精品解析：2026年山东 聊城东昌中学等校中考模拟预测 数学试题

2026中考学业水平模拟预测六 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设点表示的数为， 由图可知：， 观察各选项，只有选项B符合题意. 2. 花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰，是用黄金，翡翠等珠宝制成的花形首饰，在唐代达到鼎盛，下列四种眉心花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 根据中国科学院国家天文台发布的公告，截至2025年10月底，我国国家重大科技基础设施——郭守敬望远镜（）发布光谱数已达2807万条，数据量稳居世界第一．数据2807万条用科学记数法表示为（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：2807万． 4. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看到的视图．根据三视图进行判断即可，注意看得见的部分用实线，看不见的部分用虚线表示． 【详解】解：从上面可看，是一个矩形，矩形的中间有两条纵向的实线和两条纵向的虚线， 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式和积的乘方等知识，熟练掌握整式的相关运算法则是关键； 根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则逐项判断即可得出答案. 【详解】解：A、，故选项计算错误； B、，故选项计算错误； C、，故选项计算错误； D、，故选项计算正确； 故选：D. 6. 在物理实践课上，老师带领同学们做“让小灯泡亮起来”的实验、智慧小组设计的实验电路图如图所示，其中表示电路的开关，L表示小灯泡、随机闭合两个开关，灯泡亮起来的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： S1 S2 S3 S4 S1 - （S1，S2） （S1，S3） （S1，S4） S2 （S2，S1） - （S2，S3） （S2，S4） S3 （S3，S1） （S3，S2） - （S3，S4） S4 （S4，S1） （S4，S2） （S4，S3） - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有8种， ∴灯泡发光的概率为：， 故选：C． 7. 我国数学著作《九章算术·卷七·盈不足》中有这样一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文：现有黄金9枚、白银11枚，放在天平两边，重量正好相等．如果从黄金中拿1枚放到白银那边，从白银中拿1枚放到黄金这边（互换1枚），这时黄金一边轻了13两．问：1枚黄金、1枚白银各重多少？设黄金一枚重两，白银一枚重两，根据题意，下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意的两个等量关系，列出方程组即可． 【详解】解：由黄金9枚和白银11枚的重量相等，可列方程：， 互换1枚后，天平一边为8枚黄金和1枚白银，另一边为1枚黄金和10枚白银， ∴根据题意，可列方程：， ∴方程组为． 8. 如图，在矩形中，是的中点，以为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、解直角三角形、勾股定理，扇形的面积公式，根据矩形的性质和已知条件可得，，，利用勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求出，再根据即可求解． 【详解】解：在矩形中，是的中点，，， ∴， ∵是的中点，以为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 9. 如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（ ）． A. 该函数图象交轴于点 B. 该函数图象关于点对称 C. 该函数图象关于直线对称 D. 该函数图象上任取两点，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】结合反比例函数的图象与性质以及平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：将代入，得， ∴该函数的图象交轴于点，故A错误； 对于选项B与C：∵关于点对称，且关于直线对称 又∵由向右平移1个单位得到， ∴关于点对称，且关于直线对称，故B错误，C正确； 对于选项D：举例，，则，， 满足，但不满足，故D错误． 10. 成都低空经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法错误的是（ ） A. 该图象的对称轴是直线 B. 此次飞行无人机飞行的最大高度为 C. 当时，该无人机飞行的高度为 D. 该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象可得，和时，，即可求解对称轴，即可判断A；再将点代入求解抛物线表达式，继而进行判断B、C、D． 【详解】解：由图象可得，和时，， ∴对称轴为直线，故A正确，不符合题意； 将点代入，则 解得 ∴抛物线表达式为， ∵， ∴当时，，故B正确，不符合题意； 当时，，故C错误，符合题意； 当时，则，解得或 ∴该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是，故D正确，不符合题意． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：． 12. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得，且 ． 13. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】由旋转的性质得到，则由等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，圆锥侧面积，先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∴圆锥侧面展开图的面积为， 故答案为：． 15. 如图，在单位长为1的正方形网格纸上，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，的等腰直角三角形，若三个顶点的坐标分别为，，，则依图中所示的规律，的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，得出点的坐标变化规律是解此题的关键．观察图形得到规律：当脚码是2、6、时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数；当脚码是4、8、时，横坐标为2，纵坐标为脚码的一半，然后确定出第2024个点的坐标，即可进一步确定出第2025个点的坐标即可． 【详解】解：观察点的坐标发现： 当脚码为偶数是的点的坐标，得到规律：当脚码是2、6、时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数；当脚码是4、8、时，横坐标为2，纵坐标为脚码的一半， ，能被4整除， 的横坐标为2，纵坐标为， ， 因为是顺时针转动，且是等腰直角三角形，故第2025个点的纵坐标为0，横坐标为， ， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 计算与化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）分别算出乘方，负指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）先计算括号内的分式的减法运算，对分子分母中的多项式进行因式分解，然后计算除法运算，约分后得到最简分式再代入计算，最后分母有理化即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 当时， 原式． 17. 如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定． （1）利用尺规作图作出线段的垂直平分线l即可； （2）由D，E分别为，的中点，根据中位线的性质，得到，，结合，得到，即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：直线l如图所示， ； 【小问2详解】 证明：补全图形，如图， 由（1）作图知，E为的中点， ∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∵，即：， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形． 18. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 m 7 乙 8 8 7 （1）表格中的______，______．（填“>”“=”或“<”）； （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角的度数； （3）如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求三家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】（1）8.5；； （2）； ； （3） 【解析】 【分析】（1）一共有10家种植户的评分，中位数是从小到大排列，第五名，第六名的平均分，观察甲快递公司配送速度的直方图，可知第五名8分，第六名9分，求平均数即可得到；分别计算服务质量的方差、，即可比较大小； （2）算出甲快递公司评分为9的商家数量，即可补全直方图；先求出7分所占的比例，乘以这个比例，即可求出； （3）用树状图展示所有等可能的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：观察甲快递公司配送速度的直方图，可知10家种植户中，给出评分6的两家，评分7的两家，评分8的一家，评分10的一家， 给出评分9的：（家）， 甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 甲快递公司的中位数，是第五名，第六名的平均分，即， ， ， ． 【小问2详解】 ①略； ②解：7分所占的比例为：， ． 【小问3详解】 解：画树状图，列出所有可能结果，如下： 由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果， 三家种植户选择同一快递公司的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，过点作轴于点，连接． （1）求该反比例函数的表达式并直接写出点的坐标； （2）若点在该反比例函数的图象上，当时，求点的坐标； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入得到，进而求得反比例函数的解析式； （2）先求得，设点的坐标为，根据得出，即可求解； （3）根据函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点， ∴将代入中得，， ∴点的坐标为， ∴将代入中得，， ∴该反比例函数的表达式为， 点的坐标为； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设点的坐标为， ∴ ∵， ∴，解得，或， ∴或， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 ∵，， 根据函数图象可得的解集为：或． 20. 【实验主题】大型滑梯滑道长度检测 【实验背景】某游乐场计划为大型滑梯更换耐磨防滑垫，由于滑梯落差很大（超过米），且滑道表面有弧度，工程人员无法直接使用软尺贴合测量，为此，项目组设计了一个“高度——角度辅助测量法”，利用三角函数间接计算滑道长度． 【实验原理】如图①，将滑梯的滑道简化为直角三角形的斜边，已知滑梯平台的垂直高度（固定值），滑道与水平地面的夹角．在中，利用正弦函数关系，可由和推算出滑道长度（即斜边的长）． 【实验数据与任务】已知该系列滑梯平台的垂直高度米． （1）【模型建立】设滑道长度（米），滑梯平台的垂直高度（米），坡角，请用含，的代数式表示； （2）【数据检测】工程师对两个不同坡度的滑梯进行了测量，数据如下表： 滑梯编号 坡角 标准滑道长度（米） 滑梯 滑梯 请通过计算判断：哪个滑梯的滑道长度不符合标准？（参考数据：） （3）【误差探究】工程师在现场测量时发现，滑梯底部并非直接着地，而是与水平地面有一个倾斜的缓冲坡道（如图②），若工程师在计算时，未考虑缓冲坡道的影响，仍错误地将滑梯主体的垂直高度按代入进行计算． 请分析：①由于缓冲坡道占据了一定高度，滑梯主体的实际垂直高度____________；（填“”“”或“”） ②这样计算出的滑道长度会比滑梯主体的真实长度____________．（填“偏大”或“偏小”） 【答案】（1） （2）滑梯的滑道不符合标准 （3）①，②偏大 【解析】 【分析】（1）根据正弦的定义可得； （2）分别求出两个滑梯的垂直高度，把计算出来的结果与垂直高度米比较，可得滑梯不符合标准； （3）①滑梯底部并非直接着地，而是与水平地面有一个倾斜的缓冲坡道，所以滑梯主体的实际垂直高度； ②根据可知，，所以计算出的滑道长度会比滑梯主体的真实长度偏大． 【小问1详解】 解：滑道长度（米），滑梯平台的垂直高度（米），坡角， ， ； 【小问2详解】 解：滑梯：，， 米， 故滑梯的滑道长度符合标准； 滑梯：，， 米， 故滑梯的滑道不符合标准； 【小问3详解】 ①解：缓冲坡道占据了一定高度， 滑梯主体的实际垂直高度； ②， ， 这样计算出的滑道长度会比滑梯主体的真实长度偏大． 21. 如图，是的外接圆，为的直径，点D是的内心，连接并延长交于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算． （1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到即可； （2）先利用，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接，交于点， ， 又为的内心 ∴ 又为的直径 又∵ ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， =． 22. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． （3）如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】对于（1），将点和代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），先求出点B的坐标，再根据求出，则答案可得； 对于（3），先求出直线的解析式，再说明，并作轴，可得是等腰直角三角形，即，然后结合点，是直线下方抛物线上的两动点，且，表示出，，进而得出，最后根据二次函数图象的性质讨论极值得出答案． 【小问1详解】 解：把点和代入抛物线中， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，， ． ， ， ， ， ， ∴． ∵点在第四象限， ∴， 令得，， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：设的解析式为：，分别代入， ， 解得：， ∴的解析式为：． ∵，， ∴． 如图2，过点作轴交于， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵点，是直线下方抛物线上的两动点，且， ∴点，，， ∴，， ∴， ， 当时，有最大值，其最大值是． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形，待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，等腰三角形的性质和判定，理解用坐标差表示线段长是解题的关键． 23. 【综合与探究】问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知矩形纸片，，． （1）操作证明：如图1，小聪先从特殊情形入手，折叠矩形纸片，使点B与点D重合，折痕分别交边于点E，F，点A的对应点为点G．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； （2）拓展延伸：如图2，小慧沿过点C的直线折叠该矩形纸片，使点B的对应点H落在对角线的延长线上，折痕交线段于点M，交于点N，点A的对应点为点G． ①求此时线段的长； ②小慧沿平行于的直线继续折叠该矩形纸片，折痕交线段于点P，交线段于点Q．请你借助图3进行分析，直接写出是以为腰的等腰三角形时，点D到的距离． 【答案】（1） ．理由如下： 如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 由折叠可得，， ∴． （2）①；②2或 【解析】 【分析】（1）因为折叠后点B与D重合，所以先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，再结合矩形对边平行、内角为直角的性质，推导相关三角形全等或线段等量关系，进而证明和的数量关系． （2）①先根据矩形边长用勾股定理求出对角线的长度，由折叠性质得：垂直平分，证明，得，得，，得．②如图，将矩形沿着平行于的直线继续折叠，矩形与矩形关于对称，即矩形与矩形是全等图形，点A对应点G，点B对应点H，点C对应点S，点D对应点K，连接，可得，，点D到的距离即的长度，当是等腰三角形，也是等腰三角形，当时，当时，分两种情况解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①在矩形中，，，， ∴， 由折叠性质得：垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． ②将矩形沿着平行于的直线继续折叠，如图所示， 矩形与矩形关于对称， 即矩形与矩形是全等图形， 点A对应点G，点B对应点H，点C对应点S，点D对应点K， 连接， 由对称可得，，点D到的距离即的长度， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴是以为腰的等腰三角形， 当时， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：点D到的距离为2或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026中考学业水平模拟预测六 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰，是用黄金，翡翠等珠宝制成的花形首饰，在唐代达到鼎盛，下列四种眉心花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据中国科学院国家天文台发布的公告，截至2025年10月底，我国国家重大科技基础设施——郭守敬望远镜（）发布光谱数已达2807万条，数据量稳居世界第一．数据2807万条用科学记数法表示为（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 4. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在物理实践课上，老师带领同学们做“让小灯泡亮起来”的实验、智慧小组设计的实验电路图如图所示，其中表示电路的开关，L表示小灯泡、随机闭合两个开关，灯泡亮起来的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 我国数学著作《九章算术·卷七·盈不足》中有这样一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文：现有黄金9枚、白银11枚，放在天平两边，重量正好相等．如果从黄金中拿1枚放到白银那边，从白银中拿1枚放到黄金这边（互换1枚），这时黄金一边轻了13两．问：1枚黄金、1枚白银各重多少？设黄金一枚重两，白银一枚重两，根据题意，下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，是的中点，以为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（ ）． A. 该函数图象交轴于点 B. 该函数图象关于点对称 C. 该函数图象关于直线对称 D. 该函数图象上任取两点，若，则 10. 成都低空经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法错误的是（ ） A. 该图象的对称轴是直线 B. 此次飞行无人机飞行的最大高度为 C. 当时，该无人机飞行的高度为 D. 该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 12. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 13. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为______． 14. 如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______． 15. 如图，在单位长为1的正方形网格纸上，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，的等腰直角三角形，若三个顶点的坐标分别为，，，则依图中所示的规律，的坐标是_____． 三、解答题（共75分） 16. 计算与化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 18. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 m 7 乙 8 8 7 （1）表格中的______，______．（填“>”“=”或“<”）； （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角的度数； （3）如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求三家种植户选择同一快递公司的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，过点作轴于点，连接． （1）求该反比例函数的表达式并直接写出点的坐标； （2）若点在该反比例函数的图象上，当时，求点的坐标； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 20. 【实验主题】大型滑梯滑道长度检测 【实验背景】某游乐场计划为大型滑梯更换耐磨防滑垫，由于滑梯落差很大（超过米），且滑道表面有弧度，工程人员无法直接使用软尺贴合测量，为此，项目组设计了一个“高度——角度辅助测量法”，利用三角函数间接计算滑道长度． 【实验原理】如图①，将滑梯的滑道简化为直角三角形的斜边，已知滑梯平台的垂直高度（固定值），滑道与水平地面的夹角．在中，利用正弦函数关系，可由和推算出滑道长度（即斜边的长）． 【实验数据与任务】已知该系列滑梯平台的垂直高度米． （1）【模型建立】设滑道长度（米），滑梯平台的垂直高度（米），坡角，请用含，的代数式表示； （2）【数据检测】工程师对两个不同坡度的滑梯进行了测量，数据如下表： 滑梯编号 坡角 标准滑道长度（米） 滑梯 滑梯 请通过计算判断：哪个滑梯的滑道长度不符合标准？（参考数据：） （3）【误差探究】工程师在现场测量时发现，滑梯底部并非直接着地，而是与水平地面有一个倾斜的缓冲坡道（如图②），若工程师在计算时，未考虑缓冲坡道的影响，仍错误地将滑梯主体的垂直高度按代入进行计算． 请分析：①由于缓冲坡道占据了一定高度，滑梯主体的实际垂直高度____________；（填“”“”或“”） ②这样计算出的滑道长度会比滑梯主体的真实长度____________．（填“偏大”或“偏小”） 21. 如图，是的外接圆，为的直径，点D是的内心，连接并延长交于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 22. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． （3）如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 23. 【综合与探究】问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知矩形纸片，，． （1）操作证明：如图1，小聪先从特殊情形入手，折叠矩形纸片，使点B与点D重合，折痕分别交边于点E，F，点A的对应点为点G．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； （2）拓展延伸：如图2，小慧沿过点C的直线折叠该矩形纸片，使点B的对应点H落在对角线的延长线上，折痕交线段于点M，交于点N，点A的对应点为点G． ①求此时线段的长； ②小慧沿平行于的直线继续折叠该矩形纸片，折痕交线段于点P，交线段于点Q．请你借助图3进行分析，直接写出是以为腰的等腰三角形时，点D到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $