利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质探究角度关系专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学下册

利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质探究角度关系专项训练 利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质探究角度关系专项训练 考点目录 利用平行线的判定与性质求角度 利用平行线的判定与性质探究角度关系 考点一 利用平行线的判定与性质求角度 例1.(25-26七年级上山西运城期末)综合与探究 问题情境： 有一副三角板ABC和DEF,LACB=∠EDF=90°，∠DEF=∠DFE=45°，∠BAC=60°，∠ABC=30°，点A始终 在DE边上，点D在三角板ABC内，DF与AB边交于点G. H 图1 图2 图3 初步探究： (1)如图1，若EF∥AB,则∠CAD的度数为 (2)如图2，若∠BGF=75°，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由. 深入探究： (3)如图3，AD平分∠BAC,过点E作EH∥BC,交DF的延长线于点H,求∠HEF的度数 【答案】(1)15；(2)EF∥BC,理由见解析；(3)15 【详解】解：(1)~EF∥AB,∠DEF=45°， ∠DAG=∠DEF=45°， ×∠BAC=60°， ∠CAD=∠BAC-∠DAG=60°-45°=15°， 故答案为：15； (2)BC‖EF,理由如下： 如图，过点G作GMI‖BC, ---M B 1 利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质探究角度关系专项训练 ∠ABC=30°， LBGM=∠ABC=30°， ∠BGF=75°， ∠MGF=∠BGF-∠BGM=45°， ∠DFE=45°， ∴∠MGF=∠DFE=45°， :.GMEF, .BCI EF (3)过点A作ANI‖BC, E B ∠ACB=90°，∠ACB+∠CAN=180°， ∠CAN=90°， ∠BAC=60°， ∠BAN=∠CAN-∠CAB=30°， AD平分∠BAC, ∠CAD=∠BAD=∠BAC=30°， ∴.∠DAN=∠BAN+∠BAD=60°， ∠EAN=180°-∠DAN=120°， ~EH∥BC,ANI‖BC, :.AN EH .∠DEH+∠EAN=180°， ∠DEH=60°， ∠DEF=45°， ∠HEF=∠DEH-∠DEF=I5°. 例2.(25-26七年级上吉林长春期末)【感知】如图①，直线AB∥CD,点E在AB上，点F在CD上，点P是夹 在直线AB、CD之间的一点，连接PE、PF.过点P作PQ∥AB,如果∠AEP=45°，∠CFP=60,则∠EPF= 利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质探究角度关系专项训练 【探究】如图②，直线AB∥CD,点E在AB上，点F在CD上，点P是夹在直线AB、CD之间的一点，连接PE、 PF.请判断∠AEP、∠CFP、∠EPF之间的数量关系，并说明理由， 【应用】如图③，点A、B在射线OM上，点C、D在射线ON上，且直线AD∥BC,点P是射线OM上一动点， 且不与点A、B、O重合，若∠ADP=a,LBCP=B,用含a、的代数式表示∠CPD, (1)当点P在线段OB上时，∠CPD= (2)当点P在线段AB上时，∠CPD= (3)当点P在射线AM上时，∠CPD= M E B A E B M D D N/D /C ① ② ③ 【答案】【感知】105；【探究】∠EPF=∠AEP+∠CFP,理由见详解；【应用】(1)a-B;(2)a+B;(3)B-a 【详解】解：：PQ‖AB‖CD,∠AEP=45°，∠CFP=60, ∠EPQ=∠AEP=45,∠QPF=∠CFP=60°， .∠EPF=∠EPQ+∠QPF=105°， 故答案为：105°； 【探究】∠EPF=LAEP+∠CFP,理由如下： 如图，过点P作PQ∥AB∥CD, P ---------Q.POll ABII CD, D ∴∠EPQ=∠AEP,∠QPF=∠CFP, ,∠EPF=∠EPQ+∠QPF=∠AEP+∠CFP: 【应用】(1)如图，当点P在线段BO上时，过点P作PQ∥AD∥BC,交ON于点Q,连接PD、PC, M、 A B P:PQ∥AD∥BC, ----- N /D /CQò LDPQ=∠ADP=a,∠CPQ=∠BCP=B, 利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质探究角度关系专项训练 .∠CPD=∠DPQ-∠CPQ=a-B; 故答案为：a-B; (2)如图，当点P在线段AB上时，过点P作PQ∥AD∥BC,交ON于点Q,连接PD、PC, M :PQ∥AD∥BC, N /D Q C LDPQ=ADP=a,∠CPQ=∠BCP=B, .∠CPD=∠DPQ+∠CPQ=o+B; 故答案为：a+B; (3)如图，当点P在射线AM上时，过点P作PQ∥AD∥BC,交ON于点Q,连接PD、PC, M B :PQ∥AD∥BC, NQ D ∴∠DPQ=∠ADP=,∠CPQ=∠BCP=B, ∴.∠CPD=∠CPQ-∠DPQ=B-a: 故答案为：B-a. 例3.(25-26七年级上：四川乐山期末)在综合与实践课上，同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线”为背 景开展数学活动.如图，已知两直线m∥n,三角形ABC是直角三角形，点C在直线n上，∠BCA=90°， ∠ABC=60°，∠BAC=30°. m m -n C 图1 图2 图3 操作发现： (1)如图1，若∠1=44°，则∠2=°； 实践探究： (2)如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2-∠1是一个定值.在说明理由时， 组内小乐说：“过点B作直线m的平行线进行等角转化.”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可 以用其它方法)： 拓展延伸： 利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质探究角度关系专项训练 (3)如图3，镇密小组在图2的基础上作射线DG、CG,相交于点G,且∠EDG=∠EDB,∠FCG=∠FCB, 5 求∠DGC的度数. 【答案】(1)134；(2)∠2-∠1=120°，见解析；(3)60° 【详解】解：(1)如图， A B -m∠1+∠BCA+∠3=180°， 1X3 2 C -n ∠3=180°-∠1-∠BCA=46°， :mlln, ∠2+∠3=180°， .∠2=180-∠3=134°， 故答案为：134； (2)∠2-∠1=120°， 证明：如图，过点B作BP∥m,则直线m∥n∥BP, -m B ∠2+∠ABP=180°，∠1=∠CBP, ◇ C Fn ∠ABP=180°-∠2， ∠CBP+∠ABP=∠ABC=60°， :∠1+180°-∠2=60°， ∠2-∠1=120°； (3)如图，作BH∥m,G1∥m, A D m B④H >分 BH∥GI∥m∥n, ∠EDG=∠DGI,∠CGI=LFCG,∠EDB+∠3=180°，LFCB+L4=180°， :ZDGC=ZDGI+ZCGI 利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质探究角度关系专项训练 =LEDG+∠FCG =∠EDB+:∠FCB 1 =号180-23到+180-∠4 =72-号23+4 =72-∠ABC 5 =7-6 =60° 变式1.(25-26七年级上江苏南京·期末)如图，BD⊥AC于点D,EF⊥AC于点F,∠1=∠2. M D G/H 2 C (I)求证BD∥EF; (2)判断GF与BC的位置关系并且证明； (3)若LAMD=LAGF,∠ADM=67°，求∠2的度数. 【答案】（①）见解析 (②)GF∥BC,证明见解析 (3)23 【详解】(1)证明：：BD⊥AC,EF⊥AC, ∴LEFC=LBDC=90°， BD∥EF. (2)解：GF∥BC,理由如下： 由(1)得：BD∥EF, LGFE=∠1， ×∠1=∠2， ∠2=LGFE, GF∥BC. (3)解：LAMD=LAGF, 6 利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质探究角度关系专项训练 ∴GF∥MD, ∠ADM=∠AFG=67°， EF⊥AC, ∠EFC=90°， ∠2=∠GFE=90°-∠AFG=23°. 变式2.(24-25七年级下山东烟台·月考)由已知图形，求角的度数 (1)如图，在ABC中，AN是∠BAC的角平分线，∠B=50°，∠ANC=80°，求∠C的度数. (2)如图，EFI‖AD,∠1=∠2，∠BAC=85°，求LAGD的度数. D 91 G 3入 B E A 【答案】(1)∠C=70 (2)LAGD=95° 【详解】(I)解：~LANC=∠B+∠BAN ∠BAN=∠ANC-∠B=80°-50°=30° ~AN是∠BAC角平分线 ∠BAC=2∠BAN=60° 在ABC中，∠C=180°-∠B-∠BAC=70°. (2)解：EF‖AD, ∠2=∠3， :∠1=∠2， ∠1=∠3， :.DGI AB, :∠AGD+∠BAC=180°， 利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质探究角度关系专项训练 ∠BAC=85°， .∠AGD=95°. 变式3.(25-26八年级上·甘肃兰州期末)如图1，已知AB∥CD,直线AB与CD之间有一点P(点P在直线AC的 右侧)，连接AP,CP. -B 图1 图2 图3 (1)若∠A=40°，∠C=29°，则∠APC的度数为_； (2)探究∠A,LAPC与∠C之间的数量关系，并说明理由； (3)已知AB∥CD,点M,N分别在直线AB,CD上，点P,P均在直线MW的右侧，连接MP,NP,MP,NP,且MP平 分∠BMP. ①如图2，若点P,P均在直线AB和CD之间，NP平分∠DNP,且∠MPN=Io0°，求∠MPN的度数； ②如图3，若点P在直线AB和CD之间，点P在直线CD的下方，ND平分∠PNP.设∠BMP=a,且0°<a<90°， 请直接写出∠MPN+∠MPN的度数（用含a的代数式表示）. 【答案】(1)69° (2)LAPC=∠A+LC,理由见解析 (3)①50°；②3a 【详解】(1)解：如图1，过点P作PQ∥AB, A 一B ∴.PQ∥CD D 图1 .∠APQ=∠A=40°，∠CPQ=∠C=29° ,∠APC=∠APQ+∠CPQ=40°+29°=69° 故答案为：69°： (2)解：∠APC=∠A+∠C;理由如下： 如图1，过点P作PQ∥AB, 利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质探究角度关系专项训练 A 一B .PQ∥CD C D 图1 .∠APQ=∠A,∠CPQ=∠C, ∠APC=∠APQ+∠CPQ, LAPC=LA+∠C; (3)解：①由(2)得∠MPN=∠BMP+∠DNP. :MP平分∠BMP,NP平分∠DNP, ∠BMR=)∠BMR,∠DNR=;∠DNP. 同(2)可得∠MPN=∠BMP+∠DNP 8n+号Dn 1 =(EBMP+∠DNP) 2 ∠MPW=50°， 1 ②∠MPN+∠MPN=3a.理由如下： 如图，过点P作PS∥AB,则有∠BMP=∠MPS. A M -B >P :MP平分∠BMP, D ∴.∠BMP=2∠BMP=2a, ∠MPS=2a. :ND平分∠PNP, ∴∠PND=∠DNP. 同(2)可得∠MPN=∠BMP+∠PND=a+∠DNP, AB∥CD, ∴.PS∥CD, ∠DNP=∠NPS, 9 利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质探究角度关系专项训练 ∴.∠MPN=∠MPS-∠NPS=2a-∠DNP, .∠MPN+∠MPN=a+∠DNP+2a-∠DNP=3a. 10利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质探究角度关系专项训练 利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质探究角度关系专项训练 考点目录 利用平行线的判定与性质求角度 利用平行线的判定与性质探究角度关系 考点一 利用平行线的判定与性质求角度 例1．（25-26七年级上·山西运城·期末）综合与探究 问题情境： 有一副三角板和，，，，，点始终在边上，点在三角板内，与边交于点． 初步探究： （1）如图1，若，则的度数为____________°． （2）如图2，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 深入探究： （3）如图3，平分，过点作，交的延长线于点，求的度数． 例2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 例3．（25-26七年级上·四川乐山·期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，三角形是直角三角形，点C在直线n上，，，． 操作发现： （1）如图1，若，则=_______； 实践探究： （2）如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值．在说明理由时，组内小乐说：“过点B作直线m的平行线进行等角转化．”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可以用其它方法）； 拓展延伸： （3）如图3，缜密小组在图2的基础上作射线、，相交于点G，且，，求的度数． 变式1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，于点于点． (1)求证； (2)判断与的位置关系并且证明； (3)若，求的度数． 变式2．（24-25七年级下·山东烟台·月考）由已知图形，求角的度数 (1)如图，在中，是的角平分线，，，求的度数． (2)如图，，，，求的度数． 变式3．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 考点二 利用平行线的判定与性质探究角度关系 例1．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 例2．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，小明把三角尺角的顶点放在直线上，，若，则 ． （2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系 ．(不用证明) 【综合应用】 （3）在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【学以致用】 （4）已知：直线，三角板中，．三角板如图4位置放置，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由． 例3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知：四边形中，，，D为射线上一动点，连接，交直线于点M，作的角平分线与的角平分线所在直线交于点N． (1)如图1，当D在线段上时，小芳将和的部分对应角度记录如下表：           ①请将上表补全； ②猜想和的数量关系，并说明理由． (2)当D点在延长线上运动时，在图2和图3中补全图形；分别写出和的数量关系． 变式1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图1，线段，若点E是平面内一点且点E不在所在的直线上，连接，作的角平分线与的角平分线交于点G． (1)如图2，若点E在所在直线的上方， ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与的数量关系，并说明理由． (2)若点E在平面内其它位置时，与之间的数量关系是否与（1）相同？画图探究，并根据图形直接写出与之间的数量关系． 变式3．（25-26七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图，，点，分别在直线，上，点是，之间的一点（点不在直线上）． (1)观察猜想 如图1，当点在线段左侧时，为说明，李老师给出了辅助线的作法，请将下面说理过程省略部分补充完整． 解：过点作，…… (2)类比迁移 如图2，当点在线段右侧时，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 若，的平分线相交于点，当时，请直接写出的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $