阿基米德三角形 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“阿基米德三角形”专题，依据高考评价体系梳理了抛物线背景下的5大核心性质，包括中线平行对称轴、轨迹直线、面积最值等，分析近年考情明确其作为热门难点的考查要求，归纳切线方程求解、轨迹证明、面积计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“性质应用+真题模拟+素养培养”策略，如例1结合准线求切线斜率，例2证明直线过定点，通过逻辑推理分析几何关系，数学运算处理联立方程与韦达定理，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此系统教学，助力学生高效突破解析几何难点。

拓展与延伸17 阿基米德三角形 一、考情分析 阿基米德三角形是近年高考解析几何中一个非常热门且难度较大的考点。它主要 出现在抛物线背景中，通过几何与代数的综合运用，考查学生的逻辑推理和数学 运算素养。 二、知识梳理 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫作阿基米德三角形，如图 M 性质1 阿基米德三角形的底边AB的中线MO平行于抛物线的对称轴. 性质2 若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条 直线，该直线与以点C为中点的弦平行 性质3 若直线I与抛物线没有公共点，以1上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB 过定点（为线/方担为x+十=0，则定点的华标为([《 性质4 底边AB长为a的阿基米德三角形的面积最大值为 8p 性质5 若阿基米德三角形的底边AB过焦点，测顶点O的轨迹为准线，且阿基米德三角 形的面积最小，最小值为p2. 三、考点扫描 例1(1)己知点(-3,2)在抛物线-2=2：（回>0） 直线与抛物线C相切于A,B两点，则直线。的斜率为( A.1 B.√2 C.V3 的准线上，过点c的 ) D.3 D【解析】P(-3,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上，故p=6,抛物C:y2=12x, 根据性质1可知，AB中点的纵坐标与点P纵坐标相等（如图），即yo=2,且AB过抛物 线的焦点.设AB方程为x=+3,代入抛物线方程得：y2-12y-36=0, w=12k生2， 故直线AB的斜率为3.故选D M(xo-Yo) (2)(多选题)2025·江苏如皋中学模拟)过抛物线y2=2p(p>0)的焦点F作抛物 线的弦，与抛物线交于A,B两点，分别过A,B两点作抛物线的切线1,2,1， 2交于点P.下列关于△PAB的描述正确的有() A.点P必在抛物线的准线上 B.AP⊥PB C.设A,),B,),则△PAB的面积S的最小值为 D.PF⊥AB ABD【解析】先证明出抛物线y2=2Px(p>0)在其上一点(xo,o)处的切线方程为 oy=px+px.证明如下：由于点(xo,o)在抛物线y2=2px上，则y=2pxo,联立 539x 可得2yoy=y2+2px0,即y2-2yoy十=0，△=0，所以抛物线y2 03PNP3 =2px(p>0)在其上一点(xo,o)处的切线方程为yoy=px十pxo.如图所示. 设BC,直线B的方程为x=m联立r-m+号消去x y=2px 得y2-2mpy-p2=0,由根与系数的关系可得y2=-p2,y1十2=2mp.对于选项 A挑物线广-2r在点1处的切线方程为心心十m,即y一十公同群 可知，愁物线广-r在点B处的切线方型为y=+》联立 2 解 y=p 2 x=坐=卫 得 2p 2 所以点P的横坐标为一P, 即点P在抛物线的准线上，A正确 y=+3 mp 2 对于选项B,直线1的斜率为M=P,直线h的斜率为=P,所以k2=p= VI V2 ViV2 一1，所以AP⊥PB,B正确； 对于选项D,当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点P为抛物线的准 线与x轴的交点，此时PF⊥AB;当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为k4B =I,直线PF的斜率为-即=一m,所以ksk=-1,则PFLAB.综上， m -P PF⊥AB,D正确 对打选碳C+m-PF-生丁-+mp-p1+m, 所以s-号极以1+m以p1+r-号w+y片)m+ )时号}2时片夜 时，等号成立，C错误.故选 片=士p ABD. 例2(2025山东滨州市模拟)已知点0，戌Q),动点P满足 亚.记点P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程 (2)设D为直线=三上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E,F.证 明：直线过定点， (1)【解】设x,则，s,守，O寺， 所以亚可以化为()，化简得x4.所以C的方 程为. (2)【证明】由题设可设习，，s均，由题意知切线，F的 斜率松作在由心，得y-则y所以红多直线的方程为 事对，即多 ① 因为3功在2上，所以4，即车-2 ②. 将②代入①得，所以直线的方程为4，同理可得 直线的方程为是.因为习在直线上，所以k, 又在直线上，所以K,所以直线F的方程为人K, 故直线过定点(Q,2. 对点训练(1)直线1过点(0,2)且与抛物线y2=8x只有一个公共点，则满足这 样条件的直线1有条 3【解析】设直线与抛物线切于点Po,yo),故有y=4(x+x),代入点(0,2) w2w,5别品猫文，合28，发板存在两条切统 y=4, 还有一条直线y=2与抛物线只有一个公共点，故为3条 (2)M(2,1)是抛物线x2=2py上的点，则以M为切点的抛物线的切线方程为， x-y-1=0【解析】将点M2,0)代入抛物线得p2,故以M为切点的切线方程 为2x=20y+1),即x-y-1=0. (3)已知抛物线是一的焦点为F,点 为半径的圆的最小面积为π. ①求抛物线C的标准方程； ②过点F的直线与C交于M,N两点，过点M, 线交于点P,求点P的轨迹方程. E在C上，以点E为圆心，列 N分别作C的切线！，1：，两切 (3)【解】①设点d, 为半径的圆的最小面积为π， 所以抛物线C的标准方程为 6≥0，则本 所以j,所以号 -h. 因为以E为圆心，以EF (负值舍去)，解得p2, @设》N》 易得O),由题意知直线MN的斜率一定存在，则 设直线MN的方程为享，联立 x2=4y ly-/a+l, 得吴来，△(，所 以￥，一由子，得y-,则切线的斜率为，则切线的 方程为小手李少即李 ① 同车可得切线：的方程为-空生 ②、 ①②得艺五，代入①，琴 所以 点P的轨迹方程为=. 四、巩固提升 1.已知抛物线C:x2=4y, 抛物线在A,B处的切线交 A.8 B. 直线y=十b与抛物线交于A,B两点，AB=8,且 于点P,则△PAB面积的最大值为( ) 16 C.16V2 D.32 y=kx+b, D【解析】方法一：设A(x1,),B(2,2)联立 得x2-4-4b= x2=4y, 0,由根与系数的关系得x1十x2=4k,x2=-4b,又AB=V1+2x1-x2= 1+术1o+16=8,校+61求义P=4,所以)，所以y- 放直线p4的方程为yn之t-.即yx 同理，直线PB的方程为y=x-联立直线P4, 2 =c2 即x 4 4k=2k,y=x2=-b,即P2k,-b), 离 2R+2b 二4 V1+2 ,所以Sn=↓ABd=1x8×2K+2b 21 1/1+2 2 当k=0时，(SP4B)max=32. 方法二：由阿基米德三角形的性质知6SP- Sp PB方程可得x= X1十X2 ，y 2 所以点P到直线AB的距 24 32 X /1+21+k2 3) 1+k2)2 8 =32.故选D. 8×2 2.（多选题)2025·河北廊坊市模拟)如图，△PAB为阿基米德三角形.抛物线x2 =2p(p>0)上有两个不同的点A(x1,),Bx2,2),以A,B为切点的抛物线的 切线PA,PB交于点P.则下列结论正确的有() A.若弦AB过焦点，则△PAB为直角三角形，且∠APB=90° B B.点P的坐标是 修垡 22 C.弦AB所在的直线的方程为(1十x2)x-2py一x1x2=0 D.△PAB的边AB的中线与y轴平行（或重合） Ao时题，4引h=,得 2p 则y-云所以一》一》若弦AB过焦点，设弦AB所在立线为)=公十号 p p p 联立x2=2py,得x2-2p-p2=0,则=-p,所以kpkeo=-?=-1,所 D2 以PA⊥PB,即∠APB=90°，故A正确； 以A为切点的切线方程为y一c一，以B为切点的切线方程为》 _2(x 2p P 2p 一小展消大y得“店，将代入 2 好_(x-x,得y= X1X2 2p P 2p 故B错误； 设N为弦AB的中点，N的横坐标为-十， 因此直线PN平行于y轴（或与 2 y轴重合)，即平行于抛物线的对称轴（或与对称轴重合），故D正确； 3_好 设直线AB的斜率为k=少一”=2p2印_十，故弦AB所在直线的方程为y 2一x1 X2一X1 2p -_1(K一)，化简得十r一2py一x=0,故C正确.故选ACD, 2p 2p 3.已知抛物线P:x2=4y的准线 为 与y轴的交点为E, 则过E作抛物线P的切线方程 x一y-1=0或x+y+1=0【解析】点E坐标为(0，一1)，设抛物线的切点为Qo,yo), 求导得公子故切线方程为.匀过将点E代入切线方程得 42 3字，故5一2由此可得切线 方程为x-y-1=0或x+y+1=0. 4.过点A(0,2)且和抛物线C:y2=6x相切的直线0方程为 3x一4y叶8=-0或x-0【解析】设直线与抛物线切于点P(o,o),故有yo=3(x+xo), 8 代入点A(0,2)得2o=3x0,与抛物线方程联立得 x0= 0”故 %=0 =4 切线方程为3x一4y叶8=0或x=0 5已知抛物戳的淮线方程为x),直线1与C交于4，B 点，且2（其中O为坐标原点），过点O作D4,交AB于点D (1)求点D的轨迹E的方程； (2)过C上一点业作曲线E的两条切线，分别交y轴于点M,N,求 D面积的最小值 【解】(1)由题意可得 21 2 即p=1,所以抛物线方程为2设 2 5,因为☑， 所以 ,及州4又由题意可知些， 所以y又2u,且怎中3所以 羊，即时O 又因为点D在直线B上，月毛，所以， 即 所以 由①②式可得，当b时，4，解得2,0，此时20；当( 时，消可得，H室，即(=，点(2,0)同样满足该方程， 显然D与O不重合，所以（综上，点D的轨迹E的方程为（子手 (2)因为飞>2，结合题意可得切线斜率存在且都不为0，设切线的斜率为k, 必的斜率分别为k,k,则切线方程为末，即式，令 C,得 又 6=kc6 l(x ，消元得 三因为相切，所以 即 易知心的斜率分别为k,k是方程③的两个根， 是-黑 所以 不长春 ( X在 i以空入个亭 令 所以 所以 4 当且仅当t= 的最小值为8 W 0 A M D B 即t=2时，取等号.综上，①面积