专题05 数据的分析（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材华东师大版

专题05 数据的分析 一、平均数 ◆1、平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的平均数． 记作：“”，读作：“x 拔”． ◆2、加权平均数： （1）加权平均数：①若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则 叫做这n个数的加权平均数． ②在求 n 个数的平均数时，如果 x1出现 f1次，x2 出现 f2 次，…，xk 出现 f k 次(这里 f1 +f2+…+f k = n)，那么这 n 个数的加权平均数为， 其中f1，f2，f3，…，fn 分别叫做x1，x2，x3，…，xn的权. （2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． （3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． （5）算术平均数与加权平均数的区别与联系： 区别：① 算术平均数中各数据都是同等重要，没有相互间差异； ② 加权平均数中各数据都有各自不同的权重地位. 联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 二、中位数和众数 ◆1、中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． ◆2、中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． ◆3、中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． ◆4、众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 【注意】（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中． （2）一组数据的众数可能不止一个. 如 1，1，2，3，3，5 中众数是 1 和 3． （3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是 1 而不是 3． 统计量 意义 优点 缺点 简单易错点 平均数 代表数据整体平均水平 用到所有数据，信息最全 易受极端值（偏大 / 偏小）影响 极端值会把平均拉高或拉低 中位数 代表数据中等水平（中间位置） 不受极端值影响，稳定性好 只看位置，没用到全部数据 要先排序，奇数 / 偶数个数算法不同 众数 代表数据最常出现的数值 不受极端值影响，直观 可能没有或不止一个，不能反映整体 众数可以多个，没有众数也正常 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 四、方差 ◆1.离差：一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，我们把xi （i=1,2，…，n）叫做xi 关于平均数的离差. ◆2.方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数 ”）其中x1）2+（x2）2+…+（xn）2 叫做这n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d²” ◆3.求方差的方法：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”. ◆4.方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． ◆5.用样本方差估计总体方差 用样本方差估计总体方差:在实际问题中，与用样本平均数估计总体平均数一样，我们也常用样本方差估计总体方差 提示: (1) 样本数据越多，统计的工作量也越大，一般根据实际需要选取适当的样本数据； (2) 一般地，在平均数相同的情况下，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大； (3)在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度. 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图 1、排序：数据从小到大排列 2、算五数：求最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 3、找异常值：计算 IQR=Q3-Q1，标记超出Q1-1.5IQR或Q3+1.5IQR的点 4、画箱体：以 Q1、Q3 为边界画矩形，中间画中位数线 5、画须：从箱体两端连到非异常值的最值 6、标异常点：单独标出所有异常值 题型一 求一组数据的平均数 【例1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）随着人工智能的发展，智能机器人的应用越来越广泛．某工厂使用、两种型号机器人对零件进行质量检测，型机器人每检测一个零件需要3分钟，型号机器人每检测一个零件需要5分钟．某日，工厂随机抽取了型机器人检测的4个零件和型机器人检测的6个零件进行复检，则被抽检零件的平均检测时间为（   ） A．3.8分钟 B．4.2分钟 C．5分钟 D．5.25分钟 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（25-26八年级上·山东威海·期末）某学校八年级一班学生45人，二班学生50人．某次测试，一班的平均分是80分，二班的平均分是分，那么两个班的总平均分是________分（精确到）． 【变式3】（25-26九年级上·湖南益阳·期末）4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（   ） A． B． C． D． 题型二 已知平均数求未知数据的值 【例2】（25-26八年级上·河南周口·期末）若一组数据2，3，x，5，7的平均数为4，则________． 【变式1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）若一组数据4，5，，6，7的平均数是6，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D． 【变式2】（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表，被遮盖的数据是（    ） 日期 24日 25日 26日 27日 28日 五天的平均气温 最低气温 ■ A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·重庆合川·期中）一组数据的平均数是4，则__________． 题型三 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【例3】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）若样本的平均数为10，则对于样本，平均数为_______． 【变式1】（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据的平均数是____ 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期末）若一组数据，，…，的平均数为6，则数据，，…，的平均数为______． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）已知一组数据的平均数是2025，则另一组数据，，，的平均数是_______． 题型四 求加权平均数 【例4】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）学校抽查了30名学生参加社会实践活动的次数，并根据数据绘制成条形统计图，如图，则30名学生参加活动的平均次数是____次． 【变式1】（25-26八年级下·全国·期末）某文艺节目在舞蹈编排创意、舞者表现力、舞台视觉效果三项的得分分别为95，90，85（每项满分均为100分）．若依次按照，，的百分比确定最终得分，则该文艺节目最终得分为（     ） A．88分 B．89分 C．90分 D．91分 【变式2】（25-26八年级下·全国·期末）小明参加演讲比赛，他的演讲形象，内容，效果三项分别是9分，8分，8分，若将三项得分依次按的比例确定成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分． 【变式3】（25-26八年级下·全国·期末）在语文期末评卷中，某位老师根据评分标准从“符合题意、语言、篇章”三个方面对一份作文做出了二类卷的评判，他的评判依据是“符合题意，中心突出，内容充实”占；“语言通顺，偶有语病”占；“篇章、结构完整，条理较清楚”占，若某位同学这三项的成绩（百分制）依次为80分，85分，90分．则该同学最后得分为（     ） A．81分 B．84分 C．85分 D．86分 题型五 运用加权平均数做决策 【例5】（2025·山西·模拟预测）截至2025年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配送系统，工作人员对A，B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响程度越小，满分10分）： 型号 影响因素 城市环境 山地地形 天气 障碍物识别 A型 8 B型 9 9 平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按的比例确定无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是______型（填“A”或“B”）． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）小迪计划春节假期与家人去A、B、C三个景区游玩，为了选择一个最合适的景区，他对三个景区进行了调查与评估，并依据自然风光、特色美食、乡村民俗三个方面进行评分（10分制），如表所示： 景区 自然风光 特色美食 乡村民俗 A 10 7 7 B 9 7 8 C 8 6 9 小迪和家人按照他们认为的重要程度，把三个方面分别按照、、的比重计算总评分数以确定要去的景区，则他最终选择的景区是_____． 【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列)，他们的成绩如下(单位：分)． 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩，能否以此确定两人的名次？ (2)如果把内容、能力、效果的成绩按计算，请你确定两人的名次． 【变式3】（25-26八年级上·山东·期末）某美食平台对商家的评分包含四项，分别是口味、服务、性价比和环境．以下是A，B两个商家四项得分的情况： 商家 口味 服务 性价比 环境 A 4.5 4.7 4.2 4.8 B 4.8 4.3 4.1 4.5 如果某顾客将以上四项得分按计算后，选择得分高的商家，那么，他会选择商家______．（填“A”或“B”） 题型六 求中位数 【例6】（25-26八年级下·全国·期末）某班开展了法律知识竞赛．现随机抽取5名同学成绩进行分析，依次为：94，97，96，97，95，则这组数据的中位数、众数分别是（     ） A．95，97 B．97，97 C．97，96 D．96，97 【变式1】（2026·江苏无锡·三模）2026年5月9日“苏超”第五轮无锡队主场3∶1战胜泰州队，首发阵容平均年龄为25的11名球员的年龄分别为19、28、19、22、22、28、33、21、29、32、22，则这组数据的中位数和众数分别为（     ） A．28和3 B．28和22 C．33和3 D．22和22 【变式2】（25-26八年级下·全国·期末）为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现8名同学每周做家务的天数（单位：天）依次为3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的众数和中位数分别为（     ） A．5和5 B．7和5 C．5和7 D．6和5 【变式3】（2026·黑龙江双鸭山·二模）一组数据的中位数与平均数相同，则的值为（   ）． A． B． C．或 D．或 题型七 利用中位数求未知数据的值 【例7】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）一组数据1，3，5，8，的中位数是5，则下列的取值中，满足条件的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）若一组数据2， x， 4， 5， 6的中位数为4，则x的取值范围是______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）一组数据，1，，5，7，2中，若中位数恰好是，则整数的值可能为______． 题型八 求众数 【例8】（2026·云南普洱·二模）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学八年级开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从八年级学生的知识问答成绩中，随机抽取名学生的成绩进行统计分析，绘制的条形统计图如下： 这名学生成绩（单位：分）的众数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）数据2，3，5，5，6这组数据的众数是（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式2】（2026·河南平顶山·二模）郑州市某一周中每天最低气温情况如图所示，表示这周每天最低气温的七个数据的众数是________． 【变式3】（2026·安徽淮北·模拟预测）某校九年级（1）班全体学生在2026年初中毕业模拟体育考试的成绩统计如下表： 成绩（分） 40 48 52 54 55 58 60 人数（人） 2 5 6 6 8 6 7 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（     ） A．该班一共有40名同学 B．该班学生这次考试成绩的众数是55分 C．该班学生这次考试成绩的中位数是55分 D．该班学生这次考试成绩的平均数是55分 题型九 利用众数求未知数据的值 【例9】（21-22八年级下·江苏南通·期末）体育课上，某小组的五位同学测得“1分钟引体向上”个数的中位数是5，平均数是6，众数是4，该小组成绩最好的同学测得的个数不可能是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）若，，，，这组数据的众数是，则这组数据的中位数是_____． 【变式2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知一组数据1，2，4，6，x的众数是2，则这组数据的平均数是______． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 题型十 求离差平方和 【例10】（25-26八年级下·全国·期末）学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 【变式1】（25-26八年级下·全国·期末）下表是4名学生的数学测试成绩： 学生编号 1 2 3 4 成绩 / 分 72 80 85 93 将这些成绩按从低到高排列后，共有多少种不同的分法？请计算每种分法的组内离差平方和，并找出最优分组． 【变式2】（25-26八年级下·全国·期末）下表是 10 个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，组内离差平方和最小的分组位置是（ ） A．第3个间隔 B．第4个间隔 C．第5个间隔 D．第6个间隔 【变式3】（25-26八年级下·全国·期末）将10位求职者的综合测试成绩分成“优秀”和“一般”两组，不同的分法共有（    ） A．8 种 B．9 种 C．10 种 D．11 种 题型十一 离差平方和的应用 【例11】（25-26八年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）学校生物种植园中有盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近．将盆植物的株高（单位：）从小到大排序后分成两组，共有种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 则盆植物的最优分组序号是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________． 【变式3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 题型十二 求方差 【例12】（2026·广东清远·二模）在方差计算公式中，数据2026和25分别表示（     ） A．该组数据的个数和方差 B．该组数据的个数和平均数 C．该组数据的方差和个数 D．该组数据的平均数和个数 【变式1】（21-22八年级上·甘肃兰州·期末）已知数据，，，，，其中整数比这组数据的平均数大1，则该组数据的方差是____． 【变式2】（20-21七年级上·湖南张家界·期末）已知一组数据，，，，…，的平均数为2，方差为，那么另一组数据，，，，…，的平均数和方差分别是（    ） A．4， B．2，1 C．2， D．4，3 【变式3】（2026·山东青岛·一模）“双减”政策实施后，某校为了解学生课后服务参与情况，随机抽取了5名同学，记录他们一周内（周一至周五，每天最多参加1次）参加课后服务的次数（单位：次），数据如下：3，4，4，4，5，则这组数据的方差为________． 题型十三 利用方差求未知数的值 【例13】（25-26九年级下·河南驻马店·期中）已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 【变式1】（2017·福建南平·一模）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（2019·内蒙古呼和浩特·一模）小明用，计算一组数据的方差，那么______． 【变式3】（23-24八年级下·山东滨州·期末）如果已知一组数据的方差，那么的值为___________． 题型十四 利用方差判断稳定性 【例14】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）某剧院为吸引顾客，让扮演太乙真人、哪吒、敖丙、申公豹的四位工作人员进行投掷乾坤圈比赛，下表记录了四人测试（每人掷5次）的相关数据： 太乙真人 哪吒 敖丙 申公豹 平均距离/ 43 54 54 50 方差 6.4 3.2 3.5 4.8 根据表中数据，四人中成绩又好（扔得越远越好）又稳定的是（     ） A．太乙真人 B．哪吒 C．敖丙 D．申公豹 【变式1】（25-26八年级下·安徽淮北·期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 6.4 7.1 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】（25-26八年级下·北京·期末）某企业对员工进行综合素质测试，测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，评委给甲、乙的打分的折线图如图：则，根据图中信息，比较甲的方差与乙的方差的大小：___．（填“＞”“＝”或“＜”） 【变式3】（25-26八年级下·全国·期末）甲、乙、丙、丁四人参加射击训练，经过三组练习，他们的平均成绩都是9.5环，方差分别是，（     ）的成绩更稳定． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型一运用方差做决策 【例1】（2026·江苏徐州·二模）跳绳是体育中考选考科目之一．某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 206 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）某次歌咏比赛，前三名选手的成绩统计如下：（单位：分） 测试项目 测试成绩 小王 小李 小林 唱功 8 9 9 音乐常识 10 8 6 综合知识 8 9 10 (1)如果将唱功、音乐常识和综合知识三项测试成绩按的加权平均分排出冠军、亚军季军，则冠军、亚军、季军各是谁？ (2)通过计算方差，谁的成绩最稳定？ 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）班级准备推选一名同学参加学校演讲比赛，在三轮班级预选赛中，甲、乙、丙、丁四名同学三轮预选赛成绩的平均数与方差如表： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 97 97 97 97 方差 0.36 0.25 1 0.64 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的同学参赛，应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式3】（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）某校从甲、乙两名优秀选手中选一名参加全市中小学生运动会的男子100米跑项目，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 甲的成绩(秒) 12 12.3 13 12.9 13.1 12.5 12.4 12.6 乙的成绩(秒) 12.1 12.4 12.8 13 12.2 12.7 12.3 12.5 已知甲运动员8次测试的平均成绩秒，乙运动员8次测试的方差． (1)则乙运动员的8次测试的平均成绩 秒． (2)求甲运动员的8次测试成绩的方差． (3)请从平均数、中位数、方差角度，评价两位选手的成绩，并挑选出市中小学运动会的参加选手． 题型二 求四分位数 【例2】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图是嘉淇某月1号到6号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的下四分位数是____分钟． 【变式1】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第三四分位数是（     ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 【变式2】（25-26八年级下·全国·期末）据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下： 鞋号 20 21 22 23 24 频数 1 8 6 14 1 则该班学生所穿鞋子鞋号的上四分位数和众数分别是（     ） A．22，23 B．23，23 C．6，14 D．22.5，14 【变式3】（25-26八年级下·河南濮阳·期末）已知4名学生的期中考试数学成绩（单位：分）按照从小到大排列分别为98，110，m，120，且第三四分位数为118，则m的值为___________． 题型三 画箱线图 【例3】（25-26八年级下·浙江·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 【变式1】（25-26八年级下·全国·期末）某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． 【变式2】（25-26八年级下·全国·期末）甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数 (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数据的分析 一、平均数 ◆1、平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的平均数． 记作：“”，读作：“x 拔”． ◆2、加权平均数： （1）加权平均数：①若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则 叫做这n个数的加权平均数． ②在求 n 个数的平均数时，如果 x1出现 f1次，x2 出现 f2 次，…，xk 出现 f k 次(这里 f1 +f2+…+f k = n)，那么这 n 个数的加权平均数为， 其中f1，f2，f3，…，fn 分别叫做x1，x2，x3，…，xn的权. （2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． （3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． （5）算术平均数与加权平均数的区别与联系： 区别：① 算术平均数中各数据都是同等重要，没有相互间差异； ② 加权平均数中各数据都有各自不同的权重地位. 联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 二、中位数和众数 ◆1、中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． ◆2、中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． ◆3、中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． ◆4、众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 【注意】（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中． （2）一组数据的众数可能不止一个. 如 1，1，2，3，3，5 中众数是 1 和 3． （3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是 1 而不是 3． 统计量 意义 优点 缺点 简单易错点 平均数 代表数据整体平均水平 用到所有数据，信息最全 易受极端值（偏大 / 偏小）影响 极端值会把平均拉高或拉低 中位数 代表数据中等水平（中间位置） 不受极端值影响，稳定性好 只看位置，没用到全部数据 要先排序，奇数 / 偶数个数算法不同 众数 代表数据最常出现的数值 不受极端值影响，直观 可能没有或不止一个，不能反映整体 众数可以多个，没有众数也正常 三、离差平方和 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 四、方差 ◆1.离差：一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，我们把xi （i=1,2，…，n）叫做xi 关于平均数的离差. ◆2.方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数 ”）其中x1）2+（x2）2+…+（xn）2 叫做这n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d²” ◆3.求方差的方法：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”. ◆4.方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． ◆5.用样本方差估计总体方差 用样本方差估计总体方差:在实际问题中，与用样本平均数估计总体平均数一样，我们也常用样本方差估计总体方差 提示: (1) 样本数据越多，统计的工作量也越大，一般根据实际需要选取适当的样本数据； (2) 一般地，在平均数相同的情况下，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大； (3)在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度. 五、四分位数与箱线图 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图 六、箱线图 绘制步骤 1、排序：数据从小到大排列 2、算五数：求最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 3、找异常值：计算 IQR=Q3-Q1，标记超出Q1-1.5IQR或Q3+1.5IQR的点 4、画箱体：以 Q1、Q3 为边界画矩形，中间画中位数线 5、画须：从箱体两端连到非异常值的最值 6、标异常点：单独标出所有异常值 题型一 求一组数据的平均数 【例1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）随着人工智能的发展，智能机器人的应用越来越广泛．某工厂使用、两种型号机器人对零件进行质量检测，型机器人每检测一个零件需要3分钟，型号机器人每检测一个零件需要5分钟．某日，工厂随机抽取了型机器人检测的4个零件和型机器人检测的6个零件进行复检，则被抽检零件的平均检测时间为（   ） A．3.8分钟 B．4.2分钟 C．5分钟 D．5.25分钟 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数的实际应用，需先计算两种型号机器人检测零件的总时间，再除以总零件数得到平均检测时间． 【详解】∵A型机器人4个零件总检测时间为分钟，B型机器人6个零件总检测时间为分钟， ∴检测零件的总时间为分钟，总零件数为个， ∴平均检测时间为分钟． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查算术平均数的计算，根据算术平均数的定义，将所有数据求和后除以数据的个数即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得这组数据的平均数为， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·山东威海·期末）某学校八年级一班学生45人，二班学生50人．某次测试，一班的平均分是80分，二班的平均分是分，那么两个班的总平均分是________分（精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了平均数的求解，先计算两个班的总分数和总人数，再求总平均分，最后精确到分即可． 【详解】解：一班总分数为（分）， 二班总分数为（分）， 两个班总分数为（分）， 总人数为（人）， 总平均分为（分）， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·湖南益阳·期末）4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是求解平均数，利用样本估计总体，求解数据的平均数即可． 【详解】解：， 本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为． 故选：B 题型二 已知平均数求未知数据的值 【例2】（25-26八年级上·河南周口·期末）若一组数据2，3，x，5，7的平均数为4，则________． 【答案】3 【分析】根据平均数的定义，通过列一元一次方程求解未知数x的值． 【详解】解：∵一组数据2，3，x，5，7的平均数为4， ∴根据平均数的计算公式可得， 去分母，得 计算得 移项，得 解得， 故答案为：3． 【变式1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）若一组数据4，5，，6，7的平均数是6，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平均数的计算，正确进行计算是解题关键． 根据平均数的定义，可得5个数相加为，再减去其他数，即可求得． 【详解】解：若一组数据4，5，，6，7的平均数是6， 数据个数为5，平均数为6， 总和为， ． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表，被遮盖的数据是（    ） 日期 24日 25日 26日 27日 28日 五天的平均气温 最低气温 ■ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平均值的实际应用，设28日气温为，再根据平均值的计算列出方程求解即可． 【详解】设28日气温为， ∵ 五天的平均气温为， ∴ ，解得， 所以被遮盖的数据为． 故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·重庆合川·期中）一组数据的平均数是4，则__________． 【答案】3 【分析】此题考查了平均数的定义，根据平均数的定义，所有数据之和除以数据的个数等于平均数，据此构建方程求解． 【详解】∵一组数据的平均数是4， ∴ ∴． 故答案为：3． 题型三 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【例3】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）若样本的平均数为10，则对于样本，平均数为_______． 【答案】7 【分析】根据平均数的定义，先由原样本平均数求出原样本总和，再计算新样本的总和，最后求出新样本的平均数． 【详解】解：∵样本的平均数为10， ∴根据平均数的定义可得：，则， 对于样本，其平均数为： ． 【变式1】（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据的平均数是____ 【答案】 【分析】本题考查了平均数，根据平均数的定义可得，则数据，，的平均数为，即可求解． 【详解】解：数据，，的平均数是， ， ， 则数据，，的平均数为 ． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期末）若一组数据，，…，的平均数为6，则数据，，…，的平均数为______． 【答案】15 【分析】本题考查了平均数，根据“如果一组数据，，，的平均数为，那么另一组数据，，，的平均数为”，求解即可． 【详解】解：∵数据，，…，的平均数是6， ∴数据，，…，平均数为， 故答案为：15． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）已知一组数据的平均数是2025，则另一组数据，，，的平均数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了求平均数．利用平均数的定义，先求出原数据之和，再计算新数据之和，最后求新平均数． 【详解】解：原数据平均数为2025，数据个数为4，故原数据之和为． 新数据为，，，， 其和为． 新平均数为． 故答案为：． 题型四 求加权平均数 【例4】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）学校抽查了30名学生参加社会实践活动的次数，并根据数据绘制成条形统计图，如图，则30名学生参加活动的平均次数是____次． 【答案】 3 【分析】利用加权平均数的计算公式进行计算即可. 【详解】解：30名学生参加活动的平均次数是（次）. 【变式1】（25-26八年级下·全国·期末）某文艺节目在舞蹈编排创意、舞者表现力、舞台视觉效果三项的得分分别为95，90，85（每项满分均为100分）．若依次按照，，的百分比确定最终得分，则该文艺节目最终得分为（     ） A．88分 B．89分 C．90分 D．91分 【答案】D 【分析】利用各项的得分乘以其所占的百分比，然后相加即可得． 【详解】解：由题意得，最终得分为（分）． 【变式2】（25-26八年级下·全国·期末）小明参加演讲比赛，他的演讲形象，内容，效果三项分别是9分，8分，8分，若将三项得分依次按的比例确定成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分． 【答案】8.3 【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得（分）， 故小明的最终比赛成绩为8.3分． 【变式3】（25-26八年级下·全国·期末）在语文期末评卷中，某位老师根据评分标准从“符合题意、语言、篇章”三个方面对一份作文做出了二类卷的评判，他的评判依据是“符合题意，中心突出，内容充实”占；“语言通顺，偶有语病”占；“篇章、结构完整，条理较清楚”占，若某位同学这三项的成绩（百分制）依次为80分，85分，90分．则该同学最后得分为（     ） A．81分 B．84分 C．85分 D．86分 【答案】C 【分析】根据各部分的权重和对应成绩，按照加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：∵三个考查方面的权重分别为，，，对应成绩依次为80分，85分，90分． ∴该同学最后得分（分）． 题型五 运用加权平均数做决策 【例5】（2025·山西·模拟预测）截至2025年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配送系统，工作人员对A，B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响程度越小，满分10分）： 型号 影响因素 城市环境 山地地形 天气 障碍物识别 A型 8 B型 9 9 平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按的比例确定无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是______型（填“A”或“B”）． 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数的应用．根据加权平均数的计算公式分别计算A、B两种型号无人机的综合得分，再通过比较得分大小确定应选择的型号． 【详解】解：根据加权平均数的计算公式： A型无人机的综合得分：（分） B型无人机的综合得分：（分） ∵，且评分越高影响程度越小， ∴平台应选择B型无人机． 故答案为：B． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）小迪计划春节假期与家人去A、B、C三个景区游玩，为了选择一个最合适的景区，他对三个景区进行了调查与评估，并依据自然风光、特色美食、乡村民俗三个方面进行评分（10分制），如表所示： 景区 自然风光 特色美食 乡村民俗 A 10 7 7 B 9 7 8 C 8 6 9 小迪和家人按照他们认为的重要程度，把三个方面分别按照、、的比重计算总评分数以确定要去的景区，则他最终选择的景区是_____． 【答案】A 【分析】本题考查加权平均数的计算，分别计算每个景区的加权平均分，比较后确定最高分的景区即可得出答案． 【详解】解：景区A的总评分：； 景区B的总评分：； 景区C的总评分：； ∵， ∴景区A总分最高， ∴他最终选择的景区是A． 故答案为：A． 【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列)，他们的成绩如下(单位：分)． 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩，能否以此确定两人的名次？ (2)如果把内容、能力、效果的成绩按计算，请你确定两人的名次． 【答案】(1)甲的平均成绩为分，乙的平均成绩为分，不能确定两人的名次； (2)甲为第一名，乙为第二名． 【分析】本题考查算术平均数与加权平均数的计算及实际应用．关键是掌握算术平均数和加权平均数的计算公式，理解不同权重对结果的影响． 解题思路：根据算术平均数的计算公式，分别求出甲、乙两名选手的平均成绩，若平均成绩相等则无法确定名次； 解题思路：根据加权平均数的计算公式，按照的权重分别计算甲、乙的加权平均成绩，比较成绩大小确定名次． 【详解】（1）解：甲的平均成绩为(分)； 乙的平均成绩为(分)； ∵甲、乙两名选手的平均成绩相同， ∴不能以此确定两人的名次； （2）解：根据题意，权重总和为， 甲的加权平均成绩为(分)； 乙的加权平均成绩为(分)； ∵， ∴甲为第一名，乙为第二名． 【变式3】（25-26八年级上·山东·期末）某美食平台对商家的评分包含四项，分别是口味、服务、性价比和环境．以下是A，B两个商家四项得分的情况： 商家 口味 服务 性价比 环境 A 4.5 4.7 4.2 4.8 B 4.8 4.3 4.1 4.5 如果某顾客将以上四项得分按计算后，选择得分高的商家，那么，他会选择商家______．（填“A”或“B”） 【答案】A 【分析】本题考查了加权平均数．根据加权平均数的概念，按照给定的权重比例计算商家A和B的综合得分，并比较大小． 【详解】解：商家A的加权总分：， 综合得分为； 商家B的加权总分：， 综合得分为； 因为， 因此顾客会选择商家A， 故答案为：A． 题型六 求中位数 【例6】（25-26八年级下·全国·期末）某班开展了法律知识竞赛．现随机抽取5名同学成绩进行分析，依次为：94，97，96，97，95，则这组数据的中位数、众数分别是（     ） A．95，97 B．97，97 C．97，96 D．96，97 【答案】D 【分析】中位数是将数据按大小排序后位于中间位置的数，众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：将这组数据从小到大排序得：，，，，， ∵数据共有个，个数为奇数， ∴中位数是排序后的第个数，即； ∵在这组数据中出现次，出现次数最多， ∴众数是， 因此这组数据的中位数、众数分别是，． 【变式1】（2026·江苏无锡·三模）2026年5月9日“苏超”第五轮无锡队主场3∶1战胜泰州队，首发阵容平均年龄为25的11名球员的年龄分别为19、28、19、22、22、28、33、21、29、32、22，则这组数据的中位数和众数分别为（     ） A．28和3 B．28和22 C．33和3 D．22和22 【答案】D 【分析】先将数据按从小到大排序，再根据定义分别求出中位数和众数即可． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序，得 ， ∵这组数据共个，为奇数个，中位数是排序后最中间的数即第个数， ∴ 中位数为， ∵在这组数据中出现次数最多， ∴众数为， 因此这组数据的中位数和众数分别为和． 【变式2】（25-26八年级下·全国·期末）为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现8名同学每周做家务的天数（单位：天）依次为3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的众数和中位数分别为（     ） A．5和5 B．7和5 C．5和7 D．6和5 【答案】A 【分析】根据概念先对数据排序，再分别计算众数和中位数即可，众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数需先排序，若数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数． 【详解】解：将这组数据从小到大重新排列为 ，，，，，，，． ∵数据中出现次数最多， ∴这组数据的众数为． ∵这组数据共个，个数为偶数，中位数为中间两个数的平均数，即第个和第个数的平均数， ∴中位数为． 因此这组数据的众数和中位数分别为和． 【变式3】（2026·黑龙江双鸭山·二模）一组数据的中位数与平均数相同，则的值为（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查中位数和平均数的计算，利用分类讨论的思想，根据这组数据的中位数与平均数相同，列出关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：分三种情况进行讨论， ①当时，平均数，中位数， 可得：，解得：， ②当时，平均数，中位数， 可得：，解得：， ③当时，平均数，中位数， 可得：，解得：，（不合题意，舍去）， ∴可取． 题型七 利用中位数求未知数据的值 【例7】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中位数的定义．需根据中位数概念，结合数据排序后中位数为6的条件确定a的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵中位数的定义是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，则中位数为中间位置的数；若为偶数，则为中间两个数的平均数． ∵这组数据共5个（奇数个），中位数为排序后的第3个数，且题目规定中位数为6． 将已知数据从小到大排列：2，4，6，8． 要使排序后第3个数为6，则． 观察选项，只有D选项的6满足的条件． 故选：D 【变式1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）一组数据1，3，5，8，的中位数是5，则下列的取值中，满足条件的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中位数的定义； 根据奇数个数据的中位数概念，确定的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵中位数定义为：将数据从小到大排列后，奇数个数据的中位数是中间位置的数， ∵这组数据共5个，中位数是5， ∴将数据从小到大排列后，第3个数必须为5， ∴需满足， ∵选项中仅符合条件， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）若一组数据2， x， 4， 5， 6的中位数为4，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义． 根据中位数的定义，将数据按从小到大排序后，第三个数即为中位数．已知中位数为4，因此排序后第三个数必须为4． 【详解】解：数据由5个数组成，排序后第三个数为中位数4， 已知数据中有2、4、5、6，其中2小于4，5和6大于4． 要保证4在第三位，需至少有两个数小于或等于4． 由于2已满足小于4，故x必须小于或等于4． 因此x的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）一组数据，1，，5，7，2中，若中位数恰好是，则整数的值可能为______． 【答案】2或3或4或5 【分析】根据中位数的定义，将数据排序后，中位数为中间两个数的平均值，设其等于，结合数据中的固定值，求解整数的可能值． 本题考查了中位数的定义，根据中位数的定义分析判断即可． 【详解】解：数据，，，，，中，若中位数恰好是， 则数据按大小排序为：，，，，，， 则，且为整数， ∴整数可能是，，，， 故答案为：或或或． 题型八 求众数 【例8】（2026·云南普洱·二模）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学八年级开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从八年级学生的知识问答成绩中，随机抽取名学生的成绩进行统计分析，绘制的条形统计图如下： 这名学生成绩（单位：分）的众数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据众数的计算方法求解即可. 【详解】解：由条形统计图可知7分出现次数最多，即众数是分． 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）数据2，3，5，5，6这组数据的众数是（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】众数就是一组数据中出现次数最多的数据，根据定义即可确定． 【详解】解：数据2，3，5，5，6中5出现2次，出现的次数最多，因而众数是5． 【变式2】（2026·河南平顶山·二模）郑州市某一周中每天最低气温情况如图所示，表示这周每天最低气温的七个数据的众数是________． 【答案】15 【分析】根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据，观察图中的数据，确定答案． 【详解】解：由图可知，表示这周每天最低气温的七个数据中，13，14，16，17，18各出现了一次，15出现了两次，显然15出现的次数最多，所以表示这周每天最低气温的七个数据的众数是15． 【变式3】（2026·安徽淮北·模拟预测）某校九年级（1）班全体学生在2026年初中毕业模拟体育考试的成绩统计如下表： 成绩（分） 40 48 52 54 55 58 60 人数（人） 2 5 6 6 8 6 7 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（     ） A．该班一共有40名同学 B．该班学生这次考试成绩的众数是55分 C．该班学生这次考试成绩的中位数是55分 D．该班学生这次考试成绩的平均数是55分 【答案】D 【分析】根据表格信息，结合总人数、众数、中位数、平均数的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A．该班总人数为 ，故A选项结论正确，不符合题意； B．成绩为55分的人数最多，为8人，即该班成绩的众数是55分，故B选项结论正确，不符合题意； C．40个数据从小到大排列后，中位数是第20和第21个数据的平均数，前四个成绩的总人数为 ，可得第20和第21个数据都是55分，∴ 中位数为 分，故C选项结论正确，不符合题意； D．计算平均数得：，即平均数不是55分，故D选项结论错误，符合题意． 题型九 利用众数求未知数据的值 【例9】（21-22八年级下·江苏南通·期末）体育课上，某小组的五位同学测得“1分钟引体向上”个数的中位数是5，平均数是6，众数是4，该小组成绩最好的同学测得的个数不可能是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】根据定义设出五个数据，结合条件推出最大数的取值范围，即可判断． 【详解】解：设五位同学测得的个数从小到大依次为， ∵共有个数据，中位数为， ∴第三个数， ∵众数是， ∴至少出现次， ∴， ∵平均数是， ∴五个数据的和为， ∴，整理得，即， ∵数据从小到大排列，且， ∴，且， 当和时，则数据中有两个4，两个5和两个，与众数是4不符合， ∴，且，即， 且， ∵， ∴，即， ∴， ∵是正整数， ∴可取， 则对应为， ∴成绩最好的同学测得的个数不可能是． 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）若，，，，这组数据的众数是，则这组数据的中位数是_____． 【答案】 【分析】本题考查众数和中位数的概念．熟悉众数和中位数的概念是解题的关键．众数是，说明出现次数最多，因此的值为，将数据从小到大排列后，中位数为第三个数． 【详解】解：数据的众数是，则的值为， 将数据从小到大排列为：， 中间的数是，因此中位数是． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知一组数据1，2，4，6，x的众数是2，则这组数据的平均数是______． 【答案】3 【分析】根据众数的定义，x必须是2，从而确定数据组，再计算平均数． 本题考查了众数、平均数，熟练掌握众数、平均数的定义以及求解方法是解题的关键． 【详解】解：∵数据1，2，4，6，x的众数是2， ∴， ∴这组数据为1，2，4，6，2， 其平均数为， 故答案为：3． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查平均数，众数，掌握相关的概念和计算方法是解题的关键． 通过计算数据的平均数和众数，并令它们相等，求解x的值．众数为出现次数最多的数，需根据x的取值讨论． 【详解】解：数据的平均数为． ∵平均数和众数相等， ∴需使众数等于平均数． 当时，数据为6,8,8,10，众数为8，平均数为，两者相等． 当时，众数为6，平均数为7.5，不相等． 当时，众数为10，平均数为8.5，不相等． 当时，数据无众数或众数不唯一，平均数为9，与任何数都不等． ∴． 故选：B． 题型十 求离差平方和 【例10】（25-26八年级下·全国·期末）学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题根据组内离差平方和的定义求解，分别计算两组的组内离差平方和，再相加即可得到结果． 【详解】首先计算第一组的离差平方和 ， 第一组的平均数， 第一组离差平方和， 再计算第二组的离差平方和， 第二组的平均数， 第二组离差平方和， 总组内离差平方和为 ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·期末）下表是4名学生的数学测试成绩： 学生编号 1 2 3 4 成绩 / 分 72 80 85 93 将这些成绩按从低到高排列后，共有多少种不同的分法？请计算每种分法的组内离差平方和，并找出最优分组． 【答案】共有3种不同的分法．最优分组是和． 【分析】根据成绩按从低到高排列，然后再按第1个间隔，第2个间隔，第3个间隔分组，然后分别求出对应的组内离差平方和，比较即可得出答案． 【详解】解：步骤1：将成绩按从低到高排列：72，80，85，93． 步骤 2：共有种不同的分法． 步骤 3：计算每种分法的组内离差平方和： 分法1（第1个间隔）：和； 第一组离差平方和； 第二组平均数：，离差平方和：； 组内离差平方和：． 分法2（第2个间隔）：和； 第一组平均数：，离差平方和：； 第二组平均数：，离差平方和：； 组内离差平方和：． 分法3（第3个间隔）：和； 第一组平均数，离差平方和：； 第二组离差平方和0；组内离差平方和． 步骤 4：比较组内离差平方和，64最小， 答：共有3种不同的分法；最优分组是和． 【变式2】（25-26八年级下·全国·期末）下表是 10 个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，组内离差平方和最小的分组位置是（ ） A．第3个间隔 B．第4个间隔 C．第5个间隔 D．第6个间隔 【答案】B 【分析】根据第4个间隔对应的数值290.8是所有分法中最小的组内离差平方和求解即可． 【详解】解：观察上表最后一列 “组内离差平方和”，可以发现第4个间隔对应的数值290.8是所有分法中最小的． 【变式3】（25-26八年级下·全国·期末）将10位求职者的综合测试成绩分成“优秀”和“一般”两组，不同的分法共有（    ） A．8 种 B．9 种 C．10 种 D．11 种 【答案】B 【分析】根据每个间隔都可以作为分组的界限，因此分法数量等于间隔数量． 【详解】解：每个间隔都可以作为分组的界限，因此分法数量等于间隔数量． 10个数据有9个间隔，所以有9种不同的分法． 题型十一 离差平方和的应用 【例11】（25-26八年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）学校生物种植园中有盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近．将盆植物的株高（单位：）从小到大排序后分成两组，共有种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 则盆植物的最优分组序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了离差平方和的定义（离差平方和是各数据与它们平均数之差的平方和），根据组内离差平方和的定义（组内离差平方和是指每组数据的离差平方和），最优分组应使组内离差平方和最小，直接比较表中各序号对应值即可． 【详解】解：组内离差平方和越小表示同组株高越接近， 比较表中值，序号的组内离差平方和最小为，为最优分组， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________． 【答案】 8 【分析】本题考查了方差的求解，解决本题的关键是熟练掌握方差与离差平方和的关系． 方差是离差平方和除以数据个数，根据给定条件直接计算即可． 【详解】解：数据个数，离差平方和， ∴方差． 故答案为：8． 【变式3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 【答案】离差平方和为2，乙组同学的比赛成绩更稳定． 【分析】本题考查了求离差平方和，根据离差平方和判断稳定性． 先求出乙组同学进球个数的平均数，再求出乙组同学进球个数的离差平方和，根据离差平方和判断即可． 【详解】解：乙组同学进球个数的平均数为（个）， ∴乙组同学进球个数的离差平方和为． ∵，甲、乙两组人数相同， ∴乙组同学的比赛成绩更稳定． 题型十二 求方差 【例12】（2026·广东清远·二模）在方差计算公式中，数据2026和25分别表示（     ） A．该组数据的个数和方差 B．该组数据的个数和平均数 C．该组数据的方差和个数 D．该组数据的平均数和个数 【答案】B 【分析】根据方差的定义对比判断即可． 【详解】解：方差的标准计算公式为 ， ∵公式中表示该组数据的个数，表示该组数据的平均数， ∴对比题目给出的方差公式，可得对应公式中的，是该组数据的个数，对应公式中的，是该组数据的平均数， 故选B符合题意． 【变式1】（21-22八年级上·甘肃兰州·期末）已知数据，，，，，其中整数比这组数据的平均数大1，则该组数据的方差是____． 【答案】 【分析】根据平均数确定出后，再根据方差的公式计算方差即可． 【详解】解：由平均数的公式得：， 解得， 所以平均数为， 则方差． 【变式2】（20-21七年级上·湖南张家界·期末）已知一组数据，，，，…，的平均数为2，方差为，那么另一组数据，，，，…，的平均数和方差分别是（    ） A．4， B．2，1 C．2， D．4，3 【答案】D 【分析】当数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数(或除以一个数)时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．根据数据的变化和其平均数及方差的变化规律求得新数据的平均数及方差即可． 【详解】解：数据，，，，…，的平均数为2， 数据，，，，…，的平均数是； 数据，，，…的方差为， 数据，，，，…，的方差是． 【变式3】（2026·山东青岛·一模）“双减”政策实施后，某校为了解学生课后服务参与情况，随机抽取了5名同学，记录他们一周内（周一至周五，每天最多参加1次）参加课后服务的次数（单位：次），数据如下：3，4，4，4，5，则这组数据的方差为________． 【答案】0.4 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的计算公式代入计算即可得到结果. 【详解】解：， ∴. 题型十三 利用方差求未知数的值 【例13】（25-26九年级下·河南驻马店·期中）已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 【答案】A 【分析】根据方差的定义，从题给方差表达式中可得到这组数据的个数和平均数，再计算总和即可得到结果． 【详解】解：∵方差的计算公式为，其中是数据的个数，是这组数据的平均数， 对比题中给出的方差， 可得数据个数，这组数据的平均数， ∴这组数据的总和为． 【变式1】（2017·福建南平·一模）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了方差的性质，利用方差的性质：一组连续整数的方差相同。第一组数据若要方差与第二组（连续整数）相等，则其也需为连续整数，从而确定x的值． 【详解】解：∵第二组数据5，6，7，8，9是连续整数，方差为固定值， 又∵第一组数据2，3，4，5，x的方差与第二组相等， ∴第一组数据也应为连续整数， 当时，数据为1，2，3，4，5，是连续整数， 当时，数据为2，3，4，5，6，是连续整数， ∴x的值为1或6． 故选：C． 【变式2】（2019·内蒙古呼和浩特·一模）小明用，计算一组数据的方差，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了方差计算公式，一组数据的平均数为，那么它的方差为，据此可得这组数据的平均数，进而可得答案． 【详解】解：由题意得，这10个数据的平均数为3， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·山东滨州·期末）如果已知一组数据的方差，那么的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，利用方差求未知数据的值，解题关键是理解方差的公式． 先根据方差公式得出平均数，再利用平均数求出． 【详解】解：∵一组数据的方差， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型十四 利用方差判断稳定性 【例14】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）某剧院为吸引顾客，让扮演太乙真人、哪吒、敖丙、申公豹的四位工作人员进行投掷乾坤圈比赛，下表记录了四人测试（每人掷5次）的相关数据： 太乙真人 哪吒 敖丙 申公豹 平均距离/ 43 54 54 50 方差 6.4 3.2 3.5 4.8 根据表中数据，四人中成绩又好（扔得越远越好）又稳定的是（     ） A．太乙真人 B．哪吒 C．敖丙 D．申公豹 【答案】B 【分析】平均数反映了一组数据中各数据的平均大小，方差反映了这组数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量．题目要求成绩又好（扔得越远越好）又稳定的，需选择平均数较大的，若平均数相等，需比较方差，方差较小的成绩较稳定，即可求解． 【详解】解：由题意可知，哪吒与敖丙的平均成绩最高，均为54m，而哪吒的方差小于敖丙的方差，说明哪吒的成绩较稳定，由此可知哪吒的成绩又好（扔得越远越好）又稳定． 【变式1】（25-26八年级下·安徽淮北·期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 6.4 7.1 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查平均数和方差的意义，平均数越大代表整体成绩越好，方差越小代表发挥越稳定，先比较平均数筛选出成绩好的运动员，再比较方差即可选出符合要求的人选． 【详解】解：∵ ， ∴ 从甲和丙中选择一人参加比赛； ∵ ，方差越小发挥越稳定， ∴ 甲成绩好且发挥稳定，应选择甲． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期末）某企业对员工进行综合素质测试，测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，评委给甲、乙的打分的折线图如图：则，根据图中信息，比较甲的方差与乙的方差的大小：___．（填“＞”“＝”或“＜”） 【答案】 【分析】观察统计图可知数据的波动性，根据方差越小数据越稳定解答即可． 【详解】解：由折线统计图可知，甲的得分的波动比乙大，所以甲的方差大于乙的方差，即． 【变式3】（25-26八年级下·全国·期末）甲、乙、丙、丁四人参加射击训练，经过三组练习，他们的平均成绩都是9.5环，方差分别是，（     ）的成绩更稳定． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查方差的性质．方差用来衡量数据的波动程度，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，比较四人方差的大小即可得到结果． 【详解】解：平均成绩相同时，方差越小成绩越稳定， 又 ， 甲的方差最小，甲的成绩更稳定． 题型一运用方差做决策 【例1】（2026·江苏徐州·二模）跳绳是体育中考选考科目之一．某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 206 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查平均数和方差的意义，平均数越大代表平均成绩越好，方差越小代表数据波动越小，发挥越稳定，先比较平均数选出成绩好的对象，再比较方差确定发挥稳定的对象即可． 【详解】解：∵乙和丁的平均数为，大于甲的和丙的， ∴乙和丁的平均成绩更好， 又∵乙的方差为，小于丁的方差， ∴乙的发挥比丁更稳定， ∴应选择乙参加比赛． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）某次歌咏比赛，前三名选手的成绩统计如下：（单位：分） 测试项目 测试成绩 小王 小李 小林 唱功 8 9 9 音乐常识 10 8 6 综合知识 8 9 10 (1)如果将唱功、音乐常识和综合知识三项测试成绩按的加权平均分排出冠军、亚军季军，则冠军、亚军、季军各是谁？ (2)通过计算方差，谁的成绩最稳定？ 【答案】(1)冠军是小李，亚军是小王，季军是小林 (2)小李的成绩最稳定 【分析】（1）先分别计算三人的加权平均分，比较大小后确定名次； （2）计算三人成绩的方差后比较得出结论． 【详解】（1）解：小王的加权平均分：（分）， 小李的加权平均分：（分）， 小林的加权平均分：（分）， ， 冠军是小李，亚军是小王，季军是小林； （2）解：小王的平均成绩：，小王的方差：， 小李的平均成绩：，小李的方差：， 小林的平均成绩：，小林的方差：， ，方差越小成绩越稳定 小李的成绩最稳定． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）班级准备推选一名同学参加学校演讲比赛，在三轮班级预选赛中，甲、乙、丙、丁四名同学三轮预选赛成绩的平均数与方差如表： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 97 97 97 97 方差 0.36 0.25 1 0.64 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的同学参赛，应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：∵四名同学的平均数相同，乙的方差最小， ∴选择乙同学参赛． 【变式3】（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）某校从甲、乙两名优秀选手中选一名参加全市中小学生运动会的男子100米跑项目，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 甲的成绩(秒) 12 12.3 13 12.9 13.1 12.5 12.4 12.6 乙的成绩(秒) 12.1 12.4 12.8 13 12.2 12.7 12.3 12.5 已知甲运动员8次测试的平均成绩秒，乙运动员8次测试的方差． (1)则乙运动员的8次测试的平均成绩 秒． (2)求甲运动员的8次测试成绩的方差． (3)请从平均数、中位数、方差角度，评价两位选手的成绩，并挑选出市中小学运动会的参加选手． 【答案】(1)12.5 (2)0.125 (3)选乙，评价见解析 【分析】（1）根据平均数的定义解答即可； （2）根据方差的公式计算即可； （3）分别比较两位选手的平均数、中位数、方差即可． 【详解】（1）解：（秒）； （2）解：； （3）解：选乙，理由如下： 甲的平均数是12.6，乙的平均数是12.5；甲的方差是0.125，乙的方差是0.085；甲成绩的中位数是12.55，乙成绩的中位数是12.45；由上述统计量可知，乙的成绩比较稳定，从平均数和中位数来看，也是乙成绩较好，故选乙参加． 题型二 求四分位数 【例2】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图是嘉淇某月1号到6号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的下四分位数是____分钟． 【答案】40 【分析】从折线统计图中提取1号到6号每天的体育锻炼时间，得到6个原始数据，将提取到的6个数据按照从小到大的顺序排列，根据下四分位数的计算方法，计算，其中，，根据是否为整数，选择对应方法确定下四分位数． 【详解】从折线图读取1号到6号锻炼时间（单位：分钟）为：， 从小到大排序得：，共个数据， 下四分位数是第25百分位数，位置， 根据计算规则，不是整数时，向上取整，取排序后第2个数据，因此该组数据的下四分位数为． 【变式1】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第三四分位数是（     ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据位于数据序列位置处的数，也称为上四分位数，通过排序、计算位置、确定对应数据三步求解． 【详解】解：数据重新排序为：5，5，6，7，8，9， ∵第三四分位数即第75%位置的数，， 当计算结果为非整数时，取比该数大的最小整数对应的位置，即第5个数据， ∴这组数据的第三四分位数是第5个数8． 【变式2】（25-26八年级下·全国·期末）据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下： 鞋号 20 21 22 23 24 频数 1 8 6 14 1 则该班学生所穿鞋子鞋号的上四分位数和众数分别是（     ） A．22，23 B．23，23 C．6，14 D．22.5，14 【答案】B 【详解】解：由表格可知鞋号23的频数最大，为14，因此众数为23， ∵共有30个数据，上四分位数的位置为， ∴i不是整数，向上取整得，取第23个数据作为上四分位数； 将数据从小到大排列，计算累计频数可得，前15个数据均不大于22，第16到第29个数据均为23，因此第23个数据为23，即上四分位数为23． 【变式3】（25-26八年级下·河南濮阳·期末）已知4名学生的期中考试数学成绩（单位：分）按照从小到大排列分别为98，110，m，120，且第三四分位数为118，则m的值为___________． 【答案】116 【分析】先根据数据个数确定第三四分位数的计算方式，再结合已知排好序的数据列方程求解即可． 【详解】解：由题意，数据个数，计算第三四分位数的位置， 因此第三四分位数为排序后第个数据与第个数据的平均数． 已知数据已按从小到大排序为，因此可得 ， 解得． 题型三 画箱线图 【例3】（25-26八年级下·浙江·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 【答案】③ 【分析】 根据箱线图的信息解答即可． 【详解】 解：箱线图的箱体越窄、数据分布越集中，方差越小．甲班的箱线图最紧凑，所以方差最小，①正确； 乙班的箱线图的须最长，数据分布最分散，波动最大，②正确； 丙班的中位数（箱体中间的线）大于80，说明有一半以上的学生得分，所以得分低于80的人数少于得分高于80的人数，③错误； 每班42人，第11名是从高到低排列的第11个，属于上四分位数（前），丙班的上四分位数（箱体的上沿）最高，所以丙班的第11名分数最高，④正确． 故答案为：③． 【变式1】（25-26八年级下·全国·期末）某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． 【答案】(1)最小值是60，第一四分位数是70，中位数是，第三四分位数是96，最大值是100 (2)甲组的箱线图如图所示： (3)根据箱线图和四分位数，可知甲组数据跨度大更分散，乙组数据紧凑更集中 【分析】（1）把甲的成绩从小到大排列，中位数是第个数据的平均数，第一四分位数为第3个数，第三四分位数为第8个数，即可求解最大值和最小值； （2）将3个四分位数及最大和最小值在图中画出即可； （3）结合箱线图及四分位数，比较成绩的离散程度即可． 【详解】（1）解：把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， ∴最小值是60，第一四分位数是70，中位数是，第三四分位数是96，最大值是100； （2）略 （3）略 【变式2】（25-26八年级下·全国·期末）甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数 (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【答案】(1)第一四分位数：70，第二四分位数：90，第三四分位数：96 (2)如图所示： (3)根据箱线图和四分位数，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中．（答案不唯一） 【分析】（1）把甲的成绩从小到大排列，第二四分位数为第5，第6个数的平均数，第一四分位数为第3个数，第三四分位数为第8个数； （2）将3个四分位数及最大和最小值在图中画出即可； （3）结合箱线图及四分位数，比较成绩的离散程度即可． 【详解】（1）解：把甲的成绩从小到大排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，故第二四分位数（中位数）：，第一四分位数：70，第三四分位数：96； （2）略； （3）略． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【答案】(1)部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是；部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是．绘制箱线图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四分位数的位置，确定对应的值，再画出箱线图； （2）根据四分位数间距分析即可． 【详解】（1）解：部门数据的第一四分位数是由小到大排列的第个数，为，中位数为，第三四分位数是由小到大排列的第个数，为； 同理，部门数据的第一四分位数是38，中位数为45，第三四分位数是55． 绘制箱线图如图． （2）解：从箱线图看，A部门第一四分位数到中位数距离近，低业务量员工较集中； B部门箱子更长，数据分布更分散，且第三四分位数到最大值距离远，高业务量员工更分散． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $