和占比求出随机抽取的同学数，再用乘以茶艺的占比即可求出“茶艺”课程对应扇形的圆心角． 【详解】解：由题意可得，随机抽取的同学数为， ∴在扇形统计图中，“茶艺”课程对应扇形的圆心角 8. 我国在太空通讯领域成就斐然，2026年初，中国向国际电信联盟（ ）提交了总数超过20万颗卫星的轨道资源申请．卫星绕地运行的周期与其轨道半径之间存在如下关系：（为常数）．现有两颗人造卫星，其绕地运行周期之比，则其轨道半径之比（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题给的周期与半径的关系式，利用比例性质和幂的运算推导轨道半径之比即可 【详解】解：∵ （为常数）， ∴对两颗卫星可得 ， ， ∴，变形可得， 已知 ，即， 代入得， ∴，即 ． 9. 如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”．下图中的“完美矩形”，其周长为26，则正方形的边长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得，，由“完美矩形”的周长得，列式计算即可求解． 【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d， ∵“完美矩形”的周长为26， ∴， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴， ∴正方形d的边长为5． 10. 已知平面直角坐标系内的三点，，，其中，两点的坐标分别为，，点满足（为坐标原点），则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定点B的轨迹为直线，再得到点C的轨迹为圆，确定，，然后分两种情况分析：当时，得出圆半径，，过点D作轴，过点E作轴，交于点G，连接，确定，，结合图形得出，过点D作交圆于点C，此时取得最小值，利用等面积法求解即可；然后利用同样的方法得出，即可求解 【详解】解：∵ 点坐标为， 设，则，， ∴ ，即点在直线上， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵ ，，， ∴点在以为弦，圆心角为的圆上， ∴中点为，的垂直平分线为， 设圆心为， ∵ ，，， ∴，即 ， 解得，， 当时，， ∴圆半径，， 过点D作轴，过点E作轴，交于点G，连接，如图所示： ∴四边形 为矩形， ∴， ∴， ∴ ， 过点D作交圆于点C，任取一点，连接， ∵， ∴当点C位于图中位置时，取得最小值， ∴， 解得： ∴的最小值是：； 同理：当时，， 如图所示：， ∴不符题意，舍去， 综上可得：的最小值是： 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算： _____． 【答案】5 【解析】 【详解】解：原式． 12. 关于的不等式组的解如下图所示，则的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】解不等式组得到不等式组的解集，和数轴得到的不等式组的解集比较即可得到答案． 【详解】解： 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， 数轴得到不等式组的解集为， ∴． 13. 连续掷一枚质地均匀的骰子（一种正方体形状玩具，各面分别标有数字1～6）两次，那么两次所得点数之和为5的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出连续投掷两次骰子所有等可能的结果总数，再找出两次点数之和为5的结果数，再根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：根据题意，将两次抛掷骰子产生的情况列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由表中数据可知，共有36个等可能结果出现，其中和为5的有4次， ∴． 14. 某山区城市所辖的，两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在，两城间建造一座特大型跨江大桥．如图，观测点与小城在江的同一侧，从小城释放的一架无人机以千米/分钟的速度径直飞往观测点，分钟后到达点，同时测得，．则，两座小城相距_____千米． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求出的长度，再结合三角形内角和定理得到，判定为等腰三角形得到，最后通过构造含角的直角三角形，利用三角函数求出的长度． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ， ， ， ， 设，则，， ，， ， ，即， 解得：， ， 在中，千米． 15. 如图1，在盛有某种液体的烧杯上方有一弹簧测力计，该测力计下方悬挂着一个质地均匀的圆柱体金属块，一开始金属块的下底面恰与烧杯口齐平．随着金属块匀速下降，弹簧测力计的示数（单位：）与金属块下降的高度（单位：）之间的关系如图2所示．已知当该金属块刚好被液体完全浸没时，金属块下底面距烧杯底部的高度恰好是烧杯高度的一半（烧杯底部厚度不计），则该烧杯的高度_____．（知识小贴士：①金属块所受浮力与其排开液体的体积成正比；②当金属块在液面上方时，；③当金属块浸入液体后，．） 【答案】24 【解析】 【分析】根据图象先确定金属块重力，再利用浸入不同深度时的拉力，计算出部分浸入和完全浸没时的浮力．利用浮力与浸入高度成正比的关系，通过比例式求出金属块自身的高度．根据完全浸没时金属块下底面距杯底高度为烧杯高度的一半，结合金属块总下降高度，列方程求解烧杯高度． 【详解】 金属块未浸入液体时，弹簧测力计示数等于金属块的重力， ， 当金属块下降高度时，开始浸入液体；当时，拉力为 此时金属块浸入液体的高度为，受到的浮力， 金属块完全浸没后，排开液体体积不变，浮力不变，弹簧测力计示数不再变化． 由图象可知，完全浸没时拉力为 完全浸没时金属块受到的浮力 金属块质地均匀，横截面积不变，且浮力与排开液体的体积成正比， 浮力与浸入液体的高度成正比， 设金属块的高度为，可得：， ， 即， 解得， 金属块从杯口下降到刚好完全浸没时，总下降高度为， 又 初始时金属块下底面与烧杯口齐平，下降后，下底面距烧杯底部的高度为， ， 解得． 16. 如下图，在中，平分交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，设的垂直平分线交于点，交于点，交于点，过点作交的延长线于点，证明得出，进而同理证明， 得出，，证明，得出，即，设，则，分别表示出，代入，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，设的垂直平分线交于点，交于点，交于点，过点作交的延长线于点， ∵平分交于点 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 设，则, ∵的垂直平分线交的延长线于点， ∴， ∴ 同理可得， ∴， ∴，， ∵， ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∴ 即 设，则 ∴， ∴ ∵ ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【详解】解： ， 当，时， 原式． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 化简，得， ，得 ⑤， ，得， 解得， 把代入③， 得， 解得． ∴原方程组的解为． 19. 每年的5月12日是“全国防灾减灾日”，为提高同学们的防灾减灾意识、普及防灾救助知识，振华中学在七、八年级开展了一次知识测试问卷调查活动．为快速了解测试情况，学校团委从这两个年级各随机抽取了15名同学的测试成绩，并对收集到的成绩（单位：分）进行了整理分析．部分信息如下： ■数据收集 所抽取的七年级学生的测试成绩： 72，75，88，95，68，88，72，62，94，96，78，68，63，93，88 ■数据整理 所抽取的七年级学生成绩的频数分布统计表（成绩用表示）： 分组 频数 4 3 4 所抽取的七年级、八年级学生成绩的统计量，如下表： 众数 平均数 中位数 七年级 88 80 八年级 86 82 85 ■数据分析 请你依据以上信息，解决下列问题． （1）请你写出： ， ； （2）已知学生小魏发现自己的测试成绩进不了本年级的前，为了解另外一个年级的情况，小魏与另一年级的学生小唐进行了交流，小唐说：“你的成绩在我们年级能妥妥地排进前”．据此，请你判断小魏所在的年级，并说明理由； （3）此次知识测试成绩不低于90分为优秀等第，已知振华中学八年级共有300名学生参加此次测试，且八年级学生的优秀率是七年级的1.5倍，请你估算在本次测试中，该校八年级获得优秀等第的学生人数． 【答案】（1）4；78 （2）八年级；见解析 （3）120人 【解析】 【分析】（1）用总人数减去其余三个组的频数即可得到的值；先将七年级15名学生的成绩按从小到大的顺序排列，因为样本量为奇数，所以中位数是排序后位于第8位的数，据此可得的值； （2）首先明确前对应的是成绩高于本年级中位数，结合小魏在自己年级排不进前、在另一年级能排进前的条件，对比七、八年级的中位数，即可判断小魏所在年级． （3）先根据七年级抽取的样本计算七年级的优秀率，因为八年级优秀率是七年级的1.5倍，所以用七年级优秀率乘以1.5得到八年级优秀率，再乘以八年级总人数300即可估算八年级优秀人数． 【小问1详解】 解：一共抽取15名七年级学生，因此 ； 将七年级成绩从小到大排列，62，63，68，68，72，72，75，78，88，88，88，93，94，95，96， 15个数的中位数是第个数，排序后第8个数为78， ∴； 【小问2详解】 解：小魏所在年级是八年级，理由如下： 中位数的意义是：成绩大于中位数则能进入年级前，小于中位数则不能进入前． ∵七年级中位数为78，八年级中位数为85： 设小魏的成绩为x分， 若小魏在七年级，则其成绩不高于七年级中位数78分（ ）． 而他的成绩能在八年级排进前，则其成绩需高于八年级中位数85分（ ）． ∵ 与 不可能同时成立， 故此假设不成立； 若小魏在八年级，则，当 时，成绩大于七年级中位数78，可以进入七年级前，符合题意． 故小魏是八年级学生． 【小问3详解】 解：抽取的七年级中，优秀（不低于90分）的有4人， ∴七年级优秀率为​； ∵八年级优秀率为七年级的1.5倍，即 ；八年级总人数300人， ∴优秀人数约为人． 20. 观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： （1）求的值； （2）比较与2026的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） ；见解析 【解析】 【分析】（1）根据规律计算的值即可； （2）根据题意，找到前2025个等式求和，再与2026比较即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：，，， ， ， ， ∵ ， ． 21. 如图，在中，交于点，为的中点，连结，，． （1）作，垂足为，求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，用勾股定理求出，根据三角形面积求出的长； （2）过点作，交于，求出，，根据正切的定义即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图，作，垂足为， ∵交于点， ∴， 为的中点，， ． 又∵在直角三角形中，， ． 又， ∵， ； 【小问2详解】 解：过点作，交于， ， 又， ， ∴， ． 又，， ． 又， ． 在直角三角形中，， ，， ． 22. 如图，四边形是边长为4的正方形，点是边上异于端点的任意一点，交于点，点是点关于直线的对称点，交于点，连接，． （1）求证：； （2）若四边形是平行四边形，连接，求的长度． 【答案】（1）证明： ∵ 点与点关于直线对称， ∴ ，即 ． 又∵ ，∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 四边形是正方形， ∴ ，即 ， ∴ （同角的余角相等）． ∵ 四边形是正方形， ∴ ． 在和中： ， ∴ ． （2）4 【解析】 【分析】（1）利用轴对称与垂直定义得到两组直角，借助同角余角相等证一组角相等，结合正方形邻边相等，用判定三角形全等． （2）由轴对称、平行四边形性质结合全等结论，推导出E为中点，依据垂直平分线性质得线段等量关系，结合正方形边长求出长度． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ∵ 点与点关于直线对称， ∴ ，即 ． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ， ∴ ． 由（1）知 ， ∴ ，， ∴ ，即点为线段的中点． 又∵ ， ∴是线段的垂直平分线． ∴． ∵ 正方形的边长为， ∴ ， ∴ ． 23. 已知抛物线经过，，这三点中的两个点． （1）求的值； （2）已知（其中）， ①若此时函数的最小值为，求实数的最大值； ②设是一条平行于轴的直线，此时，我们把函数图象上到直线距离为的点的个数记作．当，时，，求直线与的交点坐标． 【答案】（1）6 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的性质得到，两点均在抛物线上，把点的坐标代入函数解析式得到方程组，解方程即可求出即可； （2）①根据二次函数的性质求出，即可得到答案；②由题意可知当且仅当时，，求出经过，两点的一次函数为，进一步即可求出直线与的交点坐标． 【小问1详解】 解：抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，函数值随的增大而减小， ∴由，两点坐标可知不在抛物线上． 由此可知，两点均在抛物线上， 将，代入， 可得 解得， ； 【小问2详解】 解：①由（1）可知，， ∴，即． 当时，， ∴根据抛物线关于对称可知， 当时，． 又由于抛物线开口向下，函数的最小值为， ， 解得， 又， ， 的最大值为； ②由题意可知当且仅当时，， 设经过，两点的一次函数为， 将，代入， 可得 解得， 即经过，两点的一次函数为， 设直线与的交于点， ， ∴在中令， 解得， ∴直线与的交点． 24. 如图，已知内接于，，，连结并延长交于点．点是线段上异于端点的动点，过点作分别交，边，边于点，，，且点在左侧． （1）求证：； （2）求证：； （3）设，当时，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到 ，．根据等边对等角得到，则，根据等角的补角相等即可得到结论； （2）连结，，，证明 ，则 ，由即可得到结论； （3）证明，得到，又由，，得到 ，设 ，根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 证明：， ，． 又， ， ， ； 【小问2详解】 证明：连结，，， ∵， ， ∵， ． 又由（1）知 ， ， ，即 ， ∵， ； 【小问3详解】 解：∵在中，， ， 而过点， ， ∵ ∴，， ， 又， ， ， ． 又，， ． 设 ， 又 ， ∴当时， ． 当时， ， 即 ， ∴当时， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $