上海市复旦大学附属中学2026届高三下学期毕业考数学试题

复且附中2025-2026学年第二学期高三年级数学毕业考 2026.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知集合A={-1,0,1,2,集合B=(-1,1],则A∩B=」 2.实数左x2=2y的准线方程是 1、1 3.不等式二≥二的解集为 x-2 4.若角的终边过点(3，-4)，则cos 5.1 曲线y=x-之在x=1处的切线与直线kx-y+3=0平行，则实数 为 6.若正整数n满足C=C%,则(2x-1)”的展开式中x2项的系数为 。 (用数值表示) 7.已知a为常数，若函数y=g 是奇函数，则a的值为 1+x 8.已知复数1，乙2是实系数一元二次方程的两个根，若=i乙2（其中i是虚数单位），则 z-的最小值为 9.平面上五点A,B,C,D,E满足AB=BC=CD,EA·EB=4,EB.EC=5,EC.ED=8,则 EAED的值为 10.在平面直角坐标系中，已知点A(-3,2),点P为圆x2+y2=16上的动点，现将坐标平 2 面沿y轴折成大小为π的二面角，此时A,P两点间距离的最大值为 11.如图，现要在A,D两地之间修建一条笔直的隧道，从B地和 C地测量得：∠DBC=24.2°，∠DCB=35.4°，∠CBA=55.8°， ∠BCA=52.9°.若B,C的直线距离为5.8公里，则隧道AD长 为 公里.（结果精确到0.1公里) B 12.已知函数y=f(x)的定义域为{1,2,3，…，9}，值域As{1,2,3,4,5},且对任意正整数 k∈[1,8]，都有f(k+1)-f(k)≥3恒成立，则符合条件的函数y=f(x)的个数 为 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.已知a,b,c∈R,则下列结论中不正确的是（). A.若a>b,c<0,则a+c<b+c B.若a3>b3,则a>b C.若ac2>bc2,则a>b D.若Va<√b,则a<b 14.定义一个集合2，集合中的元素是空间内的点，任取P,卫，P∈2，存在不全为0的实 数入1,22，入3，使得元0P1+入20P+入30R=0.已知(1,0,0)∈2，则(0,0,1)2的一个充分 条件是(). A.(0,0,0)∈2 B.（-1,0,-1)e2 C.(（1,1,0)∈2 D.(0,0,-1)e2 15.已知m>0,函数y=six在区间[m,2m]上最小值为s,在区间[2m,3m]上的最小值为 t,当m变化时，下列不可能的是（). A.s>0且t>0 B.s<0且t<0 C.s<0且t>0 D.s>0且t<0 16.已知函数y=f(x)定义域为R,且对任意x∈R,不等式f(x)≤2026恒成立.设 a,b∈R,定义gab（x)=f(x)-f(ax+b).现给出如下两个命题： ①若y=f(x)是周期函数，则对于任意实数a∈R,函数y=g。o(x)是周期函数； ②函数y=f(x)存在正整数周期，当且仅当函数y=g.（x)存在正整数周期； 则下列选项中正确的是(). A.①②都是真命题 B.①②都是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤。 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,AD//BC, ∠ABC=PA=PB=3,BC=1,AB=2,AD=3,点0是AB的中点. (1)求证：P0⊥CD; (2)求直线CP与平面POD所成角的正弦值. 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知f(x)=log2(ax+1),其中a∈R. (1)当a=1时，求不等式f(4x-2)<0的解集； (2)设g(x)=f(2x)+log2x,若函数y=g(x)有且只有一个零点，求a的取值范围. 19.(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分) 混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益.某鱼 塘中有A,B两种鱼苗.为了调查这两种鱼苗的所占比例，设计了如下方案： ①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A的数目，以此作为一次试验的结果； ②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验次，记第i次试验中鱼苗A的 数目为随机变量X,(i=1,2,,n); ®记随机变量X=片∑“X,利用灭的期望E[]和方差D[)进行估算设该鱼塘中鱼苗 A的数目为M,鱼苗B的数目为N,其中M<N,并且认为每一次试验都相互独立. (1)在一次试验中，已知捕捉的50条鱼苗中鱼苗A共有20条，记录员逐个不放回地记 录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A的概率； (2)请提出一个合理假设，使得X,服从二项分布： 基于以上假设，请完成下面的问题. 记X,(=12,,川)的实际取值分别为，平均值和方差分别记为元，，已知方差寸2=5 8n 该鱼塘的技术顾问认为可以用x和S2分别代替E[X]和D[X],请由此估算处和x, 参考公式：E[x]=Ex,]D[]=D[x,] 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知椭圆C:。+上-1，点0为坐标原点，椭圆的右顶点为A,左右焦点分别为F,5, 98 点E为椭圆在x轴上方的一个动点。 (1)求椭圆C的焦距与△EFF,的周长； (2)若所-}，求点E到x轴的距离； (3)过点F作斜率为k的直线1交y轴正半轴于点P,点P位于椭圆内，直线1与椭圆C 交于G、H两点，记A0GH,△OFP的面积分别为S,S,求的取值范围.， S. 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 设s,t∈R,对于定义域为D的函数y=f(x)与y=g(x),设h(x)=sf(x)+g(x),若函数 y=(x)是区间D上的单调函数，则称y=f(x)与y=g(x)在区间D上满足"性质 M(s,t)". (1)设D=[2,+o),f(x)=x2,g(c)=x,函数y=f(x)与y=g(x)在区间D上满足"性质 M(1,t)"，求t的取值范围； ②)已知>4D=(0小(e=8(),若)=f问)与=树在区间D上满 足"性质M(s,t)",求二的取值范围； (3)设D=R,若对任意的实数s,t,函数y=f(x)与y=g(x)在R上都满足"性质 M(s,t)",求证：存在不全为0的实数A,B,使得函数y=Af(x)+Bg(x)为常值函数. 复旦附中2025-2026学年第二学期高三年级数学毕业考 2026.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.已知集合A={-1,0,1,2},集合B=(-1,1,则A∩B= 【答案】{0,1} 2.实数左x2=2y的准线方程是 【答案】y=-1 2 3.不等式二≥。的解集为 2 【答案】(0,2] 4.若角a的终边过点(3，-4)，则cos 【答案】青 5. 已知曲线y=-是在x=1处的切线与直线低-y+3=0平行，则实数系的值 为 【答案】3 6.若正整数n满足C=C%,则(2x-1)”的展开式中x2项的系数为 ·（(用数值表示) 【答案】-220 ⑦已知为常数，若函数y=g1十” 是奇函数，则a的值为 【答案】-1 8.已知复数1,32是实系数一元二次方程的两个根，若，=iz2(其中i是虚数单位)，则 3-的最小值为 【答案】 2 2 9.平面上五点A,B,C,D,E满足AB=BC=CD,EA·EB=4,EB.EC=5,EC.ED=8,则 EAED的值为 【答案】3 【懈析】设EB=i,E元=在，则BC=-方， 进而EA=26-c,ED=2元-b,6.c=5,i(26-c=4,(2元-)=8， 则EAE历=(26-c)(2-)=-(26-ci-(2-)+36.=3. 10.在平面直角坐标系中，已知点A(-3,2),点P为圆x2+y2=16上的动点，现将坐标平 2 面沿y轴折成大小为专π的二面角，此时A,P两点间距离的最大值为 【答案】7 【解析】设A,P在y轴上的射影分别为B和H,P(4cos0,4sin0),结合图像可知，只需考虑 9c(受到的情况此时A年刘PH=4co0Bl-p-4a0， P-A +l2-PIbcos =9+16c0s20+12c0s0+4+16sin20-16sin0=29-4(4sin0-3c0s0)≤29+4×5=49， 则AP≤7. 11.如图，现要在A,D两地之间修建一条笔直的隧道，从B地和 C 地测量得：∠DBC=24.2°，∠DCB=35.4° ∠CBA=55.8°，∠BCA=52.9°.若B,C的直线距离为5.8公里，则 隧道AD长为 公里.（结果精确到0.1公里） 【答案】2.6 【解析】在△BDC中，BC=5.8,∠BCD=35.4°，∠CBD=24.2°，得∠BDC=120.4°， 正弦定理可得CD=5.8×$m24.2” sin120.4 ,BD=5.8xSin35.49 sin120.4° 此时∠ACD=∠ACB-∠DCB=17.5°，∠ABD=∠ABC-∠DBC=31.6°， 所以在AMCD中，Si∠CAD=sin4ACD,在AMBD中，m∠BAD-BD sin∠ABD, AD AD 利用∠CAD+∠BAD=180°-∠ACB-∠ABC=71.3°，计算器解得AD≈2.573≈2.6. 12.已知函数y=f(x)的定义域为{1,2,3，…，9}，值域A≤{1,2,3,4,5}，且对任意正整数 k∈[1,8]，都有f(k+1)-f(k)≥3恒成立，则符合条件的函数y=f(x)的个数 为 【答案】178 【解析】设集合Dk={1,2,3,…,k}, 用cn表示定义域为Dk,值域为As{1,2,3,4,5}的函数个数，显然f(k)≠3. 若f(n)∈{2,4，则f(n+1)∈{1,5}；若f(n)=1,则f(n+1)∈{4,5}； 若f(n)=5,则f(n+1)∈{1,2}.设cn中满足f(n)e{2,4的个数为an, 满足f(n)e{1,5的个数为bn·此时有an+1=bn,bn+1=an+bn,且Cn=an+bn, 整理得cn=bn+1=bn-1+bn，枚举得b2=4,b3=6, 所以b4=10,b=16,b。=26,b,=42,bg=68,b,=110,b10=178,cg=b0=178. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.已知a,b,c∈R,则下列结论中不正确的是（). A.若a>b,c<0,则a+c<b+c B.若a3>b3,则a>b C.若ac2>bc2,则a>b D.若√a<√b,则a<b 【答案】A 14.定义一个集合2，集合中的元素是空间内的点，任取P,P,P∈2，存在不全为0的实 数21，入2，入3，使得入，0P1+220E,+130E=0.已知(1,0,0)∈2，则(0,0,1)2的一个充分 条件是(). A.(0,0,0)∈2 B.(-1,0,-1)e2 C.(1,1,0)e2 D.(0,0,-1)∈2 【答案】C 15.已知m>0,函数y=sinx在区间[m,2m]上最小值为s,在区间[2m,3m]上的最小值为 t,当m变化时，下列不可能的是（). A.s>0且t>0 B.s<0且t<0 C.s<0且t>0 D.s>0且t<0 【答案】C 16.已知函数y=f(x)定义域为R,且对任意x∈R,不等式f(x)≤2026恒成立.设 a,b∈R,定义gab(x)=f(x)-f(ax+b).现给出如下两个命题： ①若y=f(x)是周期函数，则对于任意实数a∈R,函数y=8a.o(x)是周期函数； ②函数y=f(x)存在正整数周期，当且仅当函数y=8,:(x)存在正整数周期； 则下列选项中正确的是（)· A.①②都是真命题 B.①②都是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 【答案】D 【解析】对于①，取f(x)=sinx,a=-元，则goo（x)=sinx-sin(-元x)=sinx+sinx, g'(x)=cosx+cosx仅在x=0处取到导数的最大值为2， 所以y=ga.o(x)不是周期函数，①错误. 对于②，若f(x+T)=f(x),其中T∈N,8,(x)=f(x)-f(x+1), 易证8.(x+T)=8.（x); 若g(x+T)=g(x),其中T∈N,即f(x+T)-f(x+T+1)=f(x)-f(c+1), 整理得f(x+T)-f(x)=f(x+T+1)-f(x+1), 令h(x)=f(x+T)-f(x),则h(x)=h(x+1). 下证h(x)=0恒成立.假设存在x,∈R,h(x)≠0，则h(x+k)≠0，其中k∈Z, 则f(x+nT)-f(x)=h(x)+h(+1)++(x+(n-1)=(n-1)h(x) 当n足够大时，(n-1)h(x>5052,与f(x+nT）f(x儿≤5052矛盾. 所以h(x)=0恒成立，即f(x+T)=f(x)恒成立，y=f(x)是周期函数， 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤。 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,AD//BC, ∠ABC=受PA=PB=3,BC=1,AB=2AD=3,点0是AB的中点， (1)求证：PO⊥CD; (2)求直线CP与平面POD所成角的正弦值. 【答案】（1)证明见解析 (2) 2 【解析】(1)因为PA=PB,所以PO⊥AB,由于平面PAB⊥平面ABCD, 所以PO⊥平面ABCD,所以PO⊥CD. (2)取CD中点E,则0E1/BC,以OB,OE,OP为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系. 则c(11,0,P(0,0,22),D(-13,0),C=(-1,-1,22),0=(0,022),0D=(-1,3,0）,平 面POD的一个法向量为i=(3,1,0),设直线CP与平面POD所成角为6， 则sin0= 司闪0x而号，即宜线cP与平面P0D所成角的正衣值为子 cp.3-1=2 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知f(x)=log2(ax+1),其中a∈R. (1)当a=1时，求不等式f(4x-2)<0的解集； (2)设g(x)=f(2x)+l0g2x,若函数y=g(x)有且只有一个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)（ 【解析】(1)当a=1时，f(4x-2)=log2(4x-1)<0,得0<4x-1<1,解得解集为 (2)因为8(x)=log,(2ax+1)+log,x=log(2ax2+x),此时需要x>0且2ax+1>0. 由g(x)=0,结合x的取值范围，得2ax2+x-1=0有且只有一个正根.若a=0,满足题意； 当a≠0时，若△=1+8a=0,得a=二8，此时方程仅有一个正实根为x=2,满足题意 若4>0，即>日，此时方程的两限之积为立因此必须两根异号，乘积乙0， 2a 可得a>0.综上，a的取值范围是 19.(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分) 混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益某鱼 塘中有A,B两种鱼苗.为了调查这两种鱼苗的所占此例，设计了如下方案： ①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A的数目，以此作为一次试验的结果； ②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验次，记第i次试验中鱼苗A 的数目为随机变量X,(i=1,2,…,n); ③记随机变量X=∑，X,利用X的期望E[X]和方差D[X]进行估算设该鱼塘中鱼 苗A的数目为M，鱼苗B的数目为N,其中M<N,并且认为每一次试验都相互独立. (1)在一次试验中，已知捕捉的50条鱼苗中鱼苗A共有20条，记录员逐个不放回地记 录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A的概率； (2)请提出一个合理假设，使得X,服从二项分布： 基于以上假设，请完成下面的问题. 记X,(=1,2,,m）的实际取值分别为￥，平均值和方差分别记为，s,已知方差=5 8n 该鱼塘的技术顾问认为可以用x和s分别代替E[X)]和D[X],请由此估算和x, 参考公式：E[x]=E[X],D[x]=D[x,] 【答案】(1)p=19 49 a兴-此时[冈%-空 【解析】(1)第一次记录鱼苗A时，剩下的49条中有19条A鱼苗，所以所求概率为 19 卫= 49 (2)假设：认为鱼塘里的鱼足够多， 此时X,近似服从二项分布B 50MN 所以根据参考公式，】 ] EM+2,解0W 50MN 775 n(M+N)28n' 结合兴<1，可得州-此时=E[冈=0= 50M25 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 随圆℃：。+，点0为坐标原点，桶圆的有顶点为4，左有焦点分别为工 点E为椭圆在x轴上方的一个动点。 (1)求椭圆C的焦距与△EFF,的周长； 9 (2)若EE配-，求点E到x轴的距商； (3)过点F作斜率为k的直线I交y轴正半轴于点P,点P位于椭圆内，直线I与椭圆 C交于G、H两点，记△0GH,AOFP的面积分别为S,S,求g的取值范围. S, 【答案】（1)2a+2c=8 (2)√6 (3) 6 【解析】(1)焦距2c=2,2a=6,△EF,F2的周长2a+2c=8. 2)A(3,),r(-1,）,设E(5w)0>0),则。+片=1，即=8-8。 98 丽=(6-x-1-x)+=-2x-3+=g-2x+5= 9 2 得4-72x,+99=0,而-3<x<3,解得x,==V6,所以点E到x轴的距离为6. (3)设直线1的方程为x=-1,因为直线1与y轴正半轴相交，故m≠0，P0,品) 由点P在y轴正半轴上，且位于椭圆内，得0<<2W,即m>2 4 联立x=my-1和C:8x2+9y2=72,得(8m2+9y2-16my-64=0, △=256m2+256(8m2+9）=2304(m2+1),设G(xy),H(s,), 则%+男ag%幻h2-8 16m 8m2+9 8m2+9 S=5am-=osxu小ks=-o0a 令_O5-=ml以-小=48mm1 m2(m2+1 8m2+9 =48 (8m2+9)} m 令m2=t> 1+ 8S2 8+2 令1+=ue(,9),则f0=(9u-1 1 1 81u+-18 函数y=81u+-18在(，9)上严格递增，64<81u+上-18<6400 9 因此 9(t+1)13 400(8t+9y264'80V(8t+9y2 1t牛1。，则2<<6，所以空的取值范 5S2 另解：用-2可，则5=行，之后执元=F+1。 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 设s,t∈R,对于定义域为D的函数y=f(x)与y=g(x),设h(x)=f(x)+g(x),若函数 y=h(x)是区间D上的单调函数，则称y=f(x)与y=g(x)在区间D上满足"性质 M(s,t)". (1)设D=[2,+∞)，f(x)=x2,8(x)=x，函数y=f(x)与y=g(x)在区间D上满足"性 质M(1,t)",求t的取值范围； (2)已知s>4D=(Q小./()=g()=,若=f(倒与)=g(在区间刀上满 足"性质M(s,t)",求二的取值范围； (3)设D=R,若对任意的实数s,t,函数y=f(x)与y=g(x)在R上都满足"性质 M(s,t)",求证：存在不全为0的实数A,B,使得函数y=Af(x)+Bg(x)为常值函数. 【答案】()te-4w)(2)(-o,子[0，+ (3)证明见解析 【解析】(1)(x)=1·f(x)+tg(x)=x2+,令对称轴x=-号≤2，得tE-4,+o). 2 2)()=1()+g=x-2=x-) 其中u={,s>0. ①当u≥0时，h(x)在D=(0,1]严格增，满足条件； ②当a0时，4)在受上格减：[识+ 上严格增， 令受1，得u(。引综上，“的取值周是(e子0 (3)若函数y=f(x)为常值函数，取(A,B)=(1,0);同理，若函数y=g(x)为常值函数， 取(A,B)=(0,1).因此，以下考虑函数y=f(x),y=g(x)都不为常值函数的情况. 分别取(s,)=(1,0)和(0,1)，可以得到函数y=f(x)与函数y=g(x), 不妨设函数y=f(x)与函数y=g(x)都为增函数（否则，若y=f(x)为减函数，将-f(x) 替换f(x)).由于函数y=f(x),y=g(x)不为常值函数， 因此存在x,<x2,使得f(x2)>f(x,)且8(x2)>g(x)· 令g(x2)-g(x)=m[f(x2)f(x)],其中m>0. 首先证明：对任意x>x都有g(x)-g(x)=m[f(x)-f(x)门 反证法：假设存在x>x使得g(s)-g(x)=m[f(s)-f(x)门，其中n≠m且n≠0， 不妨设m>加.取=”1=1，对于函微4=+g()=8)-"”f四， 则A(s)-A(x)=g(x,)-8(s)-m[f(,)f(s】 <g(x)-g(x)-m[f(x)f(:)]=0, h)-a(x)=gs)-8(x)-m[(s)-f(s]>8(s)-8(s)-[(s)-f(s] 因此h(x)>h(x),h(c3)<h(:,),与y=h(x)是单调函数矛盾. 同理可以证明对任意x≤x,都有g(x)-g(x)=m[f(s)-f(x)门， 因此，对任意x∈R,g(x)-g(x)=m[f(x)-f(x)门， 所以h(x)=-mf(x)+g(x)=g(x)-mf(x)=c为常值函数，取(A,B)=(-m,1), 则A,B不全为零，且y=Af(x)+Bg(x)为常值函数，得证，