23.3《一次函数与方程(组)、不等式》课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数与一元一次方程、不等式及二元一次方程组的内在联系，通过黄色与蓝色气球上升的实例导入，衔接已学的一次函数概念，为用函数图象解决方程、不等式问题搭建学习支架。 其亮点在于以数形结合思想为主线，通过“数”（函数值、方程解）与“形”（函数图象交点、位置）的转化，培养学生几何直观与推理能力。结合气球上升、租车费用等实例，引导学生抽象数量关系建立模型，既帮助学生提升用函数解决问题的能力，也为教师提供结构化的教学流程与实践案例。

第二十三章 一次函数 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 23.3一次函数与方程(组)、 不等式 1 学习目标 1. 理解一次函数与一元一次方程的内在联系，能运用函数图象求解一元一次方程的解，并解释其几何意义. 2.结合两个一次函数图象的交点坐标，探究一次函数与二元一次方程组的关系，会利用函数图象求二元一次方程组的近似解，体会数形结合思想在解决问题中的作用. 3.依据一次函数的增减性，分析一次函数值大于（或小于）0时自变量的取值范围，掌握用函数图象解一元一次不等式的方法，提升运用函数知识解决实际问题的能力. 2 5m 15m 1 2 1m/s 0.5m/s 3 新知探究 知识点1 一次函数与一元一次方程的关系 如图，一次函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标是0.5.当自变量x的值为0.5时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程2x-1=0的解吗？ 0.5 0.5 -0.5 -1 O y x y=2x-1 思考 4 新知探究 如图，一次函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标是0.5.当自变量x的值为0.5时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程2x-1=0的解吗？ 0.5 0.5 -0.5 -1 O y x y=2x-1 一次函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标为0.5，纵坐标为0.这表明当自变量x的值为0.5时，函数值为0. 由此可以得出一元一次方程2x-1=0的解是x=0.5. 5 新知探究 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程， 从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值； 从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，求它与x轴的交点的横坐标. 6 新知探究 一次函数与一元一次方程的关系 “数”的角度 “形”的角度 求一元一次方程kx+b=0的解. 一次函数y=kx+b中，y=0时x的值. 求一元一次方程kx+b=0的解. 求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标. 7 新知探究 利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 1. 转化：将一元一次方程转化为kx+b=0(k≠0)的形式. 2. 画图象：画出一次函数y=kx+b的图象. 3. 找交点：找出一次函数图象与x轴交点的横坐标，即为一 元一次方程的解. 8 新知探究 例 已知一次函数y=-2x+2，根据图象回答：   (1)当y=0时，求x的值；  (2)当y=2时，求x的值. 解：(1)由图象可知：一次函数y=-2x+2与x轴 的交点为(1，0). ∴ 当y=0时，x=1. (2)由图象可知：一次函数y=-2x+2与y轴的 交点为(0，2). ∴ 当y=2时，x=0. 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 O y x 9 新知探究 知识点2 一次函数与一元一次不等式的关系 如图，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式2x-1>0与2x-1<0的解集吗? 0.5 0.5 -0.5 -1 O y x y=2x-1 思考 10 新知探究 如图，当图象上点的纵坐标大于0时，点在 x轴上方，其横坐标大于0.5，即函数值大于 0时x的取值范围是x>0.5； 当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方， 其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取 值范围是x<0.5. ∴不等式2x-1>0的解集是x>0.5，2x-1<0的解集是x<0.5. 0.5 0.5 -0.5 -1 O y x y=2x-1 11 新知探究 对于可化为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的一元一次不等式，在求它的解集时， 从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围； 从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围. 12 新知探究 一次函数与一元一次不等式的关系 “数”的角度 “形”的角度 求kx+b＞0(或＜0)(k≠0)的解集. y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围. 求kx+b＞0(或＜0)(k≠0)的解集. 直线y=kx+b在x轴上方(或下方)的图象所对应的x的取值范围. 13 新知探究 -6 1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6 O y=x+2 例 画出函数y=x+2的图象，利用图象： (1)求不等式x+2<0的解集； (2)若-1≤y≤3，求x的取值范围. 解：(1)由图象知，不等式x+2<0的解集是x<-2； (2)由图象知，当-1≤y≤3时，x的取值范围是-3≤x≤1. y x 14 新知探究 思考： x+y=5 它表示什么呢？ 它表示一个二元一次方程. y=-x+5 它表示什么呢？ 它既可表示一个二元一次方程，又可表示一个一次函数. 知识点3 一次函数与二元一次方程(组)的关系 15 新知探究 对于二元一次方程2x-y=1可以将其写成一次函数__________的形式. 1.画出一次函数y=2x-1的图象； 2.找出方程的几组解； 3.把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来，你发现了什么？ 4.在一次函数y=2x-1的图象上点的坐标都是二元一次方程2x-y=1的解吗？ y=2x-1 -6 1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6 O y=2x-1 数：方程2x-y=1的解(数对) 形：直线y=2x-1上的点 转化 y x 16 新知探究 由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(以k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线. 这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上. 17 新知探究 一次函数与二元一次方程的关系 相互转化 一一对应 一次函数y=kx+b 二元一次方程y-kx=b 一次函数y=kx+b图象上点的坐标 二元一次方程y-kx=b的解 注意：虽然一次函数与二元一次方程可以相互转化， 但是一次函数≠二元一次方程. 18 新知探究 一次函数与二元一次方程的区别 二元一次方程 一次函数 字母表示的 意义不同 表示未知数 表示变量 表示方法不同 只能用等式 解析式、表格和图像 19 新知探究 对于二元一次方程组 你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？ 思考 分析：方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y=2x-1与 y=-x+ ，解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标. 因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解. 20 新知探究 如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=2x-1与 y=-x+ 的图象. 这两条直线的交点坐标为(1，1)， 由此得出方程组 的解是 y=2x-1 1 -1 -1 -2 1 O 2 3 2 3 y x P(1，1) y=-x+ 21 新知探究 一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值； 从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 22 新知探究 图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 1. 变函数：把方程组中的方程化为一次函数的形式. 2. 画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象. 3. 找交点：由图象确定两直线交点的坐标. 4. 写结果：依据点的坐标写出方程组的解. 注意：用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解. 23 新知探究 思考 两直线的位置关系与对应的二元一次方程组解的情况的关系? 两直线的位置关系 对应的二元一次方程组解的情况 相交 有唯一解 平行 无解 重合 有无数组解 24 典例解析 例 同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；与此同时，2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升.两个气球都上升了1min. (1) 分别写出表示两个气球所在位置的高度y(单位：m)关于上升时间x(单位：s)的函数解析式； 解：(1)气球上升时间x满足0≤x≤60. 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5. 对于2号气球，y关于x的函数解析式y=0.5x+15. 25 典例解析 (2) 两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 解：(2)两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y. 由此可以列二元一次方程组解得 这就是说，当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m. 26 典例解析 也可以画一次函数的图象解答此问题. 在同一直角坐标系中，画出一次函数 y=x+5和y=0.5x+15的图象. 两条直线交点坐标为(20，25)，这也说 明当上升20s时，两个气球都位于海 拔25m的高度. 5 O 20 10 15 y/m x/s 20 25 y=x+5 y=0.5x+15 P(20，25) 27 随堂演练 1. 画出一次函数y=-2x+8的图象，利用图象解方程-2x+8=0及不等式-2x+ 8>0和-2x+8<0. 解：图象如图所示. 观察图象可知方程-2x+8=0的解为x=4， 不等式-2x+ 8>0的解集为x＜ 4， 不等式-2x+8<0的解集为x＞ 4. 1 O 5 6 y x 7 8 4 3 2 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 y=-2x+8 28 随堂演练 2. 一次函数y=2x-3与y=ax+2的图象的交点坐标为(2，1)，请确定方程组 的解和a的值. 解：由交点坐标可知，方程组的解为 将x=2，y=1代入 y=ax+2， 得1= 2a+2，解得a=-. 29 随堂演练 3. 刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游. 在甲公司租车，需收取固定租金80元，在此基础上再按14元/h计费；在乙公司租车，无固定租金，按30元/h计费，当他家租车多长时间时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同？ 解：设租车时间为t h. 由题意得， 在甲公司租车费用为(80+14t)元，在乙公司租车费用为30t元. 令80+14t=30t，解得t=5. 故租车时间为5h时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同. 30 课程小结 数形结合 思想 一次函数与方程(组)、不等式 一次函数与一元一次方程 一元一次方程kx+b=0的解 直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标 一次函数与一元一次不等式 一元一次方程kx+b>0(<0)的解集 直线y=kx+b在x轴上方(下方)部分对应的自变量的取值范围 次函数与二元一次方程(组) 一次函数图象上的点的坐标即为对应的二元一次方程的解 两个一次函数图象的交点坐标即为对应的二元一次方程组的解 31 第二十三章 一次函数 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 23.3一次函数与方程(组)、 不等式 32 null 12564.859 null 10814.681 null 10318.361 null 16169.705 null 11415.488 $