第19章 数据的分析单元复习（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

该初中数学单元复习讲义通过知识框架图和对比表格系统构建数据的分析知识体系，涵盖集中趋势（算术平均数、加权平均数、中位数、众数）与离散程度（方差、四分位数、箱线图），按“概念定义-公式推导-实际应用”递进呈现，突出方差公式理解、箱线图解读等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“情境化分层练习”设计，如用景区订阅量计算平均数、视力检查数据求方差等即学即练，结合演讲比赛成绩分析统计量选择的综合题，培养数据意识与应用意识。每个题型配方法技巧（如中位数排序法、方差稳定性判断），基础生可巩固计算，优生能提升决策分析能力，助力教师实施精准复习教学。

第19章 数据的分析 教学目标 1.掌握平均数、中位数、众数的计算与应用。 2.会计算方差、四分位数，理解离散程度意义。 3.能绘制与解读箱线图，分析数据分布。 4.合理选择统计量解决实际问题。 教学重难点 重点 （1）集中趋势统计量计算 （2）方差计算与数据稳定性判断 （3）四分位数与箱线图解读 （4）统计量的合理选择 难点 （1）方差公式理解与变形应用 （2）箱线图与数据分布关联 （3）综合统计量做决策分析 知识点01：数据的集中趋势——平均数 1.算术平均数：对于个数据，。 2.加权平均数：若权为，则。 3.数据变形规律：数据的平均数为。 【即学即练】 1．某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点02：数据的集中趋势——中位数与众数 1.中位数：数据排序后，奇数个取中间数；偶数个取中间两数的平均数，不受极端值影响。 2.众数：出现次数最多的数据，可一个、多个或无众数。 【即学即练】 1．数据1，4，5，9，6，5的中位数是_________，众数是_________． 知识点03：数据的离散程度——极差与离差平方和 1.极差：最大值$-$最小值，反映波动范围。 2.离差平方和：，刻画数据偏离平均数的程度。 【即学即练】 1．某超市抽检水果的甜度数据共8个，已知这组数据的方差为2，则其离差平方和是_______． 知识点04：数据的离散程度——方差 1.定义：一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，记作。 公式：。 2.意义：方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定。 3.变形规律：数据的方差为，加减常数方差不变。 【即学即练】 1．某校为了解在校学生的视力情况，随机抽取了40名同学检查视力，检查结果如表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 3 4 9 6 7 7 3 估计该校学生的视力的方差是________． 知识点05：四分位数与箱线图 1.四分位数：下四分位数、中位数、上四分位数，四分位距。 2.箱线图构成：最小值、、、、最大值，直观展示分布与离散程度。 【即学即练】 1．在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下： 小宝同学：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100； 小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96． (1)求小宝同学的测试成绩数据的四分位数，，；根据四分位数可绘制如图的箱线图，并判断谁的成绩比较集中； (2)你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛？请说明理由． 知识点06：统计量的合理选择 1.集中趋势：无极端值选平均数；有极端值选中位数；关注频次选众数。 2.离散程度：用方差、四分位距判断稳定性与集中程度。 【即学即练】 2．甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备10队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期队员 2月10日 2月21日 3月5日 3月14日 3月25日 4月7日 4月17日 4月27日 5月8日 5月20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)分别写出：甲的中位数是__________；乙的中位数是__________． (2)根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (3)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； (4)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 题型01平均数计算 方法技巧：总和除以个数，注意数据不遗漏。 【典例1】. （25-26八年级下·全国·单元复习）某校n名学生参加市法律知识竞赛，他们的成绩分别为，这n名学生的平均成绩为多少？ 【变式1】. （2022·河南洛阳·模拟预测）如图所示的是某射击运动员连续射击20次的射击成绩的折线统计图，则该运动员此训练周期内的平均成绩为______环． 【变式2】. （25-26八年级上·四川成都·阶段检测）某中学组织学生进行200米游泳训练，如果一名学生的3次训练成绩分别为5分12秒、5分8秒和5分1秒，那么该学生的平均成绩是_________ ． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）某校部分同学参加知识竞赛，将这些同学取得的成绩进行整理后，得到的统计图如图所示，那么参加竞赛的同学的成绩的平均数是（    ） A． B． C． D． 题型02加权平均数计算 方法技巧：按权重乘数据求和，除以总权重。 【典例2】. （25-26八年级下·全国·单元复习）某同学这学期四次数学测验成绩依次为93分、82分、86分和90分，期中考试成绩为77分．数学老师说这学期的总评成绩的权重将按平时测验、期中考试和期末考试依次占、和计算．这位同学希望总评成绩能够达到或超过85分，那么期末考试这位同学至少要考多少分？（取整数） 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）学校组织演讲比赛，从演讲主题、演讲内容、基本能力、整体表现四个方面对选手进行评分．下表是甲、乙两位选手在各个项目上的得分情况（百分制）： 演讲主题 演讲内容 基本能力 整体表现 选手甲 80 80 90 82 选手乙 85 82 85 82 (1)如果以上四个方面的重要性之比为，谁的最终成绩高？ (2)如果以上四个方面的重要性之比为，情况又如何呢？ 【变式2】. （2026·广东潮州·一模）某教师招聘考试分为笔试和面试两种，总成绩按笔试成绩与面试成绩的和计算．刘同学笔试成绩为90分，面试成绩为80分，那么刘同学的总成绩为________分． 【变式3】. （2026八年级下·浙江·专题练习）下表所示是八年级4个班上交的“科技百问”小测的最终成绩统计表． 班级 一班 二班 三班 四班 人数 48 50 45 57 平均分 86 85 84 优秀率（不低于85分） (1)求出四个班成绩的平均分． (2)求出四个班成绩的优秀率． 题型03中位数求解 方法技巧：先排序，再看数据个数奇偶定中位数。 【典例3】. （2026·江苏盐城·一模）已知一组数据1，4，6，8，6，则此组数据的中位数是_________． 【变式1】. （2026·江苏无锡·二模）某校九年级5名学生一周的体育锻炼时间（小时）为8，9，7，9，10，这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．8，8 B．9，8 C．9，8.5 D．9，9 【变式2】. （2026·广东清远·二模）3月15日清远马拉松盛大开幕，社会实践小组记录了10名志愿者的年龄（单位：岁）20，21，22，22，23，23，23，24，25，26．这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．23，23 B．23， C．22，23 D．24，23 【变式3】. （2026·江苏苏州·二模）某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据中位数是（     ） A．17分 B．18分 C．19分 D．20分 题型04众数识别 方法技巧：找出现次数最多的数据，可多可无。 【典例4】. （25-26八年级下·北京西城·期中）一次数学练习，某小组5名组员的成绩统计如下，请填写数据补全下列统计表： 组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均数 众数 得分 77 80 81 82 80 其中_____，_____ 【变式1】. （2026·江苏徐州·二模）某校举行“杜绝校园欺凌，从我做起”演讲比赛，7位评委给出的评分如下：95，92，85，93，88，93，90，则这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．95，92 B．93，92 C．93，93 D．95，93 【变式2】. （2026·河北邯郸·二模）体育考试在即，小明随机调查了九年级若干名学生五一假期期间进行体育锻炼的情况，并将统计结果绘制成如图所示的统计图．下列说法不正确的是（   ） A．被调查的学生人数是45 B．样本平均数是9 C．样本中位数是9 D．样本众数是18 【变式3】. （2026·河南驻马店·三模）某校组织各班围绕“保护视力”开展手抄报评比，其中九年级8个班的得分为9，8，10，8，6，7，9，8，则这组数据的众数为___________． 题型05方差与离差平方和计算 方法技巧：先求平均，再算差平方和，最后除以个数；离差平方和=各数据与平均数差的平方和。 【典例5】. （25-26八年级下·北京西城·期中）已知分组：|，则其组内离差平方和是_____． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江杭州·期中）数据，，，，，，，，，的离差平方和是________，方差是________． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江·期中）在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数．同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．方差 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）晓慧同学为了在明年的中考体育考试中取得最好的成绩，每天自己在家里练习一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数：28，25，30，27，30，26．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是（   ） A． B． C． D．5 题型06四分位数计算 方法技巧：排序→分段→求前后段中位数得。 【典例6】. （25-26八年级下·浙江宁波·期中）一组数据3，2，6，7，4，6的下四分位数是______． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江杭州·期中）有下列数据：4，8，12，16，20，24，28，这组数据的下四分位数是________． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江绍兴·期中）甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组成绩的四分位数： ； ； ． (2)请结合箱线图，写出两条你对这两组测试成绩的分析结论． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏·期中）为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度（单位：）如下：8，8，9，9，10，11，12，12，13，14．则这组数据的________，________，________． 题型07箱线图识读 方法技巧：箱体对应，中线为中位数，须线到最值。 【典例7】. （25-26八年级下·全国·课后作业）拉萨地处青藏高原，日照时间很长．下表给出了2020年各月拉萨的日照时数（单位：）： 2020年各月拉萨的日照时数，单位：； 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 日照时数 268.8 279.4 317.2 310.9 318.9 306.4 265.6 323.0 301.0 316.8 275.5 261.2 (1)请将最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值标记在如图所示的箱线图中． (2)拉萨2020年有几个月的日照时数大于上四分位数？分别是哪几个月？ (3)图中箱体的下半部分比较大，上半部分比较小，这是否意味着日照时数介于和之间的月份要多于介于和之间的月份？ 【变式1】. （25-26八年级下·浙江台州·期中）某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司 A 3.195 a 4.44 B b 3.890 c 请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江杭州·期中）2026年央视春节联欢晚会中，多款智能机器人登台完成高难度武术与舞蹈协同表演．为检测机器人表演的动作稳定性，技术人员对两种型号机器人完成一次标准空翻动作的耗时（单位：秒）进行统计，抽取10台型号机器人，测得完成标准动作的耗时数据：，，，，，，，型号机器人的耗时数据如箱线图所示．（注：表示下四分位数，表示中位数，表示上四分位数） (1)求型号机器人耗时数据的下四分位数，中位数，上四分位数； (2)根据上述信息，比较两种型号机器人完成动作的稳定性，并说明理由． 【变式3】. （25-26八年级下·浙江湖州·期中）为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名100米的同学分为A队和B队，每队8人，并进行了一次100米跑的队内测试，两队的成绩如下（单位：秒）： A队 13 14 15 13 15 13 14 15 B队 14 15 16 14 16 14 17 16 (1)小明通过计算平均数得______秒，秒；通过计算方差______，； (2)小颖利用四分位数、箱线图进行分析． ①A队队员成绩的______，B队队员成绩的______； ②A队队员成绩的中位数______B队队员成绩的中位数（填“>”，“=”或“<”），且______队选手间成绩差异较大； (3)请你结合小明和小颖的数据分析，从A，B两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由． 题型08方差判断数据稳定性 方法技巧：方差越小，数据越集中、越稳定。 【典例8】. （25-26八年级下·全国·课后作业）某学校为选拔优秀运动员参加县中学生运动会，组织了多次百米跑测试，其中甲、乙两名运动员表现较为突出，他们在10次百米跑测试中的成绩（单位：s）如下表所示： 单位：s 甲 11.8 11.9 12.0 11.7 12.2 12.1 11.8 12.0 11.7 11.9 乙 11.9 11.9 11.8 11.8 12.0 11.9 11.8 12.1 11.9 11.8 如果根据这10次成绩选拔一人参加比赛，你认为哪一位比较合适？ 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）根据国家统计局《中国统计年鉴2021》报告，南京和福州两地2020年各月降水量（单位：）数据如下表所示： 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 南京 75.2 35.5 89.8 70.8 33.7 281.6 271.9 114.3 82.8 64.9 76.8 20.5 福州 28.2 65.2 262.8 63.9 262.6 224.1 81.7 80 119.4 5.6 0.5 16.5 (1)两地2020年的月平均降水量各是多少毫米？它们相近吗？ (2)你认为这两个城市该年的降水情况相近吗？请作比较． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）下表是在投掷两枚正方体骰子的活动中得到的数据： 投掷次数 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 出现数字之和为奇数的频数 2 4 8 10 14 17 20 22 25 26 出现数字之和为奇数的频率 0.400 0.400 0.533 0.500 0.560 0.567 0.571 0.550 0.556 0.520 投掷次数 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 出现数字之和为奇数的频数 27 28 30 34 37 40 42 45 47 50 出现数字之和为奇数的频率 0.491 0.467 0.462 0.486 0.493 0.500 0.494 0.500 0.495 0.500 分别计算最初投掷次数这5个频率值的方差和最后投掷次数这5个频率值的方差，说说哪一段的频率表现得更为稳定． 【变式3】. （2026·河南驻马店·二模）【新情境·充电安全】随着电动车持有量的不断增加，电动车安全充电问题日益凸显．不正确的充电方式极易引发火灾、触电等安全事故，严重威胁生命财产安全．为切实提升学生对电动车安全充电知识的掌握程度，增强安全防范意识，某校特开展电动车安全充电培训，并组织了相关知识测试．本次测试满分分，学生得分均为整数，成绩达到分及分以上为合格，达到分或分为优秀．测试后，甲、乙两组学生的成绩统计如下，成绩统计分析表如表： 组别 平均数 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 乙组 (1)填空：_______，_______； (2)小英同学说：“这次测试我得了分，在我们小组中排名属于中游偏上！”观察上面表格，直接判断小英是____________组的学生（填“甲”或“乙”）； (3)甲组同学说他们组的合格率高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组，但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你写出两条支持乙组同学观点的理由． 题型09统计图中提取数据算统计量 方法技巧：先读全数据，再按公式计算。 【典例9】. （2026·山东济南·二模）在“大美山东，宜居家园”美丽乡村建设演讲比赛中，评委对每位参赛选手的“演讲效果”和“演讲技巧”进行打分．选手编号分别为、、、、的5位选手的成绩如图所示． 请根据上图信息解答下列问题： (1)5位选手“演讲效果”成绩的众数是__________分，“演讲技巧”成绩的中位数是__________分； (2)5位选手“演讲技巧”成绩的平均分__________分； (3)根据规定，“演讲效果”与“演讲技巧”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手按比例计算后最终成绩为83.5分，求“演讲效果”所占比例为多少（结果为百分比）？ 【变式1】. （2026·河南平顶山·一模）2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日，为深入贯彻落实总体国家安全观，切实增强青少年国家安全意识和法治素养，在甲、乙两个学校分别抽取部分学生开展国家安全知识竞赛．竞赛满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．下面是甲、乙两个学校参赛学生的成绩统计表和成绩分布折线统计图： 甲、乙两个学校参赛学生的成绩统计表 学校 平均数/分 中位数/分 合格率 优秀率 甲学校 a 7 乙学校 6.6 b (1)求出参赛学生成绩统计表中a，b的值； (2)小轩说：“这次竞赛我得了7分，在我们学校排名属于中游偏上！”请你判断小轩是哪个学校的学生，并说明理由； (3)结合以上信息，请你说明哪个学校的竞赛成绩好一些． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·单元复习）我们曾经按等距分组法，画过“2021年我国31个省市自治区（不含港澳台地区）人均的频数分布直方图”（如图）．如果以各组的组中值（每组两个端点值的平均数）代表组内各地的实际数据，请完成下面的频数分布表并估算按此分组方案，2021年我国31个省市自治区（不含港澳台地区）人均的平均数、中位数和众数．结合频数分布直方图，你认为用什么指标来代表该年我国31个省市自治区（不含港澳台地区）人均比较合适？ 2021年我国31个省市自治区（不含港澳台地区）人均的频数分布表 人均GDP x/万元 组中值/万元 频数 4.85 6 6.35 13 3 3 2 1 1 0 1 1 总计 31 人均GDP x/万元 组中值/万元 频数 4.85 6 6.35 13 3 3 2 1 1 0 1 1 总计 31 【变式3】. （2026·河北石家庄·模拟预测）为守护青少年健康成长，我国对于青少年使用手机的规定涵盖合理使用、内容健康、隐私保护及网络安全等诸多方面．某校开展合理使用手机宣传活动，随机挑选了甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，并收集了这四名同学近10天使用手机时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析，得到如下信息． a．甲同学10天使用手机时长：，，，，，，，，，； b．乙、丙同学10天使用手机时长的折线统计图，如图； c．四名同学10天使用手机时长的情况统计分析表： 甲 乙 丙 丁 平均数 16 17 16 中位数 15.5 15 16.5 方差 15 7.8 7.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)比较大小：__________15（填“”“”或“”）； (2)求，的值； (3)规定：首先比较平均数，平均数较小者优先进行分享；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先进行分享；若平均数、方差分别相等，则使用手机时长小于平均数的次数较多者优先进行分享．该校决定按上述方式决定四名同学的分享顺序，则四名同学最先分享的是__________，最后分享的是__________．（均填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 题型10统计决策实际应用 方法技巧：结合题意选统计量，支撑合理判断。 【典例10】. （2026·河南安阳·二模）人工智能作为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着社会生产生活方式，也为教育创新发展带来了新机遇．某校人工智能社团引入AI智能导学系统，通过智能辅导、精准练习、即时反馈等方式提升学生学习效率．一段时间后，分别从参加该社团的七、八年级中随机抽取10名学生进行测试，并将测试数据（10分为满分，不低于8分为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下：   七、八年级测试数据统计表 统计量 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 8 8 80% 八年级 8.1 70% (1)________，________，________． (2)结合上表中的统计量，你认为哪个年级的测试结果更好？请说明理由． 【变式1】. （2026·山东济宁·二模）综合与实践： 【项目背景】 任城区的喻屯甜瓜是标志性特产，被国家工商总局商标局认证为地理标志证明商标，在官方农业统计中，“任城甜瓜”已获评全国名特优新农产品．喻屯镇常年种植面积约万亩，是全国甜瓜生产基地之一．某村有甲、乙两块甜瓜园．在甜瓜收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块甜瓜园的优质甜瓜情况进行调查统计，为甜瓜园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块甜瓜园采摘的甜瓜中各随机选取个．在技术人员指导下，测量每个甜瓜的横径，作为样本数据．甜瓜横径用（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 根据所给信息，请完成以下所有任务： (1)任务1：求出图1中的值为________． 【数据分析与运用】 (2)任务2：A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为8，9，10，11，12，计算乙园样本数据的平均数． (3)任务3：下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． (4)任务4：结合市场情况，将C，D两组的甜瓜认定为一级，B组的甜瓜认定为二级，A，E两组的甜瓜认定为三级，其中一级甜瓜的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的甜瓜品质更优，并说明理由． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）回答下列问题，并说明理由： (1)已知小河的平均水深为，手持一根长的竹竿，在手不沾水的情况下，能否使竹竿的另一端接触到河床？ (2)某校录取新生的平均成绩是535分，如果某人的考分是531分，那么此人肯定没有被这个学校录取吗？ (3)5名学生在一次考试中的得分分别是：18，73，78，90，100，考分为73的学生是在平均分之上还是之下？你认为这名学生在5人中的考分属“中上”水平吗？ (4)9名学生的鞋号由小到大是：20，21，21，22，22，22，22，23，23，这组数据的平均数、中位数和众数中哪种指标是鞋厂最不感兴趣的？哪种指标是鞋厂最感兴趣的？ 【变式3】. （2026·北京密云·一模）水质被称作生态的“血脉”．为净化水质，环保部门计划为某水源地选择合适的净水植物有效降低水中的磷含量，其中总磷去除量（单位：）是衡量水质净化效果，尤其是水体脱氮除磷能力的关键指标．该部门随机抽取了20块自然条件相同的水域进行实验，得到各水域每立方米水体中的总磷去除量，并对数据（总磷去除量）进行了整体描述和分析，下面给出了部分信息： ①20块水域每立方米总磷去除量的频数分布表如下： 总磷去除量 频数 3 2 8 1 ②水域总磷去除量在这一组的是： ； ③20块水域每立方米总磷去除量的统计图如下： (1)写出表中的值； (2)随机抽取的这20块水域每立方米总磷去除量的中位数为________； (3)下列推断合理的是________（填序号） ①12号水域的总磷去除量在20块水域的总磷去除量数据中从高到低排第7名； ②20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量的众数为； ③20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于的水域数量与水域总数的比为 (4)号水域种植的是甲种净水植物，号水域种植的是乙种净水植物．已知甲、乙两种植物的每立方米总磷去除量的平均数分别为和；若某种植物在各水域每立方米总磷去除量的10个数据的方差越小，则这种植物的净水效果越稳定．据此推断：甲、乙两种植物中，这个地区比较适合种植的净水植物是________（填“甲”或“乙”）． 一、单选题 1．随着上海国际花卉节的举行，这两天，上海街头各异的绿化带造型，频频在社交媒体上引发爆点．如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，下面描述正确的是（    ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数和方差均不变 2．数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 3．4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的阅读课外书的情况（次数），并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图．设抽取的学生中，一周内读课外书3次的学生数有人，下列说法正确的是（    ） A．这组数据的平均数是3 B．这组数据的平均数与无关 C．当时，这组数据的众数为10 D．当时，这组数据的中位数为2 二、填空题 4．甲、乙两名射击运动员次射击成绩统计图如图所示，若要选派成绩更稳定的运动员参加比赛，应选____________． 5．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的平均分相同，成绩分布如图，则方差_________（填>、<、=）． 6．某次排球垫球项目训练中，甲、乙两名同学10次垫球的平均成绩均为35个，数据统计如图，则该项目成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 三、解答题 7．有两组数据，第一组数据是：1，3，5，7，9；第二组数据是：21，23，25，27，29，31，33．先分别求出这两组数据的平均数，再将这两组数据合并在一起．求合并后这组数据的平均数，想一想，它是前两个平均数的平均数吗？ 8．在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)图1中甲的众数为________环，乙的平均数为_______环； (2)在图2中，A反映________的成绩；（填“甲”或“乙”） (3)图2中，直接写出A的和B的，并判断甲和乙谁的成绩比较好． 9．近年来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，分为4个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）．下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中满意的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两款聊天机器人的评分统计表如下： 类型 平均数 中位数 众数 非常满意所占百分比 A 88 b 96 B 88 c 根据以上信息回答下列问题： (1)上述图表中_________， _________， _________． (2)在此次测验中，有300人对A款聊天机器人进行评分，有240人对B款聊天机器人进行评分．估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人． 10．平谷区教委积极引导广大学生参与各类有益活动，包括校园志愿服务、青少年科技创新、主题读书、思政教育及文体实践等，引导学生在实践中成长．为响应“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，2025年我区深入推进志愿共建等各项学生活动以来，我区广大学生积极参与志愿服务，助力打造文明、有序、温馨的社区环境．其中，某校有500名学生志愿者，为了解该校3月—4月期间学生参加志愿服务的情况，学校针对服务的次数随机抽取50名学生志愿者进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 志愿服务活动次数频数分布表 次数次 频数 频率 8 0.16 10 0.20 16 0.32 0.24 4 0.08 其中，参与志愿服务活动次数在这一组的数据是： 20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29 请根据所给信息，解答下列问题： (1)__________； (2)请补全频数分布直方图； (3)随机抽取的50名学生参加志愿活动次数的中位数是__________； (4)为鼓励学生参与志愿服务，学校计划按“志愿活跃度”给不同班级分配志愿活动名额，活跃度排名规则为：先比较班级人均志愿次数，人均次数越高，排名越靠前；若人均次数相同，则比较班级志愿次数的方差，方差越小，排名越靠前．该校从甲、乙、丙三个班级各随机抽取了5名志愿者，记录他们的服务次数如下表： 志愿者1 志愿者2 志愿者3 志愿者4 志愿者5 甲班 25 26 25 25 27 乙班 23 28 26 24 29 丙班 25 27 26 26 若丙班在三个班级中活跃度排名居中，则这三个班级的排名由前到后依次为__________，此时表中（为整数）的值为__________． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章 数据的分析 教学目标 1.掌握平均数、中位数、众数的计算与应用。 2.会计算方差、四分位数，理解离散程度意义。 3.能绘制与解读箱线图，分析数据分布。 4.合理选择统计量解决实际问题。 教学重难点 重点 （1）集中趋势统计量计算 （2）方差计算与数据稳定性判断 （3）四分位数与箱线图解读 （4）统计量的合理选择 难点 （1）方差公式理解与变形应用 （2）箱线图与数据分布关联 （3）综合统计量做决策分析 知识点01：数据的集中趋势——平均数 1.算术平均数：对于个数据，。 2.加权平均数：若权为，则。 3.数据变形规律：数据的平均数为。 【即学即练】 1．某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查算术平均数的计算，根据算术平均数的定义，将所有数据求和后除以数据的个数即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得这组数据的平均数为， 故选：B． 知识点02：数据的集中趋势——中位数与众数 1.中位数：数据排序后，奇数个取中间数；偶数个取中间两数的平均数，不受极端值影响。 2.众数：出现次数最多的数据，可一个、多个或无众数。 【即学即练】 1．数据1，4，5，9，6，5的中位数是_________，众数是_________． 【答案】 5 5 【分析】根据中位数与众数的定义，先将给定数据从小到大排序，再根据数据个数确定中位数，最后找出出现次数最多的数据得到众数． 【详解】解：将数据从小到大排列为：，，，，，， 本组数据共个，根据中位数定义，中位数为排序后中间两个数的平均数， 即，因此中位数为， 根据众数定义，一组数据中出现次数最多的数为众数， 本组数据中出现了2次，出现的次数最多，因此众数为． 知识点03：数据的离散程度——极差与离差平方和 1.极差：最大值$-$最小值，反映波动范围。 2.离差平方和：，刻画数据偏离平均数的程度。 【即学即练】 1．某超市抽检水果的甜度数据共8个，已知这组数据的方差为2，则其离差平方和是_______． 【答案】16 【分析】根据方差计算公式，可得离差平方和等于样本容量乘以方差，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：其离差平方和是：． 故答案为：16． 知识点04：数据的离散程度——方差 1.定义：一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，记作。 公式：。 2.意义：方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定。 3.变形规律：数据的方差为，加减常数方差不变。 【即学即练】 1．某校为了解在校学生的视力情况，随机抽取了40名同学检查视力，检查结果如表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 3 4 9 6 7 7 3 估计该校学生的视力的方差是________． 【答案】/ 【分析】先计算样本的平均数，再根据方差公式计算样本方差，用样本方差估计总体方差即可． 【详解】解： ， ． ∴用样本方差估计总体方差，可得该校学生视力的方差为． 知识点05：四分位数与箱线图 1.四分位数：下四分位数、中位数、上四分位数，四分位距。 2.箱线图构成：最小值、、、、最大值，直观展示分布与离散程度。 【即学即练】 1．在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下： 小宝同学：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100； 小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96． (1)求小宝同学的测试成绩数据的四分位数，，；根据四分位数可绘制如图的箱线图，并判断谁的成绩比较集中； (2)你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛？请说明理由． 【答案】(1)小宝同学的测试成绩数据的四分位数，，；根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中小宝同学和小安同学的箱线图，小安成绩比较集中 (2)见解析 【分析】（1）根据题干所给数据计算即可得出结果； （2）求出小宝同学和小安同学成绩的平均数，再结合箱线图分析即可得出结果． 【详解】（1）解：∵小宝同学成绩为：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100； ∴， ∵，根据统计规则，当位置不是整数时，通常向上取整，即取第3个数， ∴， ∵，根据统计规则，当位置不是整数时，通常向上取整，即取第8个数， ∴， 根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中小宝同学和小安同学的箱线图，小安成绩比较集中； （2）解：由题意可得： 小宝同学成绩的平均数为：； 小安同学成绩的平均数为：； 观察数据可得： 选小宝，理由：最好成绩好，上四分位数要高； 选小安，理由：平均数高，下四分位数高，数据要稳定． 知识点06：统计量的合理选择 1.集中趋势：无极端值选平均数；有极端值选中位数；关注频次选众数。 2.离散程度：用方差、四分位距判断稳定性与集中程度。 【即学即练】 2．甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备10队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期队员 2月10日 2月21日 3月5日 3月14日 3月25日 4月7日 4月17日 4月27日 5月8日 5月20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)分别写出：甲的中位数是__________；乙的中位数是__________． (2)根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (3)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； (4)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【答案】(1)84， (2)甲、乙两人平均水平相当，乙的成绩比甲更稳定 (3)近五年获奖分数线平均数为，选甲更合适 (4)选甲更合适，理由见解析 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差对甲、乙的成绩进行评价即可； （3）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可； （4）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可． 【详解】（1）解：甲的成绩从小到大排列为73，75，80，81，83，85，90，92，95，96，则中位数为； 乙的成绩从小到大排列为82，82，83，83，84，85，86，86，87，92，则中位数为． （2）解：∵甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是， ∴，， ∴甲、乙两人平均水平相当，乙的成绩比甲更稳定． （3）解：， ∵甲的成绩超过的频数有4个，乙的成绩超过的频数有1个， ∴选甲更合适． （4）解：选甲更合适．理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适． 题型01平均数计算 方法技巧：总和除以个数，注意数据不遗漏。 【典例1】. （25-26八年级下·全国·单元复习）某校n名学生参加市法律知识竞赛，他们的成绩分别为，这n名学生的平均成绩为多少？ 【答案】 【分析】根据算术平均数的定义，先求出所有学生的成绩总和，再除以学生总人数即可得到平均成绩． 【详解】解： 名学生的成绩总和为，数据个数即学生总人数为，因此平均成绩为： ． 【变式1】. （2022·河南洛阳·模拟预测）如图所示的是某射击运动员连续射击20次的射击成绩的折线统计图，则该运动员此训练周期内的平均成绩为______环． 【答案】8.4 【详解】解：该运动员此训练周期内的平均成绩为 ． 【变式2】. （25-26八年级上·四川成都·阶段检测）某中学组织学生进行200米游泳训练，如果一名学生的3次训练成绩分别为5分12秒、5分8秒和5分1秒，那么该学生的平均成绩是_________ ． 【答案】5分7秒 【分析】本题主要考查求算术平均数．先将三次训练成绩统一转换为秒，依据平均数的计算方法求出平均成绩的秒数，再转换回分与秒的组合形式即可． 【详解】解：首先进行时间单位换算： 5分12秒秒， 5分8秒秒， 5分1秒秒， 计算三次成绩的总和：秒， 根据平均数的定义，平均成绩为秒， 将307秒转换为分和秒：（分）……7（秒）， 该学生的平均成绩是5分7秒． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）某校部分同学参加知识竞赛，将这些同学取得的成绩进行整理后，得到的统计图如图所示，那么参加竞赛的同学的成绩的平均数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：． 【点睛】利用组中值作为每组成绩进行计算． 题型02加权平均数计算 方法技巧：按权重乘数据求和，除以总权重。 【典例2】. （25-26八年级下·全国·单元复习）某同学这学期四次数学测验成绩依次为93分、82分、86分和90分，期中考试成绩为77分．数学老师说这学期的总评成绩的权重将按平时测验、期中考试和期末考试依次占、和计算．这位同学希望总评成绩能够达到或超过85分，那么期末考试这位同学至少要考多少分？（取整数） 【答案】至少要考87分 【详解】解：平时测验的平均成绩为：， 设期末考试成绩为分， 由题意得， 解得， 那么期末考试这位同学至少要考87分． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）学校组织演讲比赛，从演讲主题、演讲内容、基本能力、整体表现四个方面对选手进行评分．下表是甲、乙两位选手在各个项目上的得分情况（百分制）： 演讲主题 演讲内容 基本能力 整体表现 选手甲 80 80 90 82 选手乙 85 82 85 82 (1)如果以上四个方面的重要性之比为，谁的最终成绩高？ (2)如果以上四个方面的重要性之比为，情况又如何呢？ 【答案】(1)乙的最终成绩更高 (2)甲的最终成绩更高 【分析】（1）根据加权平均数计算甲、乙成绩，比较大小，得出结果； （2）根据加权平均数计算甲、乙成绩，比较大小，得出结果． 【详解】（1）解：甲的成绩：， 乙的成绩：， ∵， ∴乙的最终成绩更高； （2）解：甲的成绩：， 乙的成绩：， ∵， ∴甲的最终成绩更高． 【变式2】. （2026·广东潮州·一模）某教师招聘考试分为笔试和面试两种，总成绩按笔试成绩与面试成绩的和计算．刘同学笔试成绩为90分，面试成绩为80分，那么刘同学的总成绩为________分． 【答案】86 【分析】根据题意总成绩为笔试成绩乘以加上面试成绩乘以，代入对应数值计算即可． 【详解】解：（分）． 【变式3】. （2026八年级下·浙江·专题练习）下表所示是八年级4个班上交的“科技百问”小测的最终成绩统计表． 班级 一班 二班 三班 四班 人数 48 50 45 57 平均分 86 85 84 优秀率（不低于85分） (1)求出四个班成绩的平均分． (2)求出四个班成绩的优秀率． 【答案】(1)分 (2) 【分析】（1）先算出四个班级分数的总和，再求出人数总和，相除得到总体的平均分； （2）先通过每个班级的优秀率求出每个班优秀的人数，再求出成绩优秀人数总和，除以总人数即可得到结果． 【详解】（1）解： 答：四个班成绩的平均分为分； （2）解： 答：四个班成绩的优秀率为． 题型03中位数求解 方法技巧：先排序，再看数据个数奇偶定中位数。 【典例3】. （2026·江苏盐城·一模）已知一组数据1，4，6，8，6，则此组数据的中位数是_________． 【答案】6 【分析】先将给定数据按从小到大的顺序排列，再根据中位数的定义，奇数个数据的中位数为排序后最中间的数，即可求解． 【详解】解：将数据从小到大重新排列为：1，4，6，6，8，这组数据共有个，个数为奇数，根据中位数的定义，中位数为排序后第个数， 第个数为，因此此组数据的中位数是． 【变式1】. （2026·江苏无锡·二模）某校九年级5名学生一周的体育锻炼时间（小时）为8，9，7，9，10，这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．8，8 B．9，8 C．9，8.5 D．9，9 【答案】D 【分析】按照定义先求众数，再将数据排序后计算中位数即可． 【详解】解：∵已知数据为8，9，7，9，10，其中数字9出现次数最多，为2次，其余数字均只出现1次， ∴众数为9； 将数据从小到大排列得：7，8，9，9，10，数据共5个，为奇数个，中位数为排序后最中间的第3个数， ∴中位数为9． 【变式2】. （2026·广东清远·二模）3月15日清远马拉松盛大开幕，社会实践小组记录了10名志愿者的年龄（单位：岁）20，21，22，22，23，23，23，24，25，26．这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．23，23 B．23， C．22，23 D．24，23 【答案】A 【分析】根据定义分别计算这组数据的众数和中位数即可得到结果． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，且这组数据中23出现的次数最多， ∴这组数据的众数为， ∵第个数据是，第个数据是， ∴中位数为． ∴这组数据的众数和中位数分别是，． 【变式3】. （2026·江苏苏州·二模）某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据中位数是（     ） A．17分 B．18分 C．19分 D．20分 【答案】D 【分析】本题考查中位数的定义，解题时先将数据按从小到大排序，再根据数据个数为奇数，取最中间的数即可得到中位数． 【详解】解：∵ 原数据为，，，，，，将数据从小到大重新排列得：，，，，，，， ∵数据总个数为，是奇数， ∴ 中位数为排列后最中间的数，即分， 故选项D符合题意． 题型04众数识别 方法技巧：找出现次数最多的数据，可多可无。 【典例4】. （25-26八年级下·北京西城·期中）一次数学练习，某小组5名组员的成绩统计如下，请填写数据补全下列统计表： 组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均数 众数 得分 77 80 81 82 80 其中_____，_____ 【答案】 80 80 【分析】根据平均数的定义计算出的值，再根据众数的定义计算出的值即可． 【详解】解：根据题意得：平均数为 整理得： 解得： 则这组数据为77，80，80，81，82， 这组数据中出现次数最多的数为， 因此众数． 【变式1】. （2026·江苏徐州·二模）某校举行“杜绝校园欺凌，从我做起”演讲比赛，7位评委给出的评分如下：95，92，85，93，88，93，90，则这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．95，92 B．93，92 C．93，93 D．95，93 【答案】B 【分析】本题考查众数和中位数的定义，先将给定数据从小到大排序，再根据定义分别计算出众数和中位数即可得到结果. 【详解】解：将位评委的评分从小到大排序得：， ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据中出现次，出现次数最多， ∴这组数据的众数是； ∵这组数据共有个数，个数为奇数，中位数是排序后位于中间位置的数，中间位置为第位，第位的数是， ∴这组数据的中位数是， 因此众数和中位数分别是和． 【变式2】. （2026·河北邯郸·二模）体育考试在即，小明随机调查了九年级若干名学生五一假期期间进行体育锻炼的情况，并将统计结果绘制成如图所示的统计图．下列说法不正确的是（   ） A．被调查的学生人数是45 B．样本平均数是9 C．样本中位数是9 D．样本众数是18 【答案】D 【分析】根据频数分布直方图，结合样本总数、平均数、中位数、众数的求解方式逐项判断即可． 【详解】解：被调查的学生人数是，故A正确，不符合题意； 样本平均数是，故B正确，不符合题意； 调查的学生人数是，则样本中位数是第23位数字，第23位为9，故C正确，不符合题意； 样本众数是9，故D错误，符合题意． 【变式3】. （2026·河南驻马店·三模）某校组织各班围绕“保护视力”开展手抄报评比，其中九年级8个班的得分为9，8，10，8，6，7，9，8，则这组数据的众数为___________． 【答案】8 【详解】解：∵在数据9，8，10，8，6，7，9，8中，8出现三次，出现次数最多， ∴这组数据的众数为8． 题型05方差与离差平方和计算 方法技巧：先求平均，再算差平方和，最后除以个数；离差平方和=各数据与平均数差的平方和。 【典例5】. （25-26八年级下·北京西城·期中）已知分组：|，则其组内离差平方和是_____． 【答案】10 【分析】按照组内离差平方和的定义，先分别计算每组的组平均数，再计算每组内数据的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加得到结果． 【详解】解：第一组： 该组的平均数为， 则第一组离差平方和为； 第二组： 该组的平均数为， 则第二组离差平方和为， 因此，总组内离差平方和为：． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江杭州·期中）数据，，，，，，，，，的离差平方和是________，方差是________． 【答案】 【详解】数据，，，，，，，，，的平均数是， 离差平方和是； 方差是． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江·期中）在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数．同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．方差 【答案】B 【分析】根据平均数、中位数、离差平方和、方差的意义即可判断结果； 【详解】解：∵9个互不相等的数从小到大排序后，中位数是排在中间位置的第5个数，去掉一个最高分和一个最低分后，剩余7个分数重新排序，中位数仍是原数据中的第5个数， ∴中位数一定不会发生改变， 平均数受极端值影响，去掉两端分数后会改变，离差平方和与方差反映数据波动程度，数值也会发生改变． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）晓慧同学为了在明年的中考体育考试中取得最好的成绩，每天自己在家里练习一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数：28，25，30，27，30，26．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】先将数据从小到大排序，枚举所有合理分组，分别计算各组的组内离差平方和（组内每个数据与组平均数差的平方和），比较后得到最小值. 【详解】解：将数据从小到大排列得：， 当分组为， 则， 的平均数为， ， ∴， 当分组为时，同法可得：； 当分组为3个数和3个数时，要使“组内离差平方和达到最小”，则应分组为和， 第一组平均数， ， 第二组平均数， ， 总离差平方和； 当分组为时，同法可得， 当分组为时，同法可得； 组内离差平方和的最小值为. 题型06四分位数计算 方法技巧：排序→分段→求前后段中位数得。 【典例6】. （25-26八年级下·浙江宁波·期中）一组数据3，2，6，7，4，6的下四分位数是______． 【答案】 【分析】根据百分位数的定义求解下四分位数即可． 【详解】将该组数据从小到大排列为：， 下四分位数即分位数，数据个数， 又∵，不是整数，所以该组数据的下四分位数为排序后第2个数，即． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江杭州·期中）有下列数据：4，8，12，16，20，24，28，这组数据的下四分位数是________． 【答案】8 【分析】先确定已排序数据的个数，其中位数为第4个数，即为数据16，再结合下四分位数的性质分析，即可得到对应结果． 【详解】解：已知数据已按从小到大顺序排列，数据个数， 故数据的中位数为第4个数，即为数据16， 下四分位数是位于中位数左侧的数据4，8，12的中位数， 因此下四分位数为． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江绍兴·期中）甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组成绩的四分位数： ； ； ． (2)请结合箱线图，写出两条你对这两组测试成绩的分析结论． 【答案】(1)70，90，96 (2)①甲组的中位数和乙组相同；②乙组的成绩更集中 【分析】（1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【详解】（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，共10个数， 所以，，； （2）解：根据箱线图可知①甲组成绩的中位数和乙组相同；②乙组的成绩更集中． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏·期中）为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度（单位：）如下：8，8，9，9，10，11，12，12，13，14．则这组数据的________，________，________． 【答案】 9 12 【分析】分别计算下四分位数、中位数和上四分位数即可． 【详解】解：由数据排序得：，，，，，，，，，， ∴中位数为第和第个数据的平均值，即； 下四分位数为前个数据的中位数，即第个数据； 上四分位数为后个数据的中位数，即原数据中的第个数据． 题型07箱线图识读 方法技巧：箱体对应，中线为中位数，须线到最值。 【典例7】. （25-26八年级下·全国·课后作业）拉萨地处青藏高原，日照时间很长．下表给出了2020年各月拉萨的日照时数（单位：）： 2020年各月拉萨的日照时数，单位：； 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 日照时数 268.8 279.4 317.2 310.9 318.9 306.4 265.6 323.0 301.0 316.8 275.5 261.2 (1)请将最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值标记在如图所示的箱线图中． (2)拉萨2020年有几个月的日照时数大于上四分位数？分别是哪几个月？ (3)图中箱体的下半部分比较大，上半部分比较小，这是否意味着日照时数介于和之间的月份要多于介于和之间的月份？ 【答案】(1)图见详解 (2)拉萨2020年有3个月的日照时数大于上四分位数，分别是3月，5月，8月 (3)不是，理由见详解 【分析】（1）根据表格把数据按从小到大进行排列，然后根据中位数及四分位数的算法进行求解即可； （2）根据（1）可进行求解； （3）由箱线图的特征可进行求解． 【详解】（1）解：根据表格可把日照时数按从小到大的顺序排列为， ∴最小值为261.2，最大值为323.0，中位数为， ∴上四分位数为， 下四分位数为， 箱线图如图所示： （2）答：拉萨2020年有3个月的日照时数大于上四分位数，分别是3月，5月，8月 （3）解：不是，箱线图中箱体的下半部分比较大，上半部分比较小，意味着日照时数在和之间的数值分布范围比在和之间的数值分布范围大，并不代表月份的数量多，实际上这两个区间内的月份数量是相等的． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江台州·期中）某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司 A 3.195 a 4.44 B b 3.890 c 请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价． 【答案】(1)，， (2)通过箱线图可知，A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健． 【分析】（1）根据四分位数和中位数的计算公式进行计算即可； （2）从箱线图获取信息作答即可． 【详解】（1）解：将A公司的数据排序：2.02，2.15，3.18，3.21，3.64，3.85，3.98，4.10，4.11，4.77，4.88，4.89， ∵第6个和第7个数据分别为3.85，3.98， ∴； B公司的数据排序：3.18，3.40、3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44， ∵第3个和第4个数据为3.60和3.67，第9个和第10个数据为4.10和4.15， ∴； （2）解：由图可知：A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江杭州·期中）2026年央视春节联欢晚会中，多款智能机器人登台完成高难度武术与舞蹈协同表演．为检测机器人表演的动作稳定性，技术人员对两种型号机器人完成一次标准空翻动作的耗时（单位：秒）进行统计，抽取10台型号机器人，测得完成标准动作的耗时数据：，，，，，，，型号机器人的耗时数据如箱线图所示．（注：表示下四分位数，表示中位数，表示上四分位数） (1)求型号机器人耗时数据的下四分位数，中位数，上四分位数； (2)根据上述信息，比较两种型号机器人完成动作的稳定性，并说明理由． 【答案】(1)型号机器人耗时数据的下四分位数为1.22（秒），中位数为1.245（秒），上四分位数为1.28（秒）； (2)型号机器人的动作耗时更稳定，理由见解析. 【分析】本题考查了四分位数、中位数，正确理解题意是解题的关键． （1）先把G1型号数据从小到大排序，再根据下四分位数、中位数和上四分位数的定义求解即可；（2）对比两种型号数据的集中趋势、离散程度，根据方差的意义判断稳定性即可． 【详解】（1）解：第一步：将型号数据从小到大排序： 1.18，1.19，1.22，1.23，1.24，1.25，1.26，1.28，1.30，1.31 中位数：共10个数据，取第5，6个数的平均值（秒）， 下四分位数：取前5个数的中位数，即第3个数为1.22（秒）， 上四分位数：取后5个数的中位数，即第8个数为1.28（秒）； （2）解：①集中趋势对比： 型号中位数为1.245秒，型号中位数为1.24秒，两者数值非常接近，说明两款机器人完成动作的平均耗时水平相当． ②离散程度对比： 型号：上四分位数与下四分位数的差（箱体的高度）＝1.28－1.22＝0.06秒，极差， 型号：上四分位数与下四分位数的差（箱体的高度）＝1.27－1.21＝0.06秒，极差， 两款机器人的上四分位数与下四分位数的差相同，说明中间数据的波动程度一致；但型号的极差更小，说明整体数据的离散程度更低，型号机器人的动作耗时更稳定． 【变式3】. （25-26八年级下·浙江湖州·期中）为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名100米的同学分为A队和B队，每队8人，并进行了一次100米跑的队内测试，两队的成绩如下（单位：秒）： A队 13 14 15 13 15 13 14 15 B队 14 15 16 14 16 14 17 16 (1)小明通过计算平均数得______秒，秒；通过计算方差______，； (2)小颖利用四分位数、箱线图进行分析． ①A队队员成绩的______，B队队员成绩的______； ②A队队员成绩的中位数______B队队员成绩的中位数（填“>”，“=”或“<”），且______队选手间成绩差异较大； (3)请你结合小明和小颖的数据分析，从A，B两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由． 【答案】(1)14，， (2)①13，16  ②，B (3)选择A队参加运动会接力赛，见解析 【分析】（1）根据平均数和方差的定义求解即可； （2）根据四分位数的概念求解即可； （3）根据（1）（2）中的计算结果和结论即可得出结论． 【详解】（1）解：（秒）； ； （2）解：①A队队员成绩排序为13，13，13，14，14，15，15，15， ∴A队队员成绩的， B队队员成绩排序为14，14，14，15，16，16，16，17， ∴B队队员成绩的； ②A队队员成绩的中位数是， B队队员成绩的中位数是， ∴A队队员成绩的中位数B队队员成绩的中位数， 由箱线图可知，B队选手间成绩差异较大； （3）解：选择A队参加运动会接力赛．A队的平均成绩为14秒，相较于B队速度更快，且A队整体的100米跑成绩更好，参赛更有可能取得优异成绩．（言之有理即可） 题型08方差判断数据稳定性 方法技巧：方差越小，数据越集中、越稳定。 【典例8】. （25-26八年级下·全国·课后作业）某学校为选拔优秀运动员参加县中学生运动会，组织了多次百米跑测试，其中甲、乙两名运动员表现较为突出，他们在10次百米跑测试中的成绩（单位：s）如下表所示： 单位：s 甲 11.8 11.9 12.0 11.7 12.2 12.1 11.8 12.0 11.7 11.9 乙 11.9 11.9 11.8 11.8 12.0 11.9 11.8 12.1 11.9 11.8 如果根据这10次成绩选拔一人参加比赛，你认为哪一位比较合适？ 【答案】选乙参加比赛比较合适． 【详解】解：计算甲、乙两人的平均成绩 因为，所以乙的百米跑测试平均成绩比甲好． 计算甲、乙两人的方差 将甲、乙两名运动员的10次成绩分别按从小到大的顺序排列： 甲：11.7，11.7，11.8，11.8，11.9，11.9，12.0，12.0，12.1，12.2； 乙：11.8，11.8，11.8，11.8，11.9，11.9，11.9，11.9，12.0，12.1． 甲的中位数为；乙的中位数为． 因为甲、乙的中位数相等，，，且，这说明乙的百米跑测试成绩比甲更稳定． 所以选乙参加比赛比较合适． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）根据国家统计局《中国统计年鉴2021》报告，南京和福州两地2020年各月降水量（单位：）数据如下表所示： 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 南京 75.2 35.5 89.8 70.8 33.7 281.6 271.9 114.3 82.8 64.9 76.8 20.5 福州 28.2 65.2 262.8 63.9 262.6 224.1 81.7 80 119.4 5.6 0.5 16.5 (1)两地2020年的月平均降水量各是多少毫米？它们相近吗？ (2)你认为这两个城市该年的降水情况相近吗？请作比较． 【答案】(1)南京月平均降水量约为 ，福州月平均降水量约为 ，二者月平均降水量相近． (2)两个城市该年降水情况不相近，福州月降水量的波动比南京更大． 【分析】本题考查平均数和方差，掌握求方差的方法是解题的关键 （1）用数据数和除以，据此求出平均数，比较即可； （2）先求出方差，再比较即可． 【详解】（1）南京2020年的月平均降水量： 福州2020年的月平均降水量： ∵， ∴从计算结果看，它们较为相近； （2）南京的方差为：， 福州的方差为：， ∵， ∴福州月降水量的波动比南京更大． 两个城市该年降水情况不相近，福州月降水量的波动比南京更大． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）下表是在投掷两枚正方体骰子的活动中得到的数据： 投掷次数 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 出现数字之和为奇数的频数 2 4 8 10 14 17 20 22 25 26 出现数字之和为奇数的频率 0.400 0.400 0.533 0.500 0.560 0.567 0.571 0.550 0.556 0.520 投掷次数 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 出现数字之和为奇数的频数 27 28 30 34 37 40 42 45 47 50 出现数字之和为奇数的频率 0.491 0.467 0.462 0.486 0.493 0.500 0.494 0.500 0.495 0.500 分别计算最初投掷次数这5个频率值的方差和最后投掷次数这5个频率值的方差，说说哪一段的频率表现得更为稳定． 【答案】投掷次数这5个频率值的方差约为；投掷次数这5个频率值的方差约为；投掷次数这一段的频率表现得更为稳定 【分析】根据方差的公式分别计算最初投掷次数和最后投掷次数频率值的方差，再比较大小即可得出结论． 【详解】解：最初投掷次数这5个频率值的平均数为， 对应的方差为； 最后投掷次数这5个频率值的平均数为， 对应的方差为， ∵， ∴投掷次数这一段的频率方差更小，表现得更为稳定． 【变式3】. （2026·河南驻马店·二模）【新情境·充电安全】随着电动车持有量的不断增加，电动车安全充电问题日益凸显．不正确的充电方式极易引发火灾、触电等安全事故，严重威胁生命财产安全．为切实提升学生对电动车安全充电知识的掌握程度，增强安全防范意识，某校特开展电动车安全充电培训，并组织了相关知识测试．本次测试满分分，学生得分均为整数，成绩达到分及分以上为合格，达到分或分为优秀．测试后，甲、乙两组学生的成绩统计如下，成绩统计分析表如表： 组别 平均数 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 乙组 (1)填空：_______，_______； (2)小英同学说：“这次测试我得了分，在我们小组中排名属于中游偏上！”观察上面表格，直接判断小英是____________组的学生（填“甲”或“乙”）； (3)甲组同学说他们组的合格率高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组，但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你写出两条支持乙组同学观点的理由． 【答案】(1)解：， (2)解：甲 (3) 解：乙组的成绩比甲组的成绩稳定，乙组的成绩要好于甲组的成绩． 【分析】（1）根据折线统计图，把甲组成绩从低到高排列，根据中位数的定义可求出的值，根据折线统计图找出乙组成绩为分和分的人数，即可求出的值； （2）根据小英的成绩在小组中排名属于中游偏上，得出小英的成绩应高于本组的中位数，据此即可得出答案； （3）根据中位数高的成绩好，方差小的成绩稳定解答即可． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，甲组成绩从低到高排列为，，，，，，，，，， ∵排在第和第位的数据为分、分， ∴甲组成绩的中位数， ∴， 由折线统计图可知，乙组成绩中，分有人，分有人， ∴乙组的优秀率为， ∴． （2）解：由（1）可知，甲组成绩的中位数是分，由表格可知，乙组成绩的中位数是分， ∵小英得了分，在我们小组中排名属于中游偏上， ∴小英的成绩应高于本组的中位数， ∵，， ∴小英是甲组的学生． （3）解：∵乙组成绩的平均数为，甲组成绩的平均数为，， ∴乙组的成绩要好于甲组的成绩， ∵乙组成绩的方差为，甲组成绩的方差为，， ∴乙组的成绩比甲组的成绩稳定， ∴乙组的成绩要好于甲组的成绩． 题型09统计图中提取数据算统计量 方法技巧：先读全数据，再按公式计算。 【典例9】. （2026·山东济南·二模）在“大美山东，宜居家园”美丽乡村建设演讲比赛中，评委对每位参赛选手的“演讲效果”和“演讲技巧”进行打分．选手编号分别为、、、、的5位选手的成绩如图所示． 请根据上图信息解答下列问题： (1)5位选手“演讲效果”成绩的众数是__________分，“演讲技巧”成绩的中位数是__________分； (2)5位选手“演讲技巧”成绩的平均分__________分； (3)根据规定，“演讲效果”与“演讲技巧”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手按比例计算后最终成绩为83.5分，求“演讲效果”所占比例为多少（结果为百分比）？ 【答案】(1)90，85 (2)86 (3) 【分析】（1）提取所有选手的“演讲效果”成绩，根据众数定义找出现次数最多的数值；提取所有选手的“演讲技巧”成绩，按从小到大排序后取中间位置的数得到中位数． （2）提取所有选手的“演讲技巧”成绩，代入平均数公式，计算总成绩除以总人数的商． （3）设“演讲效果”所占比例为，则“演讲技巧”所占比例为，因为选手B的两项成绩已知、最终成绩已知，所以根据加权平均数的计算方法列方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：∵5位选手“演讲效果”成绩出现次数最多的是90， ∴5位选手“演讲效果”成绩的众数是90分， ∵5位选手“演讲技巧”成绩按从小到大顺序排列为：80，80，85，90，95， ∴5位选手“演讲技巧”成绩的中位数是85分； （2）解：5位选手“演讲技巧”成绩的平均分为（分） （3）解：设选手B“演讲效果”所占比例为，则“演讲技巧”为， 根据题意得：， 解得， 答：选手B“演讲效果”所占比例为． 【变式1】. （2026·河南平顶山·一模）2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日，为深入贯彻落实总体国家安全观，切实增强青少年国家安全意识和法治素养，在甲、乙两个学校分别抽取部分学生开展国家安全知识竞赛．竞赛满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．下面是甲、乙两个学校参赛学生的成绩统计表和成绩分布折线统计图： 甲、乙两个学校参赛学生的成绩统计表 学校 平均数/分 中位数/分 合格率 优秀率 甲学校 a 7 乙学校 6.6 b (1)求出参赛学生成绩统计表中a，b的值； (2)小轩说：“这次竞赛我得了7分，在我们学校排名属于中游偏上！”请你判断小轩是哪个学校的学生，并说明理由； (3)结合以上信息，请你说明哪个学校的竞赛成绩好一些． 【答案】(1)7.5，6.5； (2)小轩是乙学校的学生，理由见解析； (3)甲学校的竞赛成绩好一些，理由见解析． 【分析】（1）根据平均数及中位数的定义计算即可； （2）根据两学校的中位数判断即可； （3）根据已知数据判断即可． 【详解】（1）解：． 将乙学校抽取学生成绩按从低到高排列是4，4，6，6，6，7，7，8，9，9，排在第5位和第6位的数字分别是6，7， ∴． （2）解：小轩是乙学校的学生． 理由如下：小轩得7分，等于甲学校成绩的中位数7分，高于乙学校成绩的中位数6.5分． ∵小轩的成绩在学校里排名属于中游偏上， ∴可以判断小轩是乙学校的学生． （3）解：∵甲学校参赛学生成绩的平均数和中位数均高于乙学校， ∴甲学校的竞赛成绩好一些．（合理即可） 【变式2】. （25-26八年级下·全国·单元复习）我们曾经按等距分组法，画过“2021年我国31个省市自治区（不含港澳台地区）人均的频数分布直方图”（如图）．如果以各组的组中值（每组两个端点值的平均数）代表组内各地的实际数据，请完成下面的频数分布表并估算按此分组方案，2021年我国31个省市自治区（不含港澳台地区）人均的平均数、中位数和众数．结合频数分布直方图，你认为用什么指标来代表该年我国31个省市自治区（不含港澳台地区）人均比较合适？ 2021年我国31个省市自治区（不含港澳台地区）人均的频数分布表 人均GDP x/万元 组中值/万元 频数 4.85 6 6.35 13 3 3 2 1 1 0 1 1 总计 31 【答案】用“中位数（或众数）”来代表该年我国 31 个省市自治区（不含港澳台地区）人均 比较合适． 【详解】解：频数分布表如表： 人均GDP x/万元 组中值/万元 频数 4.85 6 6.35 13 3 3 2 1 1 0 1 1 总计 31 平均数：， 总共31个数据，中位数是第个数据， 前两组数据和为，说明第16个数据在组内， 所以中位数是6.35万元， 频数最高的组是，则众数是6.35万元， 从频数分布直方图可以看出，数据存在右偏分布（大部分数据集中在低区间，少数高值拉高了平均数），平均数受极端高值影响较大，无法反映大多数地区的人均水平；而中位数和众数都在频数最高的组，更能代表多数地区的情况； 因此用“中位数（或众数）”来代表该年我国 31 个省市自治区（不含港澳台地区）人均 比较合适． 【变式3】. （2026·河北石家庄·模拟预测）为守护青少年健康成长，我国对于青少年使用手机的规定涵盖合理使用、内容健康、隐私保护及网络安全等诸多方面．某校开展合理使用手机宣传活动，随机挑选了甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，并收集了这四名同学近10天使用手机时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析，得到如下信息． a．甲同学10天使用手机时长：，，，，，，，，，； b．乙、丙同学10天使用手机时长的折线统计图，如图； c．四名同学10天使用手机时长的情况统计分析表： 甲 乙 丙 丁 平均数 16 17 16 中位数 15.5 15 16.5 方差 15 7.8 7.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)比较大小：__________15（填“”“”或“”）； (2)求，的值； (3)规定：首先比较平均数，平均数较小者优先进行分享；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先进行分享；若平均数、方差分别相等，则使用手机时长小于平均数的次数较多者优先进行分享．该校决定按上述方式决定四名同学的分享顺序，则四名同学最先分享的是__________，最后分享的是__________．（均填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 【答案】(1) (2)， (3)乙，甲 【分析】（1）根据方差计算公式求解即可； （2）根据平均数和中位数的定义求解即可； （3）根据题意描述方式比较即可． 【详解】（1）解：丙的数据为：12，12，17，19，21，23，21，16，16，13， ∴； （2）解：； 丙的数据排列为：12，12，13，16，16，17，19，21，21，23， 则中位数是第5，6个数据的平均数，故； （3）解：平均数比较：乙(16)、丁(16)甲(17)、丙(17)， 因此乙、丁优先于甲、丙； 乙和丁比较：平均数相等，方差均为7.8，需比较小于平均数(16)的次数， 乙的中位数为15，说明排序后第5、6个数均，因此小于16的数有6个， 丁的中位数为16.5，说明排序后第5个数，第6个数，因此小于16的数最多有4个， ∴乙的次数更多，故乙优先于丁； 甲和丙比较：平均数相等，丙的方差(14)甲的方差(15)，故丙优先于甲， 综上，分享顺序为：乙→丁→丙→甲， 因此最先分享的是乙，最后分享的是甲． 题型10统计决策实际应用 方法技巧：结合题意选统计量，支撑合理判断。 【典例10】. （2026·河南安阳·二模）人工智能作为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着社会生产生活方式，也为教育创新发展带来了新机遇．某校人工智能社团引入AI智能导学系统，通过智能辅导、精准练习、即时反馈等方式提升学生学习效率．一段时间后，分别从参加该社团的七、八年级中随机抽取10名学生进行测试，并将测试数据（10分为满分，不低于8分为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下：   七、八年级测试数据统计表 统计量 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 8 8 80% 八年级 8.1 70% (1)________，________，________． (2)结合上表中的统计量，你认为哪个年级的测试结果更好？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)八年级的测试结果更好，理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数（8.5 分）和众数（9 分）均高于七年级，说明八年级中等及以上水平的学生成绩更突出．（答案不唯一） 【分析】（1）从七年级测试数据扇形统计图中提取各分数对应的人数，再利用加权平均数公式计算七年级的平均数即可；从八年级测试数据条形统计图中提取所有学生的成绩，将成绩从小到大排列，取第5和第6个数的平均数即可得到八年级的中位数；从八年级测试数据条形统计图中找出出现次数最多的成绩即可得到八年级的众数； （2）结合表格中的平均数、中位数、众数、优秀率这些统计量，任选个统计量对七、八年级的测试结果进行对比分析，从不同角度说明哪个年级的测试结果更好，理由合理即可． 【详解】（1）解：七年级平均数：根据扇形统计图，10名学生中，6分1人、7分1人、8分5人、9分2人、10分1人， ∴； 八年级中位数b：根据条形统计图，将10名学生成绩从小到大排列为：6，6，7，8，8，9，9，9，9，10，中位数为第5、6个数的平均数，即； 八年级众数c：成绩中9分出现的次数最多（4次），故． （2）略 【变式1】. （2026·山东济宁·二模）综合与实践： 【项目背景】 任城区的喻屯甜瓜是标志性特产，被国家工商总局商标局认证为地理标志证明商标，在官方农业统计中，“任城甜瓜”已获评全国名特优新农产品．喻屯镇常年种植面积约万亩，是全国甜瓜生产基地之一．某村有甲、乙两块甜瓜园．在甜瓜收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块甜瓜园的优质甜瓜情况进行调查统计，为甜瓜园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块甜瓜园采摘的甜瓜中各随机选取个．在技术人员指导下，测量每个甜瓜的横径，作为样本数据．甜瓜横径用（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 根据所给信息，请完成以下所有任务： (1)任务1：求出图1中的值为________． 【数据分析与运用】 (2)任务2：A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为8，9，10，11，12，计算乙园样本数据的平均数． (3)任务3：下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． (4)任务4：结合市场情况，将C，D两组的甜瓜认定为一级，B组的甜瓜认定为二级，A，E两组的甜瓜认定为三级，其中一级甜瓜的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的甜瓜品质更优，并说明理由． 【答案】(1)40 (2)10 (3)① (4)乙园的甜瓜品质更优，理由如下： 甲园一级甜瓜占比为：，三级甜瓜占比为：， 乙园一级甜瓜占比为：，三级甜瓜占比为：， 由于乙园一级甜瓜占比更高，三级甜瓜占比更低， 因此，估计乙园甜瓜品质更优． 【分析】（1）利用样本总数减去其他四组的频数求出的值； （2）利用加权平均数计算即可； （3）根据中位数、众数的定义进行判断即可； （4）分别求出甲园和乙园的一级甜瓜和三级甜瓜的占比，进行比较即可． 【详解】（1）解：由甲园样本频数直方图得：； （2）解：由乙园样本频数直方图得：A和E组各有15个，B组和D组各有50个，C组有70个， 则乙园样本数据的平均数为：； （3）解：200个数据的中位数是第100、101个数据的平均数， 由直方图可知，甲园第100、101个数据在C组；乙园第100、101个数据也在C组， 故①正确； 甲园频数最高的是C组，众数不一定在C组，无法判断， 故②错误； 仅知道数据范围，无法确定两园最大数和最小数的差相等， 故③错误； （4）略 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）回答下列问题，并说明理由： (1)已知小河的平均水深为，手持一根长的竹竿，在手不沾水的情况下，能否使竹竿的另一端接触到河床？ (2)某校录取新生的平均成绩是535分，如果某人的考分是531分，那么此人肯定没有被这个学校录取吗？ (3)5名学生在一次考试中的得分分别是：18，73，78，90，100，考分为73的学生是在平均分之上还是之下？你认为这名学生在5人中的考分属“中上”水平吗？ (4)9名学生的鞋号由小到大是：20，21，21，22，22，22，22，23，23，这组数据的平均数、中位数和众数中哪种指标是鞋厂最不感兴趣的？哪种指标是鞋厂最感兴趣的？ 【答案】(1)能 (2)不一定，此人有可能被录取 (3)考分在平均分之上，不属于中上水平 (4)鞋厂最不感兴趣的是平均数，最感兴趣的是众数 【分析】（1）根据平均数反映一组数据的平均水平分析即可； （2）根据平均数反映一组数据的平均水平，无法代表每个个体的具体情况分析即可； （3）根据平均数，中位数的意义分析即可； （4）根据平均数，中位数，众数的意义分析即可． 【详解】（1）解：平均水深是小河各位置水深的平均值，平均水深为，说明小河有些地方水深会小于，则有可能存在水深小于的地方，所以在手不沾水的情况下，能使竹竿另一端接触河床． （2）解：录取新生的平均成绩是535分，仅代表所有录取新生的平均水平，说明录取新生中有高于535分的成绩，也存在低于535分的成绩，因此考分531分低于平均分的人，仍有可能被录取，不是肯定没有被录取． （3）解：计算5名学生的平均分：因为，所以考分为73的学生在平均分之上． 将分数从小到大排列后，第3个数据为中位数，中位数是78分，，说明有3名学生的分数高于73分，因此这名学生不属于中上水平． （4）解：鞋厂生产鞋子最关注哪种鞋码销量最高，众数反映了这组数据中出现次数最多的鞋号，也就是销量最高的鞋码，平均数仅反映平均鞋码，无法体现销量最高的尺码，中位数仅反映将数据按大小顺序排列后处于中间位置的鞋码，无法体现销量最高的尺码，因此鞋厂最不感兴趣的是平均数，最感兴趣的是众数． 【变式3】. （2026·北京密云·一模）水质被称作生态的“血脉”．为净化水质，环保部门计划为某水源地选择合适的净水植物有效降低水中的磷含量，其中总磷去除量（单位：）是衡量水质净化效果，尤其是水体脱氮除磷能力的关键指标．该部门随机抽取了20块自然条件相同的水域进行实验，得到各水域每立方米水体中的总磷去除量，并对数据（总磷去除量）进行了整体描述和分析，下面给出了部分信息： ①20块水域每立方米总磷去除量的频数分布表如下： 总磷去除量 频数 3 2 8 1 ②水域总磷去除量在这一组的是： ； ③20块水域每立方米总磷去除量的统计图如下： (1)写出表中的值； (2)随机抽取的这20块水域每立方米总磷去除量的中位数为________； (3)下列推断合理的是________（填序号） ①12号水域的总磷去除量在20块水域的总磷去除量数据中从高到低排第7名； ②20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量的众数为； ③20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于的水域数量与水域总数的比为 (4)号水域种植的是甲种净水植物，号水域种植的是乙种净水植物．已知甲、乙两种植物的每立方米总磷去除量的平均数分别为和；若某种植物在各水域每立方米总磷去除量的10个数据的方差越小，则这种植物的净水效果越稳定．据此推断：甲、乙两种植物中，这个地区比较适合种植的净水植物是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】(1)； (2)； (3)①③； (4)乙． 【分析】（1）根据频数分布表即可求解； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据统计图和频数分布表逐一分析即可； （4）由统计图和频数分布表可知，甲种植物（）数据分布较分散，乙种植物（）数据更集中于均值附近，得到乙的方差小于甲，得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：每立方米总磷去除量在的数有3个，在的数有2个， ∴20块水域每立方米总磷去除量从小到大排列，排在第10和11的两个数是， ∴中位数为：； （3）解：①12号水域的总磷去除量是， 总磷去除量在的有6个，在的有1个， ∴在20块水域的总磷去除量数据中从高到低排第7名的，符合题意； ②由统计图可知，20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量的众数为，不符合题意； ③20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于的水域数量有个， ∴20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于的水域数量与水域总数的比为，符合题意； （4）解：由统计图和频数分布表可知，甲种植物（）数据分布较分散，乙种植物（）数据更集中于均值附近， ∴乙的方差小于甲， ∴这个地区比较适合种植的净水植物是乙． 一、单选题 1．随着上海国际花卉节的举行，这两天，上海街头各异的绿化带造型，频频在社交媒体上引发爆点．如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，下面描述正确的是（    ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数和方差均不变 【答案】A 【分析】根据题意得出现有的高度一定小于等于原先的高度，即平均数变小，平整即波动变小了，方差就变小． 【详解】解：根据题意得，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，即现有的高度一定小于等于原先的高度，波动变小了，方差就变小， ∴平均数变小，方差变小． 2．数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【答案】D 【分析】根据方差计算公式确定原数据和数据个数，再结合中位数、众数定义判断各选项即可． 【详解】解：∵方差计算公式为， ∴这组数据为，，，，，数据个数，故B正确； ∵这个数的第个数据是， ∴中位数为，故A正确； ∵数据中出现次，次数最多， ∴众数为，故C正确； 计算平均数得， 代入方差公式得， ∴D不正确． 3．4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的阅读课外书的情况（次数），并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图．设抽取的学生中，一周内读课外书3次的学生数有人，下列说法正确的是（    ） A．这组数据的平均数是3 B．这组数据的平均数与无关 C．当时，这组数据的众数为10 D．当时，这组数据的中位数为2 【答案】D 【分析】根据条形统计图读出各阅读次数对应的人数，计算总人数和总阅读次数，结合平均数、众数、中位数的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：由图可知，阅读0次、1次、2次、4次、5次的人数分别为4、6、8、10、2人，阅读3次的人数为人， 总人数为， 总阅读次数为． 对于A、B，平均数，显然平均数与有关且不恒为3，故A、B错误； 对于C，当时，阅读4次的人数最多（10人），故众数为4，故C错误； 对于D，当时，总人数，则中位数应在第14-18人之中，，，则这组数据的中位数为2，故D正确． 二、填空题 4．甲、乙两名射击运动员次射击成绩统计图如图所示，若要选派成绩更稳定的运动员参加比赛，应选____________． 【答案】 乙 【详解】解：由统计图可知，乙运动员的成绩更加集中， ∴乙运动员的方差小于甲运动员的方差，即乙运动员的成绩更加稳定， ∴应该选乙运动员参加比赛． 5．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的平均分相同，成绩分布如图，则方差_________（填>、<、=）． 【答案】＞ 【分析】根据方差用来衡量数据波动大小，数据越分散，方差越大；数据越集中，方差越小，即可解答； 【详解】解：∵甲乙平均分相同，从点状图可见，甲的成绩分布更分散，乙的成绩分布更集中在均值附近． ∴甲的方差大于乙的方差，即． 6．某次排球垫球项目训练中，甲、乙两名同学10次垫球的平均成绩均为35个，数据统计如图，则该项目成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】根据方差的意义：方差越小，数据越稳定．观察折线统计图，比较甲、乙两名同学成绩的波动情况即可得出结论． 【详解】观察折线统计图可知，甲同学10次垫球成绩的折线起伏较小，乙同学10次垫球成绩的折线起伏较大， 根据方差的意义，数据的波动越小，方差越小，成绩越稳定， 因为甲同学成绩的波动小于乙同学成绩的波动， 所以该项目成绩比较稳定的是甲． 三、解答题 7．有两组数据，第一组数据是：1，3，5，7，9；第二组数据是：21，23，25，27，29，31，33．先分别求出这两组数据的平均数，再将这两组数据合并在一起．求合并后这组数据的平均数，想一想，它是前两个平均数的平均数吗？ 【答案】第一组数据的平均数为，第二组数据的平均数为，合并后数据的平均数为，它不是前两个平均数的平均数． 【详解】解：第一组数据的平均数：； 第二组数据的平均数：； 合并后的平均数：； 前两个平均数的平均数：， ， 所以它不是前两个平均数的平均数． 8．在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)图1中甲的众数为________环，乙的平均数为_______环； (2)在图2中，A反映________的成绩；（填“甲”或“乙”） (3)图2中，直接写出A的和B的，并判断甲和乙谁的成绩比较好． 【答案】(1)7；8 (2)乙 (3)A的为7，B的为8，乙的成绩比较好 【分析】（1）根据众数，平均数的定义解答即可； （2）直接根据箱线图解答即可； （3）根据上四分位数，下四分位数的定义，平均数的意义解答即可． 【详解】（1）解：∵甲的成绩中7环出现的次数最多， ∴甲的众数为7环， 由题意得，乙的平均数为环； （2）解：根据题意得：在图1中乙的成绩波动较小，在图2中，的数据比较集中，故反映乙的成绩； （3）解：根据（2）可知反映乙的成绩，反映甲的成绩， 的； 的， ∵甲的平均数为， ∴甲的平均数小于乙的平均数， ∴乙的成绩比较好． 9．近年来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，分为4个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）．下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中满意的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两款聊天机器人的评分统计表如下： 类型 平均数 中位数 众数 非常满意所占百分比 A 88 b 96 B 88 c 根据以上信息回答下列问题： (1)上述图表中_________， _________， _________． (2)在此次测验中，有300人对A款聊天机器人进行评分，有240人对B款聊天机器人进行评分．估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人． 【答案】(1)15，， 98 (2)66人 【分析】（1）先求出满意所占百分比，再求出比较满意所占百分比即可，利用中位数和众数的定义求解； （2）根据样本频数估计总体频数即可． 【详解】（1）解：满意所占百分比为， ∴比较满意所占百分比为， ∴； A款中位数为第10个数据和第11个数据的平均数，第10个数据为88，第11个数据为89， ∴； B款数据中出现次数最多的是98， ∴众数； （2）解：A款不满意的人数为（人）， B款不满意的人数为（人）， （人）， ∴此次测验中对聊天机器人不满意的共有66人． 10．平谷区教委积极引导广大学生参与各类有益活动，包括校园志愿服务、青少年科技创新、主题读书、思政教育及文体实践等，引导学生在实践中成长．为响应“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，2025年我区深入推进志愿共建等各项学生活动以来，我区广大学生积极参与志愿服务，助力打造文明、有序、温馨的社区环境．其中，某校有500名学生志愿者，为了解该校3月—4月期间学生参加志愿服务的情况，学校针对服务的次数随机抽取50名学生志愿者进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 志愿服务活动次数频数分布表 次数次 频数 频率 8 0.16 10 0.20 16 0.32 0.24 4 0.08 其中，参与志愿服务活动次数在这一组的数据是： 20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29 请根据所给信息，解答下列问题： (1)__________； (2)请补全频数分布直方图； (3)随机抽取的50名学生参加志愿活动次数的中位数是__________； (4)为鼓励学生参与志愿服务，学校计划按“志愿活跃度”给不同班级分配志愿活动名额，活跃度排名规则为：先比较班级人均志愿次数，人均次数越高，排名越靠前；若人均次数相同，则比较班级志愿次数的方差，方差越小，排名越靠前．该校从甲、乙、丙三个班级各随机抽取了5名志愿者，记录他们的服务次数如下表： 志愿者1 志愿者2 志愿者3 志愿者4 志愿者5 甲班 25 26 25 25 27 乙班 23 28 26 24 29 丙班 25 27 26 26 若丙班在三个班级中活跃度排名居中，则这三个班级的排名由前到后依次为__________，此时表中（为整数）的值为__________． 【答案】(1)12 (2) (3)23 (4)乙班、丙班、甲班；25 【分析】（1）利用总数减去已知的频数即可求解； （2）根据（1）求得的的值，补全频数分布直方图即可； （3）根据各组频数，将数据按从小到大排列后，找到第25个和第26个数据即可求解； （4）先计算各班的平均数，根据丙班在三个班级中活跃度排名居中，可得或或，再分别计算方差进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：略． （3）解：∵和共有（人），、和共有（人），共抽取了50名学生志愿者， ∴数据按从小到大排列后的第25个和第26个数据是内的第7个和第8个数据，均为23， ∴中位数为． （4）解：甲班平均数为， 乙班平均数为， 丙班平均数为， ∵丙班在三个班级中活跃度排名居中， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或或， 当时，丙班平均数为，与甲班平均数相同， ∵甲班的方差为， 丙班的方差为， ∵， ∴甲班优于丙班， ∴三个班级的排名由前到后依次为乙班、甲班、丙班，不符合题意； 当时，丙班平均数为，与乙班平均数相同， ∵乙班的方差为， 丙班的方差为， ∵， ∴丙班优于乙班， ∴三个班级的排名由前到后依次为丙班、乙班、甲班，不符合题意； 当时，丙班平均数为， ∵， ∴三个班级的排名由前到后依次为乙班、丙班、甲班，符合题意； 综上所述，． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $