第七章 课时10 立体几何的综合应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何综合应用，覆盖线面与面面平行垂直证明、空间角距离计算及表面积体积求解等核心考点。依据课标要求梳理综合法与坐标法证明思路，分析近5年高考高频题型如线面平行证明、二面角计算，体现备考的系统性与针对性。 课件亮点在于融入2024北京卷等高考真题，通过坐标法建立空间直角坐标系求法向量、向量数量积计算空间角等技巧，培养学生数学思维与数学语言表达能力。特设易错点分析如线面垂直判定误区，帮助学生掌握得分关键，教师可据此实施精准复习教学。

课时10 立体几何的综合应用 一、课标要求 1.掌握线面、面面平行与垂直的判断与性质定理，并运用于证明平行与垂直关 系 2.会求简单几何体的表面积和体积. 3.能用向量方法证明空间线面位置关系、计算空间角和距离. 二、知识梳理 1.立体几何中证明平行关系的常用方法 (1)证明线线平行的常用方法：①利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直 线平行；②利用平行四边形进行转换；③利用三角形中位线定理证明；④利用线 面平行、面面平行的性质定理证明. (2)证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，把证明线面平行 转化为证明线线平行；②利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明 面面平行. (3)证明面面平行的方法：证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个平面 内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平 行，再转化为证明线线平行. 2.立体几何中证明垂直关系的常用方法 (1)证明线线垂直的常用方法：①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、 矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；②利用勾股定理逆定理；③利用线面 垂直的性质，即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可. (2)证明线面垂直的常用方法：①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定 转化为证明线线垂直；②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明 面面垂直；③利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条 也垂直于这个平面等. (3)证明面面垂直的方法：证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个 面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有 直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决， 3.向量法证明与计算问题 ()加强对空间向量概念及空间向量运算律的理解，掌握空间向量的加、减法， 数乘、数量积运算等. (2)掌握各种角与向量之间的关系，并会应用. (3)掌握利用向量法求线线角、线面角、二面角的方法. 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打V”,错误的打“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.() ×【解析】反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱 柱. (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.() ×【解析】反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥 D B (3)菱形的直观图仍是菱形.( ) ×【解析】用斜二测画法画水平放置的菱形的 定相等，错误 直观图是平行四边形，但邻边不一 (4)两个球的体积之比等于它们的半径之比的平方.() ×【解析】球的体积之比等于半径之比的立方，故不正确， 2.如图，已知正四棱锥的所有棱长均为 直线距与PC所成角的余弦值为() E D C B A. B. C. D. 2 2,E为棱PA的中点，则异面 B【解析】连接AC,取AC的中点O,连接E,B.由题意知，P?,则异面 直线邵与PC所成角为延（或其补角）在中，≤三， 则 三二则异面直线与1化所成角的余弦值为故 选B. E B 3.(多选题)下列说法正确的有( A.若ab<0,则〈a,b〉是钝角 B.若a为直线1的方向向量，则a(,∈R)也是直线1的方向向量 C.若茹-}A+子AB,则CD=2D成 D.在三棱锥P一ABC中，若PA·BC=O,P心·AB =0, 则P西·AC =0 CD【解析】对于选项A,当a= 角，故A错误； 对于选项B,当2=0时，入a=0, 对于选项C,由AD=】AC 3 -2AD +2AB,所以CA+AD b时，满足ab<0,但〈a, b〉=元， 不是钝 不是直线1的方向向量，故B错误； AB,得3AD=AC十2AB,则AD-AC= =2DA+AB),即CD =2DB, 故C正确； 对于选项D,过点P作PO⊥平面ABC交平面ABC于点O,连接CO并延长， 交AB于点M,连接AO并延长，交BC于点N,连接BO并延长，交AC于 点T(图略)，由PABC=O,可得PA⊥BC,则AN⊥BC,同理得CMLAB,所 以O为△ABC的垂心，所以BT⊥AC,则PB⊥AC,从而PB·AC=O,故D 正确.故选CD 4.已知△ABC是面积为93 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球 0的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为 1【解析】如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC,则O1为等边三角形ABC的 外心.设△ABC的边长为，则a-93,解得a=3,所以0A=?x3 4 4 ×3 2 =13.设球0的半径为r,则由4r2=16元，得r=2,即0A=2.在Rt△00A中， 001=V0A2-01A2=1,即0到平面ABC的距离为1. 四、考点扫描 考点一综合法证明空间平行、垂直 例1如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC, BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD= 证： (1)EF∥平面ADO: (2)平面ADO⊥平面BEF. AB=2,BC=2\2,PB=PC=N6, 5DO,点F在AC上，BF⊥AO.求 D E B C 【证明】(1)如图，在Rt△ABC中，O为BC中点，AB=2,BC=22,BO=V2, 所以Rt△BAO∽Rt△BCA.设BF∩AO=Q,因为BF⊥AO,所以Rt△QBO∽ Rt△BAO,所以∠QBO=∠BAO=∠BCA,所以BF=CF.又∠ABC=90°，故 F为AC中点.又E为AP中点，所以EF∥PC.因为PC∥DO,所以EF∥DO.又 EFd平面ADO,DOC平面ADO,所以EF∥平面ADO. (2)由()知，A0=6.又D为BP中点，所以0D=1PC=,6.又AD=5D0 21 =1V3 , 2 在△AOD中，AD2=5DO2=DO2十AO2,即∠AOD=90°，所以AO⊥ DO.又DO∥PC∥EF,所以AO⊥EF.又BF⊥AO,BF∩EF=F,BF,EFC平 面BEF,所以AO⊥平面BEF.又AOC平面ADO,所以平面ADO⊥平面BEF. 考点二 坐标法证明空间平行、垂直 例2如图，在四棱锥P-ABCD中，己知PC⊥ ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=4,CD 4PM,PB与平面ABCD成30°的角.求证： (I)CM∥平面PAD; (2)平面PAB⊥平面PAD. 平面ABCD,PC=2,在四边形 =1,点M在棱PB上，且PB= M B 【证明】以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在 直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.因为PC⊥平面ABCD,所 以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，所以∠PBC=30°.因为PC=2,所以 -23.PB=4.所以D0,10e3,004e,40,P002-M[5a 所以Dp-0.-12.nA=e.30.=受 M B (1)方法一：令n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量，则 D40 即 4220 Z= 所以 2 令y=2,得n=(-3,2,1).因为z=- 23c+30 X=- 2业 3x,+2x0+X=0,所以2VD又CMc平面P4AD,所以CM/平ID 方法二：因为PD=(0,1,-2),PA=(23,4,-2),令CM=xPD+yPA, 2 x=-1, 则{0=x+4y,所以方程组解为 1 所以CM=-P元+1P,由共面向量 3 y=4 =-2x-2y, 定理知CM与PD,PA共面.又因为CMt平面PAD,所以CM∥平面PAD. (2)取AP的中点E,连接BE,则E(3,2,1),BE=(-3,2,1).因为PB=AB, 所以BE⊥PA.又因为BE·DA=(-3,2,1)·(2/3,3,0)=0,所以BE⊥DA, 所以BE⊥DA.又PA∩DA=A,PADA二平面PAD,所以BE⊥平面PAD.又因为BEC 平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. 对点训练如图，已知AA1⊥平面 AA=7,E和F分别为线段BC (1)EF∥平面ABBA; (2)平面AEA1⊥平面BCB1. ABC,BB1//AA1,AB=AC=3,BC=2V5, 和AC的中点.求证： B B E 【证明】因为AB=AC,E为BC的中点，所以AE⊥BC因为AA1⊥平面ABC, AA1∥BB,所以过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC,EA所在直线分别为x轴， y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为AB=3,BE=5,所以AE=2,所 以4a0.G5,004,2-5042,72 ZA B 0-受空h=(-5.-20=,0.设平重4g的 n:4B=0, 一个法向量为n=c,y,z),则 所以 5x-2=0. 7z=0, 取 nA,=0, x=-2, y=V5, 所以n=(-2,5,0.因为n=,5(-2十1×5+70=0， 2 2 z=0, 所以EF⊥n.又EF丈平面AB1BA,所以EF∥平面ABBA. (2)因为EC⊥平面AEA1,所以EC=(V5,0,0)为平面AEA1的一个法向量.又EA⊥ 平面BCB1,所以EA=(0,2,0)为平面BCB的一个法向量.因为EC·A=0,所以 EC⊥EA,故平面AEA1⊥平面BCB1. 考点三空间角的计算 例3（2024北京卷)如图， ②，E是棱 (1)若F是PE的中点， (2)若B平面五， 已知四棱锥P-ABCD,,,差， 上一点，且2. 证明：升平面L; 求平面P哑与平面夹角的余弦值. B (1)【E明】取的巾点为，按￥x，,则5之 而 故，故四边形为平行四边形，故 而之平面心L,了之平面代L，,所以BW平面CL Z (2)【解】因为，故，故2，故四边形G☑为平行 四边形，故张a,所以C平面PI,而平面江，故 ,而产☑，故建立如图所示的空间直角坐标系，则 则 mP4-0 设平面沙的法向量为3，则由 mP8- 得20 可得 取 习设平面L的法向量为对，则由 可得 a-2b=0 22-c'4 代之收表爱 故平面P?与平 面RL夹角的余弦值为S0 30 对点训练(2025·福建龙岩市高三统考期末)如图， 面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP= (1)求证：BE∥平面PAD; 2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底 2,AB=1,E为棱PC的中点. E D A B (I)【证明】如图所示，取PD中点M,连接EM,AM.因为E,M分别为PC, PD的中点，所以EM∥DC,且EM= DC.又由已知，可得EM∥AB,且EM= 2 AB,所以四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.又因为AMc平面PAD, BE丈平面PAD,所以BE∥平面PAD. (2)【解】如图，以点 C(2,2,0),D(0,2 A为原点，建立空间直角坐标系 0),P(0,0,2) Z P E A B X A-xyz,则B(1,0,0), 由E为棱PC的中点，得E1,1,1)所以BD=(-1,2,0),PB=(1,0,- 2).设n=(&,y,z)为平面PBD的法向量，则 x+2y=0, 不妨令y=1,得x x-2z=0 =2,Z=1,即n=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量.又BE=(0,1,1),设 线BE5平面PBD,8Sn=oso.BE= 2=13 3 6×/23 ,所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为】 考点四 空间距离的计算 例4如图，在四棱锥P-ABCD中，AC∩BD=O,底面ABCD为菱形，边长为2， PC⊥BD,PA=PC,且∠ABC=60°，异面直线PB与CD所成的角为60. (1)求证：PO⊥平面ABCD; (2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离 E (I)【证明】因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为PC⊥BD,PC∩AC =C,PC,ACc平面APC,所以BD⊥平面APC.因为POC平面APC,所以BD⊥PO 因为PA=PC,O为AC中点，所以PO⊥AC.又因为AC∩BD=O,AC,BDc平 面ABCD,所以PO⊥平面ABCD (2)【解】以O为原点，OB,OC,OP方向为x,y,z轴方向，建系如图， 因为AB∥CD,所以∠PBA为异面直线PB,CD所成的角，所以∠PBA=60° 在菱形ABCD中，AB=2,因为∠ABC=60°，所以OA=I,OB=V3,设PO =a,则PA=√7+H,PB=V7+3 在△PBA中，由余弦定理，得PA2=BA2+BP2-2BABP·cos∠PBA,所以a2+1 =4+a2+3-2V+3,解得a=6,所以A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0, 1,m.p00,6Ea0BE-（50B-(3,0,6) /13 =3,所以点 2 E到直线BP的距离为 对点训练如图，在三棱锥S-ABC中，SA,SB,SC两两垂直，SA=3,SB=SC =2,点E在棱SA上，且SE=2EA,为棱BC的中点.以SA,SB,SC分别 为x轴、y轴、z轴的正方向，并以1为单位长度，建立空间直角坐标系.求： (1)直线EF的一个方向向量： (2)点S到平面EFC的距离. 【解】(1)依题意，得E(2,0,0),F0,1,1),所以EF=(-2,1,1)为直线 EF的一个方向向量， 2C0,0,2),SC=0,0,2),C正=2,0，-2)，E=(-2,1,1)设平面 nC=2x-2z=0, EFC的一个法向量为n=(&,y,z),则 取x=1,得z nEF=-2x十y+z=0, =1,y=l,则n=(1,1,1),所以点S到平面EFC的距离为nSC=2=23 3