第二十一章 四边形（单元自测·基础卷）数学新教材冀教版八年级下册

**基本信息** 八年级下册四边形单元基础通关卷，整合河北多地期中及模拟真题，覆盖平行四边形、矩形、菱形、正方形等核心知识，注重基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|菱形判定、矩形性质、平行四边形性质|基础辨析，如第3题对比矩形与平行四边形性质差异| |填空题|4/12|正多边形内角和、折叠问题|情境化设计，如13题结合巡逻机器人体现数学眼光| |解答题|8/72|四边形证明、动态问题、综合实践|综合应用，如22题通过木板拼接考查推理能力与应用意识|

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十一章 四边形·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C C C C B A A B C B C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15．菱形 16． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1)6，4 (2) 【分析】（1）由矩形的性质及勾股定理可得出答案； （2）设，由勾股定理可得，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，，是 折叠得到， ∴．， ∴在中，， ∴．······················2分 （2）解：设， ∴，． 在中，， ∴， 解得：， ∴．····················7分 18．（8分） 【答案】(1)内角和 (2)①2②见解析 【分析】（1）根据多边形的边数与内角和的关系求解即可； （2）①分别计算与的内角和，计算即可； ②将n代入，分别计算与的内角和，得到与n无关，由此求解． 【详解】（1）解：因为的边数比多，所以的内角和比的大．··············2分 （2）解：①若，则的内角和为， 由题可得，的边数为条， 则的内角和为， ∴，解得， 即的值为2；·····················5分 ②由题意可得， 整理得，解得， ∴无论取何值，的值始终不变．·····················8分 19．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质及勾股定理， （1）根据平行四边形性质得出，证明，得出即可证明结论； （2）先求出，，根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；·····················3分 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴．·····················8分 20．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形；·····················3分 （2）解：∵ ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴．·····················8分 21．（9分） 【答案】(1)图见解析；24 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（）分别确定，，平移后的对应点，，，再顺次连接，，；根据平行四边形的面积公式可求出平移过程中边扫过的面积； （）分别确定，，，关于点中心对称的对应点，，，再顺次连接，，即可； （）先确定旋转中心的坐标，然后根据中点坐标公式即可求解； （4）由（3）可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 边扫过的面积；·····················3分 （2）解：如图，即为所求， ∴即为所求，；；；·····················5分 （3）解：根据作图可知：旋转中心的坐标为． ∵点P的坐标为， ∴的坐标是；·····················7分 （4）解：由（3）可知，旋转中心的坐标为．·····················9分 22．（9分） 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)作图见解析，分割线长为 【分析】（1）根据证明即可； （2）先证明四边形是正方形，则，而，再进行等量代换求解即可； （3）将四边形沿着剪开，再将拼接到的位置即可，连接，过点作交的延长线于点，证明，得到是等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴；·····················2分 （2）解：∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴；·····················5分 （3）解：如图，分割线即为所求； 将四边形沿着剪开，再将拼接到的位置即可， 连接，过点作交的延长线于点， ∴ ∴ ∵在四边形中， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴．·····················9分 23．（11分） 【答案】(1)见解析 (2) (3)图2中四边形的面积比图1中四边形的面积大． 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理得到，，由矩形的性质得到，则可证明，进而可证明四边形是菱形； （2）证明，得到，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）分别计算出两个四边形的面积，比较即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图1所示，连接， ∵点E、F、G、H分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， 同理可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；·····················3分 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴；·····················6分 （3）解：图1中四边形的面积， 同理可求出， 图2中四边形的面积， ∵， ∴图2中四边形的面积比图1中四边形的面积大．················11分 24．（12分） 【答案】(1)30；10 (2)①四边形是平行四边形，证明见解析；②或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，，利用角的和差求出，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求出的长度； （2）①由题意得，，根据含30度角的直角三角形的性质得到，则，再根据平行线的判定得到，最后根据平行四边形的判定即可得出结论；②分三种情况讨论：当、、时，根据矩形和直角三角形的性质列出关于的方程，求出的值，得到和的长，最后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴，·····················2分 ∴；·····················3分 （2）解：①四边形是平行四边形，证明如下： 由题意得，，， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形；·····················8分 ②分三种情况： 、当时，如图2所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴； 、当时，则， ∴点与点重合，此时， 则，点P与点F重合，此时点M与点N重合， 不存在，故不符合题意，舍去； 、当时，如图所示： 由①得，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∴； 综上所述，当为直角三角形时，的长为或．·····················12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十一章 四边形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A．B． C．D． 2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对边相 4．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，这是人字梯及其侧面示意图，为支撑架，为拉杆，分别是的中点．若，则两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，已知四边形是平行四边形． 嘉嘉：当时，它是菱形； 琪琪：当时，它是矩形． 对于他俩的说法，正确的是（   ） A．只有嘉嘉对 B．只有琪琪对 C．他俩都对 D．他俩都错 6．（2026·河北张家口·二模）如图，正方形与平行四边形的一边重合．若平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河北石家庄·二模）如图，在矩形中，．按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于线段的长为半径画弧，两弧交于点E，F；②作直线交于点G；③连接，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，的四个角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形是矩形．下列是排乱的证明过程，证明步骤正确的顺序是（   ） ①∵分别平分与， ∴，； ②∵四边形是平行四边形，∴； ③∴； ④∴； ⑤∴； ⑥同理，∴； ⑦∴四边形是矩形． A．②③①⑤④⑥⑦ B．②①③⑥④⑤⑦ C．⑦⑤⑥③②④① D．①②④③⑥⑤⑦ 9．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在边长为6的正方形中，E，F分别为边，的中点，连接，，点G，H分别为，的中点，连接，则的长为（    ）． A． B． C． D．3 10．（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B，连接并取的中点O． 方案Ⅰ：过点O作任意直线（不与重合，且不与纸条的边平行）交纸条两边于C，D两点（点C在点A所在的边上），连接，； 方案Ⅱ：在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足． 按上述两种方案操作，得到的四边形一定是平行四边形的方案（   ） A．Ⅰ，Ⅱ都是 B．Ⅰ，Ⅱ都不是 C．只有Ⅰ是 D．只有Ⅱ是 11．（25-26八年级下·河北唐山·期中）艺术家埃舍尔将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图①是一个菱形，将图①截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②镶嵌得到图③，将图③着色后，再次镶嵌便得到埃舍尔作品（如图④），则图③中的度数是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北邯郸·二模）某巡逻机器人沿正多边形赛道边缘行走，每次转弯时均向左转（如图为一个转弯处示意图），则该正多边形的内角和为________． 14．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点折叠至点处，则的面积为__________． 15．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与交于点E，与交于点F，连接，，则四边形的形状为______． 16．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点． （1） ________________ ； （2）点B的坐标是 __________ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． (1) ， ； (2)求的长． 18．（8分）（25-26八年级下·河北唐山·期中）和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题． (1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的_____比的大．”（填“内角和”或“外角和”） (2)设的边数为 ①若，求的值； ②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 19．（8分）（25-26八年级下·河北邯郸·阶段检测）如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求线段的长． 20．（8分）（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若 求的长． 21．（9分）（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移6个单位长度得到，请画出；平移过程中边扫过的面积为________． (2)画出关于点O的中心对称图形； (3)若内部一点P的坐标为，则点P在中的对应点的坐标是________；（用字母m、n表示） (4)若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为________． 22．（9分）（2026·河北石家庄·模拟预测）综合与实践 【情境】有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图1所示，已知，，，，现要把每块木板都只分割一次，将其拼成正方形（说明：木板拼接不重叠，无缝隙，无剩余）； 【操作】选取其中一块四边形木板拼成一个正方形，如图2，嘉嘉过点分别作于点，交的延长线于点，并说：“沿进行分割，得到能与完全重合的，即可拼得正方形．” (1)求证：； (2)求的长； 【拓展】将两块四边形木板拼成一个大正方形，淇淇说：“如图3，将每一块四边形都沿同一条分割线进行分割，即可拼成两个等腰直角三角形，最终拼得一个大正方形．” (3)在图3中画出一条分割线，并直接写出这条分割线的长． 23．（11分）（2026·河北石家庄·一模）如图1和图2，矩形纸片长为24，宽为10．嘉嘉和琪琪用折纸的方法分别得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图1，两次对折矩形纸片，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形； 琪琪的方法：如图2，沿分别折出，，点，分别在边上，得到四边形； 解答下列问题： (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，求的长； (3)通过计算，比较图1中四边形和图2中四边形的面积的大小． 24．（12分）（25-26八年级下·河北邯郸·期中）矩形的边长，点在上，把沿折叠，使点落在边的点处，． (1)如图1，____________，_____________； (2)如图2，点从点出发沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，过点作于点． ①猜想在、运动的过程中，四边形是什么图形，并证明你的猜想； ②连接，当为直角三角形时，的长为_____________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十一章 四边形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A．B． C．D． 2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对边相 4．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，这是人字梯及其侧面示意图，为支撑架，为拉杆，分别是的中点．若，则两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，已知四边形是平行四边形． 嘉嘉：当时，它是菱形； 琪琪：当时，它是矩形． 对于他俩的说法，正确的是（   ） A．只有嘉嘉对 B．只有琪琪对 C．他俩都对 D．他俩都错 6．（2026·河北张家口·二模）如图，正方形与平行四边形的一边重合．若平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河北石家庄·二模）如图，在矩形中，．按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于线段的长为半径画弧，两弧交于点E，F；②作直线交于点G；③连接，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，的四个角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形是矩形．下列是排乱的证明过程，证明步骤正确的顺序是（   ） ①∵分别平分与， ∴，； ②∵四边形是平行四边形，∴； ③∴； ④∴； ⑤∴； ⑥同理，∴； ⑦∴四边形是矩形． A．②③①⑤④⑥⑦ B．②①③⑥④⑤⑦ C．⑦⑤⑥③②④① D．①②④③⑥⑤⑦ 9．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在边长为6的正方形中，E，F分别为边，的中点，连接，，点G，H分别为，的中点，连接，则的长为（    ）． A． B． C． D．3 10．（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B，连接并取的中点O． 方案Ⅰ：过点O作任意直线（不与重合，且不与纸条的边平行）交纸条两边于C，D两点（点C在点A所在的边上），连接，； 方案Ⅱ：在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足． 按上述两种方案操作，得到的四边形一定是平行四边形的方案（   ） A．Ⅰ，Ⅱ都是 B．Ⅰ，Ⅱ都不是 C．只有Ⅰ是 D．只有Ⅱ是 11．（25-26八年级下·河北唐山·期中）艺术家埃舍尔将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图①是一个菱形，将图①截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②镶嵌得到图③，将图③着色后，再次镶嵌便得到埃舍尔作品（如图④），则图③中的度数是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北邯郸·二模）某巡逻机器人沿正多边形赛道边缘行走，每次转弯时均向左转（如图为一个转弯处示意图），则该正多边形的内角和为________． 14．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点折叠至点处，则的面积为__________． 15．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与交于点E，与交于点F，连接，，则四边形的形状为______． 16．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点． （1） ________________ ； （2）点B的坐标是 __________ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． (1) ， ； (2)求的长． 18．（8分）（25-26八年级下·河北唐山·期中）和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题． (1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的_____比的大．”（填“内角和”或“外角和”） (2)设的边数为 ①若，求的值； ②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 19．（8分）（25-26八年级下·河北邯郸·阶段检测）如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求线段的长． 20．（8分）（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若 求的长． 21．（9分）（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移6个单位长度得到，请画出；平移过程中边扫过的面积为________． (2)画出关于点O的中心对称图形； (3)若内部一点P的坐标为，则点P在中的对应点的坐标是________；（用字母m、n表示） (4)若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为________． 22．（9分）（2026·河北石家庄·模拟预测）综合与实践 【情境】有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图1所示，已知，，，，现要把每块木板都只分割一次，将其拼成正方形（说明：木板拼接不重叠，无缝隙，无剩余）； 【操作】选取其中一块四边形木板拼成一个正方形，如图2，嘉嘉过点分别作于点，交的延长线于点，并说：“沿进行分割，得到能与完全重合的，即可拼得正方形．” (1)求证：； (2)求的长； 【拓展】将两块四边形木板拼成一个大正方形，淇淇说：“如图3，将每一块四边形都沿同一条分割线进行分割，即可拼成两个等腰直角三角形，最终拼得一个大正方形．” (3)在图3中画出一条分割线，并直接写出这条分割线的长． 23．（11分）（2026·河北石家庄·一模）如图1和图2，矩形纸片长为24，宽为10．嘉嘉和琪琪用折纸的方法分别得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图1，两次对折矩形纸片，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形； 琪琪的方法：如图2，沿分别折出，，点，分别在边上，得到四边形； 解答下列问题： (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，求的长； (3)通过计算，比较图1中四边形和图2中四边形的面积的大小． 24．（12分）（25-26八年级下·河北邯郸·期中）矩形的边长，点在上，把沿折叠，使点落在边的点处，． (1)如图1，____________，_____________； (2)如图2，点从点出发沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，过点作于点． ①猜想在、运动的过程中，四边形是什么图形，并证明你的猜想； ②连接，当为直角三角形时，的长为_____________． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十一章 四边形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【详解】解：A选项：四条边都相等，是菱形，A选项不符合题意； B选项：由得，该四边形是一组对边平行，而另一组对边相等，所以不一定是平行四边形，故不一定是菱形，B选项符合题意； C选项：由得，该四边形是两组对边分别平行，且一组邻边相等的平行四边形，是菱形，C选项不符合题意； D选项：由得，该四边形是一组对边平行且相等，一组邻边相等的平行四边形，是菱形，D选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，， ∴． 3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对边相等 【答案】C 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，矩形是特殊的平行四边形，只需对比两者性质，找出矩形特有而平行四边形不具有的性质即可 【详解】解：∵平行四边形的性质为：对角相等，对边相等，对角线互相平分，矩形作为特殊的平行四边形，也具有以上三个性质， ∴选项A，B，D都是矩形和平行四边形共有的性质，排除； ∵矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等， ∴对角线相等是矩形具有而平行四边形不具有的性质 4．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，这是人字梯及其侧面示意图，为支撑架，为拉杆，分别是的中点．若，则两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点，且， ∴， 即、两点之间的距离为． 5．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，已知四边形是平行四边形． 嘉嘉：当时，它是菱形； 琪琪：当时，它是矩形． 对于他俩的说法，正确的是（   ） A．只有嘉嘉对 B．只有琪琪对 C．他俩都对 D．他俩都错 【答案】C 【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；有一个角是直角的平行四边形是矩形，判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故嘉嘉说法正确，符合题意； ∵四边形是平行四边形，有一个角是直角， 四边形是矩形，故琪琪说法正确，符合题意； 综上，他俩都对． 6．（2026·河北张家口·二模）如图，正方形与平行四边形的一边重合．若平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，平行四边形的性质，角的平分线求解即可； 【详解】解：因为正方形与平行四边形的一边重合， 所以，， 因为平分， 所以， 所以． 7．（2026·河北石家庄·二模）如图，在矩形中，．按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于线段的长为半径画弧，两弧交于点E，F；②作直线交于点G；③连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，，则，，由作图可得垂直平分，则，从而可得，由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， 由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，的四个角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形是矩形．下列是排乱的证明过程，证明步骤正确的顺序是（   ） ①∵分别平分与， ∴，； ②∵四边形是平行四边形，∴； ③∴； ④∴； ⑤∴； ⑥同理，∴； ⑦∴四边形是矩形． A．②③①⑤④⑥⑦ B．②①③⑥④⑤⑦ C．⑦⑤⑥③②④① D．①②④③⑥⑤⑦ 【答案】A 【分析】证明，同理，得到，即可得到结论． 【详解】解：证明步骤正确的顺序是： ∵四边形是平行四边形，∴； ∴； ∵分别平分与， ∴，； ∴； ∴； 同理，∴； ∴四边形是矩形． 即为②③①⑤④⑥⑦． 9．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在边长为6的正方形中，E，F分别为边，的中点，连接，，点G，H分别为，的中点，连接，则的长为（    ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】连接并延长交于M，连接，推出，由等量关系得出，即可得到解． 【详解】解：连接并延长交于M，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∵G为的中点， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴，， ∴ ∵点H为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B，连接并取的中点O． 方案Ⅰ：过点O作任意直线（不与重合，且不与纸条的边平行）交纸条两边于C，D两点（点C在点A所在的边上），连接，； 方案Ⅱ：在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足． 按上述两种方案操作，得到的四边形一定是平行四边形的方案（   ） A．Ⅰ，Ⅱ都是 B．Ⅰ，Ⅱ都不是 C．只有Ⅰ是 D．只有Ⅱ是 【答案】C 【分析】先根据题意画出图形，再根据平行四边形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：方案Ⅰ： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形一定是平行四边形； 方案Ⅱ： 如图，在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足， 根据，，不能判定四边形是平行四边形，即方案Ⅱ得到的四边形不一定是平行四边形． 综上，只有方案Ⅰ得到的四边形一定是平行四边形． 11．（25-26八年级下·河北唐山·期中）艺术家埃舍尔将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图①是一个菱形，将图①截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②镶嵌得到图③，将图③着色后，再次镶嵌便得到埃舍尔作品（如图④），则图③中的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意可知，可得，再根据平行线的性质得，然后根据平行线的性质得，则答案可得． 【详解】解：如图所示， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 先根据题意分四种情况画出图形，然后根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】解：如图： ① 当时，，即，解得：； ② 当时，，即，解得：； ③ 当时，，此时，解得：； ④ 当时，，此时P与重合，，解得：． 综上，C选项符合题意． 故选C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北邯郸·二模）某巡逻机器人沿正多边形赛道边缘行走，每次转弯时均向左转（如图为一个转弯处示意图），则该正多边形的内角和为________． 【答案】 【详解】解：根据多边形的内角和公式和外角和性质，可知这个正多边形的边数为，是正六边形； 内角和为：． 14．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点折叠至点处，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质； 设，根据翻折性质和勾股定理可得，即可解得答案． 【详解】解：∵在矩形纸片中，，， 设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中 ， 即 解得． ∴的面积为： 故答案为． 15．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与交于点E，与交于点F，连接，，则四边形的形状为______． 【答案】菱形 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为O，再利用证明，得四边形为平行四边形，然后根据垂直平分线的性质得，即可得出为菱形． 【详解】解：如图，设与的交点为O， 根据作图可得，且平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形． 16．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点． （1） ________________ ； （2）点B的坐标是 __________ ． 【答案】 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据正方形的性质得出； （2）过点B作轴于点E，证明，得出，，求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴在中，， ∵四边形为正方形， ∴． （2）过点B作轴于点E，如图所示， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． (1) ， ； (2)求的长． 【答案】(1)6，4 (2) 【分析】（1）由矩形的性质及勾股定理可得出答案； （2）设，由勾股定理可得，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，，是 折叠得到， ∴．， ∴在中，， ∴．······················2分 （2）解：设， ∴，． 在中，， ∴， 解得：， ∴．····················7分 18．（8分）（25-26八年级下·河北唐山·期中）和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题． (1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的_____比的大．”（填“内角和”或“外角和”） (2)设的边数为 ①若，求的值； ②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 【答案】(1)内角和 (2)①2②见解析 【分析】（1）根据多边形的边数与内角和的关系求解即可； （2）①分别计算与的内角和，计算即可； ②将n代入，分别计算与的内角和，得到与n无关，由此求解． 【详解】（1）解：因为的边数比多，所以的内角和比的大．··············2分 （2）解：①若，则的内角和为， 由题可得，的边数为条， 则的内角和为， ∴，解得， 即的值为2；·····················5分 ②由题意可得， 整理得，解得， ∴无论取何值，的值始终不变．·····················8分 19．（8分）（25-26八年级下·河北邯郸·阶段检测）如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质及勾股定理， （1）根据平行四边形性质得出，证明，得出即可证明结论； （2）先求出，，根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；·····················3分 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴．·····················8分 20．（8分）（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形；·····················3分 （2）解：∵ ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴．·····················8分 21．（9分）（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移6个单位长度得到，请画出；平移过程中边扫过的面积为________． (2)画出关于点O的中心对称图形； (3)若内部一点P的坐标为，则点P在中的对应点的坐标是________；（用字母m、n表示） (4)若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为________． 【答案】(1)图见解析；24 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（）分别确定，，平移后的对应点，，，再顺次连接，，；根据平行四边形的面积公式可求出平移过程中边扫过的面积； （）分别确定，，，关于点中心对称的对应点，，，再顺次连接，，即可； （）先确定旋转中心的坐标，然后根据中点坐标公式即可求解； （4）由（3）可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 边扫过的面积；·····················3分 （2）解：如图，即为所求， ∴即为所求，；；；·····················5分 （3）解：根据作图可知：旋转中心的坐标为． ∵点P的坐标为， ∴的坐标是；·····················7分 （4）解：由（3）可知，旋转中心的坐标为．·····················9分 22．（9分）（2026·河北石家庄·模拟预测）综合与实践 【情境】有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图1所示，已知，，，，现要把每块木板都只分割一次，将其拼成正方形（说明：木板拼接不重叠，无缝隙，无剩余）； 【操作】选取其中一块四边形木板拼成一个正方形，如图2，嘉嘉过点分别作于点，交的延长线于点，并说：“沿进行分割，得到能与完全重合的，即可拼得正方形．” (1)求证：； (2)求的长； 【拓展】将两块四边形木板拼成一个大正方形，淇淇说：“如图3，将每一块四边形都沿同一条分割线进行分割，即可拼成两个等腰直角三角形，最终拼得一个大正方形．” (3)在图3中画出一条分割线，并直接写出这条分割线的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)作图见解析，分割线长为 【分析】（1）根据证明即可； （2）先证明四边形是正方形，则，而，再进行等量代换求解即可； （3）将四边形沿着剪开，再将拼接到的位置即可，连接，过点作交的延长线于点，证明，得到是等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴；·····················2分 （2）解：∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴；·····················5分 （3）解：如图，分割线即为所求； 将四边形沿着剪开，再将拼接到的位置即可， 连接，过点作交的延长线于点， ∴ ∴ ∵在四边形中， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴．·····················9分 23．（11分）（2026·河北石家庄·一模）如图1和图2，矩形纸片长为24，宽为10．嘉嘉和琪琪用折纸的方法分别得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图1，两次对折矩形纸片，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形； 琪琪的方法：如图2，沿分别折出，，点，分别在边上，得到四边形； 解答下列问题： (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，求的长； (3)通过计算，比较图1中四边形和图2中四边形的面积的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图2中四边形的面积比图1中四边形的面积大． 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理得到，，由矩形的性质得到，则可证明，进而可证明四边形是菱形； （2）证明，得到，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）分别计算出两个四边形的面积，比较即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图1所示，连接， ∵点E、F、G、H分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， 同理可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；·····················3分 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴；·····················6分 （3）解：图1中四边形的面积， 同理可求出， 图2中四边形的面积， ∵， ∴图2中四边形的面积比图1中四边形的面积大．················11分 24．（12分）（25-26八年级下·河北邯郸·期中）矩形的边长，点在上，把沿折叠，使点落在边的点处，． (1)如图1，____________，_____________； (2)如图2，点从点出发沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，过点作于点． ①猜想在、运动的过程中，四边形是什么图形，并证明你的猜想； ②连接，当为直角三角形时，的长为_____________． 【答案】(1)30；10 (2)①四边形是平行四边形，证明见解析；②或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，，利用角的和差求出，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求出的长度； （2）①由题意得，，根据含30度角的直角三角形的性质得到，则，再根据平行线的判定得到，最后根据平行四边形的判定即可得出结论；②分三种情况讨论：当、、时，根据矩形和直角三角形的性质列出关于的方程，求出的值，得到和的长，最后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴，·····················2分 ∴；·····················3分 （2）解：①四边形是平行四边形，证明如下： 由题意得，，， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形；·····················8分 ②分三种情况： 、当时，如图2所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴； 、当时，则， ∴点与点重合，此时， 则，点P与点F重合，此时点M与点N重合， 不存在，故不符合题意，舍去； 、当时，如图所示： 由①得，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∴； 综上所述，当为直角三角形时，的长为或．·····················12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $