精品解析：湖北武汉市武钢三中2025-2026学年高一下学期五月月考数学试卷

武汉市武钢三中2025级高一下学期五月月考试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥的高与母线、半径的关系，求出母线长和底面半径，进而得到轴截面周长为6. 【详解】设圆锥的母线长为，则底面半径为， 侧面积，解得， 则，故圆锥轴截面的周长为． 2. 如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法即可得解. 【详解】因为是用斜二测画法得到的直观图， 且其中， ， 所以 ， 所以中，， ， 所以． 3. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中错误的为（ ） ①若，，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，，则 A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可． 【详解】对①：若，，则，因为，所以，所以①正确； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 对③：由，可得可能平行，可能异面，③错误； 对④，若，，则，又，所以，④正确． 故选：C． 4. 记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设该圆锥的高为，根据球体与圆锥的表面积公式与体积公式列式，结合推得，代入所求式化简计算即得. 【详解】依题意，，设该圆锥的高为，则，. 由可得，化简得， 故. 5. 在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到该直四棱柱为长方体，通过平移直线找到异面直线所成角，结合直角三角形求解即可. 【详解】由题意直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体. 连接. 因为四边形为矩形，则， 所以或其补角即为异面直线与所成角， 长方体中，平面， 因为平面，所以. 因为，且， 则， 在中，， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 6. 在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式及正弦定理列式求解. 【详解】在中，由及的面积为， 得，即，解得， 由正弦定理，得， 因此，所以. 7. 四面体中，底面为等边三角形，，则四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】 如图所示，其中为四面体的外接球的球心，为底面三角形外接圆的圆心， 由于底面等边三角形的边长， 所以的外接圆半径， 由于底面，，所以四面体的外接球的球心在过点且垂直于底面的直线上， 且外接球的球心到底面的距离 ， 所以外接球的半径， 因此四面体的外接球的表面积为 ，故B正确. 8. 如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，证得，得到，得出为二面角的平面角，设，求得，结合勾股定理得到，即可求解. 【详解】如图所示，过点作于点，连接， 因为，，且， 所以，所以，所以， 所以即为二面角的平面角， 设，在等腰直角和中，可得， 又因为，所以为等边三角形，所以， 所以，所以， 所以二面角的大小为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. ，，，四点共面 C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面 【答案】AB 【解析】 【分析】利用平面的基本性质，通过寻找两个平面的公共点来确定交线，从而判断点共线或共面，再结合异面直线的判定方法分析其他选项. 【详解】因为，平面，所以平面．因为，平面， 所以平面，所以是平面和平面的公共点． 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， 所以，，三点在平面与平面的交线上，即，，三点共线，故A，B正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故C不正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故D不正确． 故选：AB． 10. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，，分别是，，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理证明平面，判断A的真假；假设平面，可得，根据未必成立，可得假设错误，进而判断B时错误的；利用面面平行的判定定理证明平面平面，判断C的真假；利用面面垂直的判定定理证明平面平面，判断D的真假. 【详解】对A：因为分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面.故A正确； 对B：假设平面成立，因为平面，所以，因为四边形为矩形，所以未必成立，所以假设错误.故B错误； 对C：因为分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 因为，平面，且，所以平面平面.故C正确； 对D：因为平面，平面，所以； 又因为四边形为矩形，所以， 因为，平面，且，所以平面， 又平面，所以平面平面，故D正确. 11. 如图，一个半圆柱的轴截面为矩形，点E在上底面上，连接，若，，该几何体的外接球的表面积为，则（ ） A. B. C. 面积为 D. 点C到平面的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】先由外接球面积公式求出外接球的半径，即可求出半圆柱的高，然后在直角三角形中求出,再利用勾股定理求出的长度，用余弦定理、三角形面积公式求出的面积，最后利用等体积法即可求出点C到平面的距离. 【详解】由该几何体的外接球的表面积为，可知外接球的半径为， ，则，即. 如图，连接，过点E作于点F，易证平面， 由已知条件可得， ，，A错误；B正确； 由余弦定理可得， ， 的面积为，C错误； 设点C到平面ABE的距离为h， 由三棱锥与的体积相等可得，， 故，即点C到平面ABE的距离为，D正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【详解】的内角的对边分别为. ， 利用正弦定理可得， 由于， 所以， 所以，则或 由于，故为锐角，所以， 由，得，解得， 所以. 13. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点在上，记，若平面，则实数________． 【答案】1 【解析】 【分析】先证明平面，得​，再结合平面的条件，推导出，利用正方形性质确定为中点，求解． 【详解】由题意可得，，，，平面， 所以平面. 又平面， 所以，作交于点（如图）， 连接，，此时平面， 在矩形中，，所以四边形是正方形， 所以，. 又为的中点，所以为的中点，， 因为，所以． 故答案为：1． 14. 如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据线面角条件得出点在以为顶点的圆锥侧面上，再结合点P在正方体表面上的限制，找出轨迹在正方体表面上的具体形状，最后分段计算轨迹长度并求和. 【详解】因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以点的轨迹如图所示， 则点的轨迹长为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理进行证明； 【小问1详解】 如图，连，，， 平面平面，平面 【小问2详解】 平面平面，， 菱形为菱形的对角线，， 平面， 平面． 16. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面． （1）求证：平面； （2）设，，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见及解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，结合等腰三角形三线合一、面面垂直和线面垂直性质可得，又，由线面垂直的判定可证得结论； （2）利用勾股定理可求得，，根据，结合棱锥体积公式可求得结果． 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，，所以， 且，平面，所以平面． 【小问2详解】 由（1）知平面， 因为平面，所以， 又，，所以， 因为，所以为等腰三角形， 所以 所以， 所以. 【点睛】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了几何体体积计算问题，是中档题． 17. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明 平面，即可求证； （2）通过证明平面.得到即为所求的线面角，进而可求解. 【小问1详解】 由侧棱底面，底面，可得 ； 又已知，且， 平面， 根据线面垂直判定定理得： 平面， 因为平面，因此 ， 三棱柱中，，因此可得 ， 由， ，可知侧面是正方形，正方形对角线互相垂直， 因此 ，又， 平面， 根据线面垂直判定定理得 平面， 因为平面，所以 ，得证； 【小问2详解】 由题意可得平面，又平面，所以. 又为的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面. 所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以. 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角为. 18. 已知锐角三个内角的对边分别是，若． （1）求的大小； （2）若平分交于点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及正弦定理边化角，结合差角的正弦化简，再利用正切函数性质求出范围. 【小问1详解】 在锐角中，由及正弦定理， 得， 整理得，而，则， 因此，又，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，得，则， 由平分交于点及正弦定理， 得 . 19. 在四面体中，两两垂直.在平面几何中，由勾股定理：“设的两边互相垂直，则．”拓展到空间，类比平面几何中的勾股定理，研究该三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论（空间中的勾股定理），设的面积分别为； （1）证明在底面的射影是底面三角形的垂心； （2）（ⅰ）请给出、、、的关系（不用证明）． （ⅱ）若不是直角三角形，过点作底面的高，请直接利用的关系证明：； （3）设是内一点，点到、、的距离分别是、、；求的最大值.（若有需要，可直接使用第二问结论） 【答案】（1）见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，连接并延长交于点，由线面垂直的判定定理和性质定理可证得平面，进而得出，同理可得，即可证明； （2）（ⅰ）由三角形的面积公式和余弦定理可得，再求出，即可给出、、、的关系；（ⅱ）由等体积法即可证明. （3）由等体积法可得，再由三元基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接， 由，平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为平面，又平面，所以， ，平面，所以平面， 又平面，所以，同理可得：， 所以在底面的射影是底面三角形的垂心. 【小问2详解】 （ⅰ）所以， 由余弦定理可得：， 所以 所以， 所以， 因为， 所以， 所以. （ⅱ），又因为， 所以，所以，所以， 又因为，所以， 所以，两边同时平方化简可得： 所以. 【小问3详解】 在四面体中，因为两两垂直， 故分别为面对应的高， 即，又因为， 所以，对于内任意一点，连接， 因为， 所以， 又因为，则有， 等式两边同时除以，可得， 由三元不等式可得：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市武钢三中2025级高一下学期五月月考试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中错误的为（ ） ①若，，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，，则 A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 四面体中，底面为等边三角形，，则四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. ，，，四点共面 C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面 10. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，，分别是，，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 11. 如图，一个半圆柱的轴截面为矩形，点E在上底面上，连接，若，，该几何体的外接球的表面积为，则（ ） A. B. C. 面积为 D. 点C到平面的距离为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________. 13. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点在上，记，若平面，则实数________． 14. 如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 16. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面． （1）求证：平面； （2）设，，求三棱锥的体积． 17. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小． 18. 已知锐角三个内角的对边分别是，若． （1）求的大小； （2）若平分交于点，求的取值范围． 19. 在四面体中，两两垂直.在平面几何中，由勾股定理：“设的两边互相垂直，则．”拓展到空间，类比平面几何中的勾股定理，研究该三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论（空间中的勾股定理），设的面积分别为； （1）证明在底面的射影是底面三角形的垂心； （2）（ⅰ）请给出、、、的关系（不用证明）． （ⅱ）若不是直角三角形，过点作底面的高，请直接利用的关系证明：； （3）设是内一点，点到、、的距离分别是、、；求的最大值.（若有需要，可直接使用第二问结论） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $