第二十一章 四边形（单元自测·提升卷）数学新教材冀教版八年级下册

**基本信息** 八年级下册四边形单元能力提升卷，通过选择、填空、解答题（含实践探究）全面考查四边形性质与判定，融合数学眼光、思维与语言，适配单元复习与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|梯形判定、平行四边形性质、中位线|图形拼接（第1题）、实际测量（第3题），考查几何直观| |填空题|4/12|多边形内角和、折叠问题、中点四边形|动态折叠（第15题）、最短路径（第14题），体现空间观念| |解答题|8/72|作图、证明、实践探究|项目式学习（第24题安全通行）、折纸操作（第21题），发展推理能力与创新意识|

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十一章 四边形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D C B A A B B B D A D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．9 14． 15．/ 16． 2 60 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是解答本题的关键． （1）设多边形的边数为n，根据多边形内角和列方程求解即可； （2）首先得到该多边形的边数为10，然后利用多边形内角和定理求解即可； 【详解】（1）解：理由：设多边形的边数为n． ， 解得． ∵n为正整数， ∴多边形内角和不可能为；·····················3分 （2）解：， 依题意：该多边形的边数为10， ， 故该多边形的内角和为.·····················7分 18．（8分） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定等知识， （1）根据平行四边形的性质和折叠的性质证明，，，即可得到结果； （2）根据题意可得，得到，再根据点与点重合，得到，结合三角形内角和定理即可得到结果； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴；·····················3分 （2）∵，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为折痕，点与点重合， ∴， ∴， ∴．·····················8分 19．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②48 【分析】本题考查了三角形的外心的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接交于点，利用平行四边形的性质知点为对角线的中点； （2）①利用即可证明； ②利用外心的性质求得，推出，再利用三角形和平行四边形的周长公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求点； ；·····················2分 （2）①证明：如图， 四边形是平行四边形，为的中点， ∴，， ， 在与中， ， ；·····················5分 ②解：如图， 的外心在上， ， ， ， 的周长为24， ， ， ， 平行四边形的周长为．·····················8分 20．（8分） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要查了三角形的中位线的性质定理，等腰三角形的两底角相等的性质，等边三角形的判定和性质： （1）根据三角形的中位线的性质定理可得且，且，再结合等腰三角形的两底角相等的性质，可得，从而得到，然后根据，可得，即可求解； （2）取中点，连接，，根据三角形的中位线的性质定理可得，，，，从而得到，，进而得到，，继而得到，可证明为等边三角形，即可求证． 【详解】（1）解：∵，，分别是，，的中点， ∴且，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴；·····················4分 （2）证明：如图，取中点，连接，， ∵点，是对角线，的中点， ∴，，，， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴．·····················8分 21．（9分） 【答案】(1)①菱形；② (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（）①由折叠可知对角线互相垂直且平分，据此即可得解；②先求出菱形的面积和边长，再利用等面积即可得解； （）由折叠可得，，由矩形可得，从而有，进而可证，则有，再根据菱形的判定即可求证． 【详解】（1）解：①由折叠可知：与互相垂直平分， ∴四边形为菱形． 故答案为：菱形；·····················2分 ②由折叠可得：，， ∴，菱形边长， ∴菱形的高为；·····················5分 （2）解：四边形是菱形，证明如下：如图③， 由折叠可得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形．·····················9分 【点睛】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 22．（9分） 【答案】(1)①作图见解析；② (2) 【分析】①连接，交于点，作直线，即可求解； ②根据题意得出，直线的解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）分别求得直线经过点的解析式，的值，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：①连接，交于点， 四边形是矩形，的中点与坐标原点重合， 轴是矩形的对称轴， 点在轴上， 直线将矩形分成周长相等的两部分；·····················3分 ②， ， ， 设直线的解析式为，代入，得， ， ， 直线的解析式为；·····················6分 （2）设直线对应一次函数为：， 经过点时，即经过和两点， ， 解得：，， 当直线经过点和点 解得：， 综上所述，当时，直线与线段有公共点．·····················9分 23．（11分） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)此矩形的内接菱形的面积最大值为60 【分析】（1）由矩形和菱形的面积公式计算即可； （2）先推导出四边形是平行四边形，进而证明，得到，则四边形是菱形，即可解答； （3）根据垂直平分线的尺规作图的方法，以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，连接两弧交点，即可画出垂直平分线； （4）方法一：根据（1）中结论，计算出的面积即可得菱形的面积；方法二：根据勾股定理求出菱形的边长，由底乘高计算菱形的面积即可；方法三：由方法二同理可求菱形的面积，比较三种方法菱形的面积即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴菱形的面积与矩形的面积之比为；·····················2分 （2）解：如图2 ∵矩形为两个大小一样的矩形纸片， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形．·····················4分 （3）解：先连接对角线，以点A为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，以点C为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接M，N两点，所得直线与边交于点E，与边交于点F，则四边形即为所求： ·····················6分 （4）解：方法一：如图 在矩形中，，， ∴， 由（1）可知，菱形的面积与矩形的面积之比为， ∴菱形的面积为； 方法二：如图 设菱形边长为x，即， ∵，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴菱形边长为10， ∴菱形的面积为； 方法三：如图 由方法二可知，同理可得菱形的边长为10， ∴菱形的面积为； ∵， ∴此矩形的内接菱形的面积最大值为60．·····················11分 24．（12分） 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，根据勾股定理，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质，即可求解； （3）解法一：设与相交于点G，根据题意得：，证明，可得到，即可求解；解法二：设直线分别与直线相交于点I，H，根据等腰直角三角形的性质，以及勾股定理可得，即可求解. 【详解】（1）解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则， ∴， 由图形可知是等腰直角三角形，则， ∴，即的长；·····················3分 （2）解：由图形可知是等腰直角三角形，则；················6分 （3）解法一、如图3（1），设与相交于点G，根据题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7．·····················12分 解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点I，H， ∵四边形为矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7．·····················12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十一章 四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A．B．C． D． 2．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，的对角线、相交于点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是（    ） A．18米 B．24米 C．34米 D．36米 4．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，为上一动点，，分别为，的中点，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．2 5．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当增大时，则的度数（    ） A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 6．（2026·河北保定·二模）如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）对进行下列操作： 操作1：如图1，是的中位线，将沿中线方向平移到△的位置，使与边重合； 操作2：作的高，将按图2所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为． 对操作1，2中阴影部分面积，下列说法正确的是（） A．操作2中阴影部分面积大 B．面积均为面积的一半 C．面积与的面积相等 D．操作1中阴影部分面积大 8．（25-26八年级下·河北保定·期中）四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形，四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 9．（2026·河北张家口·一模）如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 10．（2026·河北廊坊·一模）淇淇根据沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载的一则故事，编写了一道趣味数学题（如图1所示），其大意为：如图2，有一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），求和的值．下列正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河北邯郸·一模）如图，将等腰直角三角尺的角的顶点与正方形的顶点A重合，绕点A旋转三角尺，使分别与相交于点P，Q，设，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）若一个多边形的内角和与外角和之比为，则该多边形的边数为_______． 14．（25-26八年级下·河北保定·期中）已知，点P为内一点，点A为上一点，点B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为_______． 15．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为_______． 16．（25-26八年级下·湖南郴州·阶段检测）如图，在中，，，点是上一点，将四边形沿翻折得到四边形，点正好落在延长线上的点处．    （1）的长为_____； （2）连接，若，则的度数是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北唐山·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题       我把一个多边形的各内角相加，得到的和为 多边形的内角和不可能是，我看了你的过程，你多加了一个外角 (1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由； (2)求该多边形的内角和； 18．（8分）（2024·河北邯郸·二模）如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置． (1)连接，，求证：； (2)若，求的度数． 19．（8分）（2025·河北邯郸·二模）如图，在平行四边形中， (1)尺规作图：作对角线的中点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)过点作直线分别交，于点，， ①求证：； ②连接，若的外心在上，的周长为24，求平行四边形的周长． 20．（8分）（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）定义：只有一组对边相等的四边形为“纯等对边四边形” (1)如图1，四边形是“纯等对边四边形”，其中，，，分别是，，的中点．若，，求的度数； (2)如图2，四边形是“纯等对边四边形”；其中，点，分别是对角线，的中点，若，求证：． 21．（9分）（24-25八年级下·河北石家庄·期中）综合与实践：折纸中的数学． 【主题】四边形与折纸 【素材】如图①，一张矩形纸片，，． (1)【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，如图②所示得到四边形． 【实践探索】 ①四边形的形状为 ； ②求四边形的边上的高． (2)【实践操作】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接．如图③所示，得到四边形． 【实践探索】判断四边形的形状，并加以证明． 22．（9分）（2026·河北衡水·模拟预测）如图1，矩形的边在平面直角坐标系的轴上，的中点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，点是轴上一点，作直线．设点的坐标为，． (1)当直线将矩形分成周长相等的两部分时， ①请在图2中作出直线（无需尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； ②求此时直线的解析式； (2)当直线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 23．（11分）（2026·河北石家庄·一模）阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)图1菱形的面积与矩形的面积之比为 ； (2)请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形． (3)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） (4)若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 24．（12分）（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展项目式学习活动．创新小组通过考察测量和模拟探究环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 (1)如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m，求的长； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． (2)创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段能通过直角弯道； ②当时，必然存在线段的中点与点重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是________； ③当时，线段不能通过直角弯道． (3)如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点与点重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，，且矩形能通过该直角弯道，求的最大整数值．（参考数据：） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十一章 四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据梯形只有一组对边平行的定义，利用两直线平行同旁内角互补的性质，计算出与残缺图形已知角互补的两个拼接角，匹配对应角度的选项即可． 【详解】解：∵梯形的定义为只有一组对边平行的四边形，且平行线的性质为：两直线平行，同旁内角互补， ∴要使残缺图形与选项图形拼接成梯形，拼接后需形成一组平行对边，对应拼接的同旁内角需互补， ∵与角互补的角为， 与角互补的角为， ∴选项C中的图形有可能与上面残缺的图形拼成一个梯形． 2．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，的对角线、相交于点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，故A，B，C正确， 而属于菱形特有的性质，一般平行四边形不一定具有，故D错误． 3．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是（    ） A．18米 B．24米 C．34米 D．36米 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的中点分别为点， ∴是的中位线， ∵米， ∴米． 4．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，为上一动点，，分别为，的中点，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．2 【答案】B 【分析】先根据平行四边形的性质可得，再证明是的中位线，可得即可得出结果． 【详解】解：在平行四边形中，， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 5．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当增大时，则的度数（    ） A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【答案】A 【分析】根据菱形的对角线平分对角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，平分， ∴， ∵增大， ∴增大． 6．（2026·河北保定·二模）如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由面积公式得，代入相关数据可得结论． 【详解】解：如图，连接， 由面积公式得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）对进行下列操作： 操作1：如图1，是的中位线，将沿中线方向平移到△的位置，使与边重合； 操作2：作的高，将按图2所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为． 对操作1，2中阴影部分面积，下列说法正确的是（） A．操作2中阴影部分面积大 B．面积均为面积的一半 C．面积与的面积相等 D．操作1中阴影部分面积大 【答案】B 【分析】利用中位线、平移和折叠的性质，先求出空白三角形的面积，再用梯形面积减去空白面积，得到阴影部分的面积．两次操作的阴影面积都等于原三角形面积的一半． 【详解】解：设的面积为S． ∵是的中位线， ∴，且，点E、F分别是、的中点， ∴ 点A到的距离等于点A到距离的一半． ∴． ∴ ． 由平移的性质可知，与的形状、大小完全相同， ∴ ． 又∵ 落在上，与重合， ∴ 操作1中阴影部分面积． ∵是的高，折叠后点与点重合，折痕为， ∴垂直平分． 又∵， ∴，且平分， ∴是的中位线， ∴ ，． 由折叠的性质可知，与的形状、大小完全相同， ∴ ． ∴ 操作2中阴影部分面积： ∵ ，故选项A不正确，不符合题意， ∴ 两个操作中阴影部分的面积均为面积的一半． 综上所述：只有选项B正确，符合题意． 8．（25-26八年级下·河北保定·期中）四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形，四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形． 【详解】解：如图，设交于点，交于点， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，即， 同理，是的中位线，即， 是的中位线，即， 是的中位线，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形． 9．（2026·河北张家口·一模）如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式为，则可得到，根据矩形的性质可得直线经过矩形的中心，即经过的中点，根据中点坐标公式得到的中点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得： ， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴； ∵直线将矩形分成面积相等的两部分， ∴直线经过矩形的中心，即经过的中点， ∵，， ∴的中点的坐标为， ∴， ∴． 10．（2026·河北廊坊·一模）淇淇根据沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载的一则故事，编写了一道趣味数学题（如图1所示），其大意为：如图2，有一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），求和的值．下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意得，所拼成的三个小正方形（阴影部分）的面积分别为，则三个小正方形的边长为，进而得，在中，由勾股定理得，再由图形的拼接可知，进而即可求得的长． 【详解】解：如图， ∵正方形边长为1， ∴，， ∴， ∵将正方形分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分）， ∴所拼成的三个小正方形的面积分别为， ∴三个小正方形的边长为， ∴， 在中，， 由图形的拼接可知，， ∴． 11．（2026·河北邯郸·一模）如图，将等腰直角三角尺的角的顶点与正方形的顶点A重合，绕点A旋转三角尺，使分别与相交于点P，Q，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将绕点A顺时针旋转，得，可证G，B，P三点共线，证明得，从而可求出，然后根据即可求解． 【详解】解：在正方形中，，， 将绕点A顺时针旋转，得，如图所示，则，，， ∴， ∴G，B，P三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 12．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）若一个多边形的内角和与外角和之比为，则该多边形的边数为_______． 【答案】9 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和的综合，根据n多边形的内角和公式和外角和为列方程求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得，即该多边形的边数为9， 故答案为：9． 14．（25-26八年级下·河北保定·期中）已知，点P为内一点，点A为上一点，点B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为_______． 【答案】 【分析】作P点关于的对称点，连接，可知当的周长取最小值时，在一条直线上，根据垂线的定义及三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图，作P点关于的对称点，然后连接，    ∵点与点P关于直线对称，点与点P关于对称， ∴， ∴， ∵的周长 ∴当的周长取最小值时，在一条直线上， ∵， ∴， ∴， 在中，由三角形的内角和定理可知：， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，全等三角形的判定和性质．连接、，作于点M，，推出，再证明，推出，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接、，作于点M． ∵正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长 ． ∴的值为． 故答案为：． 16．（25-26八年级下·湖南郴州·阶段检测）如图，在中，，，点是上一点，将四边形沿翻折得到四边形，点正好落在延长线上的点处．    （1）的长为_____； （2）连接，若，则的度数是_____． 【答案】 2 60 【分析】（1）结合折叠的性质证明为等腰三角形，即可获得答案； （2）取中点，连接、，结合折叠的性质证明，在中和中，利用勾股定理解得、的值，进而证明为等边三角形，由等边三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴， ∴； （2）如下图，取中点，连接、，    ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∵点为中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：（1）2；（2）60． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北唐山·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题       我把一个多边形的各内角相加，得到的和为 多边形的内角和不可能是，我看了你的过程，你多加了一个外角 (1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由； (2)求该多边形的内角和； 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是解答本题的关键． （1）设多边形的边数为n，根据多边形内角和列方程求解即可； （2）首先得到该多边形的边数为10，然后利用多边形内角和定理求解即可； 【详解】（1）解：理由：设多边形的边数为n． ， 解得． ∵n为正整数， ∴多边形内角和不可能为；·····················3分 （2）解：， 依题意：该多边形的边数为10， ， 故该多边形的内角和为.·····················7分 18．（8分）（2024·河北邯郸·二模）如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置． (1)连接，，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定等知识， （1）根据平行四边形的性质和折叠的性质证明，，，即可得到结果； （2）根据题意可得，得到，再根据点与点重合，得到，结合三角形内角和定理即可得到结果； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴；·····················3分 （2）∵，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为折痕，点与点重合， ∴， ∴， ∴．·····················8分 19．（8分）（2025·河北邯郸·二模）如图，在平行四边形中， (1)尺规作图：作对角线的中点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)过点作直线分别交，于点，， ①求证：； ②连接，若的外心在上，的周长为24，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②48 【分析】本题考查了三角形的外心的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接交于点，利用平行四边形的性质知点为对角线的中点； （2）①利用即可证明； ②利用外心的性质求得，推出，再利用三角形和平行四边形的周长公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求点； ；·····················2分 （2）①证明：如图， 四边形是平行四边形，为的中点， ∴，， ， 在与中， ， ；·····················5分 ②解：如图， 的外心在上， ， ， ， 的周长为24， ， ， ， 平行四边形的周长为．·····················8分 20．（8分）（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）定义：只有一组对边相等的四边形为“纯等对边四边形” (1)如图1，四边形是“纯等对边四边形”，其中，，，分别是，，的中点．若，，求的度数； (2)如图2，四边形是“纯等对边四边形”；其中，点，分别是对角线，的中点，若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要查了三角形的中位线的性质定理，等腰三角形的两底角相等的性质，等边三角形的判定和性质： （1）根据三角形的中位线的性质定理可得且，且，再结合等腰三角形的两底角相等的性质，可得，从而得到，然后根据，可得，即可求解； （2）取中点，连接，，根据三角形的中位线的性质定理可得，，，，从而得到，，进而得到，，继而得到，可证明为等边三角形，即可求证． 【详解】（1）解：∵，，分别是，，的中点， ∴且，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴；·····················4分 （2）证明：如图，取中点，连接，， ∵点，是对角线，的中点， ∴，，，， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴．·····················8分 21．（9分）（24-25八年级下·河北石家庄·期中）综合与实践：折纸中的数学． 【主题】四边形与折纸 【素材】如图①，一张矩形纸片，，． (1)【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，如图②所示得到四边形． 【实践探索】 ①四边形的形状为 ； ②求四边形的边上的高． (2)【实践操作】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接．如图③所示，得到四边形． 【实践探索】判断四边形的形状，并加以证明． 【答案】(1)①菱形；② (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（）①由折叠可知对角线互相垂直且平分，据此即可得解；②先求出菱形的面积和边长，再利用等面积即可得解； （）由折叠可得，，由矩形可得，从而有，进而可证，则有，再根据菱形的判定即可求证． 【详解】（1）解：①由折叠可知：与互相垂直平分， ∴四边形为菱形． 故答案为：菱形；·····················2分 ②由折叠可得：，， ∴，菱形边长， ∴菱形的高为；·····················5分 （2）解：四边形是菱形，证明如下：如图③， 由折叠可得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形．·····················9分 【点睛】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 22．（9分）（2026·河北衡水·模拟预测）如图1，矩形的边在平面直角坐标系的轴上，的中点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，点是轴上一点，作直线．设点的坐标为，． (1)当直线将矩形分成周长相等的两部分时， ①请在图2中作出直线（无需尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； ②求此时直线的解析式； (2)当直线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①作图见解析；② (2) 【分析】①连接，交于点，作直线，即可求解； ②根据题意得出，直线的解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）分别求得直线经过点的解析式，的值，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：①连接，交于点， 四边形是矩形，的中点与坐标原点重合， 轴是矩形的对称轴， 点在轴上， 直线将矩形分成周长相等的两部分；·····················3分 ②， ， ， 设直线的解析式为，代入，得， ， ， 直线的解析式为；·····················6分 （2）设直线对应一次函数为：， 经过点时，即经过和两点， ， 解得：，， 当直线经过点和点 解得：， 综上所述，当时，直线与线段有公共点．·····················9分 23．（11分）（2026·河北石家庄·一模）阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)图1菱形的面积与矩形的面积之比为 ； (2)请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形． (3)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） (4)若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)此矩形的内接菱形的面积最大值为60 【分析】（1）由矩形和菱形的面积公式计算即可； （2）先推导出四边形是平行四边形，进而证明，得到，则四边形是菱形，即可解答； （3）根据垂直平分线的尺规作图的方法，以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，连接两弧交点，即可画出垂直平分线； （4）方法一：根据（1）中结论，计算出的面积即可得菱形的面积；方法二：根据勾股定理求出菱形的边长，由底乘高计算菱形的面积即可；方法三：由方法二同理可求菱形的面积，比较三种方法菱形的面积即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴菱形的面积与矩形的面积之比为；·····················2分 （2）解：如图2 ∵矩形为两个大小一样的矩形纸片， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形．·····················4分 （3）解：先连接对角线，以点A为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，以点C为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接M，N两点，所得直线与边交于点E，与边交于点F，则四边形即为所求： ·····················6分 （4）解：方法一：如图 在矩形中，，， ∴， 由（1）可知，菱形的面积与矩形的面积之比为， ∴菱形的面积为； 方法二：如图 设菱形边长为x，即， ∵，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴菱形边长为10， ∴菱形的面积为； 方法三：如图 由方法二可知，同理可得菱形的边长为10， ∴菱形的面积为； ∵， ∴此矩形的内接菱形的面积最大值为60．·····················11分 24．（12分）（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展项目式学习活动．创新小组通过考察测量和模拟探究环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 (1)如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m，求的长； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． (2)创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段能通过直角弯道； ②当时，必然存在线段的中点与点重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是________； ③当时，线段不能通过直角弯道． (3)如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点与点重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，，且矩形能通过该直角弯道，求的最大整数值．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，根据勾股定理，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质，即可求解； （3）解法一：设与相交于点G，根据题意得：，证明，可得到，即可求解；解法二：设直线分别与直线相交于点I，H，根据等腰直角三角形的性质，以及勾股定理可得，即可求解. 【详解】（1）解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则， ∴， 由图形可知是等腰直角三角形，则， ∴，即的长；·····················3分 （2）解：由图形可知是等腰直角三角形，则；················6分 （3）解法一、如图3（1），设与相交于点G，根据题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7．·····················12分 解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点I，H， ∵四边形为矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7．·····················12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十一章 四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A．B．C． D． 2．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，的对角线、相交于点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是（    ） A．18米 B．24米 C．34米 D．36米 4．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，为上一动点，，分别为，的中点，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．2 5．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当增大时，则的度数（    ） A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 6．（2026·河北保定·二模）如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）对进行下列操作： 操作1：如图1，是的中位线，将沿中线方向平移到△的位置，使与边重合； 操作2：作的高，将按图2所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为． 对操作1，2中阴影部分面积，下列说法正确的是（） A．操作2中阴影部分面积大 B．面积均为面积的一半 C．面积与的面积相等 D．操作1中阴影部分面积大 8．（25-26八年级下·河北保定·期中）四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形，四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 9．（2026·河北张家口·一模）如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 10．（2026·河北廊坊·一模）淇淇根据沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载的一则故事，编写了一道趣味数学题（如图1所示），其大意为：如图2，有一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），求和的值．下列正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河北邯郸·一模）如图，将等腰直角三角尺的角的顶点与正方形的顶点A重合，绕点A旋转三角尺，使分别与相交于点P，Q，设，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）若一个多边形的内角和与外角和之比为，则该多边形的边数为_______． 14．（25-26八年级下·河北保定·期中）已知，点P为内一点，点A为上一点，点B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为_______． 15．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为_______． 16．（25-26八年级下·湖南郴州·阶段检测）如图，在中，，，点是上一点，将四边形沿翻折得到四边形，点正好落在延长线上的点处．    （1）的长为_____； （2）连接，若，则的度数是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北唐山·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题       我把一个多边形的各内角相加，得到的和为 多边形的内角和不可能是，我看了你的过程，你多加了一个外角 (1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由； (2)求该多边形的内角和； 18．（8分）（2024·河北邯郸·二模）如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置． (1)连接，，求证：； (2)若，求的度数． 19．（8分）（2025·河北邯郸·二模）如图，在平行四边形中， (1)尺规作图：作对角线的中点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)过点作直线分别交，于点，， ①求证：； ②连接，若的外心在上，的周长为24，求平行四边形的周长． 20．（8分）（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）定义：只有一组对边相等的四边形为“纯等对边四边形” (1)如图1，四边形是“纯等对边四边形”，其中，，，分别是，，的中点．若，，求的度数； (2)如图2，四边形是“纯等对边四边形”；其中，点，分别是对角线，的中点，若，求证：． 21．（9分）（24-25八年级下·河北石家庄·期中）综合与实践：折纸中的数学． 【主题】四边形与折纸 【素材】如图①，一张矩形纸片，，． (1)【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，如图②所示得到四边形． 【实践探索】 ①四边形的形状为 ； ②求四边形的边上的高． (2)【实践操作】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接．如图③所示，得到四边形． 【实践探索】判断四边形的形状，并加以证明． 22．（9分）（2026·河北衡水·模拟预测）如图1，矩形的边在平面直角坐标系的轴上，的中点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，点是轴上一点，作直线．设点的坐标为，． (1)当直线将矩形分成周长相等的两部分时， ①请在图2中作出直线（无需尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； ②求此时直线的解析式； (2)当直线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 23．（11分）（2026·河北石家庄·一模）阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)图1菱形的面积与矩形的面积之比为 ； (2)请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形． (3)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） (4)若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 24．（12分）（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展项目式学习活动．创新小组通过考察测量和模拟探究环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 (1)如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m，求的长； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． (2)创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段能通过直角弯道； ②当时，必然存在线段的中点与点重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是________； ③当时，线段不能通过直角弯道． (3)如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点与点重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，，且矩形能通过该直角弯道，求的最大整数值．（参考数据：） 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $