第02讲 集合间的基本关系（九大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第02讲 集合间的基本关系（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 集合的子集 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5=5，5<7，5>3，等等.两个集合之间是否也有类似的关系呢? 【知识点1 子集的概念】 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 【知识点2 真子集的概念】 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【题型1 求集合的子集（真子集）】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据集合子集的定义，即可求解. 【解答过程】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出集合的真子集，即可判断. 【解答过程】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【答案】B 【解题思路】根据子集概念分析即可求解. 【解答过程】， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. 故选：B． 【变式1-3】（24-25高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【解答过程】 ，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】（25-26高一上·全国·阶段检测）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】先得到集合，再根据集合真子集个数计算即可． 【解答过程】已知集合，则集合的真子集个数为． 故选：C． 【变式2-1】（25-26高一上·山东·期中）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【解题思路】由题意可知,集合中一定有1,2两个元素,且中最少三个元素,从而可求得满足题意的集合． 【解答过程】由题意,当集合中有四个个元素时，集合, 当集合中有三个元素时, 集合或， 即满足条件的集合的个数为3． 故选：B． 【变式2-2】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合有且仅有1个子集，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解题思路】结合集合子集的个数和方程根的情况可得. 【解答过程】方程的判别式， 因为集合仅有一个子集，所以集合为空集， 故. 故选：A. 【变式2-3】（25-26高一上·云南红河·期中）已知集合，，则B的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【解题思路】根据题意求得B，再求解子集个数即可. 【解答过程】由题意，B中的元素包括，即，故. 故B的子集个数为. 故选：B. 模块三 集合相等与空集 【知识点3 集合相等的概念】 1．定义：如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 【知识点4 空集的概念】 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 【知识点5 Venn图的优点及其表示】 1．优点：形象直观. 2．表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【题型3 判断两个集合是否相等】 【例3】（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用相等集合的定义逐一判断可得. 【解答过程】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用集合相等的条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，集合中只有一个元素，所以A错误， 对于B，集合的元素是点，所以B错误， 对于C，由，解得或， 所以，故C正确， 对于D，集合中有二个元素，，所以D错误， 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合与元素的关系依次判断各选项即可. 【解答过程】对于A，是含一个元素0的集合，不含任何元素，故A错误； 对于B，集合元素具有无序性，故正确； 对于C，是包含空集的集合（有一个元素），是空集（无元素），故错误； 对于D，表示有序数对的集合，表示有序数对的集合，有序数对与不相等，故这两集合不相等，故错误； 故选：B. 【变式3-3】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用相同集合的定义逐项判断即得. 【解答过程】对于A，与表示不同的点，则，二者不是同一集合； 对于B，是数集，是点集，二者不是同一集合； 对于C，集合表示大于或者等于的数，集合也表示大于或者等于的数， 则，二者是同一集合； 对于D，集合表示二次函数中取值的集合，为数集， 而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，为点集， 则，二者不是同一集合. 故选：C. 【题型4 根据两个集合相等求参数】 【例4】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据集合相等的定义分两种情况解方程组，再结合元素具有互异性判断可得结果. 【解答过程】因为，且，， ①当，解得或，由集合中元素具有互异性，故不符合题意； ②当时，解得（舍去）或.即，符合题意. 所以. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据集合中元素的性质可知或，解得，即可求解. 【解答过程】因为，所以或， 则或或， 当时，集合，不满足集合元素的互异性，舍去； 所以，所以， 故选：C. 【变式4-2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知集合，，若，则（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】B 【解题思路】根据集合相等可知关于的方程只有一个实数根，从而可得的值，即可得所求. 【解答过程】因为集合，，若， 所以关于的方程只有一个实数根，则，故， 所以， 则，故，所以， 故. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高一上·福建福州·期中）已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据集合相等的定义，以及集合中元素的互异性，求得的值，代入计算，即可求解. 【解答过程】由集合，可得，即，所以， 若，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得或（舍去）， 综上可得，，， 所以 故选：C. 【题型5 空集的判断、性质及应用】 【例5】（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空集的性质和子集的概念得到答案. 【解答过程】由于是的一个子集，故，B正确，AD错误，C选项，空集不是的元素，故C错误. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【解答过程】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一上·辽宁大连·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解题思路】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【解答过程】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 【变式5-3】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】运用集合的基本关系与概念：集合间的包含关系（子集、相等集合）；空集的定义与性质；元素与集合、集合与集合的区别. 【解答过程】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 【题型6 集合关系的Venn图表示】 【例6】（24-25高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【解答过程】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 【变式6-1】（2025高一·上海·专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求得集合，判断出的关系，由此确定正确选项. 【解答过程】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以NM， 故选：B. 【变式6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）请用文氏图表示下列集合关系：，． 【答案】答案见解析 【解题思路】根据为的真子集，得到文氏图. 【解答过程】由于高一（1）班班长是高一（1）班班委成员，即为的真子集，    【变式6-3】（24-25高一·全国·随堂练习）举例说明集合间的包含关系与相等关系，并用Venn图直观表示． 【答案】答案见解析 【解题思路】根据集合间的包含关系与相等的定义，给合Venn图直观表示即可. 【解答过程】集合之间的包含关系： 例如，，显然，Venn图表示如下图：      集合之间的相等关系： 例如：是两条边相等的三角形，是等腰三角形， Venn图表示如下图： 模块四 集合间关系的性质 【知识点6 集合间关系的性质】 1．集合间关系的几大性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若A⊆B，B=C，则A⊆C. (3)若A⊆B，A≠B，则. 【题型7 判断两个集合的包含关系】 【例7】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【答案】B 【解题思路】根据集合中元素的特征分析做出判断． 【解答过程】集合A中的元素为的整数倍． 因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍， 所以，且， 故选：B． 【变式7-1】（24-25高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合，，则集合、的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定集合、的关系 【答案】C 【解题思路】将集合、中的元素的表示形式改写，利用集合的包含关系可得出结论. 【解答过程】因为， ， 对于集合，当为奇数时，设，则， 当为偶数时，设，则， 故. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【答案】A 【解题思路】根据集合的子集的定义即可求解. 【解答过程】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 【变式7-3】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，则的关系满足（    ） A．⫋ B．⫋⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【答案】A 【解题思路】把限制条件进行通分，比较式子的含义可得答案. 【解答过程】，， ， 因为，所以表示被6除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 所以, 被3除余1的整数，当其为奇数时，被6除余1；当其为偶数时，被6除余4. 集合中元素的分子均为被6除余1的数，而集合、中元素的分子为所有被3除余1的数， 所以是的真子集. 故选：A. 【题型8 根据集合的包含关系求参数】 【例8】（25-26高一上·广东·期末）设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合间的关系求出参数范围即可. 【解答过程】由题意知，要满足，则有，所以． 故选：A． 【变式8-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知集合，，若，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化简集合，再对分为三种情况讨论得解. 【解答过程】因为，， 若，则有或或， 当时，则； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 故实数的取值集合是. 故选：A. 【变式8-2】（24-25高一上·海南·阶段检测）已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据包含关系得到不等式，求出a的取值范围为； （2）分和两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【解答过程】（1）因为，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为， 综上，实数a的取值范围为. 【变式8-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，，，． (2)存在，或． 【解题思路】（1）化简，再结合逐个列举即可； （2）由和两类情况讨论求解. 【解答过程】（1）当时， ， ． 又因为，所以这样的集合P共有6个：，，，，，． （2）当，即，时，，满足题意． 当时，若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意； 若有两个不相等的实数根， 又，结合根与系数的关系可得两根，故，此时． 综上，实数a的取值范围为或． 【题型9 集合关系中的新定义问题】 【例9】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（   ） A．800 B．625 C．1550 D．750 【答案】A 【解题思路】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可. 【解答过程】解：根据题意，任意一个元素在非空子集中的出现次数为：， 集合的元素之和为， 所以集合的全部非空子集的厚度之和为：. 故选：A. 【变式9-1】（24-25高一上·江西抚州·阶段检测）已知，，若，则集合中的所有非空子集的元素之和为（   ） A．15 B．30 C．60 D．120 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用列举法表示出集合，进而求出结果. 【解答过程】由，，得， 含有数1的的子集有：，共8个， 同理含有数2、4、8的的子集都各有8个， 所以集合中的所有非空子集的元素之和为. 故选：D. 【变式9-2】（24-25高一上·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 【答案】C 【解题思路】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可. 【解答过程】已知集合， “孤立元”为1的集合为，，，； “孤立元”为2的集合为，； “孤立元”为3的集合为； “孤立元”为4的集合为，； “孤立元”为5的集合为，，，； 综上，满足题意的集合有13个. 故选：C. 【变式9-3】（24-25高一上·河北邯郸·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【答案】A 【解题思路】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【解答过程】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A. 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【解答过程】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 2．（25-26高一上·河北衡水·期末）集合的真子集个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】根据题意，列举集合中元素，再根据真子集定义求解. 【解答过程】根据题意知，故真子集个数为， 故选：C. 3．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 【答案】C 【解题思路】利用集合相等条件求解，并检验集合中元素的互异性即可得到判断. 【解答过程】由可得：，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去， 即满足题意， 故选：C. 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【解题思路】先求出集合中的元素，进而求得子集个数. 【解答过程】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 5．（2025高一上·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【解题思路】由题意可得，，，即可得答案. 【解答过程】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A. 6．（2025高一上·江苏·专题练习）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【解答过程】因为，则 (1)若，则，解得； (2)若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 7．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解题思路】根据已知条件得出集合中元素的个数，从而得出的因数个数，即可求出的值． 【解答过程】由题意得集合中有8个子集， 又，集合中有三个元素，即有三个正因数， 而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方， 设为质数，则，此时正因数为， ，，则或3， 的值可以为4或9，故A正确． 故选：A． 8．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据集合的新定义及元素与集合的关系判断求解. 【解答过程】由且可得： 若，则， 所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有. 故选：B． 二、多选题 9．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】根据子集、空集、元素的性质和概念，对各选项进行分析判断． 【解答过程】选项A：是任何集合的子集，故成立，故A正确； 选项B：符号用于表示元素与集合的从属关系，不是集合B的元素， 错误，故B错误； 选项C：，，故C正确； 选项D：中元素，故错误，故D错误． 故选：AC． 10．（25-26高一上·浙江·期中）已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABC 【解题思路】根据子集个数可知集合只有一个元素，分和讨论即可. 【解答过程】因为集合只有两个子集，所以该集合恰有1个元素， 即：方程有且仅有1个解或有两个相等的实数解， 则当时，方程有一个解； 当时，，即：时，方程有1个解， 故或时，方程有1个解. 故选：ABC. 11．（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】先表示出集合，然后根据再对集合进行分类讨论，由此可求得结果. 【解答过程】，， 因为，且集合中至多有一个元素，所以或或， 若，则； 若，则； 若，则； 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·期中）已知集合，若，则__________. 【答案】0 【解题思路】根据集合的相等列出方程，求解并验证即可. 【解答过程】由，得，解得或. 当时，，与集合中元素的互异性矛盾，经检验可知符合题意. 故答案为：0. 13．（25-26高一上·上海·期中）适合条件的集合的个数_________个. 【答案】 【解题思路】由题意知集合中元素的个数可以为个，分别写出符合题意的，由此即可解出答案. 【解答过程】由题意知集合中元素的个数可以为个， 当集合中元素的个数为个时，可以为：； 当集合中元素的个数为个时，可以为：、； 当集合中元素的个数为个时，可以为：. 综上所述：适合条件的集合有个. 故答案为：4. 14．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知集合，，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】先解方程得，再根据集合间的基本关系，分类讨论计算参数即可. 【解答过程】由可得或，则， 而当时，此时，符合题意； 当时，则，即， 要符合题意，需，或，即或， 综上所述实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由可得，分和进行讨论； （2）由的子集有两个得出只含有一个元素，分和进行讨论. 【解答过程】（1）若，则， 若，则，不符合题意， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （2）若的子集有两个，则集合只含有一个元素， 若，则，符合题意； 若，，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 16．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两个集合相等得出一元二次方程有两个实数根代入联立方程组解出检验即可； （2）由，分与讨论分析即可. 【解答过程】（1）若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. （2）当时，，满足， 当且时，或， 当时，，                         当时，，                          故的取值构成的集合为. 17．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或1． (3)存在 【解题思路】（1）利用子集的意义可求解； （2）解方程求得集合，根据子集的意义可求解； （3）由题意知，利用子集的意义求解即可. 【解答过程】（1）若，则．因为，所以． （2）当时，， 因为，所以，所以， 所以，所以或或， 解得或1． （3）若对于任意实数b，都有，则． 所以，所以，解得， 所以存在，使得对于任意实数b（且），都有． 18．（25-26高一上·广东·阶段检测）设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值. 【答案】(1)或或 (2)2 【解题思路】（1）首先根据，再结合“等差集”的定义，确定集合有3个元素或4个元素，结合新定义，即可列举； （2）由“等差集”的定义可知，得，即可列式求解. 【解答过程】（1）因为集合，，存在3个不同的元素，使得， 所以集合中必然同时含有元素或， 则或或 （2）因为集合是“等差集”， 所以或或， 计算可得或或或或， 又因为集合的元素为正整数，所以为正整数，所以， 经检验，当时，集合，满足题意，故. 19．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)，，，. (3) 【解题思路】（1）由，可求得，即可求解； （2）由，即可求出相应的子集； （3）由，结合（2）分别对进行讨论，从而求解. 【解答过程】（1）由，所以，得， 则，解得或， 所以. （2）由， 所以集合的子集为：，，，. （3）由，由集合的子集为：，，，. 当时，即，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上：实数的取值范围为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 集合间的基本关系（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 集合的子集 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5=5，5<7，5>3，等等.两个集合之间是否也有类似的关系呢? 【知识点1 子集的概念】 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 【知识点2 真子集的概念】 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【题型1 求集合的子集（真子集）】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【变式1-3】（24-25高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】（25-26高一上·全国·阶段检测）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（25-26高一上·山东·期中）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 【变式2-2】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合有且仅有1个子集，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 【变式2-3】（25-26高一上·云南红河·期中）已知集合，，则B的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 模块三 集合相等与空集 【知识点3 集合相等的概念】 1．定义：如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 【知识点4 空集的概念】 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 【知识点5 Venn图的优点及其表示】 1．优点：形象直观. 2．表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【题型3 判断两个集合是否相等】 【例3】（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型4 根据两个集合相等求参数】 【例4】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式4-2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知集合，，若，则（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【变式4-3】（25-26高一上·福建福州·期中）已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 【题型5 空集的判断、性质及应用】 【例5】（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·辽宁大连·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-3】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型6 集合关系的Venn图表示】 【例6】（24-25高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式6-1】（2025高一·上海·专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）请用文氏图表示下列集合关系：，． 【变式6-3】（24-25高一·全国·随堂练习）举例说明集合间的包含关系与相等关系，并用Venn图直观表示． 模块四 集合间关系的性质 【知识点6 集合间关系的性质】 1．集合间关系的几大性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若A⊆B，B=C，则A⊆C. (3)若A⊆B，A≠B，则. 【题型7 判断两个集合的包含关系】 【例7】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【变式7-1】（24-25高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合，，则集合、的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定集合、的关系 【变式7-2】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【变式7-3】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，则的关系满足（    ） A．⫋ B．⫋⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【题型8 根据集合的包含关系求参数】 【例8】（25-26高一上·广东·期末）设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知集合，，若，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·海南·阶段检测）已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式8-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【题型9 集合关系中的新定义问题】 【例9】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（   ） A．800 B．625 C．1550 D．750 【变式9-1】（24-25高一上·江西抚州·阶段检测）已知，，若，则集合中的所有非空子集的元素之和为（   ） A．15 B．30 C．60 D．120 【变式9-2】（24-25高一上·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 【变式9-3】（24-25高一上·河北邯郸·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北衡水·期末）集合的真子集个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 3．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 5．（2025高一上·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 6．（2025高一上·江苏·专题练习）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 7．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·浙江·期中）已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 11．（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·期中）已知集合，若，则__________. 13．（25-26高一上·上海·期中）适合条件的集合的个数_________个. 14．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知集合，，则实数的取值范围是___________. 四、解答题 15．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 16．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 17．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 18．（25-26高一上·广东·阶段检测）设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值. 19．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $