与数列有关的新定义问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦数列新定义问题，覆盖新定义数列、增减项、子数列等高考核心考点，对接高考评价体系中对压轴题的考查要求，梳理转化与化归、函数与方程等思想方法，归纳分段数列、整数解等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于真题模拟与方法指导结合，如以2025北京朝阳模拟“调和数”为例，将新定义转化为等比数列求和，培养数学思维与模型观念，通过对点训练和巩固提升题强化技巧，帮助学生高效突破数列压轴题，教师可据此系统开展复习教学，提升备考效率。

拓展与延伸14 与数列有关的新定义问题 一、【考情分析】 近几年全国各地高考试题，我们总能在试卷的压轴题位置发现新定义数列题的身 影，它们对数列综合问题的考查常常以新定义、新构造和新情景形式呈现，有时 还伴随着数列与集合，难度较大 二、知识梳理 数列中的新定义问题，涉及分段数列、子数列、奇偶项、整数解、正整数因数、 数列放缩等问题，综合性强，难度大，要求高，解题的关键是将题目中的条件合 理转化，将问题化归为等差、等比问题. 解决数列中的新定义问题的制高点是特殊化、归纳，主要思想是转化与化归和函 数与方程思想.需要学生熟练掌握求和、求通项的基本方法。 三、考点扫描 考点一新定义数列 例1(2025北京朝阳区模拟)已知{an}是各项均为正数，公差不为0的等差数列 其前n项和为Sm,且a2=3,a1,a3,a成等比数列 (1)求数列{an}的通项公式； (2)定义：在数列{an}中，使得log3(a+1)为整数的a,叫作“调和数”，求在区间[1， 2025]内所有“调和数”之和Tm 【解】 (1)因为a1,as,am成等比数列，所以o=a1h因为{an}是各均正数 公差不为0的等差数列，设其公差为d,d≠0，所以t。=3, 所以 (C1+2a)2=04(1+6o), {&-所以a,a+lFml. (2)Db=log(a+1),且b为整数，所以am=31,所以1≤31≤2025，所以b可 以取1,2,3,4,5,6，所以在区间1,2025]内所有“和数”之和 Tm-31-1)H(321H(33-1)+(341)+(351)+(361)=31+32433+34435+3)6=3x1-9) 1_3 6=1 086. 规律方法： 解决此类问题，关键是根据题干中的新定义、新公式、新定理、新法则、新运算 等，将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系进行求解」 对点训练(2025广州汕头市模拟)定文矩阵运算：（仁）-（信+图） 已知数列 a,清是al,(G)(e+) (I)证明：数列{an},{bn}分别为等差数列，等比数列； (2)求数列{a2m十3b2m-1+1}的前n项和Sm. )【证明】因为((G)(+, 所以+ 消去an,得 (n2-1)b,(n2-1)2”,当n≥2时，bn2”,则a,=n:当F1时，由an+bn=2+2及a1=1, 得b=2=2,所以a4=n,bm2"0n∈N.因为am+1-a,l,+1=2,所以数列{an}为公 差为1的等差数列，{b为公比为2的等比数列 (2)【解】由(1)知a2+3b2m-1+1=2n+1+3×22m1=2什1+X4, 则S-6+5…+2+1)X(4+4+498+2++号X22r14n42n-2. 考点二数列中的增减项问题 例2已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n十r,其中r为常数. ()求r的值； (2)设bn=2(1十logzan),若数列{bn}中去掉与数列{an}相同的项后余下的项按原 来的顺序组成数列{cm},求c1十c2十c3十..十c1oo的值 【解】(1)因为Sm=2n+r,所以a1=S=2十，41十a2=S2=4+r,即a2=2,a41 +a2十a3=S3=8+r,即a3=4.由{an}是等比数列可知a3=a41a3,所以4=(2+r)×4 可得r=-1.故Sn=2"-1,a1=2十r=1.当n≥2时，a=Sn-Sm-1=(2m-1)-(2” 1-1)=2m1,且a1=1也适合该式，故an=2m1,{an}是等比数列，即r=-1 满足题意.所以r=-1. (2)由（①）知bn=2(1+log2an)=21+1og2"1)=21.因为a4=1,a=2=b1,as =4=b2,a4=8=b4,a5=16=b8,a6=32=b16,a7=64=b32,a8=128=b64,a9 =256=b128,所以c1+c2+c3+…+c100=(b1+b2十…+b107)-(a2+a3+…+a8) =107×2+214_2×(1-2)-11302. 2 1-2 对点训练(2025·辽宁沈阳市模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sm,且a4=7, S5=25. (I)求{an}的通项公式； (2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在a,与ak+1化=1,2，.…)之间插入21 个3，使得它们和原数列的项构成一个新的数列{bm},求{bm}的前150项和T1so. 【解】(1)因为{an}为等差数列，则S=5a=25,即as=5,可得d=4-a=2, a1=a3-2d=1,所以4=1+2(n-1)=2n-1. (2)因为在ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入21个3，可知a(k≥2)在数列{bn} 中对应的项数为n=k+2°+21+…+22=k+ 1-2 =21+k-1.当k=8时， 1-2 1=27+7=135,即ag=b135;当k=9时，n=28+8=264,即49=b264.由题意 可知b16=b7=…=10=3,所以150=S8+3X(150-8)=8X(0十15)+426= 2 490. 巩固提升 1.己知n∈N，am 1,bn= 1 2n-1 +P' 将数列{an}与数列{bn}的公共项按 从大到小的顺序排列组成一个新数列{cn},则数列{cn}的前99项和为( A. 196 B. 198 197 199 C. 98 D 99 197 199 D【解析】数列2n-1}是正奇数数列，对于数列{十1)P-1},当n为奇数时， 设n=2k-1(k∈N),则(n+1)-1=4k2-1,为奇数；当n为偶数时，设n=2k(k ∈N),则十1)2-1=(2k+1)2-1=4k(k十1)，为偶数，所以cm= 因为 4n2-1 1 Cn三 6w小. 所以C1十C2十…十Ccg= 42-1(2n-1)(2n+1) -}+7网-词 199 故选D 2.(2025·河北统考)数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》 中，提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数 列，如数列2,4,7,11,16，从第二项起，每一项与前一项的差构成新数列2,3,4,5， 新数列2,3,4,5为等差数列，则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数列.现有二阶等 差数列{am},其前七项分别为2,2,3,5,8,12,17，则该数列的第20项为( A.173 B.171 C.155 D.151 A【解析】根据题意，得新数列为0,1,2,3,4，..则二阶等差数列{n}的通项公式 为a,= D62+2,则m=1918+2=13故选A 2 2 3.(2025浙江绍兴市模拟)已知数列{am}的各项均为正数，且a1=1,对于任意 的n∈N*,均有an+1=2an十1，bn=2log2(1十an)-l.若在数列{bn}中去掉{an}的 项，余下的项组成数列{cn},则c1十c2十.十c20=() A.599 B.569 C.554 D.568 D【解析】因为am+1=2an十1，所以an+1十1=2(an+1)又因为a十1=2，所以 a+1十1=2，所以数列{a,十1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以a+1= an+1 2",即a,=2n-1,所以bn=2log2(1+an)-1=2log2(1+2m-1)-1=2n-.又b1=1, bm+1一bn=2,所以数列{bm}是首项为1，公差为2的等差数列，即bm=2n-1,则 {an}中所有的项均在{bm}中.b1=a1=1,b16=31,b2s=49,由an=2n-1,得a5 =31,a6=63,所以b16=5=31,a5<b25<a6,所以c1十c2十…十c20=(b1+b2十… +b侧）-+m++a)=25Xg+49》-Ie+2++29-1=65- 2 2×0-2)+5=568.故选D. 1-2 4.(多选题)2025江西联考)已知n,m∈N,将数列{4n十1}与数列{5m}的公共项 从小到大排列得到数列{a},则() A.an-5n B.☑m=5n C.ta}的前n项和为华- D.{a,}的前n项和为23- 24 BC【解析】令4n+1=5m,m∈N,所以n=5m-1=4+1y-1 4 4+C·41+…+C州1·4∈N,所以数列S}为数列(41十1}的子数列，所以 4 a=50m=123,…,所以{a的前n项和为51-59_55"-D. 故选BC 1-5 A 5.(2025·湖北武汉外国语学校期末)著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的 零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛其定义是：对于函数， 若数列端是水需 则称数列：，}为牛顿数列若函数)x, ,且A=1,则4= 6【解析】：，@豆， ,即=又A=1, 所以数列{a,}为等差数列，公差为-1，首项为1，