专题19.2 数据的离散程度（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

本讲义聚焦初中数学“数据的离散程度”核心知识点，从离差平方和的概念切入，构建方差的定义、计算方法与性质，进而探究数据变形后平均数与方差的变化规律，最终落实到用方差分析数据稳定性的实际应用，形成完整知识支架。 本资料通过“知识点分层讲解+即学即练+题型分类拓展”设计，结合射击成绩比较、水稻长势分析等真实情境，培养学生数据意识与推理能力。课中助力教师系统授课，课后多样化练习帮助学生查漏补缺，提升数据分析与实际决策能力。

专题19.2 数据的离散程度 教学目标 1.理解离差平方和、方差的概念。 2.掌握方差的计算方法与性质。 3.掌握数据变形后平均数与方差的变化规律。 4.会用方差判断数据的波动大小与稳定性。 5.能使用计算器求平均数与方差。 教学重难点 重点 （1）方差的概念、计算公式与意义 （2）方差的计算与性质应用 （3）数据变形后的平均数、方差变化规律 （4）用方差分析数据稳定性 难点 （1）理解方差公式的统计意义 （2）方差性质与数据变形规律的灵活运用 （3）结合实际情境做数据分析决策 知识点01：离差平方和 1.定义：设个数据的平均数为，则 为这组数据的离差平方和。 2.作用：刻画数据相对于平均数的 。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将一组数据，，，，，分成前个一组，后个一组，则这组数据的组内离差平方和是___________． 知识点02：方差 1.定义：离差平方和的平均数，记作，公式： 。 2.意义：方差 ，数据波动 ，越不稳定；方差 ，数据波动 ，越稳定。 3.计算步骤：求平均→求差→平方→再平均。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）若一组数据：3，，0，，的平均数是1，则这组数据的方差______． 知识点03：数据适当变形后的平均数与方差 样本数据 平均数 方差 1．（2026·上海静安·二模）已知一组数据：，，，它们的平均数是3，方差是2，那么数据，，的平均数与方差分别是（   ） A．3，2 B．6，8 C．3，4 D．6，4 知识点04：方差的性质 1.若一组数据都加（或减）同一个常数 ，方差 。 2.若一组数据都扩大为原来的 倍，方差扩大为原来的 倍。 3.若一组数据为，则方差为原方差的 倍。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·浙江·期中）一组数据的方差为5，若将每个数据都加上2，则新数据的方差为___________． 题型01求一组数据的离差平方和 方法技巧：先算平均数，再算各，最后求和。 【典例1】. （25-26八年级下·浙江金华·期中）数据组，的组内离差平方和为_______． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江杭州·期中）将位同学的英语口语成绩，，，，，分成前个一组，后三个一组，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【变式3】. （25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为______． 题型02直接计算一组数据的方差 方法技巧：按“求平均→求差→平方→再平均”四步计算。 【典例2】. （2026·黑龙江佳木斯·二模）已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 【变式1】. （2026·江苏南京·一模）小建进行5次射击训练，环数如下：10，8，9，10，9，其方差为，随后他又进行了5次训练，环数如下：9，10，9，8，10．小建这10次成绩的方差为，则____________（填“”“”或“”号）． 【变式2】. （2026·浙江台州·二模）某女子排球队场上队员的身高（单位：）是：172，174，178，180，180，184．现换下身高为和的两名队员，换上身高为和的两名替补队员，与换人前相比，场上队员的身高（    ） A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差不变 C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差变小 【变式3】. （2026·河南商丘·一模）甲、乙两组学生的数学期末测试成绩(满分 100分)如下． 甲组∶85，88，90，92，95． 乙组∶80，85，90，95，100． 则方差较小的是_____组（填“甲”或“乙”）． 题型03数据变化的平均数与方差计算 方法技巧：用与直接计算。 【典例3】. （24-25八年级下·四川绵阳·期末）一组数据，，，，，的方差为，若将该组数据中的每一个数扩大倍得到新的一组数据，，，，，，那么新一组数据的方差是多少？（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26九年级上·江苏苏州·期末）已知一组数据，的平均数是2，方差是，那么另一组数据的方差是________ ． 【变式2】. （25-26九年级上·江苏南京·期末）组数据，，．的方差是，那么数据，，的方差为_________． 【变式3】. （2026·上海松江·二模）已知数据：，，，的平均数是，方差是，那么数据，，，的平均数和方差分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型04由方差公式反推参数 方法技巧：对照公式结构，确定数据、个数、平均数。 【典例4】. （25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 【变式1】. （25-26九年级下·河南驻马店·期中）已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 【变式2】. （25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知一组数据的方差为：，则____． 【变式3】. （25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）数据的平均数是，方差的计算公式是，现有一组数据的平均数是，方差，则___________． 题型05根据方差判断数据稳定性 方法技巧：方差越小，数据波动越小，越稳定。 【典例5】. （2026·广东汕尾·模拟预测）农技员为对比甲、乙两个品种水稻的长势，从两块试验田中各随机选取株水稻，测量其株高数据．已知两组数据的平均数相同，方差分别为，，则这两种水稻长势更整齐的是_________（填“甲”或“乙”） 【变式1】. （2026·湖南长沙·一模）甲、乙两名工人加工同一种零件，现对他们的零件直径进行抽样调查，已知两人所做的零件直径的平均数相等，方差分别为和，且，则___________（填“甲”或“乙”）加工的零件质量更稳定． 【变式2】. （25-26九年级下·四川达州·期中）甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数 9.6 9.5 9.5 9.6 方差 0.25 0.25 0.27 0.27 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式3】. （25-26八年级下·全国·单元测试）某市中小学“市长杯”女生软式排球赛中，甲校和乙校两队进入了最终的决赛，甲、乙两支排球队队员的身高统计如图所示，则参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是___________队．（填“甲”或“乙”） 题型06 离差平方和的实际应用 方法技巧：先求平均数，再计算，用于比较数据离散程度。 【典例6】. （24-25八年级下·浙江温州·期中）某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度．将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 2 第一组2人，第二组3人 3 第一组3人，第二组2人 4 第一组4人，第二组1人 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】. （2026八年级下·浙江·专题练习）有6个水蜜桃测出了他们的值（糖度值，值越大越甜）如下：16、17、18、18、18、19；以下是计算各种情况的组内离差平方和表（精确到）： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 5 16、17、18、18、18 19 (1)将表格补充完整 (2)如果要将这组水蜜桃分为“优品”和“精品”，应该如何分，为什么？ 【变式2】. （25-26八年级下·浙江温州·期中）某班6名学生的数学成绩（单位：分）如下：80，83，86，89，92，95．老师准备将他们分成两组（每组3人）进行对比分析，现有三种分组方案： 方案 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 A 80，83，89 86，92，95 84 B 80，83，86 89，92，95 36 C 80，86，92 83，89，95 144 上述三种分组方案中，较为合理的是__________． 【变式3】. （25-26八年级上·广东深圳·期末）在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 题型07从统计图中读取数据求方差 方法技巧：先提取数据，再按步骤计算方差。 【典例7】. （2026·山西忻州·模拟预测）为迎接校园文化艺术节，学生会计划组建一支礼仪队.指导教师将通过初选的16位同学按照报名顺序分成两组，并对他们的身高进行统计． 数据收集： A组同学的身高（）： B组同学的身高（）： 数据整理： 组别 平均数 中位数 众数 方差 A组 166 165 B组 166 165 13 根据上述信息，回答下列问题： (1)填空： ， ， ，两组同学中身高更整齐的是 组（填“A”或“B”）； (2)在给A，B两组安排艺术节开幕式迎宾任务时，指导教师发现A组人手不够．于是从其余报名同学中又选了两人补充到A组，他们的身高分别是，．你认为人数增加后A组所有同学身高的平均数、方差与原来相比是否有变化？若有变化，请指出是变大还是变小． 【变式1】. （2026·宁夏固原·二模）为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．③甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： 平均数 中位数 众数 甲 a m n 乙 b 64 64 ⑥．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如上表： (1)____，___； (2)甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差为，，则______（填“”、“”或“”）； (3)由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为74分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量中不变的是______（写出所有符合题意的序号）．①平均数②中位数③众数④方差 (4)求表中a和b的值．（结果保留整数） 【变式2】. （2026·江苏盐城·一模）为迎接射击比赛，甲、乙两名运动员进行射击训练，两人各射击5次，他们的总成绩（单位：环）相同，小明根据他们的成绩绘制了不完整的统计图表．         甲、乙两人射击成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 7 7 8 10 9 乙 9 8 8 10    (1)________环，甲成绩的众数是________环，乙成绩的中位数是________环． (2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线． (3)谁将被选中参加比赛？请说明理由． 【变式3】. （25-26八年级下·湖南株洲·期中）某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队每个队员的身高（单位：）如下： 甲队 177 179 178 179 177 178 178 179 178 177 平均数 中位数 众数 方差 甲队 178 a 178 c 乙队 d 177 b 0.89 (1)表中_____，_____，_____． (2)请计算甲队的方差，并判断哪队队员身高更整齐． 题型 08 利用方差进行实际决策 方法技巧：稳定性优先选方差小的方案。 【典例8】. （2026·河南商丘·一模）从文本生成到语音识别、从绘画到编程，AI的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取8名，记录使用者对两款软件的评分(10分为满分，8分或8分以上为优秀)，并进行整理、描述和分析． 评分统计表 AI软件 平均数 方差 优秀率 甲 m n 乙 9 根据以上信息，解答下列问题． (1)表格中，______，_____ (填“>”“=”或“<”)， ； (2)你认为哪款AI软件的使用效果更好？请说明理由． 【变式1】. （2026·甘肃白银·二模）某校为探索美术创作能力培养模式，在八年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开设常规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动．一学期结束后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评分（满分10分）． 数据收集与整理 一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如下表： 评分（分） 6 7 8 9 10 一班人数（人） 4 11 ▲ 10 3 二班人数（人） 1 7 13 5 数据分析与运用 为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众数、中位数、平均数、方差进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差（保留三位小数） 一班 8 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为______，n的值为______； (2)对于这次评分，成绩比较整齐的是______班；（填“一”或“二”） (3)你认为两个班级，哪个班级教学模式比较好，请说明理由． 【变式2】. （2026·陕西商洛·二模）粮食安全是国家发展的重要根基，小麦作为主要粮食作物，其品种的抗病性与丰产性研究对提升粮食产量、抵御病害威胁意义重大．科研人员通过对试验田小麦的抗病性、丰产性进行打分分析，旨在筛选优质品种，为粮食稳定供应提供支撑．基于该研究数据，工作人员从试验田里随机选择10株小麦，对其抗病性和丰产性进行研究并打分（满分为10分），将得分数据整理成如图所示的折线统计图． 该品种小麦的抗病性和丰产性得分情况如下表： 平均数 中位数 众数 抗病性 9 9 丰产性 8.8 9.5 (1)该品种小麦抗病性得分的平均数___________，丰产性得分的众数___________； (2)记该品种小麦抗病性得分的方差为，丰产性得分的方差为，则____________；（填“>”“<”或“=”） (3)根据以上数据你认为该品种小麦的抗病性和丰产性哪个更优？并说明理由． 【变式3】. （2026·江西赣州·模拟预测）某班甲、乙、丙、丁四位同学报名参加学校举办的地图拼图挑战赛，为评估实战水平（拼图越快成绩越好），对四名同学最近10次测试成绩（单位：秒，精确到0.1）的数据进行整理、描述和分析，相关信息如下： 信息1：甲、乙两位同学测试成绩的折线图 信息2：丙同学测试成绩：14.8，14.5，14.8，14.9，14.8，14.7，14.9，14.4，14.4，14.8； 信息3：四位同学测试成绩的平均数、中位数、方差 甲 乙 丙 丁 平均数 14.5 14.5 14.5 中位数 14.5 14.8 14.45 方差 0.056 0.034 0.056 (1)填空：_______，_______；比较大小：______0.056； (2)请你在折线图上补全丙的测试成绩； (3)按比赛规则，每班限两人参赛，请你结合以上信息，确定人选并说明理由． 一、单选题 1．甲、乙两人在铅球训练中各投掷10次，每次投掷的落地情况如图所示，已知两人10次投掷所得的平均成绩相同，对于方差，的描述正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．某校计划从甲、乙、丙、丁四个人工智能小组中选出一组参加科技竞赛，下表记录了各组平时测试成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个成绩优秀且状态稳定的小组，则应选择的小组是（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数 92 96 96 95 方差 1.4 0.9 1.5 1.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 二、填空题 4．“完全人格，首在体育”．为增强学生体质，某区举办了中小学体育传统项目竞赛，某校准备从A、B、C、D四个小组中选出一组去参加该项竞赛，下表记录了各组平时体育总成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个总成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是________组． A B C D 平均数 95 98 98 96 方差 1.12 1.21 0.99 1.83 5．某企业对员工进行综合素质测试，测试由位评委打分，每位评委最高打分，评委给甲、乙的打分的折线图如图：则根据图中信息，比较甲的方差与乙的方差的大小：______．（填“”“”或“”） 6．已知一组数据的离差平方和计算式为 ，则这组数据的方差是______． 三、解答题 7．计算 (1)在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为y，腰长为x．求y关于x的函数表达式以及自变量x的取值范围； (2)我校举办的“新时代好少年”演讲比赛中，六位评委给小华的评分分别为（单位：分）：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，求小华此次演讲比赛得分的离差平方和． 8．随着科技的不断进步，人工智能一步步走进人们的生活．与此同时，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下：分析数据，得到下列表格： （计算方差的公式：） 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 91.5 a b 人工 89 90 100 108.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________；__________． (2)若成绩90分及以上为优秀，请你估计机器人操作800次，优秀次数为多少？ (3)根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点（写一条即可）． 9．在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了甲、乙两款智能机器人．为测试这两款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．由10位专业测试员根据一系列任务进行打分，每位测试员最高打10分，将数据整理、描述、分析如下： a．图象识别能力得分析线统计图 b．运动能力得分 甲：6  6  7  7  8  8  8  9  9  10 乙：6  7  7  7  8  8  8  8  9  10 c．图象识别能力和运动能力得分统计表 智能机器人 图象识别能力得分 运动能力得分 平均数 方差 平均数 中位数 甲 8.7 0.81 a 8 乙 8.7 1.61 7.8 b 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_____，_____． (2)请从图象识别能力的得分方面分析，哪款智能机器人的表现更好． (3)为了比较甲、乙两款智能机器人的综合表现，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）． 10．【项目背景】 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，为了解甲，乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计，为软件的使用选择提供参考． 【数据收集与整理】 数学兴趣小组从该校甲、乙两款软件体验者中各随机抽取20名，记录体验者对两款软件的评分，对数据整理描述如下： a．信息处理速度（满分10分） b．信息识别准确度（满分10分） c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表           统计量 类别 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7 9 5.6 4.84 乙 7.65 7 5.6 5.64 【数据分析与应用】 根据所给信息，完成以下任务： (1)表格中____，____； (2)下列结论正确的是_____；（填正确结论的序号） 乙款软件信息处理速度得分的众数为，表示参与评分的人中评分为分的人数最多； 甲款软件信息识别准确度的得分更稳定； 两款软件信息识别准确度得分的极差相等； (3)若该校共有名乙款软件的体验者，请估计该校对本款软件信息识别准确度的打分不低于分的人数． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.2 数据的离散程度 教学目标 1.理解离差平方和、方差的概念。 2.掌握方差的计算方法与性质。 3.掌握数据变形后平均数与方差的变化规律。 4.会用方差判断数据的波动大小与稳定性。 5.能使用计算器求平均数与方差。 教学重难点 重点 （1）方差的概念、计算公式与意义 （2）方差的计算与性质应用 （3）数据变形后的平均数、方差变化规律 （4）用方差分析数据稳定性 难点 （1）理解方差公式的统计意义 （2）方差性质与数据变形规律的灵活运用 （3）结合实际情境做数据分析决策 知识点01：离差平方和 1.定义：设个数据的平均数为，则为这组数据的离差平方和。 2.作用：刻画数据相对于平均数的偏离程度。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将一组数据，，，，，分成前个一组，后个一组，则这组数据的组内离差平方和是___________． 【答案】 【分析】先将数据按要求分组，再分别计算每组的平均数与每组的组内离差平方和，将两组的组内离差平方和相加即可得到结果. 【详解】解：由题意得，前个数据为第一组：，，，后个数据为第二组：，，， 计算第一组的平均数：， 第一组的组内离差平方和：； 计算第二组的平均数：， 第二组的组内离差平方和：； 总的组内离差平方和为． 知识点02：方差 1.定义：离差平方和的平均数，记作，公式：。 2.意义：方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据波动越小，越稳定。 3.计算步骤：求平均→求差→平方→再平均。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）若一组数据：3，，0，，的平均数是1，则这组数据的方差______． 【答案】 【分析】先根据平均数的定义求出，再根据方差的公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵一组数据：3，，0，，的平均数是1， ∴， 解得：， ∴． 知识点03：数据适当变形后的平均数与方差 样本数据 平均数 方差 1．（2026·上海静安·二模）已知一组数据：，，，它们的平均数是3，方差是2，那么数据，，的平均数与方差分别是（   ） A．3，2 B．6，8 C．3，4 D．6，4 【答案】B 【分析】根据平均数和方差的公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵一组数据：，，，它们的平均数是3，方差是2， ∴，， ∴数据，，的平均数为：， 数据，，的方差为：． 知识点04：方差的性质 1.若一组数据都加（或减）同一个常数，方差不变。 2.若一组数据都扩大为原来的倍，方差扩大为原来的倍。 3.若一组数据为，则方差为原方差的倍。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·浙江·期中）一组数据的方差为5，若将每个数据都加上2，则新数据的方差为___________． 【答案】5 【分析】此题主要考查了方差得求解，设原数据的平均数为，由方差公式得，表示新数据的各个数，计算新的平均数，代入方差公式求解即可． 【详解】解：∵一组数据、、的方差是， ∴设原数据的平均数为， 由方差公式得， 由题意得，该组数据每一个数据都加上2后得到的新数据是：，，． ∴新数据组的平均数为 ∴新数据组的方方差为： ． 故答案为：5． 题型01求一组数据的离差平方和 方法技巧：先算平均数，再算各，最后求和。 【典例1】. （25-26八年级下·浙江金华·期中）数据组，的组内离差平方和为_______． 【答案】7 【分析】先分别计算两组数据的平均数，再分别计算每组的离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和． 【详解】解：对于第一组数据，其平均数为 ， 第一组离差平方和为 ； 对于第二组数据，其平均数为 ， 第二组离差平方和为 ； 总的组内离差平方和为． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】14 【分析】直接用离差平方和的公式求解即可． 【详解】解：设这组数据的平均数为， 由题意得，，，， ∴这组数据的离差平方和是． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江杭州·期中）将位同学的英语口语成绩，，，，，分成前个一组，后三个一组，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】根据分组先分别求出两组数据的平均数，再分别计算每组的组内离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和． 【详解】解：由题意得，前个数据为，，，后个数据为，，， 计算第一组的平均数：， 第一组的离差平方和：， 计算第二组的平均数：， 第二组的离差平方和：， 总的组内离差平方和为． 【变式3】. （25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】本题根据离差平方和的分解关系，总离差平方和等于组间离差平方和与组内离差平方和的和，已知总离差平方和与组间离差平方和，通过有理数减法计算即可得到组内离差平方和． 【详解】解：根据离差平方和分解，可得组内离差平方和总离差平方和组间离差平方和 代入数据计算得． 题型02直接计算一组数据的方差 方法技巧：按“求平均→求差→平方→再平均”四步计算。 【典例2】. （2026·黑龙江佳木斯·二模）已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 【答案】8 【详解】把数据1，3，5，7，9每个数加10得到新数据11，13，15，17，19， 因为一组数据加上同一个常数，方差不变，故方差仍为8． 【变式1】. （2026·江苏南京·一模）小建进行5次射击训练，环数如下：10，8，9，10，9，其方差为，随后他又进行了5次训练，环数如下：9，10，9，8，10．小建这10次成绩的方差为，则____________（填“”“”或“”号）． 【答案】 【分析】分别计算出和的大小，比较即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ， ∴． 【变式2】. （2026·浙江台州·二模）某女子排球队场上队员的身高（单位：）是：172，174，178，180，180，184．现换下身高为和的两名队员，换上身高为和的两名替补队员，与换人前相比，场上队员的身高（    ） A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差不变 C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差变小 【答案】C 【分析】先通过总身高和判断平均数的变化，再根据方差的定义计算判断方差的变化即可． 【详解】解：∵换下队员的身高和为，换上队员的身高和为， ∴总身高和不变，队员人数不变，因此平均数不变． 计算原数据的平均数得， 原数据的方差为： ； 换人后数据为172，176，178，178，180，184，平均数仍为， 方差为： ； ， 综上所述，平均数不变，方差变小． 【变式3】. （2026·河南商丘·一模）甲、乙两组学生的数学期末测试成绩(满分 100分)如下． 甲组∶85，88，90，92，95． 乙组∶80，85，90，95，100． 则方差较小的是_____组（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】先分别计算甲、乙两组成绩的平均数，再根据方差公式计算两组方差，比较方差大小即可得出结论． 【详解】解：甲组成绩的平均数： 甲组方差： 乙组成绩的平均数： 乙组方差： 因为，即， 所以方差较小的是甲组． 题型03数据变化的平均数与方差计算 方法技巧：用与直接计算。 【典例3】. （24-25八年级下·四川绵阳·期末）一组数据，，，，，的方差为，若将该组数据中的每一个数扩大倍得到新的一组数据，，，，，，那么新一组数据的方差是多少？（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求方差；根据方差的性质可知，数据中的每个数据都扩大倍，则方差扩大倍，即可得出答案． 【详解】解：设这组数，，，，，的平均数是，方差为，则， ，，，，，的平均数是，及， 这组数据，，，，，，的平均数为， 这组数据，，，，，的方差为 故选：D． 【变式1】. （25-26九年级上·江苏苏州·期末）已知一组数据，的平均数是2，方差是，那么另一组数据的方差是________ ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平均数，方差. 根据平均数，方差公式计算即可． 【详解】解：一组数据的平均数为， 方差， ∴另一组数据的平均数为 ， 方差为 ． 故答案为：3． 【变式2】. （25-26九年级上·江苏南京·期末）组数据，，．的方差是，那么数据，，的方差为_________． 【答案】 【分析】本题考查方差的性质，解题关键是掌握“一组数据同时加减同一个常数，方差不变”这一核心性质． 直接运用方差的性质，判断出原数据每个数减2后方差不变，直接得出答案． 【详解】解：根据方差的性质：一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数，方差不变． 本题中，原数据每个数都减去了常数2，因此新数据的方差与原数据方差相同，仍为． 故答案为：． 【变式3】. （2026·上海松江·二模）已知数据：，，，的平均数是，方差是，那么数据，，，的平均数和方差分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据方差和平均数的计算公式求解即可． 【详解】解∵，，，的平均数是，方差是， ∴，即，， 那么数据，，，的平均数为：； 方差为： ． 题型04由方差公式反推参数 方法技巧：对照公式结构，确定数据、个数、平均数。 【典例4】. （25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 【答案】或/或 【分析】根据已知这组数据为相邻的整数，两组数据的方差相同，可得另一组数据也为相邻的整数，即可作答． 【详解】解：∵一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等， ∴这组数据可能为m，，，，或，m，，，， ∴x的值为或． 【变式1】. （25-26九年级下·河南驻马店·期中）已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 【答案】A 【分析】根据方差的定义，从题给方差表达式中可得到这组数据的个数和平均数，再计算总和即可得到结果． 【详解】解：∵方差的计算公式为，其中是数据的个数，是这组数据的平均数， 对比题中给出的方差， 可得数据个数，这组数据的平均数， ∴这组数据的总和为． 【变式2】. （25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知一组数据的方差为：，则____． 【答案】14 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和平均数的定义． 由可知平均数和数据数量，从而得出答案． 【详解】解：由方差表达式可知，数据的平均数为10． 数据包括11，13，4，m，8，共5个数据． 根据平均数的定义，有： 解得 故答案为：14． 【变式3】. （25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）数据的平均数是，方差的计算公式是，现有一组数据的平均数是，方差，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了方差的公式，熟记方差公式是解题的关键．通过方差表达式中的系数可知数据的频数，从而计算平均数． 【详解】解：从方差表达式中的系数可知，数据组中包含2个7，1个6，3个9，3个8，1个10，共10个数据， 这些数据的和为， 所以平均数． 故答案为：． 题型05根据方差判断数据稳定性 方法技巧：方差越小，数据波动越小，越稳定。 【典例5】. （2026·广东汕尾·模拟预测）农技员为对比甲、乙两个品种水稻的长势，从两块试验田中各随机选取株水稻，测量其株高数据．已知两组数据的平均数相同，方差分别为，，则这两种水稻长势更整齐的是_________（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】根据方差的意义判断，方差越小数据波动越小，长势越整齐，比较两个方差的大小即可得到结果． 【详解】解：方差的意义是反映数据波动的大小，在平均数相同的情况下，方差越小，数据波动越小，长势越整齐， 已知，， 可得，即， 因此甲品种水稻的波动更小，长势更整齐． 【变式1】. （2026·湖南长沙·一模）甲、乙两名工人加工同一种零件，现对他们的零件直径进行抽样调查，已知两人所做的零件直径的平均数相等，方差分别为和，且，则___________（填“甲”或“乙”）加工的零件质量更稳定． 【答案】乙 【分析】当两组数据的平均数相等时，方差越小，数据波动越小，数据越稳定. 根据题目给出的甲乙方差的大小关系即可作出判断. 【详解】解：方差反映一组数据的波动程度，在平均数相等的情况下，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，数据越稳定， ∵两人加工零件直径的平均数相等，且， ∴乙的方差更小，乙加工的零件质量更稳定. 【变式2】. （25-26九年级下·四川达州·期中）甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数 9.6 9.5 9.5 9.6 方差 0.25 0.25 0.27 0.27 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【详解】解：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． ∵甲的平均分比乙高，方差比丁小，最稳定， ∴应选甲． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·单元测试）某市中小学“市长杯”女生软式排球赛中，甲校和乙校两队进入了最终的决赛，甲、乙两支排球队队员的身高统计如图所示，则参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是___________队．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】看甲、乙两队队员的身高哪个更整齐，主要是看两组数据的波动大小，根据波动情况进行判断． 【详解】解：∵根据折线统计图可知，甲队的波动小，乙队的波动大， ∴队员的身高更整齐的是甲队. 题型06 离差平方和的实际应用 方法技巧：先求平均数，再计算，用于比较数据离散程度。 【典例6】. （24-25八年级下·浙江温州·期中）某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度．将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 2 第一组2人，第二组3人 3 第一组3人，第二组2人 4 第一组4人，第二组1人 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，要使同一组内成绩尽量接近，组内离差平方和越小，说明组内成绩越接近，因此只需比较四种分组的组内离差平方和，找到最小值对应的分组序号即可． 【详解】解：∵ ， ∴序号2对应的组内离差平方和最小，为最优分组． 【变式1】. （2026八年级下·浙江·专题练习）有6个水蜜桃测出了他们的值（糖度值，值越大越甜）如下：16、17、18、18、18、19；以下是计算各种情况的组内离差平方和表（精确到）： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 5 16、17、18、18、18 19 (1)将表格补充完整 (2)如果要将这组水蜜桃分为“优品”和“精品”，应该如何分，为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)优品：16、17；精品：18、18、18、19；理由见解析 【分析】（1）根据组内离差平方和的计算公式，计算即可； （2）小题核心是比较表格中5种分组方案的组内离差平方和的大小，要想将水蜜桃分为优品和精品两种，需要两个分组中值尽可能接近，使得分组合理，所以选出组内离差平方和最小即可． 【详解】（1）解：第1组数据为16、17，则平均数为， 第2组数据为：18、18、18、19，则平均数为， ∴组内离差平方和为：； 第1组数据为16、17、18，则平均数为， 第2组数据为：18、18、19，则平均数为， ∴组内离差平方和为：； 填报如下： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 5 16、17、18、18、18 19 （2）解：因为前2个一组，后4个一组时的组内离差平方和为最小，所以分组如下： 优品：16、17 精品：18、18、18、19． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江温州·期中）某班6名学生的数学成绩（单位：分）如下：80，83，86，89，92，95．老师准备将他们分成两组（每组3人）进行对比分析，现有三种分组方案： 方案 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 A 80，83，89 86，92，95 84 B 80，83，86 89，92，95 36 C 80，86，92 83，89，95 144 上述三种分组方案中，较为合理的是__________． 【答案】B 【分析】分组对比时，组内离差平方和越小，说明组内数据波动越小，分组越合理，只需比较三个方案的组内离差平方和大小即可得到结果． 【详解】解：比较三种方案的组内离差平方和可得：， ∴方案B的组内离差平方和最小，分组最为合理． 【变式3】. （25-26八年级上·广东深圳·期末）在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 【答案】(1)，，； (2)不同意，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查平均数，众数，中位数，四分位数，离差平方和，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平均数，众数，中位数，四分位数等的定义，逐个分析求解即可； （2）根据离差平方和的特征进行分析求解即可； （3）根据平均数，众数，中位数，离差平方和进行分析求解即可． 【详解】（1）解：∵甲的成绩为：4，6，7，7，7，7，8，10，共8个数据 ∴上四分位数a为第6、7项的平均数，即， ∵乙的成绩中7出现的次数最多， ∴众数， ∵丙的成绩为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，共10个数据 ∴中位数c为第5、6项的平均数，即， ∴ 故答案为：，，； （2）解：不同意．理由如下： 虽然乙和丙的离差平方和相同，但稳定性还需结合数据的离散程度和波动区间判断． 乙的成绩最小值为6，最大值为10；丙的成绩最小值为5，最大值为9． 且乙的上四分位数为7，丙的上四分位数为8，说明丙的高分段数据更多，乙的成绩更集中在中低分段，因此二者的射击稳定性并不完全一样． （3）解：甲：平均成绩7，众数7，但成绩波动较大（最小值4，最大值10），离差平方和最大，稳定性最差，但存在打出高分的潜力． 乙：平均成绩7，众数7，成绩集中在6~10区间，离差平方和较小，稳定性较好，但高分段表现较少． 丙：平均成绩7，众数7，成绩集中在5~9区间，离差平方和较小，稳定性较好，且高分段（8、9环）数据更多，整体发挥更均衡． 题型07从统计图中读取数据求方差 方法技巧：先提取数据，再按步骤计算方差。 【典例7】. （2026·山西忻州·模拟预测）为迎接校园文化艺术节，学生会计划组建一支礼仪队.指导教师将通过初选的16位同学按照报名顺序分成两组，并对他们的身高进行统计． 数据收集： A组同学的身高（）： B组同学的身高（）： 数据整理： 组别 平均数 中位数 众数 方差 A组 166 165 B组 166 165 13 根据上述信息，回答下列问题： (1)填空： ， ， ，两组同学中身高更整齐的是 组（填“A”或“B”）； (2)在给A，B两组安排艺术节开幕式迎宾任务时，指导教师发现A组人手不够．于是从其余报名同学中又选了两人补充到A组，他们的身高分别是，．你认为人数增加后A组所有同学身高的平均数、方差与原来相比是否有变化？若有变化，请指出是变大还是变小． 【答案】(1)165.5；164；3.25；A (2)有变化，变小 【分析】（1）将A组身高数据从小到大排序，取第4和第5个数的平均数得到中位数a，再找出B组中出现次数最多的数得到众数b，然后根据方差公式计算A组的方差m，最后比较两组方差大小，方差越小身高越整齐； （2）先计算新增两人身高的平均数，发现与原A组平均数相同，因此人数增加后A组身高的平均数不变，再计算新增数据与平均数的差的平方和，结合原方差的计算结果，得出新方差比原方差小． 【详解】（1）解：把A组身高数据从小到大排序为：163，165，165，165，166，167，168，169， ∵A组有8个数据，中位数是第4和第5个数的平均数， ∴； ∵B组数据中164出现了3次，出现次数最多， ∴B组众数； ∵A组平均数是166， ∴； ∴； 比较两组方差，A组方差小于B组的13，方差越小数据越整齐，所以身高更整齐的是A组； （2）解：新增两人身高的平均数为，和原A组的平均数相同， ∴人数增加后A组身高的平均数不变， ∵原A组数据与平均数差的平方和是26， 新增的两个数与平均数差的平方分别是和， 新的平方和是，新的数据个数是，新方差为， 比原来的小， ∴方差变小． 【变式1】. （2026·宁夏固原·二模）为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．③甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： 平均数 中位数 众数 甲 a m n 乙 b 64 64 ⑥．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如上表： (1)____，___； (2)甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差为，，则______（填“”、“”或“”）； (3)由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为74分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量中不变的是______（写出所有符合题意的序号）．①平均数②中位数③众数④方差 (4)求表中a和b的值．（结果保留整数） 【答案】(1)66；70 (2) (3)③ (4)； 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大，据此可得答案； （3）把甲中的一个60换成74后，中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化，不变的是众数． （4）根据平均数的定义求解即可． 【详解】（1）解：把甲这七天的运动时长按照从低到高排列为60分，60分，66分，66分，70分，70分，70分， ∴甲的中位数为66分，即， ∵甲运动时长为70分的天数最多， ∴甲的众数为70分，即； （2）解：由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大， ∴； （3）解：把甲中的一个60换成74后， 新数据是：60分，66分，66分，70分，70分，70分，74分， 中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化， ∴不变的是众数． 故答案是：③． （4）解：， ． 【变式2】. （2026·江苏盐城·一模）为迎接射击比赛，甲、乙两名运动员进行射击训练，两人各射击5次，他们的总成绩（单位：环）相同，小明根据他们的成绩绘制了不完整的统计图表．         甲、乙两人射击成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 7 7 8 10 9 乙 9 8 8 10    (1)________环，甲成绩的众数是________环，乙成绩的中位数是________环． (2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线． (3)谁将被选中参加比赛？请说明理由． 【答案】(1)6；7；8 (2)见解析 (3)甲，理由见解析 【分析】（1）根据他们的总成绩相同，得出，再利用平均数、众数及中位数的定义即可解答； （2）根据（1）中所求得出a的值进而得出折线图即可； （3）分别求出甲、乙成绩的平均数，方差，然后根据两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：甲的总成绩是：， 则， 甲成绩中，7出现的2次，次数最多，故甲成绩的众数是7， 乙成绩从小到大排序为6、8、8、9、10， 故乙成绩的中位数是8； （2）解：如图， （3）解：， ， ； ， 甲的成绩比较稳定． 甲将被选中． 【变式3】. （25-26八年级下·湖南株洲·期中）某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队每个队员的身高（单位：）如下： 甲队 177 179 178 179 177 178 178 179 178 177 平均数 中位数 众数 方差 甲队 178 a 178 c 乙队 d 177 b 0.89 (1)表中_____，_____，_____． (2)请计算甲队的方差，并判断哪队队员身高更整齐． 【答案】(1)178，177，177.1 (2)0.6，甲 【分析】（1）根据中位数，众数和平均数的计算方法求得答案． （2）根据方差的定义可直接求得甲队的方差，方差越小，数据的波动越小，即可判断哪队队员身高更整齐． 【详解】（1）解：将甲队身高数据按从小到大的顺序排列，且数据个数为偶数，则中间两个数和的平均数为这组数据的中位数，即中位数． 乙队身高数据中，出现次数最多的数据为，所以这组数据的众数． ． （2）解： 又∵， ∴， ∴甲队队员身高更整齐． 题型 08 利用方差进行实际决策 方法技巧：稳定性优先选方差小的方案。 【典例8】. （2026·河南商丘·一模）从文本生成到语音识别、从绘画到编程，AI的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取8名，记录使用者对两款软件的评分(10分为满分，8分或8分以上为优秀)，并进行整理、描述和分析． 评分统计表 AI软件 平均数 方差 优秀率 甲 m n 乙 9 根据以上信息，解答下列问题． (1)表格中，______，_____ (填“>”“=”或“<”)， ； (2)你认为哪款AI软件的使用效果更好？请说明理由． 【答案】(1)； ； (2)乙款AI软件的使用效果更好，见解析 【详解】（1）解：， 由折线统计图可知，乙的评分波动程度更小，则， ， 故答案为：； ；； （2）解：乙款AI软件的使用效果更好； 理由：方差较小，优秀率更高． 【变式1】. （2026·甘肃白银·二模）某校为探索美术创作能力培养模式，在八年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开设常规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动．一学期结束后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评分（满分10分）． 数据收集与整理 一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如下表： 评分（分） 6 7 8 9 10 一班人数（人） 4 11 ▲ 10 3 二班人数（人） 1 7 13 5 数据分析与运用 为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众数、中位数、平均数、方差进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差（保留三位小数） 一班 8 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为______，n的值为______； (2)对于这次评分，成绩比较整齐的是______班；（填“一”或“二”） (3)你认为两个班级，哪个班级教学模式比较好，请说明理由． 【答案】(1)8；8.35 (2)二 (3)二班教学模式比较好（合理即可） 【分析】（1）利用总人数为40，计算得8分的人数，根据众数定义求，根据平均数计算公式计算； （2）根据方差的意义，方差越小数据越整齐，比较方差大小得到结论； （3）根据平均数和方差的统计意义，对比两个班的结果，判断教学模式的好坏． 【详解】（1）解：一班和二班各有名学生， 一班得8分的人数为， 一班中得8分的人数最多，因此众数是，即， 二班得8分的人数为， 二班的平均数； （2）解：一班方差为，二班方差为，且，方差越小成绩越整齐， 成绩比较整齐的是二班； （3）解：我认为二班的教学模式比较好． 二班评分的平均数大于一班的平均数，且二班的方差小于一班的方差， 二班的整体美术创作评分更高，且成绩更整齐，说明增设趣味拓展的教学模式效果更好． 【变式2】. （2026·陕西商洛·二模）粮食安全是国家发展的重要根基，小麦作为主要粮食作物，其品种的抗病性与丰产性研究对提升粮食产量、抵御病害威胁意义重大．科研人员通过对试验田小麦的抗病性、丰产性进行打分分析，旨在筛选优质品种，为粮食稳定供应提供支撑．基于该研究数据，工作人员从试验田里随机选择10株小麦，对其抗病性和丰产性进行研究并打分（满分为10分），将得分数据整理成如图所示的折线统计图． 该品种小麦的抗病性和丰产性得分情况如下表： 平均数 中位数 众数 抗病性 9 9 丰产性 8.8 9.5 (1)该品种小麦抗病性得分的平均数___________，丰产性得分的众数___________； (2)记该品种小麦抗病性得分的方差为，丰产性得分的方差为，则____________；（填“>”“<”或“=”） (3)根据以上数据你认为该品种小麦的抗病性和丰产性哪个更优？并说明理由． 【答案】(1)8.5，10 (2) (3)抗病性得分更稳定，理由见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查方差，平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析． （1）根据平均数和众数的求法求解即可； （2）根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小； （3）开放题型（答案不唯一，合理即可）． 【详解】（1）解：， ∵丰产性得分中10分出现了5次，出现的次数最多， ． （2）解：从折线统计图可以看出，抗病性得分更稳定，； （3）解：该品种小麦的丰产性更优，因为丰产性得分的平均数、中位数及众数更高或该品种小麦的抗病性更优，因为抗病性得分更稳定．（答案不唯一，合理即可） 【变式3】. （2026·江西赣州·模拟预测）某班甲、乙、丙、丁四位同学报名参加学校举办的地图拼图挑战赛，为评估实战水平（拼图越快成绩越好），对四名同学最近10次测试成绩（单位：秒，精确到0.1）的数据进行整理、描述和分析，相关信息如下： 信息1：甲、乙两位同学测试成绩的折线图 信息2：丙同学测试成绩：14.8，14.5，14.8，14.9，14.8，14.7，14.9，14.4，14.4，14.8； 信息3：四位同学测试成绩的平均数、中位数、方差 甲 乙 丙 丁 平均数 14.5 14.5 14.5 中位数 14.5 14.8 14.45 方差 0.056 0.034 0.056 (1)填空：_______，_______；比较大小：______0.056； (2)请你在折线图上补全丙的测试成绩； (3)按比赛规则，每班限两人参赛，请你结合以上信息，确定人选并说明理由． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)确定人选为丁和乙，见解析 【分析】（1）由题意可知，甲、乙、丙同学的测试成绩，然后计算出甲同学测试成绩的中位数、丙同学测试成绩的平均数、乙同学测试成绩的方差； （2）依据丙同学测试成绩补全折线图； （3）先根据平均数、中位数进行选择，如果平均数、中位数一致，再根据方差选择成绩稳定者． 【详解】（1）解：甲同学测试成绩从小到大排列：，，，，，，，，，， 第5位和第6位均为， 所以甲同学测试成绩的中位数； 丙同学测试成绩的平均数； 乙同学测试成绩的方差， ； （2）解：如图所示 （3）解：确定人选为丁和乙． 理由如下：拼图越快成绩越好，先根据平均数，丙平均数最大，成绩最差，所以丙不入选；再依据中位数，丁的成绩最好，可以入选；最后结合方差，乙更稳定，所以乙入选． 一、单选题 1．甲、乙两人在铅球训练中各投掷10次，每次投掷的落地情况如图所示，已知两人10次投掷所得的平均成绩相同，对于方差，的描述正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方差表示数据的离散程度，方差越小，数据波动越小，结合图形，即可得出结果. 【详解】解：由图可知，乙的数据波动明显小于甲的数据波动， ∴. 2．某校计划从甲、乙、丙、丁四个人工智能小组中选出一组参加科技竞赛，下表记录了各组平时测试成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个成绩优秀且状态稳定的小组，则应选择的小组是（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数 92 96 96 95 方差 1.4 0.9 1.5 1.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】平均数越大表示平均成绩越高，成绩越优秀，方差越小表示成绩波动越小，状态越稳定，先筛选平均成绩更高的小组，再比较方差得到结果． 【详解】解：∵成绩优秀要求平均成绩更高，即平均数越大越好，比较四个小组的平均数得， ∴乙、丙两组满足成绩优秀的要求， ∵状态稳定要求成绩波动小，即方差越小越稳定，比较乙、丙的方差得， ∴乙的方差更小，状态更稳定，因此应选择乙小组． 3．校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 【答案】D 【分析】根据折线统计图读取男、女生各5次的达标次数数据，分别计算平均数、中位数和方差（或观察波动情况），逐一判断选项即可． 【详解】由图可知， 男生数据为：； 女生数据为：. ，， 男、女生训练达标次数的平均数相同， 故A错误； 将男生数据从小到大排列为：，中位数为； 将女生数据从小到大排列为：，中位数为， 男、女生训练达标次数的中位数均为， 故C错误； 男生离差平方和为：， 女生离差平方和为：， 男、女生训练达标次数的离差平方和不相等， 故B错误； ，， ， 女生达标情况更稳定， 故D正确． 故选：D． 二、填空题 4．“完全人格，首在体育”．为增强学生体质，某区举办了中小学体育传统项目竞赛，某校准备从A、B、C、D四个小组中选出一组去参加该项竞赛，下表记录了各组平时体育总成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个总成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是________组． A B C D 平均数 95 98 98 96 方差 1.12 1.21 0.99 1.83 【答案】C 【详解】解：首先比较四个小组的平均数，可得， 因此B组和C组的平均数大于A组和D组，B、C两组总成绩更好， 再比较B组和C组的方差，可得， 方差越小，数据波动越小，状态越稳定，因此C组状态比B组更稳定， 综上，应选择C组． 5．某企业对员工进行综合素质测试，测试由位评委打分，每位评委最高打分，评委给甲、乙的打分的折线图如图：则根据图中信息，比较甲的方差与乙的方差的大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】观察折线的起伏幅度判断即可． 【详解】解：据图可知，甲员工的分数波动更大，则甲的方差大于乙的方差． 6．已知一组数据的离差平方和计算式为 ，则这组数据的方差是______． 【答案】 【分析】根据方差是离差平方和的平均值，数据个数为，离差平方和为，代入公式计算即可． 【详解】解：，即这组数据的方差是． 三、解答题 7．计算 (1)在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为y，腰长为x．求y关于x的函数表达式以及自变量x的取值范围； (2)我校举办的“新时代好少年”演讲比赛中，六位评委给小华的评分分别为（单位：分）：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，求小华此次演讲比赛得分的离差平方和． 【答案】(1)，自变量x的取值范围是 (2)2.5 【分析】（1）根据三角形的周长公式求出关于的函数表达式，再根据三角形三边关系以及边长大于0即可求出自变量的取值范围； （2）先求出小华此次演讲比赛得分的平均数，再运用离差平方和的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵等腰的周长是20，底边的长为，腰长为， ∴， ∴， 由题意得，，即， 解得； ∴关于的函数表达式为，自变量的取值范围为； （2）解：小华此次演讲比赛得分的平均数为（分）， 则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为． 8．随着科技的不断进步，人工智能一步步走进人们的生活．与此同时，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下：分析数据，得到下列表格： （计算方差的公式：） 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 91.5 a b 人工 89 90 100 108.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________；__________． (2)若成绩90分及以上为优秀，请你估计机器人操作800次，优秀次数为多少？ (3)根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点（写一条即可）． 【答案】(1)95；8.2 (2)560次 (3)机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定 【分析】（1）根据众数和方差的定义进行计算即可； （2）利用样本估计总体计算即可； （3）从平均数、方差的方面写出机器人在操作技能方面的优点． 【详解】（1）解：观察机器人的10次操作成绩，发现95出现了三次，出现次数最多，则众数， ； （2）（次）， 优秀次数为560次； （3）机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定． 9．在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了甲、乙两款智能机器人．为测试这两款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．由10位专业测试员根据一系列任务进行打分，每位测试员最高打10分，将数据整理、描述、分析如下： a．图象识别能力得分析线统计图 b．运动能力得分 甲：6  6  7  7  8  8  8  9  9  10 乙：6  7  7  7  8  8  8  8  9  10 c．图象识别能力和运动能力得分统计表 智能机器人 图象识别能力得分 运动能力得分 平均数 方差 平均数 中位数 甲 8.7 0.81 a 8 乙 8.7 1.61 7.8 b 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_____，_____． (2)请从图象识别能力的得分方面分析，哪款智能机器人的表现更好． (3)为了比较甲、乙两款智能机器人的综合表现，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）． 【答案】(1)， (2)甲的表现更好 (3)运动能力的方差（答案不唯一） 【分析】（1）根据平均数和中位数的定义计算即可． （2）根据方差判断即可； （3）补充任意合理维度的能力数据信息即可． 【详解】（1）解：甲运动能力总得分为 则； 乙运动能力得分从小到大排列后，共10个数据，中位数为第5和第6个数的平均数， 即； （2）解：甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，说明甲的得分更稳定、波动更小，因此甲的表现更好； （3）解：现有数据缺少运动能力的稳定性，因此应补充运动能力的方差． 10．【项目背景】 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，为了解甲，乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计，为软件的使用选择提供参考． 【数据收集与整理】 数学兴趣小组从该校甲、乙两款软件体验者中各随机抽取20名，记录体验者对两款软件的评分，对数据整理描述如下： a．信息处理速度（满分10分） b．信息识别准确度（满分10分） c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表           统计量 类别 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7 9 5.6 4.84 乙 7.65 7 5.6 5.64 【数据分析与应用】 根据所给信息，完成以下任务： (1)表格中____，____； (2)下列结论正确的是_____；（填正确结论的序号） 乙款软件信息处理速度得分的众数为，表示参与评分的人中评分为分的人数最多； 甲款软件信息识别准确度的得分更稳定； 两款软件信息识别准确度得分的极差相等； (3)若该校共有名乙款软件的体验者，请估计该校对本款软件信息识别准确度的打分不低于分的人数． 【答案】(1)； (2) (3)人 【分析】（1）根据平均数、中位数的定义求解即可； （2）根据众数、极差的定义，以及方差的意义进行判断即可； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：甲款数据的平均数， 乙款数据共个数据，按照从小到大的顺序排列，第个和第个数据分别为分和分， 中位数； （2）解：由信息处理速度图可知，乙款软件信息处理速度得分分出现了6次，次数最多， 众数为，表示参与评分的人中对其评分为分的人数最多，故正确； 由信息识别准确度的折线统计图及方差值可知，甲款软件的得分更稳定，故正确； 由信息识别准确度的折线统计图可知： 甲款软件的信息识别准确度得分的最大值与最小值的差为， 乙款软件的信息识别准确度得分的最大值与最小值的差为， 两款软件的信息识别准确度得分的最大值与最小值的差不相等，即极差不相等，故不正确； 故结论正确的是； （3）解：估计该校对本款软件信息识别准确度的打分不低于分的人数为：（人）． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $