湖北省荆州中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷

**基本信息** 结合人工智能大会、疫情检测等现实情境与莱布尼茨三角形数学文化，分层考查导数、概率统计、圆锥曲线等核心知识，注重数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数几何意义、二项式定理、正态分布|第7题以人工智能大会志愿者选派为情境，考查排列应用| |多选题|3/18|二项分布、椭圆与圆|第10题分析比赛胜负概率，体现逻辑推理| |填空题|3/15|排列（不相邻）、条件概率|第13题结合学生近视与看手机习惯，考查条件概率| |解答题|5/77|概率统计方案、函数零点证明|第17题设计疫情检测方案，综合考查概率分布与期望，培养数据意识|

202605高二年级月考数学 答案和解析 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.  、B 7.   8.   9.   10.   11.   12. 72 13.   14.   15. 解：设黑球的个数为， 由已知可得，可得， 因为且，因此，， 所以，袋子中白球的个数为，黑球的个数为 记事件：第二次取出白球， 则 记事件：第一次取出黑球， ， 则． 16. 解：设等比数列的公比为，已知， 当时，， 两式相减可得，即，则， 当时，得，即，解得， 故等比数列的通项公式为． 若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 则，即为， 整理得，所以， ， 即， ， 两式相减，得， 故数列前项的和，． 17.解：(1)已知p=0.1，则每人血样阴性概率为1-p=0.9O k=2时，混合血液呈阴性等价于2人血样均为阴性，且相互独立 P==0.81 故该组混合血液呈阴性的概率为0.81 设每个人的血呈阴性反应的概率为，则． 所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为， 依题意可知， 所以的分布列为：             方案中，结合知每个人的平均化验次数为： 所以当时，， 此时人需要化验的总次数为次， ，此时人需要化验的总次数为次， 时，，此时人需要化验的次数总为次， 即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少． 而采用方案则需化验次，故在这三种分组情况下，相比方案， 当时化验次数最多可以平均减少次． 18.解： 【答案】（1）； （2） （3）在， 【小问1详解】 由题，是方程的两根， 又， 解得，， 又既是椭圆短轴端点，又是双曲线的顶点， 所以，， 由，， 解得，， 所以椭圆的标准方程为：， 双曲线的标准方程为：； 【小问2详解】 当直线的斜率为1时，直线的方程为：， 令，，，， 将直线的方程与椭圆和双曲线的方程联立， ，得， 其中，则， 所以； 联立，得， 其中，则， 所以； 所以； 【小问3详解】 易知的斜率存在且不为0， 设：，，， 与椭圆的方程联立 ， 得， 其中， 且， 又因为， 此时：，所以， 令线段的中点为，则，则 ， 将*代入上式，得 ， 所以，所以线段的中点在定直线上． 19. 解析 （1）由题意可知：的定义域为，且，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，可知，且当趋近于0或+∞时，趋近于+∞，若函数有两个不同零点，则，即，所以的取值范围为(-∞,-1). （2）构建 则，可知在内单调递增， 可得，即， ，可得, ,由题意可知： ，则 又因为，且f(x)在（1，+∞)内单调递增，则，所以 （3）由（2）可得，即，则 若证，等价于，即, 因为，即，可得，整理可得 令, ，则 ，令，解得; 令，解得; 可知F(x)在（0,e）内单调递减，在(e,+∞)内单调递增，则 F(x)≥F(e)=0，注意到，则，即; 因为 ，即切点坐标为，切线斜率 k=1-e, 则f(x)在处切线方程为 ，即, 令y=0，可得，构建, , 则，令，可得；令，可得； 可知G(x)在内单调递增，在内单调递减，则，即，则，且m(x）在定义域R内单调递减，所以;因为, ，即切点坐标为，切线斜率，则f(x)在x=e处切线方程为，即 ，令y=0，可得，构建，即f(x)≥n(x)，则，且n(x)在定义域R内单调递增，所以· 注意到等号不能同时成立，所以· 综上所述： 【解析】 1. 【分析】 本题考查导数的几何意义，属于基础题． 求出导数，利用，即可求出结果． 【解答】 解：因为，所以， 所以，所以所求切线的斜率为． 故选C． 2. 【分析】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式特定项的系数，属于中档题． 将分两部分讨论求解即可． 【解答】 解：由的二项式展开式的通项公式可得， 展开式中： 若提供常数项，则提供含有的项， 可得展开式中的系数为； 若提供项，则提供含有的项， 可得展开式中的系数为； 展开式中的系数为：． 故选C． 3. 解：由题意可知共有乙得第名和乙得第名两种情况： 当乙得第名，有种可能； 当乙得第名，有种可能， 故共有种，故B正确． 故选：． 4. 【分析】 本题考查根据函数的单调性求解参数的取值范围问题，属于基础题． 函数在上单调递增，即在上恒成立，转化为在上恒成立，构造新函数，求得函数的单调性与最值，即可求解． 【解答】 解：由题意，函数，可得， 因为函数在上单调递增，即在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则， 所以函数在为单调递增函数，所以， 即实数的取值范围是． 故选B． 5. 【分析】本题考查正态曲线的性质，属于基础题． 利用对称性求，随后求出概率即可． 【解答】 解：服从正态分布， 所以正态曲线关于直线对称， 在内的概率为 ， 则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于的概率为． 故选C． 6. 【分析】 本题主要考查条件概率的求法，属于基础题． 设事件表示“抽到的两张都是假钞”，事件表示“抽到的两张至少有一张假钞”，根据条件概率运算求得结果． 【解答】 解：设事件表示“抽到的两张都是假钞”，事件表示“抽到的两张至少有一张假钞”， 则所求的概率即． 又，， ， 故选：． 7. 根据题意可分为种情况讨论：若小张或小赵只有一人入选，则有种不同的选派方案若小张，小赵都入选则有种不同的选派方案综上可得，共有种不同的选派方案故选D． 8. 【分析】 本题考查数列的递推关系，考查错位相减法求和，考查逻辑推理能力，属于难题． 直接求判断；设第行的个数依次为根据，，可得，可判断；当时，数列为递减数列，根据可判断；当时，，从而可得，利用错位相减法可判断． 【解答】 解：对于，，故A正确； 对于，设第行的个数依次为 ，，， 故 ， 故，故B正确； 对于，， ，可得，可得，，， 当时，数列为递减数列， ，即，可得， 故，故C错误； 对于，当时，，当且仅当时等号成立， 则，故，即， 设， ，则， 可得， 即， 故，当且仅当时，等号成立，故D正确． 9. 【分析】 本题主要考查离散型随机变量的期望和方差的性质，二项分布的判定，超几何分布的判定等知识，属于中等题． 利用离散型随机变量的期望的性质可判断，利用离散型随机变量的方差的性质可判断，利用二项分布的概念可判断，利用超几何分布的概念可判断． 【解答】 解：对于选项A，因为，故A错误； 对于选项B，因为，故B正确； 对于选项C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确； 对于选项D，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确． 故选BCD． 10. 对于，若采用三局两胜制，甲以获胜的概率为，甲以获胜的概率为，故A错误 对于，若采用五局三胜制，甲以获胜的概率为，甲以获胜的概率为，故B正确 对于，因为采用三局两胜制甲胜的概率为，采用五局三胜制甲胜的概率为，所以采用三局两胜制和五局三胜制乙胜的概率分别为和，所以采用三局两胜制对乙更有利，故C错误 对于，若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲获得冠军的概率为，所以D正确． 11. 【分析】 本题考查椭圆的性质，基本不等式，向量的应用，正弦定理的综合应用、二倍角正弦公式、二倍角余弦公式、利用正弦定理求三角形外接圆半径，属于较难题． 对于，根据当在短轴的端点时，取得最大，再根据面积相等代入进而即可求解；对于，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式即可求解；对于，运用角平分线定理即可求解；对于，由正弦定理可得，再又结合可得，再根据题意即可求解． 【解答】 解：由椭圆方程可得，， 对于，设，，则，且， 所以， 则当在短轴的端点时，取得最大，且最大值为， 又， 所以当最大时，，即，故A错误； 对于，过点作，垂足为点， 又点为外接圆的圆心， 即为三条边的中垂线的交点，则点为的中点， 由， 又， 同理， 所以， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故B正确； 对于，由内切圆的圆心为， 则，分别是，的角平分线， 则由角平分线定理可得， 即， 所以，故C正确； 对于，设，，， 由正弦定理可得， 即， 则， 即， 因为， 又结合有， 所以，即， 所以， 又因为当在短轴的端点时，最大，此时，， 所以， 即 所以 故，故D正确． 故选BCD． 12. 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查排列问题，属于基础题． 根据甲乙之间至少有人，采用间接法，从人的全排列中除去甲乙相邻的排法即可． 【解答】 解：甲、乙两人相邻共有种排法， 则甲、乙两人之间至少有一人共有种排法． 故答案为． 13. 解：设该名学生近视的概率为， 由题意可知，，解得． 故答案为：． 14. 解：由，得， 设． 则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以， 且当时，，当时，． 故F的值域为 设， 则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以， 且当时，，当时，， 故G的值域为， 依题意，的值域是的值域的子集， 显然，若，则的值域为，不合题意，舍去， 若，则的值域 则需的值域 则，解得． 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2025~2026学年高二下学期五月月考 数学试题 （全卷满分150分 考试用时120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.曲线在点处切线的斜率为(    ) A. B. C. D. 2.展开式中的系数为(    ) A. B. C. D. 3.甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次，且没有出现并列的名次甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军”对乙说：“你虽然不是最差的，但你的名次没有甲的好”从这两个回答分析，人的名次排列情况的种数为(    ) A. B. C. D. 4.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 5.在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于的概率为(    ) A. B. C. D. 6.从混有张假钞的张百元钞票中任意抽出张，将其中张放到验钞机上检验发现是假钞，则另张也是假钞的概率为(    ) A. B. C. D. 7.人工智能大会在荆州召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种． A. B. C. D. 8.将杨辉三角形中的每一个数 都换成 ，就得到一个如图所示的分数三角形，称为“莱布尼茨三角形”，它具有很多优美的性质，比如从第 行开始每一个数都等于其“脚下”两个数之和 记第 行所有数的和为 ，关于数列 ，下列说法中错误的是(    ) A. B. 当 且 时 C. D. 数列 的前 项和 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的有(    ) A. 若随机变量的数学期望，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D. 从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 10.在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛，决赛采用五局三胜制和三局两胜制其中一种，若每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则下列说法中正确的是(    ) A. 若采用三局两胜制，甲获得冠军时，比分为的可能性最大 B. 若采用五局三胜制，甲获得冠军时，比分为和的可能性相等 C. 若采用五局三胜制，则比赛对乙更有利 D. 若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲仍有超过的可能性获得冠军 11.已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点不在轴上，外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则(    ) A. 最大时， B. 的最小值为 C. D. 的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有          种． 13.长时间看手机有可能影响视力据调查，某校学生有的人近视，而该校有的学生每天看手机时间超过，这些人的近视率为现从每天看手机时间不超过的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为        ． 14.已知，，若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围为          ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 袋中有除颜色外完全相同的白球和黑球共个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个白球的概率为． 求白球和黑球各有多少个； 已知第二次取出白球，求第一次取出黑球的概率． 16.本小题分 已知等比数列的前项和为，且，其中． 求数列的通项公式； 在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 17.本小题分 荆州疫情期间，要对荆州市民做一次全员检测，彻底摸清荆州市的详细情况某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式： 方案：将每个人的血分别化验，这时需要验次． 方案：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次这时认为每个人的血化验次；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验这样，该组个人的血总共需要化验次假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立． ，在方案中按分组，求某一组的混合血液呈阴性的概率； 设方案中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列； 设试比较方案中，分别取，，时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案，化验次数最多可以减少多少次？最后结果四舍五入保留整数 18. 本小题分 已知既是椭圆短轴端点，又是双曲线顶点，椭圆离心率为，双曲线离心率为，且是方程的两根．过点的动直线与椭圆交于，与双曲线交于． （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）若直线的斜率为1时，求； （3）过点作的平行线交直线于点，问：线段的中点是否在定直线上，若在，求出该直线；若不在，请说明理由． 19. 本小题分 已知函数有两个不同零点 （1）求的取值范围； （2）证明： （3）证明： 高二下学期5月月考 数学试卷 第 4 页 (共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $