专题01 平面向量（十二大题型+思维导图+知识清单+课后作业）（暑假复习举一反三讲义）高一数学苏教版必修第二册

专题01 平面向量（暑假复习讲义） 【苏教版】 【知识清单1 向量的概念】 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 【注】：①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 【注】：①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 【知识清单2 相等向量与共线向量】 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 【注】：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 3．平行向量有关概念的三个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 【知识清单3 向量的加减法、数乘】 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量加法的三角形法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量加法的平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作，，则.即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： ①； ②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设为实数，那么①；②；③. 特别地，我们有，. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数，恒有 . 5．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量,，设(≠)，化成 关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 6．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【知识清单4 向量的数量积】 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中θ是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. (4)向量的投影 如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量共线，即时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3)； (4)； (5)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号 成立. 以上结论可作为公式使用. 【知识清单5 平面向量基本定理】 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【知识清单6 向量坐标表示与运算】 1．向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，，，. (2)点的坐标与向量的坐标的关系 区别 表示形式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . (3)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (4)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【知识清单7 向量平行的坐标表示】 1．向量平行的坐标表示 (1)两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. (2)三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. 【知识清单8 平面几何中的向量方法】 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： (). ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：. ③求夹角问题，利用夹角公式：. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或 . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 【知识点9 向量在物理中的应用】 1．力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. 2．速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 3．向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=.功是一个实数，它可正，可负， 也可为零. (2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 【题型1 平面向量的概念】 【例1】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解题思路】根据向量的相关概空可判断AC的真假；根据零向量的概念可判断B的真假，根据共线向量的概念可判断D的真假. 【解答过程】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一下·上海长宁·期中）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 【答案】B 【解题思路】对于A，由题意或，对于B，由相等向量的定义即可得解；对于CD，举反例即可判断. 【解答过程】对于A，若，是共线的单位向量，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，满足，但此时，是共线向量，故C错误； 对于D，设是两个不共线的非零向量，，满足，，但此时不成立，故D错误. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．向量就是有向线段 B．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 C．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量与任意向量都不平行 【答案】C 【解题思路】根据向量的概念、模的概念判断AB，根据相等向量的概念判断C，根据零向量的定义及共线向量的定义判断D. 【解答过程】对于A，向量可以用有向线段来表示，但并不是有向线段，错误； 对于B，向量是具有方向和大小的量，模有大小，但方向不能比大小，错误； 对于C，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，正确； 对于D，零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，零向量与任意向量都平行，错误. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高一下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若，则 D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 【答案】D 【解题思路】根据单位向量、共线向量的定义及零向量的性质判断各项的正误即可. 【解答过程】A：单位向量长度相等，但方向不一定相同，错； B：若为零向量时，不一定共线，错； C：若，只能说明的模长相等，但方向不一定相同，错； D：长度不相等而方向相反的两个向量是共线向量，即平行向量，对. 故选：D. 【题型2 平面向量的线性运算】 【例2】（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【解答过程】依题意， . 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一下·江苏·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用平面向量的线性运算化简可得结果. 【解答过程】由平面向量的线性运算可得. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作出符合题意的图形，结合平面向量的加法和减法法则求解即可. 【解答过程】因为，所以是的中点，， 因为，所以是上靠近的三等分点，， 如图，连接，，作出平行四边形，    由题意得 ，故C正确. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一下·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量的线性运算求解即可. 【解答过程】因为，所以，即， 所以. 故选：B. 【题型3 向量数量积的计算】 【例3】（24-25高一下·吉林松原·期末）已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意知，由投影向量公式解得，然后由向量的数量积公式求得结果. 【解答过程】由题意可知，且， ∴， ∴. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高一下·贵州·阶段检测）已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】根据题意，，进而得到，再求夹角即可． 【解答过程】在上的投影向量的模等于， 又，所以， 因为， 所以或． 故选：D． 【变式3-2】（24-25高一下·江苏连云港·阶段检测）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可. 【解答过程】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 【变式3-3】（24-25高一下·吉林·期末）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设的中点为D，由题意可得，由等边的边长为2，可得， ，最后由，求解即可. 【解答过程】解：设的中点为D，则． 因为， 所以． 因为等边的边长为2， 则，所以． 所以． 故选：B. 【题型4 向量共线定理及其应用】 【例4】（24-25高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【解题思路】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由三点共线的向量表示即可求解. 【解答过程】由，结合 可得：， 即， 因为三点共线， 所以， 解得：， 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用向量的共线定理逐项判断即可. 【解答过程】因为，故三点共线, A正确； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，B错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，C错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，D错误； 故选：A. 【变式4-3】（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）已知是平面内的一组基底，，若三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【解题思路】根据向量的线性运算可得，然后根据三点共线，存在实数使得，即可求解. 【解答过程】因为， 所以 ， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得， 即，所以， 解得：. 故选：C. 【题型5 平面向量基本定理】 【例5】（24-25高一下·河南信阳·期末）如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平面向量基本定理得到答案. 【解答过程】点是的中点，， ． 故选：D． 【变式5-1】（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用向量的线性运算结合已知条件把用表示，再由平面向量基本定理可求得的值，从而可求得答案. 【解答过程】如图，由题，， ， 所以. 故选：A.    【变式5-2】（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在中，，为线段的中点，且，为实数，记． (1)请用和表示； (2)求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量的线性运算求解； （2）由已知条件，结合向量的线性运算与平面向量基本定理求解. 【解答过程】（1）由已知，即， 所以； （2）为线段的中点，， 又， ， 又，且不共线，所以， 所以． 【变式5-3】（24-25高一下·四川南充·期末）如图，中，，，，，N为的中点，设，，PN与相交于点. (1)用，表示、； (2)若，求的值； (3)求. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【解题思路】（1）利用向量基本定理得到，； （2）表达出，根据三点共线，得到，求出； （3）在（1）基础上，得到，，，利用夹角余弦公式进行求解. 【解答过程】（1）N为的中点，故， ， 故； （2）， 因为三点共线，设，即， ，故，， 所以，解得； （3）由（1）知，，， 又，，，故， ， ， ， 则. 【题型6 向量共线、垂直的坐标表示】 【例6】（24-25高一下·甘肃天水·阶段检测）已知向量，，若与平行，则实数的值为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【解题思路】根据向量平行的坐标关系列式运算. 【解答过程】由，则，得. 故选：D. 【变式6-1】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用向量的坐标运算列式求解. 【解答过程】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高一下·吉林长春·阶段检测）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量共线的坐标表示即可求解； （2）根据向量减法的坐标表示和向量垂直的坐标表示即可求解. 【解答过程】（1）∵向量，， ∴，解得. （2）∵向量，∴. ∵， ∴ ，解得. 【变式6-3】（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知向量，. (1)若，求m的值； (2)若向量，且，求向量，的夹角. 【答案】(1)或. (2) 【解题思路】（1）先根据平面向量的线性运算的坐标表示得出和的坐标；再根据平面向量垂直的坐标表示列出方程求解即可. （2）先根据平面向量线性运算的坐标表示及向量平行得出，从而得；再根据平面向量模及数量积的坐标运算得出，，；最后根据平面向量夹角的计算方法即可求解. 【解答过程】（1）因为，， 所以，. 又因为， 所以，解得：或. （2）因为，， 所以，. 又因为，， 所以，解得：， 则. 所以，. 设向量，的夹角为， 由，得 所以向量，的夹角为. 【题型7 平面向量数量积的坐标表示】 【例7】（24-25高一下·广东深圳·期中）已知向量，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解题思路】由向量的数量积坐标运算公式和线性运算公式计算即得. 【解答过程】由，可得， 则. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高一下·吉林长春·阶段检测）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由向量的夹角为钝角以及向量的数量积公式，可得且不共线，由此建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案. 【解答过程】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 【变式7-2】（24-25高一下·甘肃天水·阶段检测）已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3)2 【解题思路】（1）直接由数量积的坐标运算公式计算即可求解； （2）根据向量线性运算和模的坐标计算公式求解即可； （3）根据向量线性运算和数量积的坐标计算公式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以， 所以. 【变式7-3】（24-25高一下·广西柳州·期末）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由平面向量的数量积坐标表示求解即可； （2）由，的夹角为锐角，则，且，不共线，建立不等式组求解即可. 【解答过程】（1）若，则，，所以 所以. （2）向量，， 若，的夹角为锐角，则，且，不共线， 故， 所以的取值范围为. 【题型8 向量坐标运算的几何应用】 【例8】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）在直角梯形中，已知，点是边的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立平面直角坐标系，设，，求出的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数的性质即可求得答案. 【解答过程】 如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有， 设，则， 且， 由， 因，故. 故选：D. 【变式8-1】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】建立坐标系，利用向量数量积的坐标表示，再确定其最大值. 【解答过程】如图： 以为原点，建立平面直角坐标系，则，， 设，则，，. 所以，. 所以，因为，， 所以，当或，时取等号. 故选：D. 【变式8-2】（24-25高一下·湖北孝感·期末）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若，则（    ）    A．1 B． C． D．5 【答案】B 【解题思路】根据已知构建合适的直角坐标系，标注相关点坐标，由向量共线的坐标表示列方程求参数值. 【解答过程】因为，所以， 以C为坐标原点，AC所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，    如图所示，则， 设，则，， 由，所以，可得. 故选：B. 【变式8-3】（24-25高一下·陕西商洛·期末）在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系，设点.根据点E在线段上，所以设，其中，结合平面向量的线性运算及数量积的坐标表示即可求解. 【解答过程】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，. 设点. 因为点E在线段上，所以设，其中， 所以，所以， 所以. 故选：D. 【题型9 用向量解决夹角、线段长度问题】 【例9】（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【解答过程】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 ， ， 故选：D． 【变式9-1】（24-25高三上·江苏镇江·阶段检测）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【解答过程】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 【变式9-2】（24-25高三上·河南新乡·阶段检测）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先通过向量线性运算求得，再将用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长，即可求解的长； （2）把视作与夹角，运用平面向量的夹角公式求解.计算出的值，结合平面向量的数量积可计算出的值，最后利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 【解答过程】（1）由是上的中线，所以， 设，则， 又三点共线，所以，解得，所以， 因为是上的中线，所以， 所以 ， 所以，故. （2）为与夹角，且， 因为是BC上的中线，所以， 所以 ，所以， 又 ， 所以 ， 所以. 【变式9-3】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【解答过程】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 【题型10 向量与几何最值问题】 【例10】（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【解题思路】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【解答过程】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系. 则 ， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是8. 故选：C. 【变式10-1】（24-25高一下·安徽安庆·期中）已知四边形中，，点在四边形的四条边上运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意分析可知四线性关于直线对称，且，只需考虑点在边上的运动情况即可，然后分类讨论求出的最小值. 【解答过程】如图所示，因为，且，所以垂直且平分， 则为等腰三角形，又，所以为等边三角形. 则四边形关于直线对称，故点在四边形的四条边上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可， 因为，易知，即，则， ①当点在边上运动时，设， 则， 所以，当时，的最小值为； ②当点在边上运动时，设， 则， 所以，当时，的最小值为； 综上，的最小值为， 故选：C . 【变式10-2】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【解题思路】（1）根据向量线性运算可得，，再根据向量数量积的分配律运算证明； （2）根据题意，点O在以为直径的圆上，数形结合可得，结合（1）可得解. 【解答过程】（1）因为，又是的中点，则， 所以，又， . （2）如图，取的中点，连接，， 由题，可知点O在以为直径的圆上， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号． 利用（1）结论：. 所以的最大值为8. 【变式10-3】（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【解答过程】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ， . 【题型11 向量在物理中的应用】 【例11】（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出即可. 【解答过程】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 【变式11-1】（25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【解题思路】根据平行四边形法则，结合合力与分力的关系、余弦函数的单调性逐一判断即可. 【解答过程】设，，，    由题意可得：四边形为菱形且，， 因为与的夹角为，， 则， 即. 对于，当时，， 则，即正确； 对于，当时，， 则，即错误； 对于，，当取最大值时，有最小值， 又，即当时，取不到最小值，即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误． 故选：A. 【变式11-2】（24-25高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【答案】C 【解题思路】借助功的定义计算即可得. 【解答过程】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 【变式11-3】（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【解题思路】由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断C；求解直角三角形可得判断A；结合诱导公式求得判断B；求出船到达对岸的时间判断D. 【解答过程】解：如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误． 故选：B. 【题型12 向量新定义问题】 【例12】（24-25高一下·浙江·期中）设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】利用向量夹角余弦公式得到，由同角三角函数关系得到正弦值，进而代入公式求出答案. 【解答过程】， 故， 所以， 故. 故选：D. 【变式12-1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，，则A，B两点的余弦距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量数量积的定义求出夹角，根据题意计算即可. 【解答过程】根据题意，， 则， 所以两点的余弦距离为. 故选：D. 【变式12-2】（24-25高一下·山东聊城·期末）对于向量，，定义运算，已知向量，，. (1)若，求t的值； (2)若，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用新定义列方程求解； （2）由垂直求得值，由新定义求得，再由向量夹角公式计算. 【解答过程】（1）因为，，， 所以，， 因为，所以，解得. （2）由题意得， 又，且，所以，解得， 此时，， 设与的夹角为， 则， 所以与夹角的余弦值为. 【变式12-3】（24-25高一下·贵州黔南·期中）我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为．    (1)求的“广义坐标”； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1），故，得到“广义坐标”为； （2）计算出，，，故； （3）平面直角坐标系中，，设，得到方程组，求出，故向量的“广义坐标”为. 【解答过程】（1）由题意得， 故， 故的“广义坐标”为； （2）由题意得，， 故 ， ，故， ，故， 所以向量与的夹角的余弦值为； （3）在平面直角坐标系中，， 设，向量在平面直角坐标系中的坐标为， 所以， 所以，解得， 故向量的“广义坐标”为. 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解题思路】根据相等向量的定义，可判断A、B的正误；根据向量和有向线段的定义，可判断C的正误；根据共线向量的定义，可判断D的正误. 【解答过程】选项A：若方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误； 选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误； 选项C：向量没有固定的起点，但有向线段有起点，有向线段是向量的表示工具， 所以有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段，故C正确； 选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平面向量的线性运算化简求解. 【解答过程】由题意可得， 故选：D. 3．（25-26高一上·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】求出的坐标，再根据平行关系求出即可. 【解答过程】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 4．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据方向相反的向量模长未必相等可知ABC错误；根据单位向量的方向与定义可知D正确. 【解答过程】对于A，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，A错误； 对于B，方向相反，，但模长未必相等，B错误； 对于C，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，C错误； 对于D，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 方向相反，，则，D正确. 故选：D. 5．（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得的值. 【解答过程】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量加法的运算法则逐项判断即可. 【解答过程】因为，，分别是的边，，的中点，所以∥，，即∥，且. 所以四边形是平行四边形 由向量加法的三角形法则可得，，； 由向量加法的平行四边形法则可得，，. 所以A，B，C正确；D错误. 故选：D． 7．（24-25高一下·北京朝阳·阶段检测）已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由平面向量的线性表示与共线定理求解即可. 【解答过程】由，，， 所以， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得 ， 则， 因为向量，不共线， 所以，解得：， 故选：D. 8．（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，、分别为轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段（除）上、在线段上运动和在线段（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案. 【解答过程】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，    当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】根据题意可得四边形均为平行四边形，结合平面向量加法运算和向量相等的定义逐个选项计算并判断. 【解答过程】，故A正确； ，故B正确； ，故C正确， 由，故D错误． 故选：ABC. 10．（24-25高一下·福建泉州·期中）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【解题思路】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 11．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【解题思路】对于ABC，根据平面向量的基本知识即可求解；对于D，求出在方向上的投影向量表达式，再根据表达式求解即可． 【解答过程】对于A，， ，故A正确； 对于B，， ， 因为， 所以与不平行，故B错误； 对于C，设向量与的夹角为， ， ， ， 又，所以，故C正确； 对于D，设和的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为， ，， 则，故D错误． 故选：AC． 三、填空题 12．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，且，，则___________. 【答案】4 【解题思路】根据向量模长公式及数量积公式，得，再解方程即可． 【解答过程】， 即，解得或（舍去）， 则． 故答案为：． 13．（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知向量，，若//，则k＝__________． 【答案】 【解题思路】先分别计算向量和的坐标，再根据向量平行的坐标关系列出方程，解方程求出k的值. 【解答过程】由题得，，， 因为//， 所以，解得， 故答案为：． 14．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为___________. 【答案】 【解题思路】易得，以点为原点，建立平面直角坐标系，再利用平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【解答过程】由，，， 所以 ， 所以，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 故，， 所以， 当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【答案】(1)作图见解析； (2)米. 【解题思路】（1）根据给定条件，作出图形. （2）借助几何图形，利用勾股定理求出模长. 【解答过程】（1）作出向量，如图：    （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 16．（25-26高一下·浙江·期中）已知向量，，满足，，且与的夹角为． (1)若，求实数的值； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据垂直的关系，结合数量积的运算即可求解， （2）根据模长公式以及夹角公式即可代入求解. 【解答过程】（1）， 由得 ， 展开得， 将，，代入得，则； （2）， . 17．（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见详解 【解题思路】（1）根据向量的线性运算求解； （2）结合（1）得，从而，根据向量共线定理证明. 【解答过程】（1）由平行四边形，可得； ，， ，即. （2）由（1），又， 所以， 所以三点共线. 18．（24-25高一下·河北·阶段检测）已知向量，，，． (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解； （2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得. 【解答过程】（1）由题意可得， 因为，所以. （2）， 因为，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 19．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得 ，然后利用平方非负求解即可. 【解答过程】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得 ； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量（暑假复习讲义） 【苏教版】 【知识清单1 向量的概念】 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 【注】：①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 【注】：①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 【知识清单2 相等向量与共线向量】 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 【注】：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 3．平行向量有关概念的三个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 【知识清单3 向量的加减法、数乘】 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量加法的三角形法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量加法的平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作，，则.即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： ①； ②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设为实数，那么①；②；③. 特别地，我们有，. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数，恒有 . 5．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量,，设(≠)，化成 关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 6．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【知识清单4 向量的数量积】 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中θ是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. (4)向量的投影 如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量共线，即时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3)； (4)； (5)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号 成立. 以上结论可作为公式使用. 【知识清单5 平面向量基本定理】 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【知识清单6 向量坐标表示与运算】 1．向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，，，. (2)点的坐标与向量的坐标的关系 区别 表示形式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . (3)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (4)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【知识清单7 向量平行的坐标表示】 1．向量平行的坐标表示 (1)两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. (2)三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. 【知识清单8 平面几何中的向量方法】 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： (). ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：. ③求夹角问题，利用夹角公式：. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或 . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 【知识点9 向量在物理中的应用】 1．力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. 2．速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 3．向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=.功是一个实数，它可正，可负， 也可为零. (2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 【题型1 平面向量的概念】 【例1】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【变式1-1】（24-25高一下·上海长宁·期中）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 【变式1-2】（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．向量就是有向线段 B．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 C．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量与任意向量都不平行 【变式1-3】（24-25高一下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若，则 D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 【题型2 平面向量的线性运算】 【例2】（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·江苏·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 向量数量积的计算】 【例3】（24-25高一下·吉林松原·期末）已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·贵州·阶段检测）已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 【变式3-2】（24-25高一下·江苏连云港·阶段检测）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·吉林·期末）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ） A．1 B． C． D． 【题型4 向量共线定理及其应用】 【例4】（24-25高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式4-1】（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）已知是平面内的一组基底，，若三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 【题型5 平面向量基本定理】 【例5】（24-25高一下·河南信阳·期末）如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在中，，为线段的中点，且，为实数，记． (1)请用和表示； (2)求． 【变式5-3】（24-25高一下·四川南充·期末）如图，中，，，，，N为的中点，设，，PN与相交于点. (1)用，表示、； (2)若，求的值； (3)求. 【题型6 向量共线、垂直的坐标表示】 【例6】（24-25高一下·甘肃天水·阶段检测）已知向量，，若与平行，则实数的值为（   ） A． B． C．6 D． 【变式6-1】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式6-2】（24-25高一下·吉林长春·阶段检测）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【变式6-3】（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知向量，. (1)若，求m的值； (2)若向量，且，求向量，的夹角. 【题型7 平面向量数量积的坐标表示】 【例7】（24-25高一下·广东深圳·期中）已知向量，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式7-1】（24-25高一下·吉林长春·阶段检测）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一下·甘肃天水·阶段检测）已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 【变式7-3】（24-25高一下·广西柳州·期末）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，的夹角为锐角，求的取值范围. 【题型8 向量坐标运算的几何应用】 【例8】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）在直角梯形中，已知，点是边的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式8-2】（24-25高一下·湖北孝感·期末）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若，则（    ）    A．1 B． C． D．5 【变式8-3】（24-25高一下·陕西商洛·期末）在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型9 用向量解决夹角、线段长度问题】 【例9】（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高三上·江苏镇江·阶段检测）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【变式9-2】（24-25高三上·河南新乡·阶段检测）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【变式9-3】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【题型10 向量与几何最值问题】 【例10】（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 【变式10-1】（24-25高一下·安徽安庆·期中）已知四边形中，，点在四边形的四条边上运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【变式10-3】（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【题型11 向量在物理中的应用】 【例11】（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【变式11-2】（24-25高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【变式11-3】（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【题型12 向量新定义问题】 【例12】（24-25高一下·浙江·期中）设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式12-1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，，则A，B两点的余弦距离为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25高一下·山东聊城·期末）对于向量，，定义运算，已知向量，，. (1)若，求t的值； (2)若，求与夹角的余弦值. 【变式12-3】（24-25高一下·贵州黔南·期中）我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为．    (1)求的“广义坐标”； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 4．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 5．（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·北京朝阳·阶段检测）已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（    ）    A． B．2 C． D． 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·福建泉州·期中）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 11．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 三、填空题 12．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，且，，则___________. 13．（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知向量，，若//，则k＝__________． 14．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为___________. 四、解答题 15．（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 16．（25-26高一下·浙江·期中）已知向量，，满足，，且与的夹角为． (1)若，求实数的值； (2)求与夹角的余弦值． 17．（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 18．（24-25高一下·河北·阶段检测）已知向量，，，． (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 19．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $