连接或延长构造三线八角 平行线“拐点”常见类型 折叠求角专项训练 （含答案）2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行线与折叠问题，通过“辅助线构造+类型化模型+解题大招”构建系统性方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |连接或延长构造三线八角|4题|连接/延长构造截线，转化为三线八角|从基本辅助线作法到角度关系推导，夯实平行线性质应用基础| |平行线“拐点”常见类型|14题|M型（∠APC=∠A+∠C）、铅笔型（∠B+∠BPD+∠D=360°）等4类模型|按图形特征分类，提炼“作平行线”通法，实现复杂图形角度转化| |折叠求角|5题|利用重合角、平行线性质及复原图形找关系|结合折叠对称性，强化空间观念，训练动态图形角度推理|

连接或延长构造三线八角 平行线“拐点”常见类型 折叠求角专项训练 连接或延长构造三线八角 类型一 连接构造三线八角 1.如图,E,F,G,H 分别为AB,AD,BC,CD 上的点,且AD∥BC,EF∥GH.求证:∠AFE=∠CGH. 2.过程性探究，补全下面的证明过程. 如图,F 是BC 上一点,FG⊥AC 于点G,H 是AB 上一点,HE⊥AC于点E,∠1=∠2.求证:DE∥BC. 证明：如图，连接EF. ∵FG⊥AC,HE⊥AC, ∴∠FGC=∠HEC=90°( ), ∴FG∥ ( ), ∴∠3=∠ ( ).又∵∠1=∠2, ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠DEF=∠EFC,∴DE∥BC( ). 类型二 延长构造三线八角 3.图1为北斗七星的位置图，图2为其示意图，将北斗七星分别标为点A,B,G,C,D,E,F,将点A,B,G,C,D,E,F 顺次首尾连接.若B,G,C 三点共线,AF 恰好经过点G,且AF∥DE,∠B=∠BCD+8°,∠D=100°,则∠B-∠CGF= . 4.如图,E,F 分别为CD,AB 上的点,且. BC.求证: 平行线“拐点”常见类型 类型一 “M”型 5.如图，已知. 确定 和 之间的数量关系并证明. 6.如图1，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱葱的山间起舞.数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图2所示的图形. (1)如图2, 求 的度数； (2)聪明的小明在图 2的基础上，将图2变为图 3，其中. CD 求 的度数. 类型二 “铅笔”型 7.如图，平行于凸透镜主光轴EF 的光线AB，CD 经过透镜折射聚焦于主光轴的点E 处,若∠ABE=∠CDE=141°,则∠BED=( ) A.39° B.78° C.49° D.98° 8.如图,AB∥CD,DE⊥EF,FG⊥EF,∠ABG=150°,∠CDE=140°,则∠BGF= . 9.补全下面的推理过程. 生活中常见的一种折叠式道闸如图1所示.若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，BA 垂直地面AE 于点A,CD 平行于地面AE,求∠ABC+∠BCD 的度数. 解:如图2,过点B作BF∥AE. ∵CD∥AE( ), ∴( )∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)， ∴∠BCD+( )=180°( ). ∵AB⊥AE, ∴∠EAB=( )( ). ∵BF∥AE(辅助线作法), ∴( )+∠EAB=180°, ∴∠ABF=180°-∠EAB=( ), ∴∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD=( ). 10.在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直. 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件. 已知:如图1,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD 于点E,F,∠BEF 的平分线EG 与∠DFE 的平分线FG 交于点G. (1)直线EG，FG有何位置关系?直接写出结论为 . (2)在图1的基础上,分别作∠BEG 的平分线EM 与∠DFG的平分线FM交于点M，得到图2，求∠EMF 的度数. (3)如图3,AB∥CD,直线EF 分别交AB,CD 于点E,F,点O在直线AB,CD 之间,且在直线 EF 右侧,∠BEO 的平分线EP 与∠DFO 的平分线FP 交于点 P,请直接写出∠EOF 与∠EPF 满足的数量关系: . 11. 如图,AB∥CD,点M,N分别在直线AB,CD 上,点O在直线AB,CD 之间,∠MON=90°. (1)如图1,求∠1+∠2的度数; (2)如图2,直线EF 分别交∠BMO,∠CNO 的平分线于点F,E,求∠NEF-∠MFE 的度数; (3)如图3,∠AMP=n∠OMP,∠DNQ=n∠ONQ,若∠P-∠Q=t°,则 (用含t 的式子表示). 类型三“内钩”型 12.如图,若AB∥CD,点 P 在AB,CD 外部,则∠B,∠D,∠BPD之间有什么数量关系? 类型四“外钩”型 13.如图, ,N是CD上一点,M是AB,CD外一点,连接BM,NM.若 则 的度数为 °.. 14.如图,直线 EF分别交AB,CD 于点 P,Q, 垂足为P，已知 (1)AB 和 CD 平行吗? 为什么? (2)M 是平面内一点,连接BM,DM, 求 的度数. 折叠求角 类型一利用重合角与平行线求角 15.如图，将长方形纸片沿直线 EF 折叠，点A 落在点.A'处,点 D落在点D'处，A'E交CD 于点G.若 则 的度数是 ( ) A. B. C. D. 16.如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点 D 与点B 重合，点C落在点C'处，折痕为 EF.若 则 的度数为( ) A. B.22° C.20° D. 类型二复原图形找角度关系 17.有一组对边互相平行的纸带按如图所示的方式折叠，则 的度数为 ( ) A. B. C. D. 类型三 多次折叠 18.| 如图，将长方形纸片ABCD 沿着直线EF 折叠后，点A，B分别落在点A',B'的位置上，再沿着线段AD 折叠后，点.A',B'分别落在点M，N的位置上.已知 则 的度数是 ( ) A. B. C. D. 19.如图1，将一条长方形纸带沿 EF 折叠，设 (1)若x=130,则 (2)将图1中的纸带继续沿 BF 折叠如图2所示，则. °.(用含x的代数式表示) 1.证明;如图,连接FG. ∵AD∥BC,∴∠AFG=∠CGF. ∵EF∥GH,∴∠EFG=∠HGF,∴∠AFG-∠EFG=∠CGF-∠HGF,即∠AFE=∠CGH. 2.解:如题图,连接EF. ∵FG⊥AC,HE⊥AC, ∴∠FGC=∠HEC=90°(垂直的定义), ∴FG∥HE(同位角相等，两直线平行)， ∴∠3=∠4(两直线平行，内错角相等). 又∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠DEF=∠EFC, ∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行). 故答案为垂直的定义；HE；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行. 3.108°延长 DC交AF 于点K,如图所示. ∵AF∥DE,∴∠GKC=∠D=100°. ∵∠B=∠BCD+8°,∠CGF+∠GKC+∠GCK=180°,∠GCK+∠BCD=180°,∴∠BCD=∠CGF+∠GKC, ∴∠B-∠CGF=∠BCD+8°-∠CGF 4.证明:如图,延长DA,CF 交于点G. ∵AD∥BC,∴∠G=∠BCF. ∵∠DAE=∠BCF,∴∠G=∠DAE, ∴AE∥CF. 5.解:∠BED=∠B+∠D. 证明:如图,过点E作EF∥CD, ∴∠1=∠D. ∵EF∥CD,AB∥CD, ∴EF∥AB,∴∠2=∠B, ∴∠1+∠2=∠B+∠D,即∠B,∠D 和∠BED 之间的数量关系为∠BED=∠B+∠D. 解题大招 “M”型:如图,已知AB∥CD,作PQ∥AB, 则∠APC=∠A+∠C. 6.解:(1)如图,过点P作PN∥AB, ∴∠B+∠BPN=180°. ∵∠B=125°,∴∠BPN=180°-∠B= ∵AB∥CD,∴PN∥CD. ∵∠C=25°,∴∠CPN=∠C=25°, (2)如图,过点P作PN∥AB,过点Q作QM∥AB. ∵AB∥CD,∴AB∥PN∥QM∥CD, ∴∠B+∠BPN=180°,∠NPQ=∠PQM,∠MQC+∠C=180°. ∵∠B=125°,∠C=145°, ∵∠PQC=65°, ∴∠PQM=∠PQC-∠CQM=65°-35°=30°, ∴∠NPQ=∠PQM=30°, ∴∠BPQ=∠BPN+∠NPQ=55°+30°=85°. 7. B ∵AB∥CD∥EF,∠ABE=∠CDE=141°, ∴∠BEF=180°-141°=39°,∠DEF=180°-141°=39°, ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=39°+39°=78°. 解题大招 “铅笔”型:如图,已知AB∥CD,作PQ∥AB, 则∠B+∠BPD+∠D=360°. 8.70°如图,分别过点G,F,E作GH∥AB,FM∥AB,EN∥AB. ∵AB∥CD,∴AB∥CD∥GH∥FM∥EN, ∴∠ABG+∠BGH=180°,∠HGF=∠MFG,∠MFE=∠NEF,∠CDE+∠DEN=180°. ∵∠ABG=150°,∠CDE=140°, ∴∠BGH=30°,∠DEN=40°. ∵DE⊥EF,FG⊥EF, ∴∠GFE=∠MFG+∠MFE=90°,∠FED=∠NEF+∠DEN=90°, ∴∠MFG=90°-∠MFE,∠NEF=90°-∠DEN=50°, ∴∠MFE=∠FEN=50°, ∴∠MFG=40°=∠HGF, ∴∠BGF=∠BGH+∠HGF=30°+40°=70°. 9.解:如题图2,过点 B作BF∥AE. ∵CD∥AE(已知), ∴BF∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)， ∴∠BCD+∠CBF=180°(两直线平行,同旁内角互补). ∵AB⊥AE,∴∠EAB=90°(垂直的定义). ∵BF∥AE(辅助线作法), ∴∠FBA+∠EAB=180°, ∴∠ABF=180°-∠EAB=90°, ∴∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD=270°.故答案为已知；BF；∠CBF；两直线平行，同旁内角互补；90°;垂直的定义;∠FBA;90°;270°. 10.解:(1)EG⊥FG 提示:∵AB∥CD,∴∠BEF+∠EFD=180°. ∵EG平分∠BEF,FG平分∠DFE, ∴∠G=180°-90°=90°, ∴EG⊥FG. (2)如图,过点 M 作MN∥AB. ∵AB∥CD,∴MN∥CD∥AB, ∴∠EMN=∠BEM,∠FMN=∠MFD, ∴∠EMN+∠FMN=∠BEM+∠MFD, ∴∠EMF=∠BEM+∠MFD.同理可得,∠EGF=∠BEG+∠DFG. ∵EM平分∠BEG,FM平分∠DFG, ∴∠BEG=2∠BEM,∠DFG=2∠DFM, ∴∠EGF=2(∠BEM+∠MFD)=2∠EMF. 由(1),知∠G=90°,∴∠EMF=45°. (3)∠EOF=2∠EPF 提示:∵EP平分∠BEO,FP平分∠DFO, ∴∠BEO=2∠BEP,∠DFO=2∠DFP, ∴∠BEO+∠DFO=2(∠BEP+∠DFP). 易得∠EOF=∠BEO+∠DFO,∠EPF=∠BEP+∠DFP,∴∠EOF=2(∠BEP+∠DFP)=2∠EPF.故答案为∠EOF=2∠EPF. 11.解:(1)如图,过点O作OE∥AB. ∵AB∥CD,∴OE∥AB∥CD, ∴∠EON=∠1,∠EOM=∠2, ∴∠1+∠2=∠EON+∠EOM=∠MON=90°. (2)如图,过点 E 作EP∥CD,过点 F 作FQ∥AB. ∵AB∥CD, ∴EP∥FQ∥AB∥CD. ∵MF平分∠OMB, ∴设∠BMF=∠OMF=α. ∵NE平分∠ONC, ∴设∠CNE=∠ONE=β,∠OND=180°-2β. 由(1),得∠DNO+∠BMO=90°, ∴180°-2β+2a=90°,∴β-α=45°. 易得∠NEP =∠CNE =β,∠MFQ =∠BMF =α,∠PEF=∠QFE, ∴∠NEF-∠MFE=(∠NEP+∠PEF)-(∠MFQ+∠QFE)=∠CNE-∠BMF=β-α=45°. (3)如图,过点 P 作PS∥AB,过点 Q 作QT∥AB. ∵PS∥AB,QT∥AB, ∴∠SPM=∠AMP,QT∥PS,∴∠TQP=∠QPS. ∵AB∥CD,∴QT∥CD,∴∠DNQ=∠NQT. 由(1)可知,∠BMO+∠DNO=∠MON=90°. 又 ∵ ∠MPQ - ∠NQP = (∠MPS + ∠QPS) -(∠NQT+∠PQT)=t°, ∴∠MPS-∠NQT=t°, ∴∠AMP-∠DNQ=t°. ∵∠AMP=n∠OMP,∠AMP+∠OMP+∠BMO=180°, ∵∠DNQ=n∠ONQ,∠DNQ+∠ONQ=∠DNO, 故答案为 12.解:如图,过点P 作PE∥CD, ∴∠D=∠DPE. ∵AB∥CD,∴AB∥PE, ∴∠B=∠BPE. ∵∠BPD=∠BPE-∠DPE, ∴∠BPD=∠B-∠D. 解题大招- “内钩”型:如图,已知AB∥CD,作PQ∥AB, 则∠DPB=∠D-∠B. 13.40 如图,过点M作ME∥AB, ∴∠ABM+∠EMB=180°. ∵∠ABM=110°, ∴∠EMB=70°. ∵AB∥CD,∴ME∥CD, ∴∠CNM+∠EMN=180°. ∵∠CNM=70°,∴∠EMN=110°, ∴∠BMN=∠EMN-∠EMB=40°. 解题大招 “外钩”型:如图,已知AB∥CD,作PQ∥AB, 则∠BPD=∠B-∠D. 14.解:(1)AB∥CD.理由如下: ∵PG⊥EF,∴∠GPE=90°,∴∠GPB+∠APE=90°.又∵∠GPB+∠PQC=90°,∴∠APE=∠PQC,∴AB∥CD. (2)如图,过点M作MN∥AB. ∵AB∥CD,∴MN∥CD∥AB, ∴∠B+∠BMN=180°. ∵∠B=120°,∴∠BMN=60°. ∵MN∥CD, ∴∠BMD=∠DMN−∠BMN=110°−60°=50°. 15. D 由题意,知EA'∥FD',∴∠D'FE+∠FEA'=180°. ∵∠D'FE=140°,∴∠FEA'=40°. 由折叠的性质，得. 解题大招 把一张长方形纸片折叠，隐含着相等的角和相等的边及长方形的两组对边平行. 16. B ∵BE∥FC',∴∠BEF+∠EFC'=180°. 由折叠的性质,得∠DEF=∠BEF=56°, 17. D 如图,延长AB 至点 C. ∵AB∥DF,∴∠ABE=∠DEG=40°, ∴∠EBC=140°. 由折叠的性质，得 即∠FBC=70°. ∵AB∥DF,∴∠α=∠FBC=70°. 18. B ∵AD∥BC,∴∠B'GD=∠CFG=70°. ∵A'E∥B'G,∴∠A'EG=∠B'GD=70°, ∴∠MEG=∠A'EG=70°. ∵∠CFG=70°,∴∠GFB=180°-∠CFG=110°. 由折叠的性质，得 ∵AD∥BC,∴∠GEF=∠BFE=55°, ∴∠FEM=∠MEG-∠GEF=70°-55°=15°. 19.解:(1)∵∠AED'=130°, 由折叠的性质可得， ∵AD∥BC,∴∠EFB=∠DEF=25°. 故答案为25. (2)如图,设 ED'与BC 相交于点G. 由折叠的性质，得 由条件可知， 由折叠的性质可知， 故答案为 学科网（北京）股份有限公司 $