湖北省荆州中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试卷

荆州中学2025～2026学年高一下学期三月月考 数 学 试 题 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．化简后等于（   ） A． B． C． D． 2. 已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边经过，若，则（ ） A. B. C. D. 3．在 中， 分别是角 的对边， ，则（    ） A．为锐角三角形 B．为直角三角形 C．为钝角三角形 D．以上三个选项都有可能 4．已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 5．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重（单位kg）约为（    ）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，) A． B． C． D． 6．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 7．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 8．若函数恰有3个零点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列叙述中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 10．已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（   ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角弧度数的绝对值为2 D．的最小值为 11．著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 . 13．如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则__________.    14．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点， 则的最小值为____________． 4、 解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．直角坐标系中，已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，且和的夹角为锐角，求的取值范围. 16. 已知向量. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 17．已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求A； (2)点是边上一点，，且，若，求的值． 18．在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围． 19．如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点. (1)求结果用表示； (2)若 . ①求的取值范围； ②设，记，求函数的值域. 高一3月月考 数学试卷 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $荆州中学2025~2026学年高一下学期三月月考 数学试题答案 1.C2.C3C4.D5.B6.C7.C8.A 9.ABC 10.BCD 11.ACD 12.16 13.8144 318 14因为CE=DE,即C正=BA,则BE=BC+CE=BA+BC, 又因为班-2丽+8C,可彩只有=，所以+音： 因为正方形ABCD的边长为1，可得BC=BA=1,且BABC=0, 又因为F为线段BE上的动点，设BF=kBE=kBA+kBC,且k∈0,1， 则F=孤+丽=6+E-(传-+8c, 因为G为4r中点，剥Dc=DA+G=-c+号F=-+}-c, 可将亚c-[传-j+c--传-风] -可小引到启 又因为k∈[0,1，所以当k=1时，AF.DG取到最小值-5 做答案为：手 G 15.(1)因为a=(2,-l),b=(cosa,sina),且a⊥b,所以2cosa-sina=0. 因为cosa≠0，所以tana=2,故2sina-cosa.21ana-=1 sina+cosa tana+1 (2)因为a=0,所以6=(1,0)，又a=(2,-1), 所以2ā+b=(5,-2),a-1b=(2-1,-1).因为2a+b和ā-λb的夹角为锐角， 所以(2a+b)(a-1b)>0且2ā+b与ā-1b不共线， 高一3月月考数学答案第6页，共6页 则5x2-)+(-2)-()=12-52>0,解得元> 5 又2兮：号即2分所以2的取值范图(，》号》 16.(1)由题可得，f(x)=(sinx+cosx)(sinx-cosx)+2V3 sinxcosx =sinx-cosx+3sin 2x=3 sin 2x-cos 2x 2sin(2x-) 6 (②油题意，函数y=f到-a=2sm2x-}a在xe0 有两个不同的零点， 6 令1=2x-0e5r】 π5π 666 则a=2sint在t∈ 有两个不同的解， 、6’6 故y=号与0=1的图象在(。 π5π 66 上有两个不同的交点， 而-：（后引为塔函数，在[号）为减面数。 17.(1)由b+ccosA=a(cosB+cosC)和余弦定理， 可得：(b+c) xbte-a=aatc-bi.atbi-c -=a 2bc 2ac 2ab 展开得+c2-a+分+c2-a-a2+c2-ba2+b2-c2 2c 2b 2c 2b 即52+c2-d2a2+c2-b2-a2+b2-c262+c2-a2 2c 2c 2b 2b 262c，即2-02-c 所以2b2-2a2_2a2-2c 2c 6, 所以b3-a2b=a2c-c3,即b'+c3=a2c+a2b, 所以(b+c(b2-bc+c2）=a2(c+b),则b2-bc+c2=a2,即b2+c2-a2=bc, 会效定理。：远-然方·因为e0a,质以4一 2)h0=2D.可得0-C-2函-0，即而号0+兮C. 3 两边取平方：D-4B+4C2+4B☑C,即AD=4c+6+4cos4, 9 依题意， c=4c2+b+2c,即4c2+b2-5bc=0, 7 9 9 9 9 两边同时除以2可得： -5.6+4=0,-1或=4，因6+c,则=4. C C C 间一3月月亏数子有柔弟0贝，共0贝 1.1)在直角梯形BCD中，易得∠ABC-年，BC=25, :正.BC=0,:AE1BC,△4BE为等腰直角三角形，六BE=35,故元=BS=2 2 (2)征=AB+BE=AB+BC=AB+B+AD+DC)=B-九B+1D+AB --亚+而，当-时，亚-+号而， 3 设AW=xAE,DM=yDB,则aM=x花=xAB+名xD, 9 、3 AM=AD+DM=AD+yDB=AD+y(DA+AB)=yAB+(1-y)AD, (5x-y :AB,AD不共线， 解特亡名即微是 x=1-y MB 6 3 8):不-D+0F-0+0-0c-01与亚，正201-刘亚. +亚+而尽西， 亚号g-+ξ =+2y+月-2以=5-6以+由题意知，2e01. 当2正限到位小得-6- 当=0时，E+F取到最大雀项，F+号 的取值范围是 135√41 10’2 19.(1)因为0A=0B=1,∠A0B=0,所以0AAB=0A·(0B-0A)=0A0B-1=c0s0-1. (2)①CA.CB-(0A-0C(0B-0C)=0A.0B-0A.0c-0c.08+0c2. 改20c=a,义0=0-骨所以a0, 则oi.oi-oi-oc=owf+u,oc.0i=cowa0c-1 所以Ca西-eosl +a-cosa=2-2 31 -sina-cosa 3 cosa+ 33 -sina = 2 2 2 2 高一3月月考数学答案第6页，共6页 为引则+[后习 所以cosa+ π ②设AM=1AC(0<1<1), 则0M=0A+AM=0A+入AC=0A+20C-0A=(1-2)0A+0C=10B, 所以0c-0丽-12a.由0c=1符0丽-12a-1, 即[2-2会×，柴得2= 2-t 所以C4=1元1-1+1 2-1 1-t2 AM2t2-t+12-t+1' 2-t 所以Scoy。 OM .CM 1-P +t S BMA MB·A 可1-12P-t+12-t+1 +1(0<t<0,f)= 所以f(0=2-t+1 P+t=1 2t-1 2-t+1 t2-t+1 g(a=1+ 4a 一=1+ 令2t-1=a(-1<a<1), a+l>_a+l+l a2+3, 、2 2 a,a2e-l,1,令a1<a2, 则&a小-g(a)=1+4a 1+ 4a2_4(a,-a3-a,a2) a+3 a+3(a+3(a+3) 因为(a2+3)(a+3>0,a,-a,<0,3-aa2>0, 则ga1)-ga2)<0,即g(a1)<ga2, 所以ga=+。年3-川上单调遍城，则goe02, 所似r刊-0e1<D孩花阴EQ2 高一3月月考数学答案第6页，共6页