小问题大用处：高中数学小问题集中营之必修四：三角函数：专题3 三角函数的值域与最值

三角函数的值域与最值是三角函数的重要性质,也是高考数学中经常涉及的问题.它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高,是教学中的一个难点.解决这一类问题的基本途径,同求解其他函数最值一样,一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等）,另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.本专题就来探讨求三角函数最值的一些基本方法 三角函数的值域问题,大多是含有三角函数的复合函数值域问题,常用的方法为：化为代数函数的值域,也可以通过三角恒等变形化为求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的值域；或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域． 求三角函数的值域(最值)时,代数中求值域(最值)的方法均适用,如配方法（注意三角函数的取值范围)、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等． 这里特别提醒以下几种方法： (1)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b),可利用弦函数的有界性求值域或最值；若x范围给定可直接求出ωx＋φ的范围,然后根据单调性求解; (2)对于形如 ,可借助于二倍角公式及辅助角公式,化为 形式,再借助弦函数有界性求解； (3)对于形如 的函数可通过配方法求值域；[来源:学科网ZXXK][来源:学§科§网Z§X§X§K] (4)含有 的函数可通过换元求解. 一 配方法 若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数,切它们次数是2时,一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理. 【例1】 函数 的最小值为（ ）. A． 2 B . 0 C . D . 6 【解析】本题可通过公式 将函数表达式化为 ,因含有cosx的二次式,可换元,令cosx=t,则 配方,得 , 当t=1时,即cosx=1时, ,选B. 【例2】求函数y=5sinx+cos2x的最值 【分析】观察三角函数名和角,其中一个为正弦,一个为余弦,角分别是单角和倍角,所以先化简,使三角函数的名和角达到统一. 【解析】 二 引入辅助角法 【例3】已知函数 当函数y取得最大值时,求自变量x的集合. 【分析】此类问题为 的三角函数求最值问题,它可通过降次化简整理为 型求解. 【解析】